\(5\cos^2\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+4\cos x+a-1=0\)
\(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\) 이므로
\(5\sin^2 x+4\cos x+a-1=0\)  ⟺  \(5(1-\cos^2 x)+4\cos x+a-1=0\)
⟺  \(5\cos^2 x-4\cos x-4=a\)  이다.
\(\cos x=t\) 라 하자.
\(y=5t^2-4t-4\) 으로 표현할 수 있다.
\(y=5\!\left(t-\dfrac{2}{5}\right)^{\!2}-\dfrac{24}{5}\)    \((-1 \le t \le 1)\)
\(t=\dfrac{2}{5}\) 일 때, 최솟값은 \(-\dfrac{24}{5}\) 이고,  \(t=-1\) 일 때, 최댓값은 \(5\) 이다.

1) 주어진 수열의 귀납적 관계식에서 일반항을 구하기 위해 항들을 정리합니다.
\(a_{n+1} - a_n = (-1)^n \frac{2n+1}{n(n+1)}\) 이며, \(\frac{2n+1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}\) 로 부분분수 변형할 수 있습니다.
2) \(n=1\)부터 \(n=2024\)까지 대입하여 변변 더해줍니다.
\(a_{2025} - a_1 = \sum_{n=1}^{2024} (-1)^n \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} \right)\) $= -\left(1 + \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}\right)$ 이를 전개하면 이웃한 항들이 부호가 반대로 소거됩니다.
\(a_{2025} - a_1 = -1 + \frac{1}{2025}\) 3) 첫째항 \(a_1 = \frac{47}{45}\) 이므로 대입합니다.
\(a_{2025} = \frac{47}{45} - 1 + \frac{1}{2025} = \frac{2}{45} + \frac{1}{2025}\) \(45^2 = 2025\) 이므로 통분하면: \(a_{2025} = \frac{90}{2025} + \frac{1}{2025} = \frac{91}{2025}\) 따라서 \(p = 2025, q = 91\) 이며 두 수는 서로소입니다.
4) 구하고자 하는 값은: \(\sqrt{p} + q = \sqrt{2025} + 91 = 45 + 91 = 136\) 입니다.

1) \(f(x) = ax^3\) 에서 도함수는 \(f'(x) = 3ax^2\) 입니다.
\(x=5\) 에서의 접선의 방정식은: \(y = f'(5)(x-5) + f(5) \implies y = 75a(x-5) + 125a = 75ax - 250a\) 이 접선이 점 \((4,2)\) 를 지나므로: \(2 = 75a(4) - 250a \implies 2 = 50a \implies a = \frac{1}{25}\) 입니다.
(\(a > 0\) 조건 만족) 2) 따라서 원래 함수는 \(f(x) = \frac{1}{25}x^3\) 입니다.
\(f(x)\) 와 그 역함수 \(g(x)\) 의 교점은 \(y = f(x)\) 와 직선 \(y=x\) 의 교점과 같습니다.
\(\frac{1}{25}x^3 = x \implies x^3 - 25x = 0 \implies x(x-5)(x+5) = 0\) 따라서 교점의 \(x\)좌표는 \(x = -5, 0, 5\) 입니다.
3) 두 곡선 \(y=f(x)\) 와 \(y=g(x)\) 는 원점 대칭이고, 직선 \(y=x\) 에 대해 대칭이므로,
둘러싸인 전체 영역의 넓이는 \([0, 5]\) 영역의 넓이의 4배(혹은 \([0, 5]\)의 원래함수와 역함수 사이의 넓이의 2배)가 됩니다.
\(S = 2 \times \int_0^5 \left( x - \frac{1}{25}x^3 \right) dx \times 2 = 4 \int_0^5 \left( x - \frac{1}{25}x^3 \right) dx\) $\int_0^5 \left( x - \frac{1}{25}x^3 \right) dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{100}x^4 \right]_0^5 = \frac{25}{2} - \frac{625}{100} = \frac{25}{2} - \frac{25}{4} = \frac{25}{4}$ 입니다.
따라서 구하는 전체 넓이는: \(S = 4 \times \frac{25}{4} = 25\) 입니다.

1) 주어진 로그 값을 단순화합니다.
\(a = \log_4 27 = \log_{2^2} 3^3 = \frac{3}{2}\log_2 3\) \(b = \log_9 25 = \log_{3^2} 5^2 = \log_3 5\) 두 값의 곱 \(ab\)를 계산하면: \(ab = \left(\frac{3}{2}\log_2 3\right) \times (\log_3 5) = \frac{3}{2} \frac{\log 3}{\log 2} \frac{\log 5}{\log 3} = \frac{3}{2}\log_2 5\) 입니다.
2) \(\log_5 10 = \log_5 (5 \times 2) = 1 + \log_5 2\) 입니다.
주어진 관계식 \(\log_5 10 = 1 + \frac{1}{pab}\) 와 비교하면: \(\log_5 2 = \frac{1}{pab} \implies pab = \frac{1}{\log_5 2} = \log_2 5\) 가 성립해야 합니다.
\(p \left( \frac{3}{2}\log_2 5 \right) = \log_2 5 \implies p = \frac{2}{3}\) 입니다.
3) \(\log_6 10 = \frac{1+pab}{1+qa}\) 에서 \(pab = \log_2 5\) 이므로 분자는: \(1 + pab = 1 + \log_2 5 = \log_2 2 + \log_2 5 = \log_2 10\) 입니다.
식에 대입하면: \(\log_6 10 = \frac{\log_2 10}{1+qa} \implies 1 + qa = \frac{\log_2 10}{\log_6 10} = \log_2 6\) 이 성립합니다.
\(\log_2 6 = \log_2 (2 \times 3) = 1 + \log_2 3\) 이므로: \(qa = \log_2 3\) 이 되어야 합니다.
\(q \left( \frac{3}{2}\log_2 3 \right) = \log_2 3 \implies q = \frac{2}{3}\) 입니다.
따라서 구하는 상수 값은 \(p = \frac{2}{3}, q = \frac{2}{3}\) 입니다.

1) 직선 \(y=n\) 과 두 로그함수 \(y=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)\), \(y=\log_{\frac{1}{9}}(3-x)\) 의 교점 \(P_n, Q_n\)의 \(x\)좌표를 구합니다.
\(n = \log_{\frac{1}{3}}(x-1) \implies x-1 = \left(\frac{1}{3}\right)^n \implies x = 1 + \left(\frac{1}{3}\right)^n\) \(n = \log_{\frac{1}{9}}(3-x) \implies 3-x = \left(\frac{1}{9}\right)^n \implies x = 3 - \left(\frac{1}{9}\right)^n\) 따라서 \(P_n = \left(1 + 3^{-n}, n\right)\), \(Q_n = \left(3 - 9^{-n}, n\right)\) 이고 밑변 \(P_nQ_n\)의 길이는: \(\overline{P_nQ_n} = \left(3 - 9^{-n}\right) - \left(1 + 3^{-n}\right) = 2 - 3^{-n} - 9^{-n}\) 입니다.
2) 점 \(R_n\)은 \(y=n-1\) 위의 점이고 \(x\)좌표가 \(2\)이므로 \(R_n = (2, n-1)\) 이며, 삼각형 \(P_nQ_nR_n\)의 높이는 \(y\)-좌표의 차이인 \(n - (n-1) = 1\) 입니다.
따라서 넓이 \(a_n\)은: \(a_n = \frac{1}{2} \times \left(2 - 3^{-n} - 9^{-n}\right) \times 1 = 1 - \frac{1}{2 \times 3^n} - \frac{1}{2 \times 9^n}\) 입니다.
3) 조건 \(a_n + b_n = 1 - \frac{1}{2 \times 3^n}\) 에 대입합니다.
\(\left(1 - \frac{1}{2 \times 3^n} - \frac{1}{2 \times 9^n}\right) + b_n = 1 - \frac{1}{2 \times 3^n} \implies b_n = \frac{1}{2 \times 9^n}\) 입니다.
\(b_n\)은 첫째항이 \(b_1 = \frac{1}{18}\), 공비가 \(\frac{1}{9}\)인 등비수열입니다.
4) \(S_3 = b_1 + b_2 + b_3\)를 구합니다.
\(S_3 = \frac{1}{18} + \frac{1}{162} + \frac{1}{1458} = \frac{81 + 9 + 1}{1458} = \frac{91}{1458}\) 따라서 구하고자 하는 최종 값은: \(1458 S_3 = 1458 \times \frac{91}{1458} = 91\) 입니다.

1) 정적분 상수항 \(\int_2^3 t f'(t) dt\) 를 상수 \(K\)로 치환합니다.
\(\int_1^x f(t) dt = x^4 + ax^3 + K x^2 + 52x\) 주어진 식에 \(x=1\)을 대입하면 좌변이 \(0\)이 되므로: \(0 = 1 + a + K + 52 \implies a + K = -53\) \quad \cdots \text{ (ㄱ)}\quad$ 2) 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면: \(f(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2Kx + 52\) 입니다.
도함수를 구하면: \(f'(x) = 12x^2 + 6ax + 2K\) 이고, 피적분함수 \(t f'(t)\)는: \(t f'(t) = 12t^3 + 6at^2 + 2Kt\) 입니다.
3) 치환한 정적분 식에 대입하여 \(K\)에 대한 관계식을 도출합니다.
\(K = \int_2^3 \left(12t^3 + 6at^2 + 2Kt\right) dt = \left[ 3t^4 + 2at^3 + Kt^2 \right]_2^3\) \(= 3(81 - 16) + 2a(27 - 8) + K(9 - 4)\) \(= 195 + 38a + 5K\) 정리하면: \(4K + 38a = -195\) \quad \cdots \text{ (ㄴ)}\quad$ 4) (ㄱ)에서 \(K = -53 - a\) 이므로 이를 (ㄴ)에 대입합니다.
\(4(-53 - a) + 38a = -195 \implies -212 - 4a + 38a = -195\) \(34a = 17 \implies a = \frac{1}{2}\) 입니다.
이를 다시 대입하면 \(K = -53 - \frac{1}{2} = -\frac{107}{2}\) 입니다.
5) 함수 \(f(x)\)는 다음
과 같습니다.
\(f(x) = 4x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 107x + 52\) 따라서 \(f(2)\)의 값을 구하면: \(f(2) = 4(8) + \frac{3}{2}(4) - 107(2) + 52 = 32 + 6 - 214 + 52 = -124\) 입니다.
따라서 \(a = \frac{1}{2}, f(2) = -124\) 입니다.

1) 주어진 조건 식의 분모와 분자의 위치를 역수로 취하여 정리합니다.
\(\lim_{x \to 0} \frac{x}{f(x)-x} = \frac{1}{2} \implies \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-x}{x} = 2\) \(\lim_{x \to 0} \left( \frac{f(x)}{x} - 1 \right) = 2\) 이므로,
\(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 3\) 임을 알 수 있습니다.
2) 구하고자 하는 식의 분자, 분모를 각각 \(x^2\)으로 나누어 줍니다.
$\lim_{x \to 0} \frac{35xf(x) + 5\{f(x)\}^2}{2\{f(x)\}^2 + 3xf(x) - 2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{35 \left(\frac{f(x)}{x}\right) + 5\left(\frac{f(x)}{x}\right)^2}{2\left(\frac{f(x)}{x}\right)^2 + 3\left(\frac{f(x)}{x}\right) - 2}$ 3) 위 식에 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 3\) 을 대입하여 극한값을 구합니다.
\(\frac{35(3) + 5(3^2)}{2(3^2) + 3(3) - 2} = \frac{105 + 45}{18 + 9 - 2} = \frac{150}{25} = 6\) 입니다.
따라서 최종 구하는 극한값은 \(6\)입니다.

1) 두 함수 \(f(x) = -\log_2 \left((k+1)x\right)\) 와 \(g(x) = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{k+1}{kx}\right) = -\log_2\left(\frac{k+1}{kx}\right)\) 의 교점의 \(x\)좌표를 구합니다.
\(-\log_2(k+1) - \log_2 x = -\log_2(k+1) + \log_2 k + \log_2 x \implies -2\log_2 x = \log_2 k\) \(\log_2 x^{-2} = \log_2 k \implies x = \frac{1}{\sqrt{k}}\) 입니다.
교점의 \(x\)좌표를 \(a = \frac{1}{\sqrt{k}}\) 라 할 때: - \(x < a\) 이면 \(g(x) < f(x) \implies h(x) = f(x)\) - \(x \ge a\) 이면 \(g(x) \ge f(x) \implies h(x) = g(x)\) 입니다.
2) 곡선 \(y=h(x)\) 와 직선 \(y=\log_2 k\) 의 교점을 \(A(x_A, \log_2 k), B(x_B, \log_2 k)\) 라 하고 \(x_A < x_B\) 라 합시다.
(1) \(x_A < a\) 인 영역에서 \(f(x) = \log_2 k\) 를 풉니다.
\(-\log_2\left((k+1)x\right) = \log_2 k \implies (k+1)x = \frac{1}{k} \implies x_A = \frac{1}{k(k+1)}\) 입니다.
(2) \(x_B \ge a\) 인 영역에서 \(g(x) = \log_2 k\) 를 풉니다.
\(-\log_2\left(\frac{k+1}{kx}\right) = \log_2 k \implies \frac{k+1}{kx} = \frac{1}{k} \implies x_B = k+1\) 입니다.
따라서 두 교점 사이의 거리 \(l(k)\)는 다음
과 같습니다.
\(l(k) = x_B - x_A = k+1 - \frac{1}{k(k+1)}\) 3) 시그마 공식과 부분분수 소거법을 사용하여 계산을 전개합니다.
\(\sum_{k=1}^{9} l(k) = \sum_{k=1}^{9} (k+1) - \sum_{k=1}^{9} \frac{1}{k(k+1)}\) \(\sum_{k=1}^{9} (k+1) = 2 + 3 + \dots + 10 = \frac{9(2+10)}{2} = 54\) \(\sum_{k=1}^{9} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{9} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}\) 따라서 \(\sum_{k=1}^{9} l(k) = 54 - \frac{9}{10} = \frac{531}{10}\) 입니다.
4) 구하고자 하는 최종 연산 값은: \(\frac{10}{3} \times \sum_{k=1}^{9} l(k) = \frac{10}{3} \times \frac{531}{10} = \frac{531}{3} = 177\) 입니다.

1) 조건 (나)의 좌변 극한 부분을 미분계수로 변형합니다.
\(\lim_{h \to 0} \frac{f(k+1+h) - f(k+1-2h)}{5h}\) \(= \lim_{h \to 0} \frac{f(k+1+h) - f(k+1) + f(k+1) - f(k+1-2h)}{5h}\) \(= \frac{1}{5} \lim_{h \to 0} \frac{f(k+1+h) - f(k+1)}{h} + \frac{2}{5} \lim_{h \to 0} \frac{f(k+1-2h) - f(k+1)}{-2h}\) \(= \frac{1}{5} f'(k+1) + \frac{2}{5} f'(k+1) = \frac{3}{5} f'(k+1)\) 입니다.
2) 다항함수의 도함수는 \(f'(x) = 2x+a\) 이므로,
\(f'(k+1) = 2k + a + 2\) 입니다.
시그마 대입하여 정리하면: \(\sum_{k=1}^{15} \frac{3}{5} f'(k+1) = \frac{3}{5} \sum_{k=1}^{15} (2k + a + 2) = 90 \implies \sum_{k=1}^{15} (2k + a + 2) = 150\) \(2 \times \frac{15 \times 16}{2} + 15(a+2) = 240 + 15a + 30 = 15a + 270 = 150\) \(15a = -120 \implies a = -8\) 입니다.
3) 조건 (가) \(f(2) = f'(2)\) 를 통해 \(b\)를 구합니다.
\(f(2) = 4 + 2a + b = 4 - 16 + b = b - 12\) \(f'(2) = 4 + a = 4 - 8 = -4\) \(b - 12 = -4 \implies b = 8\) 입니다.
4) 따라서 \(a = -8, b = 8\) 이며 구하고자 하는 함숫값은: \(f(a+b) = f(-8+8) = f(0) = b = 8\) 입니다.

\(5\cos^2\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+4\cos x+a-1=0\)
\(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\) 이므로
\(5\sin^2 x+4\cos x+a-1=0\)  ⟺  \(5(1-\cos^2 x)+4\cos x+a-1=0\)
⟺  \(5\cos^2 x-4\cos x-4=a\)  이다.
\(\cos x=t\) 라 하자.
\(y=5t^2-4t-4\) 으로 표현할 수 있다.
\(y=5\!\left(t-\dfrac{2}{5}\right)^{\!2}-\dfrac{24}{5}\)    \((-1 \le t \le 1)\)
\(t=\dfrac{2}{5}\) 일 때, 최솟값은 \(-\dfrac{24}{5}\) 이고,  \(t=-1\) 일 때, 최댓값은 \(5\) 이다.

\(f(4) = \log_3 81 = 4\)
\(f(f(4)) = f(4) = \frac{4}{3} \times 4 - 7 = -\frac{5}{3}\)
\(f(f(f(4))) = f\left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{4}{3} \times \left(-\frac{5}{3}\right) - 7 = -\frac{83}{9}\)

\(f(2) = \frac{4}{3} \times 2 - 7 = -\frac{13}{3}\)
\(f(f(2)) = \frac{4}{3} \times \left(-\frac{13}{3}\right) - 7 = -\frac{115}{9}\)
\(f(f(f(2))) = f\left(-\frac{115}{9}\right) = 3 + 46\log_3 2\)

\(f(3) = \log_3 81 = 4\)
\(f(f(3)) = \frac{4}{3} \times 4 - 7 = -\frac{5}{3}\)
\(f(f(f(3))) = f\left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{4}{3} \times \left(-\frac{5}{3}\right) - 7 = -\frac{83}{9}\)

\(\sum_{n=2}^{4} f(f(f(n))) = 3+46\log_3 2 + \left(-\frac{83}{9}\right) + \left(-\frac{83}{9}\right)\) (해설상 주어진 식 변형으로 값 도출)

\(f(x)\)가 상수함수이면 성립하지 않는다.
\(f(x) = bx^n + \dots + c\) 로 놓았을 때 \(n\)의 값은 1. 따라서 \(f(x) = bx+c\).
\(\int_0^x t f(t) dt = f(x) + ax^3 + x^2 + x - 2\)에서 \(x\)에 0을 대입하면 \(0 = f(0) - 2 = c - 2\). 따라서 \(c = 2\).
\(f(x) = bx+2\)이므로 \(\int_0^x t f(t) dt = f(x) + ax^3 + x^2 + x - 2\)에서
\(\frac{b}{3}x^3 + x^2 = bx + 2 + ax^3 + x^2 + x - 2\) \(\Leftrightarrow \frac{b}{3}x^3 + x^2 = ax^3 + x^2 + (b+1)x\)
\(a = \frac{b}{3}\), \(b+1 = 0\).
\(b = -1\), \(a = -\frac{1}{3}\). \(f(x) = -x+2\).
\(f(a) = f\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}+2 = \frac{7}{3}\).

\((2k)^{\frac{7}{n}}\)의 값이 8의 배수가 되기 위해서는 \((2k)^{\frac{7}{n}} = m \cdot 2^3\)에서 \(m\)이 1 이상의 자연수이어야 한다.
각 \(k\)값에 대해 만족하는 자연수 \(n\)의 개수 \(f(k)\)를 구하면:
\(k=2\)일 때 \(f(k)=4\), \(k=3\)일 때 \(f(k)=2\)
\(k=6\)일 때 \(f(k)=8\), \(k=7\)일 때 \(f(k)=3\)
\(k=8\)일 때 \(f(k)=2\), \(k=9\)일 때 \(f(k)=7\)
\(k=40\)일 때 \(f(k)=8\)
따라서 \(f(k)=8\)을 만족하는 \(k\)는 6, 8, 40 등이며, 문제 조건에 맞는 모든 \(k\)의 합을 구한다.

조건 (가)에서 0이 아닌 극한값이 존재하고, 분모가 이차함수이므로, 함수 \(f(x)\)도 이차함수이다.
따라서, \(f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma\) 로 놓을 수 있다.
\(\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{9x^2-4} = \frac{\alpha}{9} = 3\). 따라서 \(\alpha = 27\)
조건 (나)에서 (분자) \(\to 0\)이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로 (분모) \(\to 0\)이어야 한다.
따라서 \(f(x) = 27\left(x-\frac{2}{3}\right)(x+k)\) 로 놓을 수 있다.
$ \lim_{x\to\frac{2}{3}} \frac{f(x)}{9x^2-4} = \lim_{x\to\frac{2}{3}} \frac{27(x-\frac{2}{3})(x+k)}{9(x-\frac{2}{3})(x+\frac{2}{3})} = \frac{27(\frac{2}{3}+k)}{9(\frac{4}{3})} = \frac{9}{4}\left(\frac{2}{3}+k\right) = \frac{7}{4} \(.
따라서\) k = \frac{1}{9} \(. 즉,\) f(x) = 27\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{1}{9}\right) \(이다.
좌극한과 우극한의 값이 존재하고 일치해야 하므로, 극한식에 대입하여 계산하면\) b = 0 \(이다.
따라서\) a = -\frac{76}{3} \(,\) b = 0 $이다.

조건 (가) \(f'(\alpha) = f'(\beta) = 0\)에서 \(x=\alpha\)와 \(x=\beta\)에서 극값을 가지며, 조건 (나) \(f(\alpha)f(\beta) < 0\)에서 함숫값의 부호는 다르므로 다음 두 가지 경우로 나눌 수 있다.
(1) 최고차항의 계수가 양수일 때, 즉 \(f(\alpha) > 0\)일 때, 방정식 \(|f(x)| = |f(t)|\)의 실근의 개수가 홀수가 되도록 하는 실수 \(t\)는 \(y = |f(x)|\)의 그래프가 직선 \(y=0\), \(y=|f(\alpha)|\), \(y=|f(\beta)|\)와 만나는 점들의 \(x\)좌표이므로 \(m=4\)이고, 합은 \(-3\)이다.
(2) 최고차항의 계수가 음수일 때, 즉 \(f(\alpha) < 0\)일 때, 마찬가지로 방정식의 실근의 개수가 홀수가 되도록 하는 실수 \(t\)는 점들의 \(x\)좌표이므로 \(m=4\)이고, 합은 \(3\)이다. 따라서 \(\pm 3\)이다.

\(f(4) = f(0) + 4 = a - \frac{9}{16} + 4 = a + \frac{55}{16}\)이고
\(\lim_{x\to 4-} f(x) = \lim_{x\to 4-} a\left(x-\frac{7}{4}\right)^2 - \frac{9}{16} = \frac{81}{16}a - \frac{9}{16}\).
\(f\)는 \(x=4\)에서 연속이므로 \(a = 2\). 따라서
\(f(x) = 2\left(x-\frac{7}{4}\right)^2 - \frac{9}{16}\), \(f(0) = \frac{89}{16}\), \(f(4) = \frac{153}{16}\)
구간 \([0, 4]\)에서 \(y=f(x)\)의 그래프와 직선 \(y=-\frac{9}{16}\) 사이의 부분의 넓이를 \(A\)라 하면
\(A = \int_0^4 \left(f(x) - \left(-\frac{9}{16}\right)\right) dx = \int_0^4 2\left(x-\frac{7}{4}\right)^2 dx = \frac{343}{32}\).
\(p_4 = \int_0^4 f(x)dx = A - \frac{9}{16} \times 4 = \frac{271}{32}\)이다.
\(p_n = \int_{n-4}^{n} f(x)dx = (n-4) + \int_0^4 f(x)dx\)이므로 수열 \(\{p_n\}\)은 등차수열이다.
\(g(x) = \sum_{n=4}^{400} (x-p_n)^2\)이므로 \(x = \frac{1}{397}\sum_{n=4}^{400} p_n\)에서 최솟값을 가진다.
따라서 \(\alpha = \frac{1}{397}\sum_{n=4}^{400} p_n\)을 계산하여 도출한다.

\(\lim_{x\to 2} \frac{f(x)-f(-2)}{x-2} = 4\) 에서 \(x\to 2\)일 때 (분모)\(\to 0\)이고 극한값이 존재하므로 (분자)\(\to 0\)이어야 한다.
따라서 \(f(2) = f(-2)\)이다.
\(f(x)\)는 삼차함수이므로, \(f(x) = a(x-2)(x+2)(x-k) + b\)라 하자.
(나)에서 극한값이 3이려면 \(b=0\)이어야 모순이 생기지 않는다. 따라서 \(f(2)=f(-2)=0\)이다.
\(f(x) = a(x+2)(x-2)(x-k)\)
극한식을 계산하면 \(\frac{-7(-2-k)}{7(2-k)} = 3\)에서 \(k = -4\), 즉 \(f(x) = a(x+2)(x-2)(x+4)\).
\(\lim_{x\to 2} \frac{f(x)-f(-2)}{x-2} = \lim_{x\to 2} a(x+2)(x+4) = 24a = 4\)에서 \(a = \frac{1}{6}\).
따라서 \(f(x) = \frac{1}{6}(x+2)(x-2)(x+4)\)이다. 즉, \(\int_0^3 f(x) dx = -\frac{11}{4}\)이다.

\(n \sqrt{(2k)^7}\) 이 2의 배수가 되어야 하므로, 가능한 \(n\)은 4, 3, 8, 48이고, \(m=27\)이다.
\(OD : OE : OF = 4 : 27 : 6(3\sqrt{8}-4) = 2 : 7 : (3\sqrt{8}-4)\)이므로, 양수 \(h\)에 대하여 \(OD = 2h, OE = 7h, OF = (3\sqrt{8}-4)h\)라 하자.
반지름의 길이가 7이므로 사인법칙에 의하여 \(\frac{BC}{\sin A} = 2 \times 7\), \(\sin A = \frac{BC}{14}\) 이다.
같은 방법으로 \(\sin B = \frac{AC}{14}\), \(\sin C = \frac{AB}{14}\) 이다.
\(\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C\)를 계산하여 정리하면 \(8-8h^2 = 7-h^2\)이므로, \(h = \frac{1}{\sqrt{7}}\)이고, 따라서 \(OE = 2\), \(\sin^2 B = \frac{9}{32} + \frac{3\sqrt{8}}{32}\)이다.

\(\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}\) 의 양변을 제곱하면
\(\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \dfrac{1}{4}\)
\(1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}\) 이므로 \(2\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{4}\)
\(|\sin\theta - \cos\theta|^2 = (\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = 1 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{7}{4}\)
따라서,  \(|\sin\theta - \cos\theta| = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\)

\(x eq -1, x eq 2\)일 때, \(f(x) = \frac{x^3 + ax + b}{x + 1}\)이다. 함수 \(f(x)\)는 \(x = 2\)에서 연속이므로 \(\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)\)이다.
즉, \(\lim_{x \to 2} \frac{x^3 + ax + b}{x + 1} = 1\)이므로 \(\frac{8 + 2a + b}{3} = 1\)에서 \(2a + b = -5\)이다.
또한, 함수 \(f(x)\)는 \(x = -1\)에서도 연속이므로 \(\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1)\)이다. \(\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + ax + b}{x + 1} = f(-1)\)이고 극한값이 존재하므로 (분모) \(\to 0\)일 때 (분자) \(\to 0\)이어야 한다.
즉, \(\lim_{x \to -1} (x^3 + ax + b) = 0\)이므로 \(-1 - a + b = 0\), 즉 \(a - b = -1\)이다.
이를 \(2a + b = -5\)와 연립하여 풀면 \(a = -2, b = -1\)이다. 따라서,
\(f(-1) = \lim_{x \to -1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x + 1} = \lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(x^2 - x - 1)}{x + 1} = \lim_{x \to -1} (x^2 - x - 1) = 1\)이다.

그러므로 빈칸에 알맞은 식과 값은 다음과 같다.
[①] \(2a + b + 5\) (또는 \(2a+b=-5\))
[②] \(a - b + 1\) (또는 \(a-b=-1\))
[③] \((-2, -1)\) (또는 \(a = -2, b = -1\))
[④] \(1\)

\(2(x+1)f(x)\)의 한 부정적분이 \(G(x)\)이므로, \(G'(x) = 2(x+1)f(x)\)이다.

\(G(x) = (x+1)^2f(x) - x^4 - 4x^3 - 6x^2 - 4x\)의 양변을 \(x\)에 대해 미분하면,
\(G'(x) = 2(x+1)f(x) + (x+1)^2f'(x) - 4x^3 - 12x^2 - 12x - 4\)이다.

따라서,
\(2(x+1)f(x) = 2(x+1)f(x) + (x+1)^2f'(x) - 4(x^3 + 3x^2 + 3x + 1)\)
\((x+1)^2f'(x) = 4(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = 4(x+1)^3\)이다.

\(f(x)\)는 다항함수이므로, \(x eq -1\)일 때 양변을 \((x+1)^2\)으로 나누면
\(f'(x) = 4(x+1) = 4x + 4\)이고, 이는 연속함수이므로 모든 실수 \(x\)에서 성립한다.
양변을 적분하면 \(f(x) = 2x^2 + 4x + C\) (단, \(C\)는 적분상수)이다.

한편, \(G(x) = (x+1)^2f(x) - x^4 - 4x^3 - 6x^2 - 4x\)에 \(x = 0\)을 대입하면,
\(G(0) = f(0) = -2\)이므로 \(C = -2\)이다. 따라서,
\(f(x) = 2x^2 + 4x - 2\)이며, 구하고자 하는 값은 \(f(1) = 2 + 4 - 2 = 4\)이다.

[참고] \(G(x) = (x+1)^2(2x^2+4x-2) - x^4 - 4x^3 - 6x^2 - 4x = x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 4x - 2\)

\(f(x) = x^4 + \frac{8}{3}kx^3 - 6k^2x^2 + 3\) 에서 \(f'(x) = 4x^3 + 8kx^2 - 12k^2x = 4x(x+3k)(x-k)\) 이다.
\(f'(x) = 0\) 의 근은 \(x = -3k, 0, k\) 이며, \(k > 0\) 이므로 극대·극소 위치와 극값은 다음과 같다.
• 극대: \(x = 0\) 에서 \(f(0) = 3\)
• 극소1: \(x = -3k\) 에서 \(f(-3k) = -45k^4 + 3\)
• 극소2: \(x = k\) 에서 \(f(k) = -\frac{7}{3}k^4 + 3\)
이때 \(k > 0\) 이므로 극솟값의 대소 관계는 \(f(-3k) < f(k) < f(0)\) 이다.

(가) 곡선 \(y = f(x)\) 와 직선 \(y = a\) 가 서로 다른 두 점에서 만나려면 직선이 극댓값보다 위에 있거나, 두 극솟값 사이에 위치해야 한다. 즉, \(a > f(0)\) 또는 \(f(-3k) < a < f(k)\) 이므로 구하는 범위는 \(a > 3\) 또는 \(-45k^4 + 3 < a < -\frac{7}{3}k^4 + 3\) 이다.

(나) 곡선 \(y = f(x)\) 와 직선 \(y = b\) 가 서로 다른 세 점에서 만나려면 직선이 극댓값을 지나거나, 더 큰 극솟값을 지나야 한다. 즉, \(b = f(0)\) 또는 \(b = f(k)\) 이므로 구하는 값은 \(b = 3\) 또는 \(b = -\frac{7}{3}k^4 + 3\) 이다.

모범 답안을 작성 중입니다.
수식을 점검해 주십시오.

\(f(0)>f(\frac{3\pi)\text{\) 은 \(}|-q|>|-p-q|\text{\) 이고 \(}p>0\text{\) 이므로 \(}q<0\text{\) 이다 \(}. }{2} g(x)=p\sin x-q\) 라 할 때, \(g(x)\) 의 최솟값은 \(-p-q\) 이다.
만약 \(-p-q\ge 0\) 이면 3개의 등차수열이 존재하므로,
\(-p-q<0\) 이어야 한다.
\[

\(\frac{9}{2x} -\frac{2\le f(x)\le (3- / x}{x^2} 2) 2\) 으로부터 \(\frac{9x-2\le x^2f(x)\le (3x-2)^2.\text{\) 따라서 \(}}{2} \lim x \to \frac{4}{3}\frac{9x-2=\lim }{2} x \to \frac{4}{3} (3x-2)^2=4\) 이므로 \(\lim x \to \frac{4}{3} x^2f(x)=4\) . 따라서 \(a=\frac{4}{3}\) . 또한,\]

\(512x=144y=k(k>0)\) 이라 하자. \(512x=k\) 에서 \(29x=k, 2=k\frac{1}{9x} . 144y=k\) 에서 \(122y=k, 12=k\frac{1}{2y} . \frac{1+ / }{9x} 2y 1=\frac{1}{2}\) 이고 \(k\frac{1+ / }{9x} 2y 1 =k\frac{1}{9x} ×k\frac{1}{2y} =2×12=24, k \frac{1}{2} =24\) 이므로 \(k=2\)42=576. 512x=576\(에서\)x=\log512576=\frac{2}{9}\frac{\log24= / 9}{\log2} 2\log224,∴p=\frac{2}{9} , 144y=576\(에서\)y=\log144576=\frac{2}{2}\frac{\log24= / }{\log12} \log12 \log24=\log1224,∴q=1.$

\[선분 AP 를 포함하는 부채꼴 AOP 에서 ∠ \(AOP =\alpha\) 라 하자. 조건 (가)에서 부채꼴 AOP 의 넓이가 \(\frac{3}{2}\pi\) 이므로,
\(\frac{14}{2}\alpha=\frac{3}{2}\pi,\alpha=\frac{3}{4}\pi\) 이때, \(\theta=\frac{3}{4}\pi\) 또는 \(\theta=\frac{5}{4}\pi\) 이다.
\]

\(F'(x) = f(x)\) 이고, \(F(x) = f(x) + 2x^3 - 5x^2 - 5x\) 의 양변을 미분하면 \(f(x) = f'(x) + 6x^2 - 10x - 5\) (이하 (1)식)이다.
\(f(x) = 6x^2 + ax + b\) 로 정의하면,
\(f'(x) = 12x + a\) 이므로,
(1)식에 이를 대입하면,
\(6x^2 + ax + b = 6x^2 + 2x + a - 5\), 즉 \(a = 2, b = -3\) 이다.
방정식 \(f(x) = 4x^2 + 3\) 에 계산한 \(f(x)\) 를 대입하면,
\(6x^2 + 2x - 3 = 4x^2 + 3\) 즉, \(2x^2 + 2x - 6 = 0 \implies x^2 + x - 3 = 0\)
이 방정식의 두 근을 \(\alpha, \beta\) 라 할 때, \(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (-1)^2 - 2(-3) = 1 + 6 = 7\)

\(f(x) = -x^3+3x^2+9x+k\) 에서 \(f'(x) = -3x^2+6x+9 = -3(x+1)(x-3)\)
\(f'(x)=0\) 에서 \(x=-1\) 또는 \(x=3\) 에서 극값을 갖는다.
함수 \(f(x)\)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

\(x\)	\(\cdots\)	\(-1\)	\(\cdots\)	\(3\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(\nearrow\)	극대	\(\searrow\)	극소	\(\nearrow\)

그러므로 \(a=3\), \(b=-1\) 이며 \(x=-1\) 일 때 \(x\)축과 접하려면 극솟값이 \(0\)이어야 하므로
\(f(-1) = 1+3-9+k=0\) 에서 \(k=5\) 이다.

함수 \(y = \frac{3^x \times a^{\frac{1}{2}x}}{10^x}\) 의 그래프와 원 \((x-1)^2 + y^2 = 1\) 이 만나기 위해서는 \(y = \left(\frac{3 a^{\frac{1}{2}}}{10}\right)^x\) 에서 밑이 1 이하여야 한다.
따라서 \(a^{\frac{1}{2}} \le \frac{10}{3}\) 이고, 양변을 제곱하면 \(a \le \frac{100}{9} = 11.1\dots\)
함수 \(y = a^x \times \left(\frac{7}{3}\right)^{-x}\) 의 그래프와 원 \((x-1)^2 + y^2 = 1\) 이 만나지 않기 위해서는 \(y = \left(\frac{3a}{7}\right)^x\) 에서 밑이 1보다 커야 한다.
따라서 \(\frac{3a}{7} > 1\) 이므로 \(a > \frac{7}{3} = 2.3\dots\)
결과적으로 \(\frac{7}{3} < a \le \frac{100}{9}\) 을 만족하는 자연수 \(a\)의 개수는 \(a = 3, 4, \dots, 11\) 로 총 9개다.

\[\lim_{x \to 1} \frac{g(x)+1}{f(x)} = 1\] 이므로 \(g(1) + 1 = 0\). 즉, \(g(1) = -1\) 이고, \(g(1) = 1 + p\) 이므로 \(p = -2\) 이다.
\(g(x)\) 가 \(x = \pm 1\) 에서 연속이므로 \(\lim_{x \to 1} g(x) = a + b + c = g(1) = -1\) 이다.
\[\lim_{x \to 1} \frac{g(x)+1}{f(x)} =\]\lim_{x \to 1} \frac{ax^2+bx+c+1}{(x^2-1)(ax^2+bx+c)} = 1\[
분자가 0이 되어야 하므로 \(a+b+c+1 = 0\), 즉 \(a+b+c = -1\) 이고, 조립제법을 이용하거나 식을 정리하면 분자는 \(a(x^2-1) + b(x-1) + (a+b+c+1) = (x-1)(a(x+1)+b)\) 가 된다.
따라서\]\lim_{x \to 1} \frac{a(x+1)+b}{(x+1)(ax^2+bx+c)} = \(\frac{2a+b}{2(a+b+c)} = 1\)
\(a+b+c = -1\) 이므로 \(2a+b = -2\) 이다.
한편 \(\lim_{x \to -1} g(x) = a - b + c = g(-1) = -1 - 2 = -3\) 이다.
\(a+b+c = -1\) 과 \(a-b+c = -3\) 을 연립하면 \(2b = 2 \implies b = 1\) 이다.
\(b = 1\) 을 \(2a+b = -2\) 에 대입하면 \(2a = -3 \implies a = -\frac{3}{2}\) 이다.
\(a+b+c = -1\) 에 대입하면 \(-\frac{3}{2} + 1 + c = -1 \implies c = -\frac{1}{2}\) 이다.
따라서 \(g(x) = ax^2 + bx + c = -\frac{3}{2}x^2 + x - \frac{1}{2}\) 이며, \(g(p) = g(-2) = -\frac{3}{2}(-2)^2 + (-2) - \frac{1}{2} = -6 - 2 - \frac{1}{2} = -\frac{17}{2}\) 이다.

곡선 \(y = 4 + \log_a(x+2)\) 와 \(y = a^{x+2} + 4\) 는 곡선 \(y = \log_a x\) 와 \(y = a^x\) 을 \(x\)축으로 \(-2\)만큼, \(y\)축으로 \(4\)만큼 평행 이동한 곡선으로, 직선 \(y = x+6\) 에 대하여 대칭이다.
교점 \(P\)는 직선 \(x = -1\) 과 \(y = 5\) 의 교점이므로 \(P(-1, 5)\) 이다.
점 \(A\)는 직선 \(y = 5\) 와 곡선 \(y = 4 + \log_a(x+2)\) 의 교점이므로 \(5 = 4 + \log_a(x+2) \implies x+2 = a \implies x = a-2\) 이므로 \(A(a-2, 5)\) 이다.
점 \(B\)는 직선 \(x = -1\) 과 곡선 \(y = a^{x+2} + 4\) 의 교점이므로 \(y = a^{-1+2} + 4 = a+4\) 이므로 \(B(-1, a+4)\) 이다.
따라서 삼각형 \(PAB\) 는 \(\angle P = 90^{\circ}\) 인 직각삼각형이므로 넓이는
\(\dfrac{1}{2} \times \overline{PA} \times \overline{PB} = \dfrac{1}{2}((a-2)-(-1))((a+4)-5) = \dfrac{1}{2}(a-1)^2\) 이다.
삼각형의 넓이가 2이므로 \(\frac{1}{2}(a-1)^2 = 2 \implies (a-1)^2 = 4\)
\(a > 1\) 이므로 \(a-1 = 2 \implies a = 3\) 이다.

\(\cos^2 x + 4\sin x + k \le 0\) 에 \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\) 를 대입하여 사인의 식으로 바꾸면,
\(1 - \sin^2 x + 4\sin x + k \le 0\) 즉, \(\sin^2 x - 4\sin x - k - 1 \ge 0\) 이다.
\(\sin x = t\) 라 하면 \(-1 \le t \le 1\) 이고, 식은 \(t^2 - 4t - k - 1 \ge 0\) 이 된다.
완전제곱식으로 변형하면 \((t-2)^2 - k - 5 \ge 0\) 이다.
\(-1 \le t \le 1\) 에서 \((t-2)^2\) 의 최솟값은 \(t = 1\) 일 때 \((-1)^2 = 1\) 이다.
따라서 모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식이 성립하려면 최솟값일 때도 성립해야 하므로,
\(1 - k - 5 \ge 0 \implies k \le -4\) 이다.
즉, 실수 \(k\)의 최댓값은 \(-4\) 이다.

\(\lim_{x \to 2} (x-2)f(x) = 0\) 이므로, 우변의 극한값도 0이어야 한다.
$$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2+a}-5}{x^2+4} = 0 \(\implies \frac{\sqrt{4+a}-5}{8} = 0\) 따라서 \(\sqrt{4+a} = 5\) 이므로 \(a = 21\) 이다.
\(x \ge 2\) 일 때 \(f(x) = \frac{\sqrt{x^2+21}-5}{(x-2)(x^2+4)}\) 이다.
함수 \(f(x)\) 가 실수 전체에서 연속이므로 \(f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)\) 이다.
\(f(2) =\)\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2+21}-5}{(x-2)(x^2+4)} = \(\lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x^2+21}-5)(\sqrt{x^2+21}+5)}{(x-2)(x^2+4)(\sqrt{x^2+21}+5)}\)
\(=\)\lim_{x \to 2} \frac{x^2+21-25}{(x-2)(x^2+4)(\sqrt{x^2+21}+5)} = \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{(x-2)(x^2+4)(\sqrt{x^2+21}+5)}\)
\(=\)\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x^2+4)(\sqrt{x^2+21}+5)} = \(\lim_{x \to 2} \frac{x+2}{(x^2+4)(\sqrt{x^2+21}+5)}\)
\(= \frac{4}{8 \times (\sqrt{25}+5)} = \frac{4}{8 \times 10} = \frac{1}{20}\) 이다.
따라서 \(\frac{a}{f(2)} = \frac{21}{\frac{1}{20}} = 420\) 이다.

\(g(x) = x \int_0^x (tf(t)-11)dt - \int_0^x t^2 f(t) dt\) 에서 양변을 미분하면
\(g'(x) = \int_0^x (tf(t)-11)dt + x(xf(x)-11) - x^2 f(x) = \int_0^x (tf(t)-11)dt - 11x\) 이다.
함수 \(g(x)\) 는 \(x=2\) 에서 극솟값을 가지므로 \(g'(2) = 0\) 이다.
\(g'(2) = \int_0^2 (tf(t)-11)dt - 22 = 0\) 이다.
일차함수 \(f(x) = ax+b\) 라 하자.
\(\int_0^2 (t(at+b)-11)dt = \int_0^2 (at^2+bt-11)dt = \left[\frac{a}{3}t^3 + \frac{b}{2}t^2 - 11t\right]_0^2 = \frac{8}{3}a + 2b - 22\)
따라서 \(\frac{8}{3}a + 2b - 22 - 22 = 0 \implies \frac{8}{3}a + 2b = 44 \implies 4a + 3b = 66\) 이다.
또한 \(g(2) = 2 \int_0^2 (tf(t)-11)dt - \int_0^2 t^2 f(t) dt = -20\) 이다.
\(\int_0^2 (tf(t)-11)dt = 22\) 이므로 \(2(22) - \int_0^2 t^2 f(t) dt = -20 \implies \int_0^2 t^2 f(t) dt = 64\) 이다.
\(\int_0^2 t^2 (at+b)dt = \int_0^2 (at^3+bt^2)dt = \left[\frac{a}{4}t^4 + \frac{b}{3}t^3\right]_0^2 = 4a + \frac{8}{3}b = 64 \implies 3a + 2b = 48\) 이다.
두 식 \(4a + 3b = 66\) 과 \(3a + 2b = 48\) 을 연립하면 \(a=12, b=6\) 이므로 \(f(x) = 12x+6\) 이다.
이제 \(g'(x)\) 를 구하면 \(g'(x) = \int_0^x (12t^2+6t-11)dt - 11x = \left[4t^3+3t^2-11t\right]_0^x - 11x = 4x^3+3x^2-22x = x(4x^2+3x-22) = x(4x+11)(x-2)\) 이다.
\(g'(x) = 0\) 에서 \(x = 0, 2, -\frac{11}{4}\) 이고 극값을 갖는다.
함수 \(g(x)\) 가 \(x=k\) ($k \ e 2\() 에서 또 다른 극솟값을 가지므로,\)x=-\frac{11}{4}$ 에서 극소이다.
따라서 \(k = -\frac{11}{4}\) 이다.

직선 \(l_n\)의 방정식은 \(y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3^n}\sqrt{1+\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2}\) 이다.
직선 \(l_n\)이 \(x\)축 및 \(y\)축에 만나는 점은 \(\left(0,\,\dfrac{\sqrt{13}}{3^{n+1}}\right)\), \(\left(\dfrac{\sqrt{13}}{2\cdot 3^n},\,0\right)\) 이므로 삼각형 넓이는
$a_n=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{13}{2\times 3^{2n+1}}=\dfrac{13}{4\times 3}\left(\dfrac{1}{9}\right)^n=\dfrac{13}{12\times 9}\left(\dfrac{1}{9}\right)^{n-1}\(이다.
따라서 등비수열의 합은\)\displaystyle\sum_{k=1}^{10}a_k=\dfrac{13}{12\times 9}\cdot\dfrac{1-\!\left(\dfrac{1}{9}\right)^{10}}{1-\dfrac{1}{9}}=\dfrac{13}{12\times 8}\left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{20}\right)$ 이다.

\(x < 1\)일 때 \(f(x) = x - \frac{x}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}\), \(x > 1\)일 때 \(f(x) = 1 - \frac{x}{1+x} = \frac{1}{1+x}\). \(f(1) = \frac{1}{2}\)이므로 \[\lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\]\lim_{x \to 1-} \frac{\frac{x^2}{1+x} - \frac{1}{2}}{x-1} = \[\lim_{x \to 1-} \frac{(2x+1)(x-1)}{2(1+x)(x-1)} = \(\frac{3}{4}\),\]\lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \[\lim_{x \to 1+} \frac{\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2}}{x-1} =\]\lim_{x \to 1+} \frac{1-x}{2(1+x)(x-1)} = -\(\frac{1}{4}\)

접선의 기울기를 \(m\)이라 하면 점 \(\left(\frac{1}{2a}, 0\right)\)을 지나는 접선의 방정식은 \(y = m\left(x - \frac{1}{2a}\right)\)이다.
또한 \(x = k\)에서 접하므로 \(m = 2ak\)이다.
한편 접선이 점 \((k, ak^2)\)을 지나므로 \(ak^2 = 2ak\left(k - \frac{1}{2a}\right)\)이다.
따라서 \(k = \frac{1}{a}\)이다.
결론적으로 접선의 기울기는 \(m = 2\)이다.

\(f(x) = 3^{|x|} + a\)의 그래프는 \(x=0\)에서 최솟값 \(1+a\)를 갖는다.
\(4^{f(x)} - 5 \times 2^{f(x)+1} + 24 = 0\) 방정식은 \(2^{f(x)}\)를 \(t\)라 치환하면 \(t^2 - 10t + 24 = 0\)이 되고, 이 방정식의 해는 \(t=4, 6\)이다.
\(f(x)\)의 최솟값은 \(1+a\)이므로 \(2^{f(x)} \ge 2^{1+a}\)이다.
오직 하나의 실근을 갖기 위해서는 \(2^{f(x)}\)의 최솟값이 6이 되어야 한다.
(\(\because 2^{f(x)} = 4\)이면,
\(2^{f(x)} = 6\)인 근 \(x\)가 존재) 따라서 \(2^{1+a} = 6\) 즉, \(a\)의 값은 \(\log_2 6 - 1\) 또는 \(\log_2 3\)이다.

\(3\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \times \frac{b}{a} = 3\), \(\frac{3a+b}{\sqrt{a^2+b^2}} = 3\), \((3a+b)^2 = 9(a^2+b^2)\) \(9a^2+6ab+b^2 = 9a^2+9b^2\), \(6ab = 8b^2\), \(\therefore \frac{a}{b} = \frac{4}{3}\)

\(a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{1}{9} \left\{ n^2(n+2)^2 - (n-1)^2(n+1)^2 \right\}\) \(= \frac{1}{9} ( n^4 + 4n^3 + 4n^2 - n^4 + 2n^2 - 1 ) = \frac{1}{9} ( 4n^3 + 6n^2 - 1 )\) \(\therefore a_1 = S_1 = 1\) \(\therefore a_{100} = \frac{1}{9} ( 4000000 + 60000 - 1 ) = 451111\) \(\therefore a_1 + a_{100} = 451112\)

\[\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{x^2} = -9\]이므로 \(f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + b\)이다.
또한 \[\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 14\]이므로 \(f(0) = 0\)가 성립해야하므로 \(b = 0\). 따라서 \[\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} =\]\lim_{x \to 0} \frac{x^3 - 9x^2 + ax}{x} = \(\lim_{x \to 0} (x^2 - 9x + a) = a = 14\) 이므로 \(f(x) = x^3 - 9x^2 + 14x = x(x-2)(x-7)\)이고 결국 \[\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = \(\lim_{x \to 2} x(x-7) = -10\).

\(0 < |a+1| < 1\)일 때, 함수 \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 감소 함수 따라서, \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 \(x = \frac{1}{9}\)에서 최댓값 2를 갖는다.
\(|a+1|^2 = \frac{1}{9}, \therefore |a+1| = \frac{1}{3}, \implies a = -\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}\) \(1 < |a+1|\)일 때, 함수 \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 증가 함수 따라서, \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 \(x = 16\)에서 최댓값 2를 갖는다.
\(|a+1|^2 = 16, \therefore |a+1| = 4, \implies a = 3, -5\)

시각 \(t(t \ge 0)\)에서의 두 점 A, B의 위치는 각각 \(s_1(t) = \int_0^t v_1(\tau) d\tau = \int_0^t (2\tau^3 - 12\tau^2 + 24\tau) d\tau = \frac{1}{2}t^4 - 4t^3 + 12t^2\), \(s_2(t) = \int_0^t v_2(\tau) d\tau = \int_0^t \left(\frac{3}{2}\tau^2 + 9a\right) d\tau = \frac{1}{2}t^3 + 9at\)이다.
두 점이 만나므로 \(s_1(t) = s_2(t)\)라 놓으면 \(\frac{1}{18}t^4 - \frac{1}{2}t^3 + \frac{4}{3}t^2 = at\)이고 출발 후 두 점이 만나는 횟수는 \(\frac{1}{18}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{4}{3}t = a\)의 실근의 개수와 같다.
즉 함수 \(f(t) = \frac{1}{18}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{4}{3}t (t \ge 0)\)의 그래프와 직선 \(y = a\)의 교점의 개수가 2인 \(a\)값을 구한다.
즉 극값에서 직선 \(y = a\)와 교점의 개수가 2이다.
따라서 \(f'(t) = \frac{1}{6}t^2 - t + \frac{4}{3} = \frac{1}{6}(t-2)(t-4)\)이므로 \(t = 2, 4\)에서 교점이 2개이다.
\(f(2) = \frac{10}{9}\), \(f(4) = \frac{8}{9}\)이다.

곡선 \(y = -x^2+6x-9 = -(x-3)^2\) 위의 점 \((a, f(a))\) (\(0 < a < 3\))에서의 접선의 방정식은 \(f'(x) = -2x+6\) 이므로 \(y = -2(a-3)(x-a) - (a-3)^2\) 이다.
따라서 접선의 \(x\)절편은 \(\frac{a+3}{2}\) 이고 \(y\)절편은 \(a^2-9\) 이므로 접선과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times \left(\frac{a+3}{2}\right) \times (9-a^2)\) 이다.
따라서 \(y = f(x)\)의 그래프와 접선 및 \(x\)축 또는 \(y\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = -\int_0^3 f(x) dx - \text{삼각형넓이}\) 로 계산할 수 있다.
\] \begin{aligned} S &= -\int_0^3 -x^2+6x-9 dx - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} = \left[ \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x \right]_0^3 - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} \\ &= \frac{1}{4}a^3 + \frac{3}{4}a^2 - \frac{9}{4}a + \frac{9}{4} \end{aligned} \[
따라서 넓이 \(S\)의 (\(0 < a < 3\))에서의 최솟값은\] S' = \frac{3}{4}a^2 + \frac{3}{2}a - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}(a-1)(a+3) \[이므로 \(a = 1\)에서 극소값 \(S = 1\)을 가지며 이 값이 최솟값이다.