문제에서 주어진 식을 정리하면

\[ \frac{\left(3 \times 3^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}}}{3^{\sqrt{3}-1}} = \frac{3^{\sqrt{3}} \times 3^3}{3^{\sqrt{3}-1}} = 3^{\sqrt{3}+3-(\sqrt{3}-1)} = 3^4 = 81 \]

이다.

\[ \therefore\ 81 \]

\(a^2 = b^3 = c^4 = k\)라 하면 \(a = k^{\frac{1}{2}},\ b = k^{\frac{1}{3}},\ c = k^{\frac{1}{4}}\)이므로

\[ \begin{aligned} \log_a b + \log_b c + \log_c a &= \log_{k^{\frac{1}{2}}} k^{\frac{1}{3}} + \log_{k^{\frac{1}{3}}} k^{\frac{1}{4}} + \log_{k^{\frac{1}{4}}} k^{\frac{1}{2}} \\[6pt] &= \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}} + \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + 2 = \frac{41}{12} \end{aligned} \]

이다.

\[ \therefore\ \frac{41}{12} \]

\(\cos x = t\)라 하면 \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)로부터 문제에서의 방정식은 다음과 같이 \(t\)에 대한 이차방정식으로 나타낼 수 있다.

\[ \sin^2 x + 2\cos x + 2 + k = 0 \]

\[ (1-\cos^2 x) + 2\cos x + 2 + k = 0 \]

\[ \therefore\ -t^2 + 2t + 3 + k = 0 \qquad \cdots\cdots\ \text{㉠} \]

\(0 \le x \le 3\pi\)에서 방정식 \(\sin^2 x + 2\cos x + 2 + k = 0\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(3\)이기 위해서는 반드시 \(-1 \lt t \lt 1\)에서 이차방정식 ㉠의 근이 한 개만 있어야 한다.

\(g(t) = t^2 - 2t - 3 - k\)라 할 때, 함수 \(g(t)\)의 대칭축이 \(t=1\)이므로

\[ g(-1) > 0, \quad g(1) \lt 0 \qquad \cdots\cdots\ \text{㉡} \]

이면 \(-1 \lt t \lt 1\)에서 이차방정식 \(g(t) = 0\)의 근이 한 개만 있게 된다. 부등식 ㉡을 풀면

\[ g(-1) = -k > 0, \quad g(1) = -4 - k \lt 0 \]

\[ \therefore\ -4 \lt k \lt 0 \]

이므로, 문제에서의 조건을 만족시키는 모든 정수 \(k\)의 값의 합은

\[ (-3) + (-2) + (-1) = -6 \]

이다.

\[ \therefore\ -6 \]

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x) + x^2}{x + 1} = 2\)를 만족시키는 다항함수 \(f(x) + x^2\)은 최고차항의 계수가 \(2\)인 일차함수이므로

\[ f(x) = -x^2 + 2x + b \quad (\text{단, } b\text{는 상수}) \qquad \cdots\cdots\ \text{㉠} \]

또한 \(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x) - 1}{x - 3} = a\)에서 \(x \to 3\)일 때 (분모)\(\to 0\)이고 극한값이 존재하므로 (분자)\(\to 0\)이어야 한다. 즉,

\[ \lim_{x \to 3} f(x) - 1 = f(3) - 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad f(3) = 1 \]

식 ㉠에서 \(f(3) = -9 + 6 + b = -3 + b\)이므로

\[ -3 + b = 1 \quad \therefore\ b = 4 \]

따라서, 문제에서 구하고자 하는 \(a\)의 값은

\[ \begin{aligned} a &= \lim_{x \to 3} \frac{f(x) - 1}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(-x^2 + 2x + 4) - 1}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{-x^2 + 2x + 3}{x - 3} \\[6pt] &= \lim_{x \to 3} \frac{-(x - 3)(x + 1)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} -(x + 1) = -(3 + 1) = -4 \end{aligned} \]

이다.

\[ \therefore\ a = -4 \]

조건 (가)의 \(\{x \mid f(x) = 0\} = \{-a,\ a,\ 2a\}\)에서

\[ f(-a) = 0, \quad f(a) = 0, \quad f(2a) = 0 \]

이고, 함수 \(f(x)\)가 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수이므로

\[ f(x) = (x+a)(x-a)(x-2a) = x^3 - 2ax^2 - a^2 x + 2a^3 \qquad \cdots\cdots\ \text{㉠} \]

식 ㉠에서 \(f'(x) = 3x^2 - 4ax - a^2\)이므로

\[ f'(1) = -a^2 - 4a + 3 \]

이다. 조건 (나)에서 \(f'(1) = -2\)이므로

\[ -a^2 - 4a + 3 = -2 \quad \Longrightarrow \quad (a+5)(a-1) = 0 \quad \therefore\ a = -5,\ 1 \]

식 ㉠에서 \(f(0) = 2a^3\)이므로

(ⅰ) \(a = -5\)이면 \(f(0) = -250 \lt 0\)

(ⅱ) \(a = 1\)이면 \(f(0) = 2 > 0\)

이다. 조건 (나)에서 \(f(0) > 0\)이므로 \(a = 1\)이다. 따라서 정리하면

\[ f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2 \]

이므로 \(f(4) = 4^3 - 2(4^2) - 4 + 2 = 64 - 32 - 4 + 2 = 30\)이다.

\[ \therefore\ f(4) = 30 \]

함수 \(|f(x)|\)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되려면 \(x = a\)에서 연속이어야 하므로

\[ \lim_{x \to a^+} |f(x)| = \lim_{x \to a^-} |f(x)| = |f(a)| \]

이어야 한다. 즉,

\[ |a^2 - 4a + 3| = |2a - 6| \quad \therefore\ a^2 - 4a + 3 = \pm (2a - 6) \]

(ⅰ) \(a^2 - 4a + 3 = 2a - 6\)일 때,

\[ a^2 - 6a + 9 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (a - 3)^2 = 0 \quad \therefore\ a = 3 \]

(ⅱ) \(a^2 - 4a + 3 = -2a + 6\)일 때,

\[ a^2 - 2a - 3 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (a + 1)(a - 3) = 0 \quad \therefore\ a = -1,\ 3 \]

(ⅰ), (ⅱ)로부터 함수 \(|f(x)|\)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 \(a\)의 값은 \(-1,\ 3\)이므로 그 합은 \((-1) + 3 = 2\)이다.

\[ \therefore\ 2 \]

삼차함수 \(f(x)\)는 \(x = -1\)에서 연속이므로

\[ \lim_{x \to -1^-} g(x) = f(-1) - 2 \]

이다. 이로부터 문제에서의 조건을 정리하면

\[ \lim_{x \to -1^+} g(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{(x+1)^2}{f(x)+2} = f(-1) \qquad \cdots\cdots\ \text{㉠} \]

이다. \(f(-1) \neq 0\)이므로 식 ㉠에서 극한값은 \(0\)이 아니다. 그런데 \(x \to -1^+\)일 때 (분자)\(\to 0\)이므로 (분모)\(\to 0\)이어야 한다. 즉,

\[ \lim_{x \to -1^+} f(x) + 2 = 0 \quad \therefore\ f(-1) + 2 = 0 \qquad \cdots\cdots\ \text{㉡} \]

식 ㉡으로부터 삼차식 \(f(x)+2\)는 \(x+1\)을 인수로 가지므로 \(f(x)+2 = (x+1)Q(x)\) (단, \(Q(x)\)는 이차식)로 놓을 수 있고, 이를 식 ㉠에 대입하면

\[ \lim_{x \to -1^+} \frac{x+1}{Q(x)} = f(-1) = -2 \qquad \cdots\cdots\ \text{㉢} \]

이다. 식 ㉢에서 극한값이 존재하기 위해서는 \(x \to -1^+\)일 때 (분자)\(\to 0\)이므로 (분모)\(\to 0\)이어야 한다. 즉 \(\lim_{x \to -1^+} Q(x) = Q(-1) = 0\)이다.

이차식 \(Q(x)\)가 \(x+1\)을 인수로 가지고, \(f(x)\)의 최고차항의 계수가 \(1\)이므로

\[ f(x)+2 = (x+1)^2(x-a) \quad (\text{단, } a\text{는 실수}) \]

이다. 이를 식 ㉠에 대입하면

\[ \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x-a} = -2 \quad \Longrightarrow \quad -1-a = -\frac{1}{2} \quad \therefore\ a = -\frac{1}{2} \]

이다. 정리하면 함수 \(f(x) = (x+1)^2\left(x+\frac{1}{2}\right) - 2 = x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 2x - \frac{3}{2}\)이고, 미분하면

\[ f'(x) = 3x^2 + 5x + 2 = (x+1)(3x+2) \]

이므로 \(f'(x) = 0\)의 해는 \(x = -1,\ -\frac{2}{3}\)이다.

위의 그림과 같이 닫힌구간 \(\left[-2,\ -\frac{3}{4}\right]\)에서 \(f(-2) = -\frac{7}{2}\) (최솟값), \(f(-1) = -2\) (최댓값), \(f\left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{129}{64}\)이므로, 최댓값과 최솟값의 합은

\[ (-2) + \left(-\frac{7}{2}\right) = -\frac{11}{2} \]

이다.

\[ \therefore\ -\frac{11}{2} \]

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(g(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(x) = -g(-x)\)를 만족시키므로

\[ g(x) = x^3 + ax \quad (\text{단, } a\text{는 상수}) \]

로 놓을 수 있다. \(f(x) + \displaystyle\int_0^x (x-t)f'(t)\,dt = g(x)\)에서

\[ f(x) + x\int_0^x f'(t)\,dt - \int_0^x tf'(t)\,dt = x^3 + ax \qquad \cdots\cdots\ \text{㉠} \]

식 ㉠의 양변에 \(x = 0\)을 대입하면

\[ f(0) = 0 \qquad \cdots\cdots\ \text{㉡} \]

이고, 한편 식 ㉠의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면

\[ f'(x) + \int_0^x f'(t)\,dt + xf'(x) - xf'(x) = 3x^2 + a \]

\[ f'(x) + f(x) - f(0) = 3x^2 + a \]

\[ \therefore\ f'(x) + f(x) = 3x^2 + a \quad (\because\ f(0)=0) \qquad \cdots\cdots\ \text{㉢} \]

이다.

식 ㉢으로부터 \(f(x)\)는 이차함수이다. 식 ㉡을 이용하면

\[ f(x) = px^2 + qx \quad (\text{단, } p, q\text{는 상수}) \]

이고, 식 ㉢으로부터

\[ (2px + q) + (px^2 + qx) = 3x^2 + a \]

\[ px^2 + (2p + q)x + q = 3x^2 + a \]

\[ \therefore\ p = 3, \quad 2p + q = 0 \ \Longrightarrow\ q = -6, \quad a = q = -6 \]

이다. 따라서 정리하면

\[ f(x) = 3x^2 - 6x, \quad g(x) = x^3 - 6x \]

이므로

\[ f(1) + g(1) = (-3) + (-5) = -8 \]

이다.

\[ \therefore\ -8 \]

\(\log_a x = t\)라 하면

\[ f(x) = \left| (\log_a x)^2 - 5\log_a x + 5 \right| = |t^2 - 5t + 5| \]

이다. 이때 \(g(t) = t^2 - 5t + 5\)라 하자. 방정식 \(g(t) = 0\)의 근을 \(\alpha,\ \beta\)라 하면, 함수 \(y = |g(t)|\)의 그래프는 다음 그림과 같다.

두 방정식

\[ \begin{aligned} g(t) = t^2 - 5t + 5 = 1 &\quad \therefore\ t = 1,\ 4 \\ g(t) = t^2 - 5t + 5 = -1 &\quad \therefore\ t = 2,\ 3 \end{aligned} \]

의 근으로부터 다음 그림과 같이 나타낼 수 있고, 부등식 \(|g(t)| \ge 1\)을 풀면

\[ t \le 1, \quad 2 \le t \le 3, \quad t \ge 4 \qquad \cdots\cdots\ \text{㉠} \]

이다.

한편, \(a > 1\)이므로 \(2 \le x \le 4\)일 때

\[ \log_a 2 \le t \le \log_a 4 \qquad \cdots\cdots\ \text{㉡} \]

이다.

부등식 ㉡을 만족시키는 \(t\)가 항상 부등식 ㉠을 만족시키기 위해서는 다음 세 가지 중에 한 가지가 성립되어야 한다.

(ⅰ) \(\log_a 4 \le 1\), 즉 \(a \ge 4\)

(ⅱ) \(2 \le \log_a 2\)이고 \(\log_a 4 \le 3\), 즉 \(a \le \sqrt{2}\)이고 \(a \ge \sqrt[3]{4}\)
(이 경우, \(\sqrt{2} \lt \sqrt[3]{4}\)이므로 만족시키는 \(a\)가 없다.)

(ⅲ) \(4 \le \log_a 2\), 즉 \(a \le \sqrt[4]{2}\)
(이 경우, \(\sqrt[4]{2} \lt 2\)이므로 만족시키는 \(1\)보다 큰 자연수 \(a\)가 없다.)

위의 결과 (ⅰ)~(ⅲ)으로부터 문제에서의 수열 \(\{a_n\}\)은

\[ a_n = 3 + n \]

이고, 따라서 문제에서 구하고자 하는 값은

\[ \sum_{n=1}^5 a_n = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30 \]

이다.

\[ \therefore\ \sum_{n=1}^5 a_n = 30 \]

(1) \(f(x) = x Q(x)\)라 할 때, \(Q(2) + Q(6)\)의 값을 구하시오. (8점)

[풀이] \(f(0) = 0\)이고 \(f(x)\)는 삼차함수이므로

\[ f(x) = x Q(x) \quad (\text{단, } Q(x)\text{는 이차식}) \qquad \cdots\cdots\ \text{㉠} \]

이다. 한편, \(g(x) = \displaystyle\int_0^x (|f(t)| - |t|)\,dt\)이므로

\[ g'(x) = |f(x)| - |x| = |x Q(x)| - |x| = |x|(|Q(x)| - 1) \]

이다. 조건 (가)로부터 함수 \(g(x)\)는 \(x=2,\ x=6\)에서 극값을 가지므로 \(g'(2) = 0, \ g'(6) = 0\)이고, 따라서

\[ |Q(2)| = 1, \quad |Q(6)| = 1 \]

이다.

조건 (나)에서 \(f(2) \lt 0\)을 이용하면 \(f(2) = 2Q(2) \lt 0\)이므로

\[ Q(2) \lt 0 \quad \Longrightarrow \quad Q(2) = -1 \qquad \cdots\cdots\ \text{㉡} \]

이다. 또한, 조건 (나)에서 \(f(6) > 0\)을 이용하면 \(f(6) = 6Q(6) > 0\)이므로

\[ Q(6) > 0 \quad \Longrightarrow \quad Q(6) = 1 \qquad \cdots\cdots\ \text{㉢} \]

이다. ㉡과 ㉢으로부터

\[ Q(2) + Q(6) = (-1) + 1 = 0 \]

이다.

\[ \therefore\ Q(2) + Q(6) = 0 \]

(2) 함수 \(f(x)\)가 \(x = \alpha\)와 \(x = \beta\)에서 극값을 가질 때, \(\alpha + \beta\)의 값을 구하시오. (8점)

[풀이] 식 ㉠으로부터

\[ f'(x) = Q(x) + x Q'(x) \]

이므로 \(f'(0) = Q(0)\)이다. 조건 (다)에서 \(f'(0) = 1\)이므로

\[ Q(0) = 1 \qquad \cdots\cdots\ \text{㉣} \]

이다. 따라서 ㉡, ㉢, ㉣을 만족시키는 이차함수 \(Q(x) = Ax^2 + Bx + C\)를 구하면

\[ Q(0) = C = 1 \]

\[ Q(2) = 4A + 2B + 1 = -1 \quad \Longrightarrow \quad 2A + B = -1 \]

\[ Q(6) = 36A + 6B + 1 = 1 \quad \Longrightarrow \quad 6A + B = 0 \]

연립하면 \(4A = 1 \ \Longrightarrow\ A = \frac{1}{4}, \ B = -\frac{3}{2}\)이므로

\[ Q(x) = \frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + 1 \]

이고, 식 ㉠으로부터

\[ f(x) = \frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x \]

이다. 함수 \(f(x)\)가 극값을 갖는 \(\alpha,\ \beta\)는

\[ f'(x) = \frac{3}{4}x^2 - 3x + 1 = 0 \]

의 두 근이므로, 근과 계수의 관계에 의하여

\[ \alpha + \beta = -\frac{-3}{\frac{3}{4}} = 4 \]

이다.

\[ \therefore\ (1)\ 0 \qquad (2)\ 4 \]

함수 \(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}+1\)은 정의역 \(\{x \mid 0\le x\le 2\}\)에서 감소하므로 \(x=0\)에서 최댓값, \(x=2\)에서 최솟값을 갖는다. 따라서

\[ M=f(0)=2,\quad m=f(2)=\frac{5}{4} \qquad \cdots\cdots\ \text{㉠} \]

이다. 한편 \(a>1\)이므로 함수 \(g(x)\)도 정의역 \(\{x \mid 0\le x\le 1\}\)에서 감소하고, 따라서 \(x=0\)에서 최댓값, \(x=1\)에서 최솟값을 갖는다. 즉

\[ -m=g(0)=-1+b,\quad -M=g(1)=-a+b \qquad \cdots\cdots\ \text{㉡} \]

이다. ㉠, ㉡으로부터 \(a=\frac{7}{4},\ b=-\frac{1}{4}\)이므로

\[ a+b=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \]

이다.

\[ \therefore\ a+b=\frac{3}{2} \]

\(f^{-1}(3)=a\)로 놓으면 역함수의 성질에 따라 \(f(a)=3\)이므로

\[ f(a)=\log_{5}\left(10a^{2}+35\right)=3 \]

이다. 로그의 정의에 의해 \(10a^{2}+35=5^{3}=125\)이고, 따라서

\[ a^{2}=9 \qquad \therefore\ a=3 \quad (\because\ x>0) \]

이다. \(f^{-1}(3)=3\)이므로

\[ \left(f^{-1}\circ f^{-1}\right)(3)=f^{-1}\left(f^{-1}(3)\right)=f^{-1}(3)=3 \]

이다.

\[ \therefore\ \left(f^{-1}\circ f^{-1}\right)(3)=3 \]

부등식 \(f\left(\frac{x-3}{5}\right)\le\frac{1}{5}x^{2}\)에서 \(\frac{x-3}{5}=t\)로 놓으면 \(x=5t+3\)이고, \(x>0\)일 때 \(t>-\frac{3}{5}\)이므로

\[ f(t)\le\frac{1}{5}(5t+3)^{2}\quad\left(t>-\frac{3}{5}\right) \qquad\cdots\cdots\ \text{㉠} \]

이다. 한편 부등식 \(\frac{1}{5}x^{2}\le f\left(\frac{x-1}{5}\right)\)에서 \(\frac{x-1}{5}=s\)로 놓으면 \(x=5s+1\)이고, \(x>0\)일 때 \(s>-\frac{1}{5}\)이므로

\[ \frac{1}{5}(5s+1)^{2}\le f(s)\quad\left(s>-\frac{1}{5}\right) \qquad\cdots\cdots\ \text{㉡} \]

이다. ㉠, ㉡으로부터 \(x>-\frac{1}{5}\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여

\[ \frac{1}{5}(5x+1)^{2}\le f(x)\le\frac{1}{5}(5x+3)^{2} \]

이고 각 변을 \(7x^{2}+4\)로 나누면

\[ \frac{(5x+1)^{2}}{5(7x^{2}+4)}\le\frac{f(x)}{7x^{2}+4}\le\frac{(5x+3)^{2}}{5(7x^{2}+4)} \]

이다. \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{(5x+1)^{2}}{5(7x^{2}+4)}=\frac{5}{7},\ \lim_{x\to\infty}\frac{(5x+3)^{2}}{5(7x^{2}+4)}=\frac{5}{7}\)이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의해

\[ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{7x^{2}+4}=\frac{5}{7} \]

이다.

\[ \therefore\ \frac{5}{7} \]

곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((2,\ f(2))\)에서의 접선의 방정식이 \(y=-3x+9\)이므로

\[ f(2)=3,\quad f'(2)=-3 \]

이다. 한편 \(g(x)=\frac{1}{8}x^{3}f(x)\)에서

\[ g'(x)=\frac{3}{8}x^{2}f(x)+\frac{1}{8}x^{3}f'(x) \]

이므로

\[ \begin{aligned} g(2)&=\frac{1}{8}\times 8\times f(2)=3,\\ g'(2)&=\frac{3}{8}\times 4\times f(2)+\frac{1}{8}\times 8\times f'(2)=\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2} \end{aligned} \]

이다. 따라서 곡선 \(y=g(x)\) 위의 점 \((2,\ g(2))\)를 지나고 이 점에서의 접선에 수직인 직선 \(m\)의 방정식은

\[ y=-\frac{2}{3}(x-2)+3=-\frac{2}{3}x+\frac{13}{3} \]

이다. 직선 \(l\)의 방정식 \(y=-3x+9\)와 직선 \(m\)의 방정식 \(y=-\frac{2}{3}x+\frac{13}{3}\)으로부터 직선 \(l\)의 \(x\)절편은 \(3\), 직선 \(m\)의 \(x\)절편은 \(\frac{13}{2}\), 두 직선 \(l,\ m\)의 교점의 좌표는 \((2,\ 3)\)이므로 두 직선 \(l,\ m\)과 \(x\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는

\[ \frac{1}{2}\times\left(\frac{13}{2}-3\right)\times 3=\frac{21}{4} \]

이다.

\[ \therefore\ \frac{21}{4} \]

\(\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta\)이므로

\[ \begin{aligned} f(x)&=(x-\sin\theta)^{2}+\cos^{2}\theta-\sin\theta+1-\sin^{2}\theta\\ &=(x-\sin\theta)^{2}-2\sin^{2}\theta-\sin\theta+2 \end{aligned} \]

이다.

① 만약 \(\sin\theta\ge 0\)이라면, \(x\ge 0\)일 때 함수 \(f(x)\)의 최솟값은 \(f(\sin\theta)=-2\sin^{2}\theta-\sin\theta+2\)이므로

\[ -2\sin^{2}\theta-\sin\theta+2=1 \qquad \therefore\ \sin\theta=\frac{1}{2}\quad(\because\ \sin\theta\ge 0) \]

그러므로 실수 \(\theta\ (0\le\theta\lt 2\pi)\)는 \(\theta=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}\)이다.

② 만약 \(\sin\theta\lt 0\)이라면, \(x\ge 0\)일 때 함수 \(f(x)\)의 최솟값은 \(f(0)=-\sin^{2}\theta-\sin\theta+2\)이므로

\[ -\sin^{2}\theta-\sin\theta+2=1 \qquad \therefore\ \sin\theta=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} \]

그러나 \(-1\le\sin\theta\lt 0\)이어야 하므로 조건을 만족시키는 실수 \(\theta\ (0\le\theta\lt 2\pi)\)는 존재하지 않는다.

따라서 ①, ②로부터 모든 실수 \(\theta\)의 값의 합은

\[ \frac{\pi}{6}+\frac{5\pi}{6}=\pi \]

이다.

\[ \therefore\ \pi \]

\(f(x)\)는 실수 전체의 집합에서 연속이고 조건 (가)에서 \(f(a)\ne 0\)이므로 함수 \(g(x)\)는 \(x=\pm a\)에서만 연속이 아니다. 따라서 조건 (나)로부터 함수 \(f(x-a)g(x)\)는 \(x=a,\ x=-a\)에서 연속이고 함수 \(f(x)g(x-a)\)는 \(x=2a,\ x=0\)에서 연속이어야 한다. 그러므로

\[ \begin{aligned} &\lim_{x\to a+}f(x-a)g(x)=\lim_{x\to a-}f(x-a)g(x)=f(0)g(a) &&\cdots\ \text{㉠}\\ &\lim_{x\to -a+}f(x-a)g(x)=\lim_{x\to -a-}f(x-a)g(x)=f(-2a)g(-a) &&\cdots\ \text{㉡}\\ &\lim_{x\to 2a+}f(x)g(x-a)=\lim_{x\to 2a-}f(x)g(x-a)=f(2a)g(a) &&\cdots\ \text{㉢}\\ &\lim_{x\to 0+}f(x)g(x-a)=\lim_{x\to 0-}f(x)g(x-a)=f(0)g(-a) &&\cdots\ \text{㉣} \end{aligned} \]

이다.

㉠에서

\[ \begin{aligned} \text{㉠}:\quad & f(0)(-f(a))=f(0)(2f(a))\\ & 3f(0)f(a)=0\\ & \therefore\ f(0)=0\quad(\because\ f(a)\ne 0) \end{aligned} \]

마찬가지로,

\[ \begin{aligned} \text{㉡}:\quad & f(-2a)(2f(a))=f(-2a)(-f(a))\\ & 3f(-2a)f(a)=0\\ & \therefore\ f(-2a)=0\quad(\because\ f(a)\ne 0)\\[4pt] \text{㉢}:\quad & f(2a)(-f(a))=f(2a)(2f(a))\\ & 3f(2a)f(a)=0\\ & \therefore\ f(2a)=0\quad(\because\ f(a)\ne 0)\\[4pt] \text{㉣}:\quad & f(0)(2f(a))=f(0)(-f(a))\\ & 3f(0)f(a)=0\\ & \therefore\ f(0)=0\quad(\because\ f(a)\ne 0) \end{aligned} \]

이다. \(f(0)=0,\ f(2a)=0,\ f(-2a)=0\)을 만족시키는 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)는

\[ f(x)=x(x-2a)(x+2a) \]

이다. 따라서 조건 (가)에 의해

\[ f(a)=a(-a)(3a)=-3a^{3}=-\frac{81}{8},\qquad a^{3}=\frac{27}{8} \qquad \therefore\ a=\frac{3}{2} \]

\[ \therefore\ a=\frac{3}{2} \]

조건 (가)에서 \(f(1)=0\)이므로

\[ f(x)=(x-1)(x^{2}+ax+b)\quad(\text{단, } a,\ b\text{는 상수}) \qquad\cdots\cdots\ \text{㉠} \]

이다. 조건 (나)와 ㉠으로부터 모든 실수 \(x\)에 대하여

\[ (x-3)(x-1)(x^{2}+ax+b)\ge 0 \]

이어야 하므로

\[ x^{2}+ax+b=(x-3)(x-1) \]

이다. 따라서 \(f(x)=(x-1)^{2}(x-3)=x^{3}-5x^{2}+7x-3\)이고, 이를 미분하면

\[ f'(x)=3x^{2}-10x+7 \]

이다.

주어진 방정식 \(f(x)-(x-1)f'(k)=0\)은

\[ (x-1)\left(x^{2}-4x+3-f'(k)\right)=0 \]

이므로 서로 다른 실근의 개수가 \(2\)가 되는 경우는 다음 두 가지뿐이다.

① 방정식 \(x^{2}-4x+3-f'(k)=0\)이 \(1\)이 아닌 중근을 갖는 경우:
이차방정식 \(x^{2}-4x+3-f'(k)=0\)이 중근을 갖기 위해서는 \(f'(k)=-1\)이어야 하므로

\[ f'(k)+1=(3k-4)(k-2)=0 \qquad \therefore\ k=\frac{4}{3},\ 2 \]

이때 방정식 \(x^{2}-4x+3-f'(k)=0\)의 중근은 \(x=2\)이므로 \(1\)이 아닌 중근을 갖는다.

② 방정식 \(x^{2}-4x+3-f'(k)=0\)의 한 근이 \(1\)인 경우:
이차방정식 \(x^{2}-4x+3-f'(k)=0\)의 한 근이 \(1\)이기 위해서는 \(f'(k)=0\)이어야 하므로

\[ f'(k)=(3k-7)(k-1)=0 \qquad \therefore\ k=\frac{7}{3},\ 1 \]

이때 방정식 \(x^{2}-4x+3-f'(k)=0\)의 근은 \(x=1,\ 3\)이다.

따라서 ①, ②로부터 모든 실수 \(k\)의 값의 합은

\[ \frac{4}{3}+2+\frac{7}{3}+1=\frac{20}{3} \]

이다.

\[ \therefore\ \frac{20}{3} \]

점 \(\mathrm{P}\)는 점 \(\mathrm{A}(3)\)에서 출발하고 수직선 위를 움직이는 속도가 \(v_{1}(t)=3t^{2}+4t-20\)이므로 시각 \(t\)에서의 위치를 \(s_{1}(t)\)라 하면

\[ s_{1}(t)=3+\int_{0}^{t}(3s^{2}+4s-20)\,ds=t^{3}+2t^{2}-20t+3 \qquad\cdots\cdots\ \text{㉠} \]

이다. 또한 점 \(\mathrm{Q}\)는 \(\mathrm{B}(20)\)에서 출발하고 수직선 위를 움직이는 속도가 \(v_{2}(t)=2t+9\)이므로 시각 \(t\)에서의 위치를 \(s_{2}(t)\)라 하면

\[ s_{2}(t)=20+\int_{0}^{t}(2s+9)\,ds=t^{2}+9t+20 \qquad\cdots\cdots\ \text{㉡} \]

이다. 이때 두 점 \(\mathrm{P},\ \mathrm{Q}\) 사이의 거리가 \(12\)가 되는 시각은 \(\left|s_{1}(t)-s_{2}(t)\right|=12\)를 만족시켜야 한다. ㉠, ㉡에서

\[ \left|t^{3}+t^{2}-29t-17\right|=12 \]

\[ \therefore\ t^{3}+t^{2}-29t-17=12\ \ \text{또는}\ \ t^{3}+t^{2}-29t-17=-12 \]

① \(t^{3}+t^{2}-29t-17=12\)일 때

\[ \begin{aligned} & t^{3}+t^{2}-29t-29=0\\ & (t+1)\left(t+\sqrt{29}\right)\left(t-\sqrt{29}\right)=0\\ & \therefore\ t=\sqrt{29}\quad(\because\ t\ge 0) \end{aligned} \]

② \(t^{3}+t^{2}-29t-17=-12\)일 때

\[ \begin{aligned} & t^{3}+t^{2}-29t-5=0\\ & (t-5)\left(t^{2}+6t+1\right)=0\\ & \therefore\ t=5\quad(\because\ t\ge 0) \end{aligned} \]

따라서 ①, ②로부터 두 점 \(\mathrm{P},\ \mathrm{Q}\) 사이의 거리가 처음으로 \(12\)가 되는 시각은 \(t=5\)이다. 한편

\[ v_{1}(t)=3t^{2}+4t-20=(3t+10)(t-2) \]

이므로 \(0\le t\lt 2\)일 때 \(v_{1}(t)\lt 0\)이고, \(t\ge 2\)일 때 \(v_{1}(t)\ge 0\)이다. 그러므로 두 점 \(\mathrm{P},\ \mathrm{Q}\) 사이의 거리가 처음으로 \(12\)가 될 때까지 점 \(\mathrm{P}\)가 움직인 거리, 즉 점 \(\mathrm{P}\)가 시각 \(t=0\)에서 \(t=5\)까지 움직인 거리는

\[ \begin{aligned} \int_{0}^{5}\left|v_{1}(t)\right|dt &= -\int_{0}^{2}v_{1}(t)\,dt+\int_{2}^{5}v_{1}(t)\,dt\\ &= -\int_{0}^{2}\left(3t^{2}+4t-20\right)dt+\int_{2}^{5}\left(3t^{2}+4t-20\right)dt\\ &= -\Big[t^{3}+2t^{2}-20t\Big]_{0}^{2}+\Big[t^{3}+2t^{2}-20t\Big]_{2}^{5}\\ &= 123 \end{aligned} \]

이다.

\[ \therefore\ 123 \]

(1) \(a=\frac{1}{2},\ b=1\)일 때, \(M\)과 \(m\)의 값을 각각 구하시오. (8점)

[풀이] \(x-\frac{\pi}{6}=\theta\ \left(-\frac{\pi}{6}\le\theta\le\frac{\pi}{6}\right)\)로 놓으면

\[ \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\theta,\qquad \cos^{2}\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1-\sin^{2}\theta \]

이므로

\[ f(x)=-\sin^{2}\theta-a\sin\theta+b+1 \]

이다. 이때 \(\sin\theta=t\ \left(-\frac{1}{2}\le t\le\frac{1}{2}\right)\)로 놓으면

\[ f(x)=-t^{2}-at+b+1=-\left(t+\frac{a}{2}\right)^{2}+\frac{a^{2}}{4}+b+1 \qquad\cdots\cdots\ \text{㉠} \]

이므로, \(a=\frac{1}{2},\ b=1\)일 때

\[ f(x)=-t^{2}-\frac{1}{2}t+2=-\left(t+\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{33}{16} \]

이다. 따라서 함수 \(f(x)\)의 최댓값은 \(t=-\frac{1}{4}\)일 때 \(M=\frac{33}{16}\)이고, 최솟값은 \(t=\frac{1}{2}\)일 때 \(m=\frac{3}{2}\)이다.

(2) \(M=5,\ m=-3\)을 만족시키는 순서쌍 \((a,\ b)\)를 모두 구하시오. (8점)

[풀이] ㉠으로부터 함수 \(g(t)\)를

\[ g(t)=-\left(t+\frac{a}{2}\right)^{2}+\frac{a^{2}}{4}+b+1 \]

라 하자. 함수 \(g(t)\)의 대칭축 \(t=-\frac{a}{2}\)를 기준으로 다음과 같이 경우를 네 가지로 나누어 생각해 보자.

① \(-\frac{a}{2}\le-\frac{1}{2}\) (즉, \(a\ge 1\))일 때,
함수 \(g(t)\)의 최댓값은 \(M=g\left(-\frac{1}{2}\right)\)이고, 최솟값은 \(m=g\left(\frac{1}{2}\right)\)이므로

\[ \frac{a}{2}+b+\frac{3}{4}=5,\qquad -\frac{a}{2}+b+\frac{3}{4}=-3 \]

이다. 이를 연립하면 \(a=8,\ b=\frac{1}{4}\)이다.

② \(-\frac{1}{2}\lt -\frac{a}{2}\le 0\) (즉, \(0\le a\lt 1\))일 때,
함수 \(g(t)\)의 최댓값은 \(M=g\left(-\frac{a}{2}\right)\)이고, 최솟값은 \(m=g\left(\frac{1}{2}\right)\)이므로

\[ \frac{a^{2}}{4}+b+1=5,\qquad -\frac{a}{2}+b+\frac{3}{4}=-3 \qquad\cdots\cdots\ \text{㉡} \]

이다. ㉡에서 \(b\)를 소거하면

\[ a^{2}+2a-31=0 \qquad \therefore\ a=-1\pm 4\sqrt{2} \]

그러나 이는 조건 \(0\le a\lt 1\)을 만족시키지 못한다.

③ \(0\lt -\frac{a}{2}\lt \frac{1}{2}\) (즉, \(-1\lt a\lt 0\))일 때,
함수 \(g(t)\)의 최댓값은 \(M=g\left(-\frac{a}{2}\right)\)이고, 최솟값은 \(m=g\left(-\frac{1}{2}\right)\)이므로

\[ \frac{a^{2}}{4}+b+1=5,\qquad \frac{a}{2}+b+\frac{3}{4}=-3 \qquad\cdots\cdots\ \text{㉢} \]

이다. ㉢에서 \(b\)를 소거하면

\[ a^{2}-2a-31=0 \qquad \therefore\ a=1\pm 4\sqrt{2} \]

그러나 이는 조건 \(-1\lt a\lt 0\)을 만족시키지 못한다.

④ \(-\frac{a}{2}\ge\frac{1}{2}\) (즉, \(a\le -1\))일 때,
함수 \(g(t)\)의 최댓값은 \(M=g\left(\frac{1}{2}\right)\)이고, 최솟값은 \(m=g\left(-\frac{1}{2}\right)\)이므로

\[ -\frac{a}{2}+b+\frac{3}{4}=5,\qquad \frac{a}{2}+b+\frac{3}{4}=-3 \]

이다. 이를 연립하면 \(a=-8,\ b=\frac{1}{4}\)이다.

따라서 ①, ②, ③, ④에 의해 순서쌍 \((a,\ b)\)는

\[ \left(8,\ \frac{1}{4}\right),\quad \left(-8,\ \frac{1}{4}\right) \]

이다.

\[ \therefore\ (1)\ M=\frac{33}{16},\ m=\frac{3}{2}\qquad (2)\ \left(8,\ \frac{1}{4}\right),\ \left(-8,\ \frac{1}{4}\right) \]

(1) \(a_{3}+b_{3}\)의 값이 자연수가 되도록 하는 실수 \(t\)의 개수를 구하시오. (8점)

[풀이]

\(n=3\)인 경우에 대하여 \(f'(x)=2x-6\)이므로 접선 \(l_{3}\)의 방정식은

\[ y=(2t-6)(x-t)+f(t) \]

이다. 따라서

\[ \begin{aligned} a_{3}&=\int_{0}^{t}\Big[f(x)-\{(2t-6)(x-t)+f(t)\}\Big]dx\\ &=\left[\frac{x^{3}}{3}-3x^{2}+9x-(2t-6)\left(\frac{1}{2}x^{2}-tx\right)-(t^{2}-6t+9)x\right]_{0}^{t}\\ &=\frac{1}{3}t^{3} \end{aligned} \]

이다.

한편, 접선 \(l_{3}\)의 \(x\)절편과 \(y\)절편은

\[ \begin{aligned} &x\text{절편}:\ (2t-6)(x-t)+f(t)=0 \qquad \therefore\ x=\frac{t+3}{2}\\ &y\text{절편}:\ y=(2t-6)(-t)+f(t) \qquad \therefore\ y=9-t^{2} \end{aligned} \]

이므로

\[ b_{3}=\frac{1}{2}\times\left(9-t^{2}\right)\times\left(\frac{t+3}{2}\right) \]

이다. \(g(t)=a_{3}+b_{3}\)로 놓으면

\[ g(t)=\frac{1}{12}t^{3}-\frac{3}{4}t^{2}+\frac{9}{4}t+\frac{27}{4} \]

이므로

\[ g'(t)=\frac{1}{4}t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}(t-3)^{2} \]

이다. 따라서 \(0\lt t\lt 3\)인 실수 \(t\)에 대하여 \(g'(t)>0\)이므로 함수 \(g(t)\)는 증가한다. \(g(0)=\frac{27}{4}\)이고 \(g(3)=\frac{27}{3}=9\)이므로 \(0\lt t\lt 3\)에서 자연수가 되는 \(g(t)\)의 값은 \(7,\ 8\)이다. 따라서 \(a_{3}+b_{3}\)의 값이 자연수가 되도록 하는 실수 \(t\)의 개수는 \(2\)이다.

(2) \(a_{n}+b_{n}\)의 값이 자연수가 되도록 하는 실수 \(t\)의 개수를 \(c_{n}\)이라 할 때, \(c_{5}+c_{6}+c_{7}\)의 값을 구하시오. (8점)

[풀이] 문항 (1)번과 동일한 과정을 거치면 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n}\)과 \(b_{n}\)을 다음과 같이 구할 수 있다. \(f'(x)=2x-2n\)이므로 접선 \(l_{n}\)의 방정식은

\[ y=(2t-2n)(x-t)+f(t) \]

이다. 따라서

\[ \begin{aligned} a_{n}&=\int_{0}^{t}\Big[f(x)-\{(2t-2n)(x-t)+f(t)\}\Big]dx\\ &=\left[\frac{x^{3}}{3}-nx^{2}+n^{2}x-(2t-2n)\left(\frac{1}{2}x^{2}-tx\right)-(t^{2}-2nt+n^{2})x\right]_{0}^{t}\\ &=\frac{1}{3}t^{3} \end{aligned} \]

이다. 한편, 접선 \(l_{n}\)의 \(x\)절편과 \(y\)절편은

\[ \begin{aligned} &x\text{절편}:\ (2t-2n)(x-t)+f(t)=0 \qquad \therefore\ x=\frac{t+n}{2}\\ &y\text{절편}:\ y=(2t-2n)(-t)+f(t) \qquad \therefore\ y=n^{2}-t^{2} \end{aligned} \]

이므로

\[ b_{n}=\frac{1}{2}\times\left(n^{2}-t^{2}\right)\times\left(\frac{t+n}{2}\right) \]

이다.

\(g_{n}(t)=a_{n}+b_{n}\)으로 놓으면

\[ g_{n}(t)=\frac{1}{12}t^{3}-\frac{n}{4}t^{2}+\frac{n^{2}}{4}t+\frac{n^{3}}{4} \]

이므로

\[ g_{n}'(t)=\frac{1}{4}t^{2}-\frac{n}{2}t+\frac{n^{2}}{4}=\frac{1}{4}(t-n)^{2} \]

이다. 따라서 \(0\lt t\lt n\)인 실수 \(t\)에 대하여 \(g_{n}'(t)>0\)이므로 함수 \(g_{n}(t)\)는 증가한다.

① \(n=5\)일 때, \(g_{5}(0)=\frac{125}{4}\)이고 \(g_{5}(5)=\frac{125}{3}\)이므로 \(0\lt t\lt 5\)에서 자연수가 되는 \(g_{5}(t)\)의 값은 \(32,\ 33,\ 34,\ \cdots,\ 41\)이다. 그러므로 \(c_{5}=10\)이다.

② \(n=6\)일 때, \(g_{6}(0)=\frac{216}{4}=54\)이고 \(g_{6}(6)=\frac{216}{3}=72\)이므로 \(0\lt t\lt 6\)에서 자연수가 되는 \(g_{6}(t)\)의 값은 \(55,\ 56,\ 57,\ \cdots,\ 71\)이다. 그러므로 \(c_{6}=17\)이다.

③ \(n=7\)일 때, \(g_{7}(0)=\frac{343}{4}\)이고 \(g_{7}(7)=\frac{343}{3}\)이므로 \(0\lt t\lt 7\)에서 자연수가 되는 \(g_{7}(t)\)의 값은 \(86,\ 87,\ 88,\ \cdots,\ 114\)이다. 그러므로 \(c_{7}=29\)이다.

따라서 ①, ②, ③으로부터

\[ c_{5}+c_{6}+c_{7}=10+17+29=56 \]

이다.

\[ \therefore\ (1)\ 2\qquad (2)\ c_{5}+c_{6}+c_{7}=56 \]

\(a^2 = 5\)에서 \(a = 5^{\frac{1}{2}}\), \(b^4 = 7\)에서 \(b = 7^{\frac{1}{4}}\), \(c^9 = 13\)에서 \(c = 13^{\frac{1}{9}}\)이므로

\[ (abc)^n = 5^{\frac{n}{2}} \times 7^{\frac{n}{4}} \times 13^{\frac{n}{9}} \]

이다.

\((abc)^n\)이 자연수가 되기 위해서는 자연수 \(n\)이 \(2\), \(4\), \(9\)의 공배수여야 한다.

따라서 \(n\)의 최솟값은 \(2\), \(4\), \(9\)의 최소공배수인 \(36\)이다.

\[ \therefore\ 36 \]

두 직선 \(y=(\log_3 2)x\), \(y=(\log_4 a)x\)가 서로 수직이므로 기울기의 곱이 \(-1\)이다. 즉,

\[ \log_3 2 \times \log_4 a = -1 \]

\[ \log_3 2 \times \frac{\log_3 a}{\log_3 4} = -1 \]

\[ \log_3 2 \times \frac{\log_3 a}{2\log_3 2} = -1 \]

\[ \log_3 a = -2 \]

\[ a = 3^{-2} = \frac{1}{9} \]

이다.

\[ \therefore\ a = \frac{1}{9} \]

함수 \(f(x)\)는 \(x=2\)에서 연속이므로 \(f(2) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x)\)가 성립한다. 따라서

\[ 2a + b = 2^3 = 8 \quad \Longrightarrow \quad b = 8 - 2a \qquad \cdots\cdots\ \text{㉠} \]

이다. \(x=2\)에서 미분계수가 존재하므로

\[ \lim_{x \to 2^-} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} \]

이고, \(\lim_{x \to 2^-} \frac{(ax+b)-8}{x-2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{x^3-8}{x-2}\)에 ㉠을 대입하면

\[ \lim_{x \to 2^-} \frac{ax-2a}{x-2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{a(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2} \]

\[ a = \lim_{x \to 2^+} (x^2+2x+4) = 4 + 4 + 4 = 12 \]

이다. 이 값을 ㉠에 대입하면

\[ b = 8 - 2(12) = -16 \]

을 얻는다. 따라서

\[ a - b = 12 - (-16) = 28 \]

이다.

\[ \therefore\ 28 \]

함수 \(f(x) = 4 + a\tan\left(\frac{3}{2}x\right)\)의 그래프의 주기는 \(\frac{\pi}{3/2} = \frac{2\pi}{3}\)이다.

함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \(\left[b, \ \frac{2\pi}{9}\right]\)에서 최댓값과 최솟값을 가지므로

\[ -\frac{\pi}{3} \lt b \lt \frac{2\pi}{9} \]

이다. 한편, \(a>0\)이므로 함수 \(f(x)\)의 그래프는 닫힌구간 \(\left[b, \ \frac{2\pi}{9}\right]\)에서 증가한다.

따라서 함수 \(f(x)\)는 \(x=\frac{2\pi}{9}\)일 때 최댓값 \(7\)을 갖고, \(x=b\)일 때 최솟값 \(1\)을 갖는다.

\[ f\left(\frac{2\pi}{9}\right) = 4 + a\tan\frac{\pi}{3} = 4 + \sqrt{3}a = 7 \quad \Longrightarrow \quad a = \sqrt{3} \]

이므로 \(f(x) = 4 + \sqrt{3}\tan\left(\frac{3}{2}x\right)\)이다.

\[ f(b) = 4 + \sqrt{3}\tan\frac{3b}{2} = 1 \quad \Longrightarrow \quad \tan\frac{3b}{2} = -\sqrt{3} \qquad \cdots\cdots\ \text{㉠} \]

이 성립한다. 이때 \(-\frac{\pi}{3} \lt b \lt \frac{2\pi}{9}\)이므로

\[ -\frac{\pi}{2} \lt \frac{3b}{2} \lt \frac{\pi}{3} \qquad \cdots\cdots\ \text{㉡} \]

이다. ㉠, ㉡으로부터 \(\frac{3b}{2} = -\frac{\pi}{3}\)이므로 \(b = -\frac{2\pi}{9}\)이다.

\[ \therefore\ a = \sqrt{3}, \quad b = -\frac{2\pi}{9} \]

\(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)라 하자.

조건 (가)로부터 \(x \to 0\)일 때 (분모)\(\to 0\)이므로 (분자)\(\to 0\)이어야 한다. 즉 \(f(0)=0\)이므로 \(d=0\)이다.

그러므로 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = f'(0)\)이고, 따라서

\[ f'(0) = -12 \qquad \cdots\cdots\ \text{㉠} \]

이다. \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\)이므로 조건 (나)로부터 점 \((2, 0)\)에서 \(x\)축에 접하므로

\[ 3ax^2 + 2bx + c = 3a(x-2)^2 \qquad \cdots\cdots\ \text{㉡} \]

이다. ㉠으로부터 \(x=0\)을 대입하면 \(3a(0-2)^2 = 12a = -12 \ \Longrightarrow\ a = -1\)이다.

㉡으로부터 \(3a(x-2)^2 = -3(x^2 - 4x + 4) = -3x^2 + 12x - 12\)이므로

\[ 2b = 12 \ \Longrightarrow\ b = 6, \quad c = -12 \]

이다. 그러므로 \(f(x) = -x^3 + 6x^2 - 12x\)이고,

\[ f(2) = -(2)^3 + 6(2)^2 - 12(2) = -8 + 24 - 24 = -8 \]

이다.

\[ \therefore\ f(2) = -8 \]

주어진 식

\[ \int_0^x (2t^4 + at^2 + bt)\,dt = \int_0^x (2t + f(t))\,dt + x^3 + a \qquad \cdots\cdots\ \text{㉠} \]

의 양변에 \(x=0\)을 대입하면

\[ \int_0^0 (2t^4 + at^2 + bt)\,dt = \int_0^0 (2t + f(t))\,dt + 0^3 + a \]

이므로 \(a=0\)이다. ㉠의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면

\[ 2x^4 + bx = 2x + f(x) + 3x^2 \]

이므로

\[ f(x) = 2x^4 - 3x^2 + (b-2)x \]

이다. \(f(1) = 2 - 3 + (b-2) = -2\)이므로 \(b-3 = -2 \ \Longrightarrow\ b=1\)이고,

\[ f(x) = 2x^4 - 3x^2 - x \]

이다. 따라서

\[ \int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^1 (2x^4 - 3x^2 - x)\,dx = \left[ \frac{2}{5}x^5 - x^3 - \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1 = \frac{2}{5} - 1 - \frac{1}{2} = -\frac{11}{10} \]

이다.

\[ \therefore\ -\frac{11}{10} \]

조건 (가)로부터 \(x \to a\)일 때 \((x-a) \to 0\)이므로 극한값이 존재하기 위해서는 \((xf(x)-a) \to 0\)이어야 한다. 즉,

\[ af(a) - a = 0 \quad \Longrightarrow \quad a(f(a)-1) = 0 \]

이다. 집합 \(\{-2, -1, 1\}\)의 모든 원소 \(a\)는 \(a \neq 0\)이므로 \(f(a) - 1 = 0\)이다.

따라서 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여

\[ f(x) - 1 = k(x+2)(x+1)(x-1) \quad (\text{단, } k\text{는 상수}, \ k \neq 0) \]

즉, \(f(x) = k(x+2)(x+1)(x-1) + 1\)이다.

조건 (나)로부터

\[ \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-1} = \frac{k(2+2)(2+1)(2-1) + 1}{2-1} = 12k + 1 = 25 \]

\[ 12k = 24 \quad \therefore\ k = 2 \]

이다. 그러므로 \(f(x) = 2(x+2)(x+1)(x-1) + 1\)이고,

\[ f(3) = 2(3+2)(3+1)(3-1) + 1 = 2 \times 5 \times 4 \times 2 + 1 = 81 \]

이다.

\[ \therefore\ f(3) = 81 \]

\((f(x))^3 - 3(f(x))^2 - 4x^2 f(x) + 12x^2 = 0\)에서 인수분해하면

\[ (f(x))^2 (f(x)-3) - 4x^2 (f(x)-3) = (f(x)-3)(f(x)-2x)(f(x)+2x) = 0 \]

을 얻을 수 있다. 따라서 각 점 \(x\)에서 \(f(x)=3\) 또는 \(f(x)=2x\) 또는 \(f(x)=-2x\)이다.

위 식으로부터 \(x=0\)일 때 \(f(0)=3\) 또는 \(f(0)=0\)이 성립한다.

(i) \(f(0)=3\)인 경우:
함수 \(f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속이고 최댓값이 \(3\)이므로 \(f(x)=3\)이 된다. 그러나 최솟값이 \(0\)이 아니므로 주어진 조건을 만족시키지 못한다.

(ii) \(f(0)=0\)인 경우:
함수 \(f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속이고 최솟값이 \(0\), 최댓값이 \(3\)이므로

\[ f(x) = \begin{cases} |2x| & \left(|x| \le \frac{3}{2}\right) \\[4pt] 3 & \left(|x| > \frac{3}{2}\right) \end{cases} \]

이다.

(i), (ii)에서 함수 \(y=f(x)\)의 그래프는 다음과 같다.

따라서

\[ f(-1) = |2(-1)| = 2, \quad f(0) = 0, \quad f\left(\frac{11}{4}\right) = 3 \quad \left(\because\ \frac{11}{4} > \frac{3}{2}\right) \]

이므로

\[ f(-1) + f(0) + f\left(\frac{11}{4}\right) = 2 + 0 + 3 = 5 \]

이다.

\[ \therefore\ 5 \]

(1) \(\displaystyle 2\sum_{k=6}^{27} a_k\)의 값을 구하시오. (6점)

[풀이] \(a_6 = 2\)이므로 정의에 따라 순차적으로 구하면

\[ \begin{aligned} a_6 = 2 &\ \Longrightarrow\ a_7 = \frac{5}{2} \ \Longrightarrow\ a_8 = 2\left(\frac{5}{2}\right)-1 = 4 \\[4pt] &\ \Longrightarrow\ a_9 = \frac{5}{4} \ \Longrightarrow\ a_{10} = 2\left(\frac{5}{4}\right)-1 = \frac{3}{2} \ \Longrightarrow\ a_{11} = 2\left(\frac{3}{2}\right)-1 = 2 \end{aligned} \]

이다. 따라서 수열 \(\{a_n\}\)은 주기 \(5\)로 반복되며, 모든 자연수 \(n\)에 대하여

\[ a_{5n+1} = 2, \quad a_{5n+2} = \frac{5}{2}, \quad a_{5n+3} = 4, \quad a_{5n+4} = \frac{5}{4}, \quad a_{5n+5} = \frac{3}{2} \]

이다.

\(k=6\)부터 \(27\)까지 총 \(22\)개의 항은 주기 \(5\)가 \(4\)회 반복되고 앞의 \(2\)개 항(\(a_{26}=a_6=2, \ a_{27}=a_7=\frac{5}{2}\))이 더해지므로

\[ \begin{aligned} 2\sum_{k=6}^{27} a_k &= 2 \times \left\{ 4 \times \left(2 + \frac{5}{2} + 4 + \frac{5}{4} + \frac{3}{2}\right) + 2 + \frac{5}{2} \right\} \\[6pt] &= 2 \times \left\{ 4 \times \frac{45}{4} + \frac{9}{2} \right\} = 2 \times \left(45 + \frac{9}{2}\right) = 90 + 9 = 99 \end{aligned} \]

이다.

\[ \therefore\ (1)\ 99 \]

(2) \(a_1 + a_2\)의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오. (10점)

[풀이] \(a_5\)가 정수이면 \(a_6 = \frac{5}{a_5} = 2\)에서 \(a_5 = \frac{5}{2}\)이므로 모순이다. 따라서 \(a_5\)는 정수가 아니고, \(a_6 = 2a_5 - 1 = 2\)에서 \(a_5 = \frac{3}{2}\)이다.

이와 같은 과정을 반복하면 \(a_4 = \frac{5}{4}\)이다. 계속해서 \(a_3\)이 정수이면 \(a_4 = \frac{5}{a_3} = \frac{5}{4}\)에서 \(a_3 = 4\)이고, \(a_3\)이 정수가 아니면 \(a_4 = 2a_3 - 1 = \frac{5}{4}\)에서 \(a_3 = \frac{9}{8}\)이다.

이를 반복하여 역추적하면 아래의 수형도와 같다.

가능한 순서쌍 \((a_1, a_2)\)는

\[ (a_1, a_2) = \left(2, \frac{5}{2}\right), \quad \left(\frac{7}{4}, \frac{5}{2}\right), \quad \left(\frac{33}{32}, \frac{17}{16}\right) \]

이다. 따라서 \(a_1 + a_2\)의 최댓값은 \(2 + \frac{5}{2} = \frac{9}{2}\)이고, 최솟값은 \(\frac{33}{32} + \frac{17}{16} = \frac{67}{32}\)이다.

\[ \therefore\ \text{최댓값: } \frac{9}{2}, \quad \text{최솟값: } \frac{67}{32} \]

(1) \(k=2\)일 때, \(g(1)\)의 값을 구하시오. (6점)

[풀이] \(k=2\)일 때 함수 \(f(x)\)는

\[ f(x) = \begin{cases} -x^2+6x+2 = -(x-3)^2+11 & (x \lt 0) \\[4pt] x^2-4x+2 = (x-2)^2-2 & (x \ge 0) \end{cases} \]

이고 \(f(0)=2, \ f(2)=-2\)이다. 함수 \(y=|f(x)|\)의 그래프와 직선 \(y=1\)의 교점을 구하기 위해 그래프의 개형을 파악한다.

함수 \(y=|f(x)|\)의 그래프는 다음과 같다.

함수 \(y=|f(x)|\)의 그래프와 직선 \(y=1\)이 만나는 점의 개수는 그림과 같이 \(6\)개이므로

\[ g(1) = 6 \]

이다.

\[ \therefore\ (1)\ 6 \]

(2) \(0 \lt k \lt 2\)일 때, 함수 \(g(t)\)가 \(t=a\)에서 불연속인 모든 실수 \(a\)의 값의 합을 구하시오. (10점)

[풀이] \(0 \lt k \lt 2\)일 때 \(f(x) = \begin{cases} -(x-3)^2+k+9 & (x \lt 0) \\[4pt] (x-2)^2+k-4 & (x \ge 0) \end{cases}\) 이고, \(f(0) = k \lt 4-k = -f(2)\)이므로 함수 \(y=|f(x)|\)의 그래프는 다음 그림과 같다.

정리하면 교점의 개수 함수 \(g(t)\)는 다음과 같다.

\[ g(t) = \begin{cases} 0 & (t \lt 0) \\ 3 & (t = 0) \\ 6 & (0 \lt t \lt k) \\ 5 & (t = k) \\ 4 & (k \lt t \lt 4-k) \\ 3 & (t = 4-k) \\ 2 & (t > 4-k) \end{cases} \]

이때 \(g(t)\)는 \(t=0, \ k, \ 4-k\)에서 불연속이다. 따라서 불연속이 되는 모든 실수 \(a\)의 값의 합은

\[ 0 + k + (4-k) = 4 \]

이다.

\[ \therefore\ 4 \]

함수 \(y=3^{x-2}+3\)의 그래프는 함수 \(y=3^x\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 \(2\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(3\)만큼 평행이동한 것이므로 점근선의 방정식은 \(y=3\)이다.

점 \((a, b)\)와 직선 \(y=3\) 사이의 거리가 \(3\)이고, \(b>3\)이므로 \(b-3=3\)에서 \(b=6\)이다.

이때 점 \((a, 6)\)은 함수 \(y=3^{x-2}+3\)의 그래프 위에 있으므로

\[ 6 = 3^{a-2}+3 \quad \Longrightarrow \quad 3^{a-2} = 3 \quad \therefore\ a-2=1 \ \Longrightarrow\ a=3 \]

이다. 따라서 \(a=3\)이고, \(a+b = 3 + 6 = 9\)이다.

\[ \therefore\ a+b = 9 \]

두 점 \((0, \log_2 a)\), \((1, \log_2 b)\)를 지나는 직선의 방정식은

\[ y = \frac{\log_2 b - \log_2 a}{1-0}(x-0) + \log_2 a = (\log_2 b - \log_2 a)x + \log_2 a \]

이다. 이 직선이 점 \((3, 2)\)를 지나므로

\[ 2 = 3(\log_2 b - \log_2 a) + \log_2 a \]

\[ 2 = 3\log_2 b - 2\log_2 a = \log_2 \frac{b^3}{a^2} \]

\[ \frac{b^3}{a^2} = 2^2 = 4 \]

이다.

\[ \therefore\ \frac{b^3}{a^2} = 4 \]

\(g(x) = x^3 - 12x\)라 하면,

\[ g'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x+2)(x-2) \]

이므로 \(g'(x)=0\)의 해는 \(x=-2\) 또는 \(x=2\)이다.

따라서 함수 \(g(x)\)의 극댓값은 \(g(-2) = (-2)^3 - 12(-2) = 16\), 극솟값은 \(g(2) = 2^3 - 12(2) = -16\)이므로 함수 \(f(x) = |g(x)| = |x^3 - 12x|\)의 그래프는 다음과 같다.

방정식 \(f(x)=k\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(4\)가 되기 위해서는 그림과 같이 함수 \(y=f(x)\)의 그래프와 직선 \(y=k\)가 서로 다른 네 점에서 만나야 하므로

\[ k = f(2) = |g(2)| = 16 \]

이다.

\[ \therefore\ k = 16 \]

함수 \(f(x)\)가 실수 전체에서 연속이므로 \(x=0\)에서 연속이다. 즉 \(f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)\)이다. 이때 주기성 \(f(x+4)=f(x)\)에 의해 \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 4^-} f(x)\)이므로

\[ \lim_{x \to 4^-} \frac{ax+b}{x+2} = \frac{4a+b}{6} = f(0) = 4 \ \Longrightarrow\ 4a+b = 24 \quad \cdots\cdots\ \text{㉠} \]

이다. 또한 \(f(x)\)는 \(x=2\)에서도 연속이므로 \(\lim_{x \to 2^-} (2x+4) = \lim_{x \to 2^+} \frac{ax+b}{x+2}\)에서

\[ 8 = \frac{2a+b}{4} \ \Longrightarrow\ 2a+b = 32 \quad \cdots\cdots\ \text{㉡} \]

이다. ㉠, ㉡을 연립하면 \(a = -4, \ b = 40\)이다. 따라서 주기성에 의해

\[ f(15) = f(11) = f(7) = f(3) = \frac{-4(3)+40}{3+2} = \frac{28}{5} \]

이다.

\[ \therefore\ f(15) = \frac{28}{5} \]

\(5\sin x = 2\)에서 \(\sin x = \frac{2}{5}\)임을 알 수 있고, 이 방정식의 해는 \(0 \le x \lt \frac{5}{2}\pi\)에서 함수 \(y=\sin x\)의 그래프와 직선 \(y=\frac{2}{5}\)의 교점의 \(x\)좌표와 같다.

이때 두 점 \(\left(a, \frac{2}{5}\right)\), \(\left(b, \frac{2}{5}\right)\)는 직선 \(x=\frac{\pi}{2}\)에 대하여 대칭이므로

\[ \frac{a+b}{2} = \frac{\pi}{2} \]

이다. 따라서

\[ \cos\left(\frac{a+b}{2}+c\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}+c\right) = -\sin c = -\frac{2}{5} \]

이다.

\[ \therefore\ -\frac{2}{5} \]

조건 (가)로부터 \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-2x^3}{2x^2+1} = -1\)이므로 \(f(x) = 2x^3 - 2x^2 + ax + b\) (\(a, b\)는 상수) \(\cdots\cdots\ \text{㉠}\)이다.

조건 (나)로부터 \(x \to 1\)일 때 극한값 \(m\)이 존재하므로 \(f(x)\)는 \((x-1)^k\)를 인수로 갖는다. \(f(x)\)가 삼차식이므로 \(k \ge 2\)에서 \(k=2\) 또는 \(k=3\)이다.

(i) \(k=2\)일 때: \(f(x) = 2(x-1)^2(x+c) = 2x^3 + (2c-4)x^2 + (2-4c)x + 2c\)에서 ㉠과 비교하면 \(2c-4 = -2 \ \Longrightarrow\ c=1\)이다.
(ii) \(k=3\)일 때: \(f(x) = 2(x-1)^3 = 2x^3 - 6x^2 + 6x - 2\)로 ㉠의 \(x^2\)의 계수 \(-2\)와 불일치하므로 모순이다.

(i), (ii)에서 \(k=2\)이고 \(f(x) = 2(x-1)^2(x+1)\)이다. 조건 (나)로부터

\[ \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{(x-1)^2} = \lim_{x \to 1} 2(x+1) = 4 \quad \therefore\ m = 4 \]

이다. 그러므로 \(f(m) = f(4) = 2(4-1)^2(4+1) = 2 \times 9 \times 5 = 90\)이다.

\[ \therefore\ f(m) = 90 \]

\(f(x) = x^2+ax+b\) (\(a, b\)는 상수)라 하자. \(f(x)-f(x-1) = (x^2+ax+b) - ((x-1)^2+a(x-1)+b) = 2x+a-1\)이므로

\[ g(x) = \begin{cases} 2x+a-1 & (x \lt 0) \\[4pt] x^2+ax+b & (x \ge 0) \end{cases} \]

이다. \(g(x)\)는 \(x=0\)에서 연속이므로 \(a-1 = b \ \cdots\cdots\ \text{㉠}\)이다. 또한 \(g(x)\)는 \(x=0\)에서 미분가능하므로

\[ \lim_{h \to 0^-} \frac{(2h+a-1)-b}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(h^2+ah+b)-b}{h} \ \Longrightarrow\ 2 = a \]

이다. ㉠으로부터 \(b = a-1 = 1\)이므로 \(f(x) = x^2+2x+1\)이다. 따라서

\[ f(3) = 3^2 + 2(3) + 1 = 9 + 6 + 1 = 16 \]

이다.

\[ \therefore\ f(3) = 16 \]

문제에서 주어진 식을 변형하면

\[ 2f(x) + f(-x) = 4x^2 - x - 1 \qquad \cdots\cdots\ \text{㉠} \]

이다. 위의 식으로부터 \(f(x)\)는 최고차항이 이차인 다항식이다.

\(f(x) = ax^2 + bx + c\) (\(a, b, c\)는 상수)라 하자. ㉠으로부터 모든 실수 \(x\)에 대하여

\[ 2(ax^2 + bx + c) + (ax^2 - bx + c) = 4x^2 - x - 1 \]

\[ 3ax^2 + bx + 3c = 4x^2 - x - 1 \]

이다. 계수를 비교하면

\[ 3a = 4 \ \Longrightarrow\ a = \frac{4}{3}, \quad b = -1, \quad 3c = -1 \ \Longrightarrow\ c = -\frac{1}{3} \]

이고, \(f(x) = \frac{4}{3}x^2 - x - \frac{1}{3}\)이다. 따라서

\[ \int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^1 \left(\frac{4}{3}x^2 - x - \frac{1}{3}\right)\,dx = \left[ \frac{4}{9}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x \right]_0^1 = \frac{4}{9} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = -\frac{7}{18} \]

이다.

\[ \therefore\ -\frac{7}{18} \]

(1) 함수 \(f(x)\)의 극댓값을 구하시오. (6점)

[풀이] \(f'(x) = x(x-2)(x-4)\)이므로 \(x=0\) 또는 \(x=2\) 또는 \(x=4\)에서 \(f'(x)=0\)이다.

\(f'(x)\)의 부호 변화를 조사하면 \(x=2\)의 좌우에서 \(f'(x)\)가 양에서 음으로 바뀌므로 함수 \(f(x)\)는 \(x=2\)에서 극대이다.

극댓값은

\[ \begin{aligned} f(2) &= \int_0^2 t(t-2)(t-4)\,dt = \int_0^2 (t^3 - 6t^2 + 8t)\,dt \\[6pt] &= \left[ \frac{1}{4}t^4 - 2t^3 + 4t^2 \right]_0^2 = 4 - 16 + 16 = 4 \end{aligned} \]

이다.

\[ \therefore\ (1)\ 4 \]

(2) 함수 \(g(x) = f(x+2)-f(x)\)의 극솟값을 구하시오. (10점)

[풀이] \(g(x) = \displaystyle\int_0^{x+2} t(t-2)(t-4)\,dt - \int_0^x t(t-2)(t-4)\,dt = 2x^3 - 6x^2 + 4\)이다.

함수 \(g(x)\)를 \(x\)에 대하여 미분하면

\[ g'(x) = 6x(x-2) \]

이므로 \(x=0\) 또는 \(x=2\)에서 \(g'(x)=0\)이다. \(x=2\)의 좌우에서 \(g'(x)\)의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 함수 \(g(x)\)는 \(x=2\)에서 극소이다.

\[ f(4) = \int_0^4 t(t-2)(t-4)\,dt = \left[ \frac{1}{4}t^4 - 2t^3 + 4t^2 \right]_0^4 = 64 - 128 + 64 = 0 \]

이므로 극솟값은

\[ g(2) = f(4) - f(2) = 0 - 4 = -4 \]

이다.

\[ \therefore\ -4 \]

(1) 공차 \(d\)의 값을 구하시오. (8점)

[풀이] \(a_1 > 0\)이면 \(S_1 > 0\)이므로 \(S_n > 0\)의 최솟값이 \(13\)이라는 조건에 모순이다. 즉 \(a_1 \lt 0\)이다.

또 \(a_2 > 0\)이면 \(S_3 = 3a_2 > 0\)이므로 역시 모순이다. 즉 \(a_1 \lt a_2 \lt 0\)이므로 \(2\) 이상의 자연수 \(k\)에 대하여 \(S_k = M_1\)이라 하면 \(n \le k\)일 때 \(a_n \lt 0\)이고, \(n \ge k+1\)일 때 \(a_n > 0\)이다.

(i) \(S_k = M_1, \ S_{k-1} = M_2, \ S_{k+1} = M_3\)인 경우:
\(M_2 - M_1 = S_{k-1} - S_k = -a_k = 2 \ \Longrightarrow\ a_k = -2\)
\(M_3 - M_2 = S_{k+1} - S_{k-1} = a_k + a_{k+1} = 2 \ \Longrightarrow\ a_{k+1} = 4\)
따라서 공차 \(d = a_{k+1} - a_k = 4 - (-2) = 6\)이다.
한편 \(a_1 = a_k - 6(k-1) = 4 - 6k\)이고,

\[ S_n = \frac{n\{2(4-6k)+6(n-1)\}}{2} = n(3n-6k+1) \]

이다. \(S_n > 0\)의 최솟값이 \(13\)이므로 \(n=12\)일 때 \(3n-6k+1 \le 0 \ \Longrightarrow\ 6k \ge 37\), \(n=13\)일 때 \(3n-6k+1 > 0 \ \Longrightarrow\ 6k \lt 40\)이다. 그러나 \(37 \le 6k \lt 40\)을 만족하는 자연수 \(k\)는 없다.

(ii) \(S_k = M_1, \ S_{k+1} = M_2, \ S_{k-1} = M_3\)인 경우:
\(M_2 - M_1 = S_{k+1} - S_k = a_{k+1} = 2\)
\(M_3 - M_2 = S_{k-1} - S_{k+1} = -a_k - a_{k+1} = 2 \ \Longrightarrow\ a_k = -4\)
따라서 공차 \(d = a_{k+1} - a_k = 2 - (-4) = 6\)이다. [10-(1) 정답]

(2) 첫째항 \(a_1\)의 값을 구하시오. (8점)

[풀이] \(a_1 = a_k - 6(k-1) = -4 - 6k + 6 = 2 - 6k\)이고,

\[ S_n = \frac{n\{2(2-6k)+6(n-1)\}}{2} = n(3n-6k-1) \]

이다. \(S_n > 0\)을 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값이 \(13\)이므로

\[ n=12\text{일 때 } 3(12)-6k-1 \le 0 \quad \Longrightarrow \quad 6k \ge 35 \]

\[ n=13\text{일 때 } 3(13)-6k-1 > 0 \quad \Longrightarrow \quad 6k \lt 38 \]

을 만족한다. \(35 \le 6k \lt 38\)을 만족하는 자연수 \(k\)는 \(k=6\)뿐이다. (\(M_1 = S_6\))

따라서

\[ a_1 = 2 - 6(6) = 2 - 36 = -34 \]

이다. [10-(2) 정답]

\[ \therefore\ (1)\ d = 6 \qquad (2)\ a_1 = -34 \]

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

\[ \log_2 a + \log_2 b = 8, \quad (\log_2 a)(\log_2 b) = 4 \]

이다. 따라서 밑변환 공식을 적용하면

\[ \begin{aligned} \log_a b + \log_b a &= \frac{\log_2 b}{\log_2 a} + \frac{\log_2 a}{\log_2 b} = \frac{(\log_2 a)^2 + (\log_2 b)^2}{(\log_2 a)(\log_2 b)} \\[6pt] &= \frac{(\log_2 a + \log_2 b)^2 - 2(\log_2 a)(\log_2 b)}{(\log_2 a)(\log_2 b)} = \frac{8^2 - 2 \times 4}{4} = \frac{56}{4} = 14 \end{aligned} \]

이다.

\[ \therefore\ 14 \]

\(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{2x^2-x} = -\frac{1}{2}\)에서 분모가 이차식이므로 분자도 최고차항 계수가 \(-1\)인 이차식이어야 한다. 따라서

\[ f(x) = x^3 - x^2 + bx + c \quad (b, c\text{는 상수}) \]

이다. 또한 \(\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = 10\)에서 분모 \(\to 0\)이므로 \(f(2)=0\)이다. 즉,

\[ f(2) = 2^3 - 2^2 + 2b + c = 4 + 2b + c = 0 \ \Longrightarrow\ c = -2b - 4 \]

이다. 이를 대입하여 인수분해하면 \(f(x) = (x-2)(x^2+x+b+2)\)이므로

\[ \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x^2+x+b+2) = 8+b = 10 \ \Longrightarrow\ b = 2, \ c = -8 \]

이다. 따라서 \(f(x) = x^3 - x^2 + 2x - 8\)이고, \(f(1) = 1 - 1 + 2 - 8 = -6\)이다.

\[ \therefore\ f(1) = -6 \]

\(f(x)=(2x^2+x+3)(3x-2)\)이므로 \(f(-1) = (2-1+3)(-3-2) = -20\)이다. 또한 곱의 미분법에 의해

\[ f'(x) = (4x+1)(3x-2) + (2x^2+x+3) \times 3 \ \Longrightarrow\ f'(-1) = (-3)(-5) + (4)(3) = 27 \]

이다. 한편, \(\lim_{x \to -1} \frac{g(x)+2}{(x+1)(x+2)} = 3\)에서 분모 \(\to 0\)이므로 \(g(-1) = -2\)이어야 한다.

\[ \lim_{x \to -1} \frac{g(x)-g(-1)}{x-(-1)} \times \frac{1}{x+2} = g'(-1) \times 1 = 3 \ \Longrightarrow\ g'(-1) = 3 \]

이다. 따라서 곱의 미분법에 의해

\[ h'(-1) = f'(-1)g(-1) + f(-1)g'(-1) = 27 \times (-2) + (-20) \times 3 = -54 - 60 = -114 \]

이다.

\[ \therefore\ h'(-1) = -114 \]

\(0 \le x \le \pi\)에서 함수 \(y=\sin(x-\pi) = -\sin x\)와 \(y=k\) (\(-1 \lt k \lt 0\))의 그래프는 다음과 같다.

함수 \(y=\sin(x-\pi)\)의 그래프는 직선 \(x=\frac{\pi}{2}\)에 대하여 대칭이므로

\[ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi}{2} \ \Longrightarrow\ \alpha+\beta = \pi \qquad \cdots\cdots\ \text{㉠} \]

이다. 또한 조건 (나)로부터 \(\tan(\beta-\alpha) = \sqrt{3}\)이고, \(0 \lt \beta-\alpha \lt \pi\)이므로

\[ \beta-\alpha = \frac{\pi}{3} \qquad \cdots\cdots\ \text{㉡} \]

이다. ㉠, ㉡을 연립하면 \(2\beta = \frac{4\pi}{3} \ \Longrightarrow\ \beta = \frac{2\pi}{3}, \ \alpha = \frac{\pi}{3}\)이다.

\[ \therefore\ \alpha = \frac{\pi}{3}, \quad \beta = \frac{2\pi}{3} \]

원 \(x^2+y^2=9^{\frac{1}{n}} = (3^{\frac{1}{n}})^2\)의 반지름의 길이는 \(3^{\frac{1}{n}}\)이다. 원과 직선 \(x = \frac{1}{2} \times 3^{\frac{1}{n}+\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 3^{\frac{1}{n}}\)이 만나는 두 점을 \(\mathrm{P, Q}\)라 하자.

선분 \(\mathrm{OP}\)가 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각을 \(\theta\)라 하면 \(\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\)에서 \(\theta = \frac{\pi}{6}\)이다. 따라서 부채꼴 \(\mathrm{OPQ}\)의 중심각의 크기는 \(\frac{\pi}{3}\)이다.

정육각 대칭성에 의해 직선 \(x = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 3^{\frac{1}{n}}\)의 오른쪽 활꼴의 넓이는 부채꼴 \(\mathrm{OPQ}\)의 넓이에서 삼각형 \(\mathrm{OPQ}\)의 넓이를 뺀 것이므로,

\[ S_n = \pi (3^{\frac{1}{n}})^2 - 2 \times \left\{ \frac{1}{2}(3^{\frac{1}{n}})^2 \times \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}(3^{\frac{1}{n}})^2 \right\} = \left(\frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \times 3^{\frac{2}{n}} \]

이다. 따라서 \(\frac{S_2}{S_4} = \frac{3^{2/2}}{3^{2/4}} = \frac{3^1}{3^{1/2}} = 3^{1/2} = \sqrt{3}\)이다.

\[ \therefore\ \frac{S_2}{S_4} = \sqrt{3} \]

조건 (가)로부터 \(f(-0) = -f(0) \ \Longrightarrow\ f(0)=0\)이다. \(0 \le x \le 1\)에서 \(f(0) = (0-1)^2+a = 1+a = 0\)이므로 \(a = -1\)이다.

함수 \(f(x)\)가 실수 전체에서 연속이므로 \(x=1\)에서도 연속이다. \(f(1) = (1-1)^2-1 = -1\)이고,

\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^3-bx^2+cx-5}{x-1} = -1 \]

이다. 분모 \(\to 0\)이므로 분자 \(1-b+c-5 = 0 \ \Longrightarrow\ c = b+4\)이다. 분자에 대입하여 인수분해하면

\[ x^3-bx^2+(b+4)x-5 = (x-1)(x^2-(b-1)x+5) \]

이므로 \(\lim_{x \to 1^+} (x^2-(b-1)x+5) = 1-(b-1)+5 = 7-b = -1 \ \Longrightarrow\ b = 8, \ c = 12\)이다.

따라서 \(x > 1\)일 때 \(f(x) = \frac{(x-1)(x^2-7x+5)}{x-1} = x^2-7x+5\)이므로 \(f(3) = 3^2 - 7(3) + 5 = -7\)이다.

\[ \therefore\ f(3) = -7 \]

\(f'(x) = 3x^2+2ax = 3x\left(x+\frac{2a}{3}\right)\)이고 \(a > 0\)이므로, 도함수 \(f'(x)\)는 \(x=-\frac{2a}{3}\)과 \(x=0\)에서 \(0\)이다. 따라서 함수 \(f(x)\)는 열린구간 \(\left(-\frac{2a}{3}, 0\right)\)에서 단조감소한다.

열린구간 \((k, k+3)\)에서 \(f(x)\)가 항상 감소하려면, \((k, k+3) \subseteq \left(-\frac{2a}{3}, 0\right)\)이어야 하므로

\[ -\frac{2a}{3} \le k \quad \text{이고} \quad k+3 \le 0 \ \Longrightarrow\ k \le -3 \]

이어야 한다. 그러한 실수 \(k\)가 존재하기 위해서는

\[ -\frac{2a}{3} \le -3 \ \Longrightarrow\ a \ge \frac{9}{2} \]

이어야 한다. 따라서 \(f(1) = 1^3 + a(1)^2 - 3 = a - 2 \ge \frac{9}{2} - 2 = \frac{5}{2}\)이므로, \(f(1)\)의 값이 최소가 되도록 하는 \(a\)의 값은 \(\frac{9}{2}\)이다.

\[ \therefore\ a = \frac{9}{2} \]

\(f(x) = x^2+ax+b\) (\(a, b\)는 실수)라 하자. 조건 (가)로부터

\[ f(2)-f(-2) = (4+2a+b) - (4-2a+b) = 4a = 8 \ \Longrightarrow\ a = 2 \]

이다. 따라서 \(f(x) = x^2+2x+b\)이다. 조건 (나)에 정적분을 대입하면

\[ \int_0^2 (x^2+2x+b)\,dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 + x^2 + bx \right]_0^2 = \frac{8}{3} + 4 + 2b = 2b + \frac{20}{3} \]

이므로 \(-2 \le 2b + \frac{20}{3} \le 2 \ \Longrightarrow\ -\frac{26}{3} \le 2b \le -\frac{14}{3} \ \Longrightarrow\ -\frac{13}{3} \le b \le -\frac{7}{3}\)이다.

구하고자 하는 정적분은 우함수·기함수 성질에 의해

\[ \int_{-2}^1 (x^2+2x+b)\,dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 + x^2 + bx \right]_{-2}^1 = \left(\frac{1}{3}+1+b\right) - \left(-\frac{8}{3}+4-2b\right) = 3b \]

이다. 따라서 최댓값은 \(3\left(-\frac{7}{3}\right) = -7\), 최솟값은 \(3\left(-\frac{13}{3}\right) = -13\)이므로 합은 \((-7) + (-13) = -20\)이다.

\[ \therefore\ -20 \]

(1) 집합 \(A \cap B\)에 속하는 원소의 합 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} c_k\)의 값을 구하시오. (6점)

[풀이] \(a_n = 3n-2\), \(b_m = 4m-2\)이다.

\[ A = \{1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, \dots\}, \quad B = \{2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, \dots\} \]

따라서 공통원소는 첫째항이 \(10\)이고 공차가 \(\mathrm{lcm}(3, 4)=12\)인 등차수열이므로 \(c_k = 12k-2\)이다.

\[ \sum_{k=1}^{10} c_k = \sum_{k=1}^{10} (12k-2) = 12 \times \frac{10 \times 11}{2} - 20 = 660 - 20 = 640 \]

\[ \therefore\ (1)\ 640 \]

(2) \(d_{100}+d_{200}+d_{300}\)의 값을 구하시오. (10점)

[풀이] \(A\)의 원소 중 \(B\)에 속하지 않는 원소 \(d_n\)을 나열하면

\[ A - B = \{1, 4, 7, 13, 16, 19, 25, 28, 31, \dots\} \]

\(A\)의 원소 \(3n-2\)는 \(n\)을 \(4\)로 나눈 나머지에 따라 \(B\)에 속하는지 판정된다. \(n = 4m\)일 때 \(3(4m)-2 = 12m-2\)는 \(B\)에 속하므로 제외된다. 즉, \(4\)개 중 \(3\)개씩 채택된다.

\(k = 3q + r\) (\(r \in \{1, 2, 3\}\))에 대하여 원 수열의 항 번호는 \(N = 4q + r\)이다.

① \(k = 100 = 3(33) + 1 \ \Longrightarrow\ N = 4(33) + 1 = 133 \ \Longrightarrow\ d_{100} = 3(133)-2 = 397\)

② \(k = 200 = 3(66) + 2 \ \Longrightarrow\ N = 4(66) + 2 = 266 \ \Longrightarrow\ d_{200} = 3(266)-2 = 796\)

③ \(k = 300 = 3(99) + 3 \ \Longrightarrow\ N = 4(99) + 3 = 399 \ \Longrightarrow\ d_{300} = 3(399)-2 = 1195\)

따라서 \(d_{100}+d_{200}+d_{300} = 397 + 796 + 1195 = 2388\)이다.

\[ \therefore\ (2)\ 2388 \]

(1) \(f(1)\)의 값을 구하시오. (10점)

[풀이] 삼차함수 \(y=f(x)\)가 원점을 지나고 \(y=\frac{1}{2}x\)와 점 \(\mathrm{A}(t, \frac{1}{2}t)\) (\(t>0\))에서 접하므로

\[ f(x)-\frac{1}{2}x = ax(x-t)^2 \quad (a > 0) \]

이다. 조건 (가), (나)로부터 점 \(\mathrm{B}\)의 좌표는 \(\left(2\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}, 2\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}\right) = (2, 2)\)이다.

점 \(\mathrm{B}\)에서 직선 \(y=\frac{1}{2}x \iff x-2y=0\)까지의 거리는 \(d = \frac{|2-2(2)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\)이다.

삼각형 \(\mathrm{AOB}\)의 넓이가 \(2\)이므로 \(\frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{OA}} \times \frac{2}{\sqrt{5}} = 2 \ \Longrightarrow\ \overline{\mathrm{OA}} = 2\sqrt{5}\)이다.

점 \(\mathrm{A}(t, \frac{1}{2}t)\)이므로 \(\sqrt{t^2+\frac{1}{4}t^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}t = 2\sqrt{5} \ \Longrightarrow\ t = 4\)이다. 따라서 점 \(\mathrm{A}\)는 \((4, 2)\)이다.

점 \(\mathrm{B}(2, 2)\)가 곡선 위의 점이므로 \(f(2) = a(2)(2-4)^2 + \frac{1}{2}(2) = 8a + 1 = 2 \ \Longrightarrow\ a = \frac{1}{8}\)이다.

따라서 \(f(x) = \frac{1}{8}x(x-4)^2 + \frac{1}{2}x\)이고, \(f(1) = \frac{1}{8}(1)(1-4)^2 + \frac{1}{2} = \frac{9}{8} + \frac{4}{8} = \frac{13}{8}\)이다.

\[ \therefore\ (1)\ \frac{13}{8} \]

(2) \(\alpha+\beta\)의 값을 구하시오. (6점)

[풀이] (1)에서 구한 \(f(x)\)로부터 \(f(x)-\frac{1}{2}x = \frac{1}{8}x(x-4)^2\)이다. 양변에 \(8\)을 곱하면

\[ 8f(x)-4x = x(x-4)^2 = x^3-8x^2+16x \]

\(g(x) = x^3-8x^2+16x\)라 하면 \(g'(x) = 3x^2-16x+16 = (3x-4)(x-4)\)이다.

따라서 함수 \(g(x)\)는 \(x=\frac{4}{3}\)에서 극대, \(x=4\)에서 극소이다.

\[ \text{극댓값: } g\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3}\left(\frac{4}{3}-4\right)^2 = \frac{4}{3} \times \left(-\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{256}{27}, \quad \text{극솟값: } g(4) = 0 \]

방정식 \(g(x)=k\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(3\)이 되기 위한 \(k\)의 범위는 \(0 \lt k \lt \frac{256}{27}\)이다.

따라서 \(\alpha = 0, \ \beta = \frac{256}{27}\)이므로 \(\alpha+\beta = \frac{256}{27}\)이다.

\[ \therefore\ (2)\ \frac{256}{27} \]

\(3^x = 6\)에서 \(x = \log_3 6\)이다. 또한 \(y = \log_3 8\)이므로

\[ \begin{aligned} 6x - 2y &= 6\log_3 6 - 2\log_3 8 = \log_3 6^6 - \log_3 (2^3)^2 = \log_3 \frac{6^6}{2^6} \\[6pt] &= \log_3 \left(\frac{6}{2}\right)^6 = \log_3 3^6 = 6 \end{aligned} \]

이다.

\[ \therefore\ 6 \]

\(f(x) = a^{2x+1}+b = a(a^2)^x + b\)이고 \(0 \lt a \lt 1\)에서 \(0 \lt a^2 \lt 1\)이므로, 함수 \(f(x)\)는 감소함수이다. 따라서 닫힌구간 \([-2, 1]\)에서 최댓값은 \(f(-2)\), 최솟값은 \(f(1)\)이다.

\[ f(-2) = a^{-3}+b = 5 \quad \cdots\cdots\ \text{㉠}, \qquad f(1) = a^3+b = \frac{7}{2} \quad \cdots\cdots\ \text{㉡} \]

\(A = a^3\) (\(A > 0\))이라 하면 \(\frac{1}{A}+b=5, \ A+b=\frac{7}{2}\)이다. 변변 빼면

\[ \frac{1}{A}-A = \frac{3}{2} \ \Longrightarrow\ 2 - 2A^2 = 3A \ \Longrightarrow\ 2A^2+3A-2 = (2A-1)(A+2) = 0 \]

\(A > 0\)이므로 \(A = a^3 = \frac{1}{2}\)이고, \(b = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = 3\)이다. 따라서 \(a^3 b = \frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2}\)이다.

\[ \therefore\ \frac{3}{2} \]

\(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}\)와 \(\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3}\)의 극한값이 존재하므로 \(f(0)=0, \ f(3)=0\)이다. 따라서 삼차함수 \(f(x)\)는

\[ f(x) = x(x-3)(ax+b) \quad (a, b\text{는 상수}) \]

이다. 이를 극한식에 대입하면

\[ \lim_{x \to 0} (x-3)(ax+b) = -3b = -6 \ \Longrightarrow\ b = 2 \]

\[ \lim_{x \to 3} x(ax+b) = 3(3a+2) = 24 \ \Longrightarrow\ 3a+2 = 8 \ \Longrightarrow\ a = 2 \]

이다. 따라서 \(f(x) = 2x(x-3)(x+1)\)이다. 그러므로

\[ \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{2x^2+3x+1} = \frac{2(1)(1-3)(1+1)}{2(1)^2+3(1)+1} = \frac{2(1)(-2)(2)}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} \]

이다.

\[ \therefore\ -\frac{4}{3} \]

주어진 식을 정리하면 \(f(x)\{f'(x)-1\} + x\{f'(x)-1\} = 2x^3+13x^2+21x+9\)이므로

\[ \{f(x)+x\}\{f'(x)-1\} = 2x^3+13x^2+21x+9 \qquad \cdots\cdots\ \text{㉠} \]

이다. 우변이 삼차식이므로 \(f(x)\)는 최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수이다. \(f(x) = x^2+ax+b\)라 하면 \(f'(x) = 2x+a\)이다. ㉠에 대입하면

\[ \{x^2+(a+1)x+b\}\{2x+(a-1)\} = 2x^3+(3a+1)x^2+(a^2+2b-1)x+b(a-1) \]

계수를 비교하면 \(3a+1 = 13 \ \Longrightarrow\ a = 4\), \(b(4-1) = 9 \ \Longrightarrow\ b = 3\)이다. (이때 \(a^2+2b-1 = 16+6-1 = 21\)로 성립)

따라서 \(f(x) = x^2+4x+3\)이므로, \(f(2) = 2^2 + 4(2) + 3 = 15\)이다.

\[ \therefore\ 15 \]

정육각형의 한 내각의 크기는 \(\frac{2\pi}{3}\)이다. 선분 \(\overline{\mathrm{AP}} = x\) (\(0 \lt x \lt 9\))라 하면 정육각형 한 변의 길이가 \(9\)이므로 부채꼴 \(\mathrm{APQ, BQR, CRS, DST, ETU}\)의 반지름의 길이는 각각 \(x, 9-x, x, 9-x, x\)이다.

다섯 호의 중심각이 모두 \(\frac{2\pi}{3}\)이므로 호의 길이의 합은

\[ \frac{2\pi}{3}\{x + (9-x) + x + (9-x) + x\} = \frac{2\pi}{3}(x+18) = \frac{41}{3}\pi \]

이다. 따라서 \(2(x+18) = 41 \ \Longrightarrow\ 2x+36 = 41 \ \Longrightarrow\ x = \frac{5}{2}\)이다.

부채꼴 \(\mathrm{CRS}\)의 반지름의 길이는 \(x = \frac{5}{2}\)이므로, 넓이는

\[ \frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \times \left(\frac{5}{2}\right)^2 \times \frac{2\pi}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{25}{4} \times \frac{2\pi}{3} = \frac{25\pi}{12} \]

이다.

\[ \therefore\ \frac{25}{12}\pi \]

함수 \(f(x)g(x)\)가 \(x=2\)에서 연속이므로 \(\lim_{x \to 2} f(x)g(x) = f(2)g(2)\)이다.

\[ \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = 5f(2) \]

분모 \(\to 0\)이므로 극한값이 존재하기 위해 \(f(2)=0\)이어야 한다. 따라서 우변은 \(5 \times 0 = 0\)이므로

\[ \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = 0 \]

이다. 이는 \(f(x)\)가 \((x-2)^2\)을 인수로 가짐을 뜻한다. 조건 (가)에서 \(f(-1)=0\)이고 최고차항 계수가 \(1\)이므로

\[ f(x) = (x+1)(x-2)^2 \]

이다. 따라서 \(f(3) = (3+1)(3-2)^2 = 4 \times 1 = 4\)이다.

\[ \therefore\ 4 \]

\(f'(x) = \frac{3}{2}x^2-a = \frac{3}{2}\left(x^2-\frac{2a}{3}\right)\)이다. 조건 (가)에 의해 함수 \(f(x)\)는 열린구간 \((-2, n)\)에서 단조감소하므로, 구간 \([-2, n]\)에서 최댓값은 \(x=-2\)에서 갖는다. 조건 (나)로부터

\[ f(-2) = \frac{1}{2}(-8) - a(-2) + 1 = 2a - 3 = 48 \ \Longrightarrow\ 2a = 51 \ \Longrightarrow\ a = \frac{51}{2} \]

이다. 따라서 \(f'(x) = \frac{3}{2}(x^2-17) = \frac{3}{2}(x-\sqrt{17})(x+\sqrt{17})\)이므로 함수 \(f(x)\)가 감소하는 구간은 \((-\sqrt{17}, \sqrt{17})\)이다.

조건 (가)를 만족시키려면 \((-2, n) \subseteq (-\sqrt{17}, \sqrt{17})\)이어야 하므로

\[ n \le \sqrt{17} \approx 4.123 \]

이어야 한다. 따라서 가능한 자연수 \(n\)은 \(1, 2, 3, 4\)이고, 그 합은 \(1+2+3+4 = 10\)이다.

\[ \therefore\ 10 \]

조건 (가)에서 \(f(x)+f(-x) = -8x^2\), \(g(x)+g(-x) = 2bx^2\)이므로

\[ -8x^2 + 2bx^2 = 2x^2 \ \Longrightarrow\ 2b-8 = 2 \ \Longrightarrow\ b = 5 \]

이다. 따라서 \(g(x) = x^3+5x^2+2x\)이다. 도함수는 \(f'(x) = 3x^2-8x+a\), \(g'(x) = 3x^2+10x+2\)이므로

\[ f'(x)+xg'(x) = (3x^2-8x+a) + (3x^3+10x^2+2x) = 3x^3+13x^2-6x+a \]

대칭구간 적분에서 홀수차수(기함수)는 \(0\)이 되므로 조건 (나)로부터

\[ \int_{-1}^1 (13x^2+a)\,dx = 2\left[\frac{13}{3}x^3+ax\right]_0^1 = 2\left(\frac{13}{3}+a\right) = \frac{38}{3} \ \Longrightarrow\ \frac{13}{3}+a = \frac{19}{3} \ \Longrightarrow\ a = 2 \]

이다. 이제 구하는 식을 전개하면 \(xf(x)+g(x) = x(x^3-4x^2+2x) + (x^3+5x^2+2x) = x^4-4x^3+2x^2+x^3+5x^2+2x = x^4-3x^3+7x^2+2x\)이다.

\[ \int_{-1}^1 (x^4+7x^2)\,dx = 2\left[\frac{1}{5}x^5+\frac{7}{3}x^3\right]_0^1 = 2\left(\frac{1}{5}+\frac{7}{3}\right) = 2 \times \frac{38}{15} = \frac{76}{15} \]

\[ \therefore\ \frac{76}{15} \]

(1) \(a_{23}\)의 값을 구하시오. (5점)

[풀이] \(a_4 = 20\)이므로 규칙에 따라 순차적으로 구하면

\[ \begin{aligned} a_5 &= \frac{20}{2}+5 = 15, \quad a_6 = 15+7 = 22, \quad a_7 = \frac{22}{2}+5 = 16, \\[4pt] a_8 &= \frac{16}{2}+5 = 13, \quad a_9 = 13+7 = 20 = a_4 \end{aligned} \]

따라서 수열 \(\{a_n\}\)은 \(n \ge 4\)에서 주기 \(5\)로 반복된다. 즉 \(a_{5n+4}=20, a_{5n}=15, a_{5n+1}=22, a_{5n+2}=16, a_{5n+3}=13\)이다.

\[ 23 = 5 \times 4 + 3 \ \Longrightarrow\ a_{23} = a_8 = 13 \]

\[ \therefore\ (1)\ 13 \]

(2) \(M+m\)의 값을 구하시오. (11점)

[풀이] \(a_4=20\)으로부터 \(a_3, a_2, a_1\)을 역추적한다.

① \(a_4=20\)일 때: \(a_3\)이 홀수이면 \(a_3+7=20 \ \Longrightarrow\ a_3=13\). \(a_3\)이 짝수이면 \(\frac{a_3}{2}+5=20 \ \Longrightarrow\ a_3=30\).

② \(a_3=13\)일 때: \(a_2\)가 홀수이면 \(a_2+7=13 \ \Longrightarrow\ a_2=6\) (홀수 모순). \(a_2\)가 짝수이면 \(\frac{a_2}{2}+5=13 \ \Longrightarrow\ a_2=16\).

③ \(a_3=30\)일 때: \(a_2\)가 홀수이면 \(a_2+7=30 \ \Longrightarrow\ a_2=23\). \(a_2\)가 짝수이면 \(\frac{a_2}{2}+5=30 \ \Longrightarrow\ a_2=50\).

④ 동일하게 \(a_1\)을 추적하면 가능한 순서쌍 \((a_1, a_2, a_3)\)은 다음과 같다.

\[ (18, 16, 13), \quad (22, 16, 13), \quad (36, 23, 30), \quad (43, 50, 30), \quad (90, 50, 30) \]

합 \(\sum_{k=1}^3 a_k\)는 각각 \(47, 51, 89, 123, 170\) 또는 \(a_2=16\)에서 \(a_1=9\) (홀수: \(9+7=16\))일 때 \((9, 16, 13)\)의 합은 \(38\)이다.

따라서 최댓값은 \(M = 90 + 50 + 30 = 170\), 최솟값은 \(m = 9 + 16 + 13 = 38\)이다.

\[ M+m = 170 + 38 = 208 \]

\[ \therefore\ (2)\ 208 \]

(1) \(f(1)\)의 값을 구하시오. (10점)

[풀이] \(f(x) = x^3+ax^2+bx+c\)라 하면 \(f'(x) = 3x^2+2ax+b\)이다.

\[ \begin{aligned} f'(x+1)-f'(x-3) &= \{3(x+1)^2+2a(x+1)+b\} - \{3(x-3)^2+2a(x-3)+b\} \\[4pt] &= 3(8x-8) + 2a(4) = 24x - 24 + 8a = 24(x-3) + 8a + 48 \end{aligned} \]

\(x \lt 3\)에서 \(g(x) = \frac{24(x-3)+8a+48}{x-3}\)이다. \(g(x)\)가 \(x=3\)에서 미분가능하면 연속이므로 극한값 \(\lim_{x \to 3^-} g(x)\)가 존재해야 한다. 따라서 \(8a+48=0 \ \Longrightarrow\ a = -6\)이다.

이때 \(x \lt 3\)에서 \(g(x) = 24\) (상수함수)이다. 연속성에 의해 \(g(3) = 3f(3)+6 = 24 \ \Longrightarrow\ f(3) = 6\)이다.

또한 \(x=3\)에서 좌미분계수는 \(0\)이므로 우미분계수도 \(0\)이어야 한다. \((xf(x)+6)' = f(x)+xf'(x)\)이므로 \(f(3)+3f'(3) = 0 \ \Longrightarrow\ 6+3f'(3)=0 \ \Longrightarrow\ f'(3) = -2\)이다.

\(f'(x) = 3x^2-12x+b\)에서 \(f'(3) = 27-36+b = -2 \ \Longrightarrow\ b = 7\)이다. \(f(3) = 27-54+21+c = -6+c = 6 \ \Longrightarrow\ c = 12\)이다.

따라서 \(f(x) = x^3-6x^2+7x+12\)이고, \(f(1) = 1-6+7+12 = 14\)이다.

\[ \therefore\ (1)\ 14 \]

(2) \(\alpha+\beta\)의 값을 구하시오. (6점)

[풀이] (1)에서 구한 \(f(x)\)로부터

\[ h(x) = f(x)+2x = x^3-6x^2+9x+12 \]

도함수를 구하면

\[ h'(x) = 3x^2-12x+9 = 3(x-1)(x-3) \]

이므로, 함수 \(h(x)\)는 \(x=1\)에서 극대, \(x=3\)에서 극소이다.

\[ \alpha = h(1) = 1 - 6 + 9 + 12 = 16 \quad (\text{극댓값}) \]

\[ \beta = h(3) = 27 - 54 + 27 + 12 = 12 \quad (\text{극솟값}) \]

따라서 \(\alpha+\beta = 16 + 12 = 28\)이다.

\[ \therefore\ (2)\ 28 \]

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

\[ \alpha+\beta = 4, \quad \alpha\beta = 2 \]

이다. \(A^2 = \alpha\), \(B^2 = \beta\)이므로, 구하고자 하는 식을 전개하면

\[ \begin{aligned} \left(A - \frac{1}{A}\right)^2 + \left(B - \frac{1}{B}\right)^2 &= A^2 + B^2 + \frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} - 4 \\[6pt] &= \alpha + \beta + \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} - 4 = 4 + \frac{4}{2} - 4 = 2 \end{aligned} \]

이다.

\[ \therefore\ 2 \]

\(f(2^m) = \log_8 2^m - 1 = \frac{m}{3} - 1 = \frac{m-3}{3}\)이고 \(g(2^m) = \log_2 2^m + 1 = m+1\)이므로,

\[ \frac{g(2^m)}{f(2^m)} - 3 = \frac{m+1}{\frac{m-3}{3}} - 3 = \frac{3(m+1)}{m-3} - 3 = \frac{3m+3 - 3(m-3)}{m-3} = \frac{12}{m-3} \qquad \cdots\cdots\ \text{㉠} \]

이다. 식 ㉠의 값이 자연수가 되기 위해서는 \(m-3\)이 \(12\)의 양의 약수이어야 하므로

\[ m-3 \in \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} \ \Longrightarrow\ m \in \{4, 5, 6, 7, 9, 15\} \]

이다. 따라서 만족하는 모든 자연수 \(m\)의 값의 합은

\[ 4 + 5 + 6 + 7 + 9 + 15 = 46 \]

이다.

\[ \therefore\ 46 \]

\(f(x) = (x+1)(x-a)\)이므로 극한식의 분모와 분자를 인수분해하면

\[ \lim_{x \to 1} \frac{2(x^4-1)}{(x-1)f(x)} = \lim_{x \to 1} \frac{2(x-1)(x+1)(x^2+1)}{(x-1)(x+1)(x-a)} = \lim_{x \to 1} \frac{2(x^2+1)}{x-a} = \frac{4}{1-a} = 1 \]

이다. 따라서 \(1-a = 4 \ \Longrightarrow\ a = -3\)이다. 즉 \(f(x) = (x+1)(x+3) = x^2+4x+3\)이다.

미분계수의 정의에 의해 구하고자 하는 값은

\[ \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = f'(2) = 2(2) + 4 = 8 \]

이다.

\[ \therefore\ 8 \]

모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\sin x + \sin\left(x - \frac{n}{m}\pi\right) = 0 \iff \sin\left(x - \frac{n}{m}\pi\right) = -\sin x = \sin(x-\pi)\)가 항상 성립하려면 \(\frac{n}{m}\)의 값이 홀수이어야 한다.

\(m, n\)은 \(10\) 이하의 자연수이므로 \(\frac{n}{m} \in \{1, 3, 5, 7, 9\}\)이다.

① \(\frac{n}{m} = 1\): \((m, n) = (1, 1), (2, 2), \dots, (10, 10)\) (총 10개)

② \(\frac{n}{m} = 3\): \((m, n) = (1, 3), (2, 6), (3, 9)\) (총 3개)

③ \(\frac{n}{m} = 5\): \((m, n) = (1, 5), (2, 10)\) (총 2개)

④ \(\frac{n}{m} = 7\): \((m, n) = (1, 7)\) (총 1개)

⑤ \(\frac{n}{m} = 9\): \((m, n) = (1, 9)\) (총 1개)

따라서 조건을 만족시키는 순서쌍 \((m, n)\)의 총 개수는 \(10 + 3 + 2 + 1 + 1 = 17\)개이다.

\[ \therefore\ 17 \]

함수 \(f(x)\)가 실수 전체에서 일대일대응이 되기 위해서는 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \ge 0\)이어야 한다.

도함수는 \(f'(x) = 3ax^2 - 8x + a\)이고, \(a > 0\)이므로 최고차항의 계수가 양수이다.

따라서 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \ge 0\)이 성립하기 위한 판별식 조건은

\[ D/4 = (-4)^2 - (3a)(a) = 16 - 3a^2 \le 0 \ \Longrightarrow\ 3a^2 \ge 16 \ \Longrightarrow\ a^2 \ge \frac{16}{3} \]

이다. \(a\)가 양수이므로 \(a \ge \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\)이다. 따라서 \(a\)의 최솟값은 \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)이다.

\[ \therefore\ \frac{4\sqrt{3}}{3} \]

조건 (가)의 \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^3+1} = 2\)로부터 \(f(x)\)는 최고차항의 계수가 \(2\)인 삼차함수이다.

조건 (나)에서 \(f(2) = 0\)이므로 \(f(x)\)는 \((x-2)\)를 인수로 갖는다.

조건 (다)에서 \(x \to 1\)일 때 분모 \(4x^2-3x-1 = (x-1)(4x+1) \to 0\)이고 수렴하므로, 분자 \(f(1) = 0\)이어야 한다. 따라서 \(f(x)\)는 \((x-1)\)도 인수로 갖는다.

그러므로 \(f(x) = 2(x-2)(x-1)(x+a)\) (\(a\)는 실수)라 둘 수 있다. 조건 (다)에 대입하면

\[ \lim_{x \to 1} \frac{2(x-2)(x-1)(x+a)}{(x-1)(4x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{2(x-2)(x+a)}{4x+1} = \frac{-2(1+a)}{5} = \frac{4}{5} \]

이다. \(-2(1+a) = 4 \ \Longrightarrow\ 1+a = -2 \ \Longrightarrow\ a = -3\)이다.

따라서 \(f(x) = 2(x-2)(x-1)(x-3)\)이고, \(f(4) = 2(2)(3)(1) = 12\)이다.

\[ \therefore\ 12 \]

주어진 등식 \(xf(x) = x^2 + \int_0^x (t-1)f'(t)\,dt\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면

\[ f(x) + xf'(x) = 2x + (x-1)f'(x) \]

이다. 양변을 정리하면 \(f(x) + f'(x) = 2x\)이다. \(f(x)\)가 다항함수이므로 일차함수이어야 한다.

\(f(x) = ax+b\) (\(a, b\)는 실수)라 하면 \(f'(x) = a\)이므로

\[ ax + b + a = 2x \ \Longrightarrow\ a = 2, \ b = -2 \]

이다. 따라서 \(f(x) = 2x - 2\)이다. 구하고자 하는 정적분의 값은

\[ \int_{-1}^2 (2x-2)\,dx = \left[ x^2 - 2x \right]_{-1}^2 = (4-4) - (1+2) = -3 \]

이다.

\[ \therefore\ -3 \]

시각 \(t\)에서의 두 점 \(\mathrm{P, Q}\)의 위치를 각각 \(x_\mathrm{P}(t), x_\mathrm{Q}(t)\)라 하면

\[ x_\mathrm{P}(t) = \int_0^t (6s-3)\,ds = 3t^2-3t, \quad x_\mathrm{Q}(t) = 5 + \int_0^t (3s^2-4s-4)\,ds = t^3-2t^2-4t+5 \]

이다. 두 점이 만나는 시각은 \(3t^2-3t = t^3-2t^2-4t+5 \iff (t+1)(t-1)(t-5) = 0\)의 해 중 \(t > 0\)이므로 \(\alpha = 1, \ \beta = 5\)이다.

① 시각 \(t=1\)에서 \(t=5\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 움직인 거리는 \(t \ge 1\)에서 \(f(t) = 6t-3 > 0\)이므로

\[ s_1 = \int_1^5 (6t-3)\,dt = \left[ 3t^2-3t \right]_1^5 = (75-15) - 0 = 60 \]

② 시각 \(t=1\)에서 \(t=5\)까지 점 \(\mathrm{Q}\)가 움직인 거리는 \(g(t) = (3t+2)(t-2)\)에서 \(1 \le t \le 2\)일 때 \(g(t) \le 0\), \(2 \le t \le 5\)일 때 \(g(t) \ge 0\)이므로

\[ s_2 = \int_1^2 (-3t^2+4t+4)\,dt + \int_2^5 (3t^2-4t-4)\,dt = 7 + 59 = 66 \]

이다. 따라서 \(s_2 - s_1 = 66 - 60 = 6\)이다.

\[ \therefore\ 6 \]

(1) \(t > a\)인 모든 실수 \(t\)에 대하여 곡선 \(y=f(x)\)와 선분 \(\mathrm{AB}\)가 만나지 않을 때, 실수 \(a\)의 최솟값을 구하시오. (12점)

[풀이] 두 점 \(\mathrm{A}(3, 0), \mathrm{B}(0, 6)\)을 이은 선분 \(\mathrm{AB}\)의 방정식은 \(y = -2x+6\) (\(0 \le x \le 3\))이다.

곡선 \(y=x^3-6x^2+7x+t\)와 선분 \(\mathrm{AB}\)의 교점의 \(x\)좌표는

\[ x^3-6x^2+7x+t = -2x+6 \iff -x^3+6x^2-9x+6 = t \quad (0 \le x \le 3) \]

이다. \(g(x) = -x^3+6x^2-9x+6\)이라 하면, \(g'(x) = -3x^2+12x-9 = -3(x-1)(x-3)\)이다.

\(0 \le x \le 3\)에서 \(g(0) = 6\), 극솟값 \(g(1) = 2\), \(g(3) = 6\)이다. 따라서 치역은 \([2, 6]\)이다.

\(t > a\)인 모든 실수 \(t\)에 대하여 실근이 존재하지 않으려면 \(a \ge 6\)이어야 한다. 따라서 실수 \(a\)의 최솟값은 \(6\)이다.

\[ \therefore\ (1)\ 6 \]

(2) \(t=b\)일 때, 곡선 \(y=f(x)\)와 선분 \(\mathrm{AB}\)가 한 점에서 만난다. 이때, \(f(b)\)의 값을 구하시오. (단, \(b\)는 실수이다.) (4점)

[풀이] 문제 (1)에서 구한 함수 \(y=g(x)\) (\(0 \le x \le 3\))의 그래프로부터 \(g(x) = t\)가 단 하나의 실근을 갖는 경우는 극솟값인 \(t = 2\)일 때이다 (\(x=1\)에서만 만남).

따라서 \(b = 2\)이다. 이때 \(f(x) = x^3-6x^2+7x+2\)이므로 구하고자 하는 함숫값은

\[ f(b) = f(2) = 2^3 - 6(2^2) + 7(2) + 2 = 8 - 24 + 14 + 2 = 0 \]

이다.

\[ \therefore\ (2)\ 0 \]

(1) \(a_1 + b_1\)의 값을 구하시오. (8점)

[풀이] 두 등차수열의 공차가 각각 \(3, 4\)이므로 \(a_5 = a_1 + 12\), \(b_6 = b_1 + 20\)이다. 조건 (가)로부터 \(a_5 \lt b_6 - 8\)이다. 조건 (나)의 \(b_6 = 2 - 2a_5\)를 대입하면 \(a_5 \lt -2\)이다.

\(a_k = 0\)인 자연수 \(k \lt 9\)의 후보는 \(k \in \{6, 7, 8\}\)뿐이다.

① \(k=6\): \(a_6=0 \ \Longrightarrow\ a_5=-3, a_1=-15, b_6=8, b_1=-12\). \(\sum |a_n|=54, \sum |b_n|=64\) (조건 (다) 불만족)

② \(k=7\): \(a_7=0 \ \Longrightarrow\ a_5=-6, a_1=-18, b_6=14, b_1=-6\). \(\sum_{n=1}^8 |a_n|=66, \sum_{n=1}^8 |b_n|=80 = 66+14\) (조건 (다) 만족!)

③ \(k=8\): \(a_8=0 \ \Longrightarrow\ a_5=-9, a_1=-21, b_6=20, b_1=0\). \(\sum |a_n|=84, \sum |b_n|=112\) (조건 (다) 불만족)

따라서 가능한 경우는 \(k=7\)뿐이며, \(a_1 = -18, b_1 = -6\)이므로 \(a_1 + b_1 = -24\)이다.

\[ \therefore\ (1)\ -24 \]

(2) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{10} (b_n - a_n)\)의 값을 구하시오. (8점)

[풀이] (1)의 결과로부터 두 수열의 일반항은

\[ a_n = -18 + 3(n-1) = 3n - 21, \quad b_n = -6 + 4(n-1) = 4n - 10 \]

이다. 따라서 \(b_n - a_n = (4n-10) - (3n-21) = n + 11\)이므로, 구하고자 하는 합은

\[ \sum_{n=1}^{10} (b_n - a_n) = \sum_{n=1}^{10} (n+11) = \frac{10 \times 11}{2} + 110 = 55 + 110 = 165 \]

이다.

\[ \therefore\ (2)\ 165 \]

지수법칙에 의해 주어진 수식을 정리하면

\[ \sqrt{2\sqrt[4]{8}} = \sqrt{2 \times 2^{3/4}} = \left(2^{7/4}\right)^{1/2} = 2^{7/8} \]

이다. 따라서 \(\left(\sqrt{2\sqrt[4]{8}}\right)^n = 2^{\frac{7n}{8}}\)이다. 이 값이 자연수가 되려면 \(n\)은 \(8\)의 배수이어야 한다.

① \(n = 8\)일 때: \(2^7 = 128\) (세 자리 자연수)

② \(n = 16\)일 때: \(2^{14} = 16384\) (세 자리 자연수가 아님)

따라서 구하고자 하는 자연수 \(n\)의 값은 \(8\)이다.

\[ \therefore\ 8 \]

함수 \(f(x) = \log_{|a-2|} (x^2+2ax+5a+36)\)이 정의되기 위해서는

밑의 조건: \(|a-2| > 0\) 및 \(|a-2| \ne 1 \ \Longrightarrow\ a \ne 1, 2, 3\)

진수의 조건: 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(x^2+2ax+5a+36 > 0\)이어야 하므로

\[ D/4 = a^2 - (5a+36) = (a-9)(a+4) \lt 0 \ \Longrightarrow\ -4 \lt a \lt 9 \]

이다. 두 조건을 동시에 만족시키는 정수 \(a\)는 \(-3, -2, -1, 0, 4, 5, 6, 7, 8\)이다.

따라서 모든 정수 \(a\)의 값의 합은 \((-3)+(-2)+(-1)+0+4+5+6+7+8 = 24\)이다.

\[ \therefore\ 24 \]

\(x \to 3\)일 때 분모 \(\to 0\)이고 극한값이 존재하므로 분자 \(f(3)g(3) - 5 = 0 \ \Longrightarrow\ f(3)g(3) = 5\)이다.

\(h(x) = f(x)g(x)\)라 하면 \(h(3) = 5\)이고, 미분계수의 정의에 의해

\[ \lim_{x \to 3} \frac{h(x)-h(3)}{x-3} = h'(3) = 10 \]

이다. 곱의 미분법에 의해 \(h'(3) = f'(3)g(3) + f(3)g'(3) = 10\)이다. 따라서

\[ \frac{f'(3)}{f(3)} + \frac{g'(3)}{g(3)} = \frac{f'(3)g(3) + f(3)g'(3)}{f(3)g(3)} = \frac{h'(3)}{h(3)} = \frac{10}{5} = 2 \]

이다.

\[ \therefore\ 2 \]

\(\overline{\mathrm{AC}} = x\) (\(x > 0\))라 하면 \(\overline{\mathrm{AD}} = x^2\)이다. \(\angle\mathrm{BAD} = \angle\mathrm{CAD} = 60^\circ\)이다.

삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이는 \(\triangle\mathrm{ABD}\)와 \(\triangle\mathrm{ACD}\)의 넓이의 합과 같으므로

\[ \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x^2 \cdot \sin 60^\circ + \frac{1}{2} \cdot x \cdot x^2 \cdot \sin 60^\circ \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2}x = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}x^3 \ \Longrightarrow\ x(x^2+2x-2) = 0 \]

이다. \(x > 0\)이므로 근의 공식에 의해 \(x = -1+\sqrt{3}\)이다. 따라서 선분 \(\mathrm{AC}\)의 길이는 \(-1+\sqrt{3}\)이다.

\[ \therefore\ -1+\sqrt{3} \]

등식 \(xf(x) = 4x^3+3x^2+\int_{-2}^x f(t)\,dt\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면

\[ f(x) + xf'(x) = 12x^2 + 6x + f(x) \ \Longrightarrow\ xf'(x) = 12x^2 + 6x \]

이다. \(f(x)\)가 다항함수이므로 \(f'(x) = 12x+6\)이다. 부정적분하면

\[ f(x) = 6x^2 + 6x + C \quad (C\text{는 적분상수}) \]

이다. 원래 식에 \(x = -2\)를 대입하면 \(-2f(-2) = 4(-8) + 3(4) + 0 = -20 \ \Longrightarrow\ f(-2) = 10\)이다.

\(f(-2) = 6(4) + 6(-2) + C = 12 + C = 10 \ \Longrightarrow\ C = -2\)이다. 따라서 \(f(x) = 6x^2+6x-2\)이다.

그러므로 \(f(2) = 6(4) + 6(2) - 2 = 34\)이다.

\[ \therefore\ 34 \]

이차방정식 \(x^2+2x+t=0\)의 판별식을 \(D\)라 하면 \(D/4 = 1-t\)이다. 따라서 서로 다른 실근의 개수 함수 \(f(t)\)는

\[ f(t) = \begin{cases} 2 & (t \lt 1) \\ 1 & (t = 1) \\ 0 & (t > 1) \end{cases} \]

이다. 함수 \((t+a)f(t)\)가 모든 실수에서 연속이 되려면 불연속점인 \(t=1\)에서 연속이어야 하므로

\[ \lim_{t \to 1^-} (t+a)f(t) = 2(1+a), \quad \lim_{t \to 1^+} (t+a)f(t) = 0 \]

에서 \(2(1+a) = 0 \ \Longrightarrow\ a = -1\)이다. (이때 \((1+a)f(1) = 0\)으로 함숫값과도 일치)

따라서 구하고자 하는 \(a\)의 값은 \(-1\)이다.

\[ \therefore\ -1 \]

\(x \to 5\)일 때 분모 \((x-5)\{f'(x)\}^2 \to 0\)이고 수렴하므로 분자 \(f(5) = 0\)이다.

\(f(2) = 0\)이므로 \(f(x) = (x-2)(x-5)(x+a)\) (\(a\)는 실수)라 둘 수 있다.

\(f'(5) = (5-2)(5+a) = 3(5+a) \ne 0\)이라 하면

\[ \lim_{x \to 5} \frac{(x-2)(x-5)(x+a)}{(x-5)\{f'(x)\}^2} = \lim_{x \to 5} \frac{(x-2)(x+a)}{\{f'(x)\}^2} = \frac{3(5+a)}{\{3(5+a)\}^2} = \frac{1}{3(5+a)} = \frac{1}{9} \]

이다. \(3(5+a) = 9 \ \Longrightarrow\ 5+a = 3 \ \Longrightarrow\ a = -2\)이다. (이때 \(f'(5) = 9 \ne 0\)으로 성립)

따라서 \(f(x) = (x-2)^2(x-5)\)이고, \(f(3) = (1)^2(-2) = -2\)이다.

\[ \therefore\ -2 \]

피적분함수를 \(t\)에 관하여 전개하여 정적분을 계산하면

\[ \begin{aligned} f(x) &= \int_0^2 \{3t^2 + 3(x^2+x)t + 3x^3\}\,dt = \left[ t^3 + \frac{3}{2}(x^2+x)t^2 + 3x^3 t \right]_0^2 \\[6pt] &= 8 + 6(x^2+x) + 6x^3 = 6x^3 + 6x^2 + 6x + 8 \end{aligned} \]

이다. 도함수는 \(f'(x) = 18x^2+12x+6 = 6(3x^2+2x+1)\)이다. 이차방정식 \(3x^2+2x+1=0\)의 판별식이 \(D/4 = 1-3 = -2 \lt 0\)이므로 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) > 0\)이다.

따라서 \(f(x)\)는 닫힌구간 \([0, 2]\)에서 단조증가한다.

\[ M = f(2) = 6(8) + 6(4) + 6(2) + 8 = 92, \quad m = f(0) = 8 \]

따라서 \(M+m = 92 + 8 = 100\)이다.

\[ \therefore\ 100 \]

(1) \(k\)의 값을 구하시오. (8점)

[풀이] 점 \(\mathrm{A}\)는 직선 \(y=-x+k\)의 \(y\)절편이므로 \((0, k)\)이다. 직선의 기울기가 \(-1\)이므로 \(\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{2}\)에서 점 \(\mathrm{B}\)의 좌표는 \((1, k-1)\)이다.

조건 (나)에서 점 \(\mathrm{B}\)가 곡선 \(y=\log_2 x + 6\) 위의 점이므로

\[ k-1 = \log_2 1 + 6 = 6 \ \Longrightarrow\ k = 7 \]

이다.

\[ \therefore\ (1)\ 7 \]

(2) \(a\)의 값을 구하시오. (8점)

[풀이] \(\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{2}\)이고 \(\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{CD}}\)가 공비 \(r\)인 등비수열을 이루므로

\[ \overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{2}r, \quad \overline{\mathrm{CD}} = \sqrt{2}r^2 \quad (r > 0) \]

이다. 점 \(\mathrm{A}(0, 7)\)이고 점 \(\mathrm{D}(7, 0)\)이므로 \(\overline{\mathrm{AD}} = 7\sqrt{2}\)이다.

\[ \overline{\mathrm{AD}} = \overline{\mathrm{AB}} + \overline{\mathrm{BC}} + \overline{\mathrm{CD}} = \sqrt{2}(1+r+r^2) = 7\sqrt{2} \ \Longrightarrow\ 1+r+r^2 = 7 \]

\(r^2+r-6 = (r+3)(r-2) = 0\)에서 \(r > 0\)이므로 \(r = 2\)이다.

따라서 \(\overline{\mathrm{BC}} = 2\sqrt{2}\)이므로 점 \(\mathrm{C}\)의 좌표는 점 \(\mathrm{B}(1, 6)\)으로부터 \((1+2, 6-2) = (3, 4)\)이다.

조건 (다)에서 점 \(\mathrm{C}(3, 4)\)가 곡선 \(y=a\log_9 x\) 위의 점이므로

\[ 4 = a\log_9 3 = a \times \frac{1}{2} \ \Longrightarrow\ a = 8 \]

이다.

\[ \therefore\ (2)\ 8 \]

(1) 두 접선 \(l_1, l_2\)의 기울기를 \(k\)에 관한 식으로 나타내시오. (10점)

[풀이] \(f(x) = x(x-k)(x-4) = x^3-(k+4)x^2+4kx\)라 하면, \(f(0) = 0\)이므로 원점은 곡선 위의 점이다.

원점에서의 접선 \(l_1\)의 기울기는 \(f'(0)\)이고, \(f'(x) = 3x^2-2(k+4)x+4k\)이므로

\[ f'(0) = 4k \]

이다. 한편 원점이 아닌 점 \((t, f(t))\)에서의 접선이 원점을 지나므로 \(-f(t) = f'(t)(-t) \iff f(t) = t f'(t)\)이다.

\[ t^3-(k+4)t^2+4kt = t\{3t^2-2(k+4)t+4k\} \ \Longrightarrow\ t^2\{2t-(k+4)\} = 0 \]

\(t \ne 0\)이므로 \(t = \frac{k+4}{2}\)이다. 접선 \(l_2\)의 기울기는

\[ f'\left(\frac{k+4}{2}\right) = 3\left(\frac{k+4}{2}\right)^2 - 2(k+4)\left(\frac{k+4}{2}\right) + 4k = -\frac{1}{4}(k^2-8k+16) \]

이다. (\(0 \lt k \lt 4\)에서 \(4k > 0 > -\frac{1}{4}(k-4)^2\)이므로 \(l_1\)의 기울기가 더 큼)

\[ \therefore\ (1)\ l_1\text{의 기울기: } 4k, \quad l_2\text{의 기울기: } -\frac{1}{4}(k^2-8k+16) \]

(2) 위 (1)에서 구한 두 접선 \(l_1, l_2\)의 기울기의 곱을 \(g(k)\)라 할 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^3 g(k)\)의 값을 구하시오. (6점)

[풀이] (1)에서 구한 두 접선의 기울기의 곱 \(g(k)\)는

\[ g(k) = 4k \times \left\{-\frac{1}{4}(k^2-8k+16)\right\} = -k(k^2-8k+16) = -k^3+8k^2-16k \]

이다. 따라서 구하고자 하는 합은

\[ \sum_{k=1}^3 g(k) = g(1) + g(2) + g(3) = (-9) + (-8) + (-3) = -20 \]

이다.

\[ \therefore\ (2)\ -20 \]

[소문항 (1) 해설 및 모범 답안]

자연수 \(n\)에 대하여 \(\cos(n\pi) = (-1)^n\)이므로 각 \(n\)에 대해 정적분을 계산한다.

① \(n=1\)일 때, \(\cos\pi = -1\)이므로

\[f(1) = \int_{-2}^2 |2t - \cos\pi|\,dt = \int_{-2}^2 |2t+1|\,dt\] \[= \int_{-2}^{-1/2} (-2t-1)\,dt + \int_{-1/2}^2 (2t+1)\,dt = \left[-t^2-t\right]_{-2}^{-1/2} + \left[t^2+t\right]_{-1/2}^2 = \frac{9}{4} + \frac{25}{4} = \frac{17}{2}\]

② \(n=2\)일 때, \(\cos(2\pi) = 1\)이므로

\[f(2) = \int_{-2}^2 |2t - 2\cos(2\pi)|\,dt = 2\int_{-2}^2 |t-1|\,dt = 2\left(\int_{-2}^1 (1-t)\,dt + \int_1^2 (t-1)\,dt\right) = 2\left(\frac{9}{2} + \frac{1}{2}\right) = 10\]

③ \(n=3\)일 때, \(\cos(3\pi) = -1\)이므로

\[f(3) = \int_{-2}^2 |2t - 3\cos(3\pi)|\,dt = \int_{-2}^2 |2t+3|\,dt = \int_{-2}^{-3/2} (-2t-3)\,dt + \int_{-3/2}^2 (2t+3)\,dt = \frac{1}{4} + \frac{49}{4} = \frac{25}{2}\]

따라서 구하고자 하는 합은 다음과 같다.

\[f(1)+f(2)+f(3) = \frac{17}{2} + 10 + \frac{25}{2} = 21 + 10 = 31\]

[소문항 (2) 심층 전개 및 종합 판정]

\(n \ge 4\)일 때 피적분함수의 부호를 판정한다. \(t \in [-2, 2]\)이므로 \(-4 \le 2t \le 4\)이다.

① \(n \ge 4\)이고 \(n\)이 짝수일 때: \(\cos(n\pi) = 1\)이므로

\[2t - n\cos(n\pi) = 2t - n \le 4 - 4 = 0\]

따라서 \([-2, 2]\)에서 \(|2t-n| = n-2t\)이므로

\[f(n) = \int_{-2}^2 (n-2t)\,dt = \left[nt - t^2\right]_{-2}^2 = (2n-4) - (-2n-4) = 4n\]

② \(n \ge 4\)이고 \(n\)이 홀수일 때: \(\cos(n\pi) = -1\)이므로

\[2t - n\cos(n\pi) = 2t + n \ge -4 + 5 = 1 \gt 0\]

따라서 \([-2, 2]\)에서 \(|2t+n| = 2t+n\)이므로

\[f(n) = \int_{-2}^2 (2t+n)\,dt = \left[t^2 + nt\right]_{-2}^2 = (4+2n) - (4-2n) = 4n\]

그러므로 모든 \(n \ge 4\)에 대하여 \(f(n) = 4n\)이 성립한다.

따라서 구하고자 하는 급수의 합은

\[\sum_{n=1}^{20} f(n) = \sum_{n=1}^3 f(n) + \sum_{n=4}^{20} 4n = 31 + 4\sum_{n=4}^{20} n\] \[= 31 + 4 \times \frac{17 \times (4 + 20)}{2} = 31 + 4 \times 204 = 31 + 816 = 847\]

[소문항 (1) 해설 및 모범 답안]

함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f(0) = 0+2 = 2\)이다. 양의 실수 \(t\)에 대하여 평균변화율의 정의에 의해

\[g(t) = \frac{f(t) - f(0)}{t - 0} = \frac{f(t) - 2}{t}\]

① \(t = \frac{1}{2} \le 1\)일 때: \(f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}\)이므로

\[g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\frac{5}{2} - 2}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1\]

② \(t = 2 \gt 1\)일 때: \(f(2) = -2(2) = -4\)이므로

\[g(2) = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]

[소문항 (2) 심층 전개 및 종합 판정]

[단계 1: 함수 \(g(t)\) 및 \(h(t)\) 구성]

\(0 \lt t \le 1\)일 때 \(f(t) = t+2\)이므로 \(g(t) = \frac{(t+2)-2}{t} = 1\)이다.

\(t \gt 1\)일 때 \(f(t) = -2t\)이므로 \(g(t) = \frac{-2t-2}{t} = -2 - \frac{2}{t}\)이다.

따라서 \(2+g(t)\)를 분모로 하는 함수 \(h(t)\)는 다음과 같다.

\[h(t) = \begin{cases} \frac{t^2+at+b}{2+1} = \frac{1}{3}(t^2+at+b) & (0 \lt t \le 1) \\ \frac{t^2+at+b}{2 + \left(-2 - \frac{2}{t}\right)} = -\frac{t}{2}(t^2+at+b) & (t \gt 1) \end{cases}\]

[단계 2: \(t=1\)에서의 연속성 검토]

함수 \(h(t)\)가 \(t=1\)에서 미분가능하므로 반드시 \(t=1\)에서 연속이어야 한다.

\[\lim_{t \to 1^-} h(t) = \frac{1}{3}(1+a+b), \quad \lim_{t \to 1^+} h(t) = -\frac{1}{2}(1+a+b)\]

연속 조건에 의해 \(\frac{1}{3}(1+a+b) = -\frac{1}{2}(1+a+b) \implies \frac{5}{6}(1+a+b) = 0\)

\[1+a+b = 0 \quad \cdots \text{①} \quad (\therefore h(1) = 0)\]

[단계 3: 미분계수 정의를 통한 \(a, b\) 결정]

식 ①에 의해 \(t^2+at+b = t^2+at-(a+1) = (t-1)(t+a+1)\)이다.

좌미분계수: \(\displaystyle\lim_{t \to 1^-} \frac{h(t)-h(1)}{t-1} = \lim_{t \to 1^-} \frac{\frac{1}{3}(t-1)(t+a+1)}{t-1} = \frac{1}{3}(2+a)\)

우미분계수: \(\displaystyle\lim_{t \to 1^+} \frac{h(t)-h(1)}{t-1} = \lim_{t \to 1^+} \frac{-\frac{t}{2}(t-1)(t+a+1)}{t-1} = -\frac{1}{2}(2+a)\)

\(t=1\)에서 미분가능하므로 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 한다.

\[\frac{1}{3}(2+a) = -\frac{1}{2}(2+a) \implies \frac{5}{6}(2+a) = 0 \implies a = -2\]

이를 식 ①에 대입하면 \(1 + (-2) + b = 0 \implies b = 1\)이다.

[소문항 (1) 해설 및 모범 답안]

[단계 1: 각 점의 좌표 결정]

점 \(\mathrm{P}\)는 원점에서 출발하여 \(x\)축 위를 움직이며 시각 \(t(t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = 3\sqrt{3}t\)이므로 점 \(\mathrm{P}\)의 \(x\)좌표는

\[x_P(t) = \int_0^t 3\sqrt{3}s\,ds = \frac{3\sqrt{3}}{2}t^2 \quad \implies \mathrm{P}\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}t^2, 0\right)\]

점 \(\mathrm{A, B}\)는 선분 \(\mathrm{OP}\)의 \(1:2, 2:1\) 내분점이므로

\[\mathrm{A}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t^2, 0\right), \quad \mathrm{B}\left(\sqrt{3}t^2, 0\right) \quad \implies \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{3}t^2 - \frac{\sqrt{3}}{2}t^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}t^2\]

이차함수 \(y=f(x)\)는 \(\mathrm{O}(0,0)\)과 \(\mathrm{P}\)를 지나며 최고차항 계수가 \(-1\)이므로

\[f(x) = -x\left(x - \frac{3\sqrt{3}}{2}t^2\right) = -\left(x - \frac{3\sqrt{3}}{4}t^2\right)^2 + \frac{27}{16}t^4\]

따라서 꼭짓점 \(\mathrm{C}\)의 좌표는 \(\mathrm{C}\left(\frac{3\sqrt{3}}{4}t^2, \frac{27}{16}t^4\right)\)이다.

[단계 2: 정삼각형 성립 조건]

선분 \(\mathrm{AB}\)의 중점의 \(x\)좌표는 \(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}t^2 + \sqrt{3}t^2}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}t^2\)으로 점 \(\mathrm{C}\)의 \(x\)좌표와 일치하므로 점 \(\mathrm{C}\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{M}\)이라 하면 \(\mathrm{M}\)은 \(\mathrm{AB}\)의 중점이다.

삼각형 \(\mathrm{ABC}\)가 정삼각형이 되려면 높이 \(\overline{\mathrm{CM}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\overline{\mathrm{AB}}\)이어야 하므로

\[\frac{27}{16}t_0^4 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}t_0^2\right) = \frac{3}{4}t_0^2\]

\(t_0 \gt 0\)이므로 양변을 \(t_0^2\)으로 나누면 \(\frac{27}{16}t_0^2 = \frac{3}{4} \implies t_0^2 = \frac{4}{9} \implies t_0 = \frac{2}{3}\)이다.

[소문항 (2) 심층 전개 및 종합 판정]

시각 \(t(t \gt 0)\)에서의 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S(t)\)는 밑변 \(\overline{\mathrm{AB}}\)와 높이 \(\overline{\mathrm{CM}}\)에 의해 다음과 같다.

\[S(t) = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{CM}} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}t^2\right) \times \left(\frac{27}{16}t^4\right) = \frac{27\sqrt{3}}{64}t^6\]

도함수 \(S'(t)\)를 구하면

\[S'(t) = \frac{27\sqrt{3}}{64} \times 6t^5 = \frac{81\sqrt{3}}{32}t^5\]

소문항 (1)에서 구한 \(t_0 = \frac{2}{3}\)을 대입하면

\[S'(t_0) = S'\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{81\sqrt{3}}{32} \times \left(\frac{2}{3}\right)^5 = \frac{81\sqrt{3}}{32} \times \frac{32}{243} = \frac{81\sqrt{3}}{243} = \frac{\sqrt{3}}{3}\]

[소문항 (1) 해설 및 모범 답안]

점 \(\mathrm{R}_n\)의 좌표가 \((a_n, b_n)\)이고 곡선 \(y=\frac{1}{2}x^2(x \ge 0)\) 위의 점이므로

\[b_n = \frac{1}{2}a_n^2 \quad \cdots \text{①}\]

선분 \(\mathrm{S}_n\mathrm{R}_n\)이 \(x\)축과 평행하므로 점 \(\mathrm{S}_n\)의 \(y\)좌표는 \(b_n\)이고, 점 \(\mathrm{S}_n\)이 직선 \(y=-x\) 위에 있으므로 점 \(\mathrm{S}_n\)의 좌표는 \((-b_n, b_n)\)이다.

정사각형 한 변의 길이가 자연수 \(n\)이므로 \(\overline{\mathrm{S}_n\mathrm{R}_n} = a_n - (-b_n) = a_n + b_n = n\)이다. 식 ①을 대입하면

\[a_n + \frac{1}{2}a_n^2 = n \iff a_n^2 + 2a_n - 2n = 0 \quad \cdots \text{②}\]

\(a_n \gt 0\)이므로 근의 공식에 의해 \(a_n = -1 + \sqrt{1+2n}\)이다.

① \(n=1\)일 때: \(a_1 = -1+\sqrt{3}\)이고, 식 ①에 의해 \(b_1 = 1 - a_1 = 2-\sqrt{3}\)이다.

\[a_1^2 = 4-2\sqrt{3}, \quad b_1^2 = 7-4\sqrt{3}\]

② \(n=4\)일 때: \(a_4 = -1+\sqrt{9} = 2\)이고, 식 ①에 의해 \(b_4 = \frac{1}{2}(2)^2 = 2\)이다.

\[a_4^2 = 4, \quad b_4^2 = 4\]

따라서 구하고자 하는 값은

\[a_1^2 + b_1^2 + a_4^2 + b_4^2 = (4-2\sqrt{3}) + (7-4\sqrt{3}) + 4 + 4 = 19 - 6\sqrt{3}\]

[소문항 (2) 심층 전개 및 종합 판정]

[단계 1: 정수점 개수 판정]

\(a_n + b_n = n\) (자연수)이므로 \(a_n\)과 \(b_n\)은 둘 다 자연수이거나 둘 다 자연수가 아니다.

한 변의 길이가 정수 \(n\)이고 축에 평행한 정사각형에서, 꼭짓점이 정수 좌표이면 각 변 위의 정수점은 \(n+1\)개씩이므로 내부 및 둘레의 정수점 개수는 \(A_n = (n+1)^2\)이다. 꼭짓점이 정수 좌표가 아니면 각 변 방향으로 포함되는 정수는 정확히 \(n\)개씩이므로 \(A_n = n^2\)이다.

[단계 2: \(a_n\)이 자연수가 되는 조건]

\(a_n = -1 + \sqrt{1+2n}\)이 자연수가 되려면 \(1+2n\)이 홀수의 제곱수여야 한다.

\[1+2n = 3^2, 5^2, 7^2, \dots \iff 2n = 8, 24, 48, \dots \iff n = 4, 12, 24, \dots\]

따라서 \(1 \le n \le 20\) 범위에서 \(n=4, 12\)일 때만 \(a_n, b_n\)이 자연수가 된다.

\[A_n = \begin{cases} (n+1)^2 & (n = 4, 12) \\ n^2 & (n \ne 4, 12) \end{cases}\]

[단계 3: 급수의 합 계산]

\[\sum_{n=1}^{20} A_n = \sum_{n=1}^{20} n^2 + \left\{(4+1)^2 - 4^2\right\} + \left\{(12+1)^2 - 12^2\right\}\] \[= \frac{20 \times 21 \times 41}{6} + (25 - 16) + (169 - 144) = 2870 + 9 + 25 = 2904\]

[소문항 (1) 해설 및 모범 답안]

집합 \(A\)에서 \(t = 3^x(t \gt 0)\)라 하자. 산술평균과 기하평균의 관계에 의해

\[t + \frac{7}{t} \ge 2\sqrt{t \times \frac{7}{t}} = 2\sqrt{7}\]

(단, 등호는 \(t = \frac{7}{t}\), 즉 \(t = \sqrt{7}\)일 때 성립한다.)

따라서 부등식 \(t + \frac{7}{t} \le a\)를 만족하는 실수 \(x\)가 오직 하나 존재하기 위해서는 최솟값과 우변이 일치해야 하므로 \(a = 2\sqrt{7}\)이다. 즉 \(p = 2\sqrt{7}\)이다.

이때 \(3^x = \sqrt{7} \implies x = \log_3 \sqrt{7}\)이므로 \(q = \log_3 \sqrt{7}\)이다.

따라서 \(3^q = 3^{\log_3 \sqrt{7}} = \sqrt{7}\)이므로 구하고자 하는 값은

\[p + 3^q = 2\sqrt{7} + \sqrt{7} = 3\sqrt{7}\]

[소문항 (2) 심층 전개 및 종합 판정]

[단계 1: 이차부등식으로의 변환]

\(t = 3^x \gt 0\)라 하면 집합 \(A, B\)는 다음과 같다.

\[A = \{t \gt 0 \mid t^2 - at + 7 \le 0\}, \quad B = \{t \gt 0 \mid t^2 - (a+1)t + 8 \le 0\}\]

\(a \ge 6\)이므로 방정식 \(t^2-at+7=0\)의 판별식은 \(D = a^2-28 \ge 36-28 = 8 \gt 0\)이므로 서로 다른 두 실근 \(\alpha, \beta(\alpha \lt \beta)\)를 갖는다. 두 근의 합과 곱이 모두 양수이므로 \(0 \lt \alpha \lt \beta\)이다.

방정식 \(t^2-(a+1)t+8=0\) 역시 두 양의 실근 \(\alpha_1, \beta_1(\alpha_1 \lt \beta_1)\)을 갖는다.

[단계 2: 포함조건 \(A \subset B\) 분석]

\(A \subset B \iff [\alpha, \beta] \subset [\alpha_1, \beta_1]\)이 성립하기 위해서는 아래 그래프와 같이 \(g(\alpha) \le 0\)이고 \(g(\beta) \le 0\)이어야 한다.

\(g(t) = t^2-(a+1)t+8 = (t^2-at+7) + (-t+1)\)이므로, \(\alpha^2-a\alpha+7=0\)과 \(\beta^2-a\beta+7=0\)을 대입하면

\[g(\alpha) = -\alpha+1 \le 0 \implies \alpha \ge 1, \quad g(\beta) = -\beta+1 \le 0 \implies \beta \ge 1\]

[단계 3: 실수 \(a\)의 최댓값 도출]

이차방정식 \(f(t) = t^2-at+7=0\)의 두 실근이 모두 \(1\) 이상일 조건은 다음과 같다.

① 판별식: \(D = a^2-28 \gt 0 \implies a \gt 2\sqrt{7}\) (\(a \ge 6\)이므로 만족)

② 대칭축: \(\frac{a}{2} \gt 1 \implies a \gt 2\) (\(a \ge 6\)이므로 만족)

③ 경계값: \(f(1) = 1 - a + 7 \ge 0 \implies a \le 8\)

따라서 \(A \subset B\)를 만족시키는 실수 \(a\)의 범위는 \(6 \le a \le 8\)이며, 최댓값은 \(8\)이다.

[소문항 (1) 해설 및 모범 답안]

적분구간이 \([-2, 2]\)이므로 홀수 차수의 항은 정적분 값이 \(0\)이다.

① \(n=1\)일 때:

\[f(1) = \int_{-2}^2 (2x + 3x^2)\,dx = \int_{-2}^2 3x^2\,dx = 2\int_0^2 3x^2\,dx = 2\left[x^3\right]_0^2 = 2 \times 8 = 16\]

② \(n=8\)일 때:

\[f(8) = \int_{-2}^2 (9x^8 + 10x^9)\,dx = \int_{-2}^2 9x^8\,dx = 2\int_0^2 9x^8\,dx = 2\left[x^9\right]_0^2 = 2 \times 2^9 = 2^{10} = 1024\]

따라서 구하고자 하는 값은

\[f(1) + f(8) = 16 + 1024 = 1040\]

[소문항 (2) 심층 전개 및 종합 판정]

[단계 1: 일반항 \(f(n)\)의 홀·짝 판정]

대칭구간 \([-2, 2]\)에서의 정적분 성질을 적용한다.

① \(n\)이 홀수일 때: \(x^n\)은 기함수이므로 적분하면 \(0\)이고, \(x^{n+1}\)은 우함수이므로

\[f(n) = \int_{-2}^2 (n+2)x^{n+1}\,dx = 2\int_0^2 (n+2)x^{n+1}\,dx = 2\left[x^{n+2}\right]_0^2 = 2 \times 2^{n+2} = 2^{n+3}\] \[\implies \log_2 f(n) = n+3\]

② \(n\)이 짝수일 때: \(x^n\)은 우함수이고, \(x^{n+1}\)은 기함수이므로

\[f(n) = \int_{-2}^2 (n+1)x^n\,dx = 2\int_0^2 (n+1)x^n\,dx = 2\left[x^{n+1}\right]_0^2 = 2 \times 2^{n+1} = 2^{n+2}\] \[\implies \log_2 f(n) = n+2\]

[단계 2: 급수의 합 계산]

\(n = 2k-1\) (홀수)과 \(n = 2k\) (짝수)로 묶어 \(k=1\)부터 \(10\)까지 합산한다.

\[\log_2 f(2k-1) = (2k-1)+3 = 2k+2, \quad \log_2 f(2k) = 2k+2\] \[\sum_{n=1}^{20} \log_2\{f(n)\} = \sum_{k=1}^{10} \left\{\log_2 f(2k-1) + \log_2 f(2k)\right\} = \sum_{k=1}^{10} (4k+4) = 4\sum_{k=1}^{10} (k+1)\] \[= 4 \times \left(\frac{10 \times 11}{2} + 10\right) = 4 \times (55 + 10) = 4 \times 65 = 260\]

[소문항 (1) 해설 및 모범 답안]

\(0\)이 아닌 실수 \(a\)에 대하여 도함수 \(f'(x)\)를 구하면

\[f'(x) = 3x^2 - 2ax - a^2 = (x-a)(3x+a)\]

\(a \ne 0\)이므로 \(a \ne -\frac{1}{3}a\)이고, \(f'(x)=0\)은 서로 다른 두 실근 \(x = a, -\frac{1}{3}a\)를 가지므로 함수 \(f(x)\)는 이 두 점에서 극값을 갖는다.

모든 극값의 합을 계산하면

\[f(a) = a^3 - a^3 - a^3 + 1 = -a^3 + 1\] \[f\left(-\frac{1}{3}a\right) = -\frac{1}{27}a^3 - \frac{1}{9}a^3 + \frac{1}{3}a^3 + 1 = \frac{5}{27}a^3 + 1\] \[f(a) + f\left(-\frac{1}{3}a\right) = -\frac{22}{27}a^3 + 2\]

조건 (나)에 의해 \(-\frac{22}{27}a^3 + 2 = -\frac{22}{3}a + 2 \implies \frac{22}{27}a^3 = \frac{22}{3}a\)

\(a \ne 0\)이므로 양변을 \(\frac{22}{27}a\)로 나누면 \(a^2 = 9 \implies a = 3\) 또는 \(a = -3\)이다.

[소문항 (2) 심층 전개 및 종합 판정]

\(a^2 = 9\)이므로 부등식 \(f(x)+a^2 \gt 0\)은 \(f(x) \gt -9\)이다. 소문항 (1)의 두 경우를 검토한다.

(ⅰ) \(a = 3\)일 때:

\(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1\)이고 \(x = -1\)에서 극대, \(x = 3\)에서 극소를 갖는다.

\(x \ge 0\)에서 \(f(x)\)의 최솟값은 극솟값인 \(f(3) = 27 - 27 - 27 + 1 = -26\)이다. 따라서 \(f(3) = -26 \gt -9\)는 성립하지 않는다. (모순)

(ⅱ) \(a = -3\)일 때:

\(f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 1\)이고 \(x = -3\)에서 극대, \(x = 1\)에서 극소를 갖는다.

\(x \ge 0\)에서 \(f(x)\)의 최솟값은 극솟값인 \(f(1) = 1 + 3 - 9 + 1 = -4\)이다. 최솟값이 \(-4 \gt -9\)이므로 \(x \ge 0\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(f(x) \gt -9\)가 항상 성립한다.

따라서 문제의 조건을 만족하는 실수는 \(a = -3\)이며, 구하고자 하는 함숫값은

\[f(3) = 3^3 + 3(3)^2 - 9(3) + 1 = 27 + 27 - 27 + 1 = 28\]

[소문항 (1) 해설 및 모범 답안]

[단계 1: 다항함수의 차수 및 최고차항 결정]

조건 (나)에 의해

\[\lim_{x \to \infty} \frac{g(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)+x^2-1}{x(x^2-a^2)} = 1\]

분모가 최고차항 계수가 \(1\)인 \(3\)차 다항식이므로, 극한값이 \(1\)이 되기 위해서는 분자 \(f(x)+x^2-1\) 역시 최고차항의 계수가 \(1\)인 \(3\)차 다항식이어야 한다.

[단계 2: \(x = \pm a\)에서의 연속성 분석]

함수 \(g(x)\)가 \(x = a\)와 \(x = -a\)에서 연속이므로

\[\lim_{x \to a} \frac{f(x)+x^2-1}{x^2-a^2} = 3, \quad \lim_{x \to -a} \frac{f(x)+x^2-1}{x^2-a^2} = -1\]

각각의 극한에서 \(x \to \pm a\)일 때 분모가 \(0\)으로 수렴하므로 분자도 \(0\)이어야 한다. 따라서 \(f(x)+x^2-1\)은 \((x-a)\)와 \((x+a)\)를 인수로 갖는다. 그러므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\[f(x)+x^2-1 = (x-a)(x+a)(x-b) \quad (b\text{는 실수})\]

[단계 3: \(a, b\) 및 \(f(3)\) 결정]

이를 연속조건에 대입하여 약분하면

\[\lim_{x \to a} (x-b) = a-b = 3, \quad \lim_{x \to -a} (x-b) = -a-b = -1\]

두 식을 더하면 \(-2b = 2 \implies b = -1\)이고, 대입하면 \(a - (-1) = 3 \implies a = 2\)이다. (\(a \gt 0\) 만족)

\[f(x)+x^2-1 = (x^2-4)(x+1) = x^3+x^2-4x-4 \implies f(x) = x^3-4x-3\]

따라서 구하고자 하는 값은 \(f(3) = 27 - 12 - 3 = 12\)이다.

[소문항 (2) 심층 전개 및 종합 판정]

소문항 (1)의 결과에 의해 \(|x| \ne 2\)에서 함수 \(g(x)\)는 다음과 같다.

\[g(x) = x - b = x - (-1) = x+1\]

또한 \(f(x) = x^3-4x-3\)을 인수분해하면 \(f(-1) = -1+4-3=0\)이므로 조립제법에 의해

\[f(x) = (x+1)(x^2-x-3)\]

따라서 구하고자 하는 극한값은

\[\lim_{x \to -1} \frac{g(x)}{f(x)} = \lim_{x \to -1} \frac{x+1}{(x+1)(x^2-x-3)} = \lim_{x \to -1} \frac{1}{x^2-x-3}\] \[= \frac{1}{(-1)^2 - (-1) - 3} = \frac{1}{1 + 1 - 3} = \frac{1}{-1} = -1\]

[소문항 (1) 해설 및 모범 답안]

이등변삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\angle\mathrm{ACB} = \theta\)라 하자. 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 코사인법칙을 적용하면

\[\cos\theta = \frac{\overline{\mathrm{AC}}^2 + \overline{\mathrm{BC}}^2 - \overline{\mathrm{AB}}^2}{2 \times \overline{\mathrm{AC}} \times \overline{\mathrm{BC}}} = \frac{2^2 + 1^2 - 2^2}{2 \times 2 \times 1} = \frac{1}{4}\]

점 \(\mathrm{D}\)가 선분 \(\mathrm{BC}\)를 \(2:1\)로 외분하는 점이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} : \overline{\mathrm{CD}} = 1:1 \implies \overline{\mathrm{CD}} = \overline{\mathrm{BC}} = 1\)이다.

원 \(C_1\)이 직선 \(\mathrm{BC}\)와 \(\mathrm{D}\)에서 접하고 직선 \(\mathrm{AC}\)와 \(\mathrm{E}\)에서 접하므로, 점 \(\mathrm{C}\)에서 원 \(C_1\)에 그은 접선의 길이는 서로 같다.

\[\overline{\mathrm{CE}} = \overline{\mathrm{CD}} = 1\]

삼각형 \(\mathrm{CDE}\)에서 \(\angle\mathrm{DCE} = \pi - \theta\)이므로 \(\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta = -\frac{1}{4}\)이다. 삼각형 \(\mathrm{CDE}\)에 코사인법칙을 적용하면

\[\overline{\mathrm{ED}}^2 = \overline{\mathrm{CE}}^2 + \overline{\mathrm{CD}}^2 - 2 \times \overline{\mathrm{CE}} \times \overline{\mathrm{CD}} \times \cos(\pi - \theta) = 1^2 + 1^2 - 2(1)(1)\left(-\frac{1}{4}\right) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\]

따라서 선분 \(\mathrm{ED}\)의 길이는 \(\overline{\mathrm{ED}} = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}\)이다.

[소문항 (2) 심층 전개 및 종합 판정]

[단계 1: 원 \(C_1\)의 중심 \(Q\)와 반지름 결정]

원 \(C_1\)의 중심을 \(Q\)라 하자. \(\angle\mathrm{QDC} = \angle\mathrm{QEC} = 90^\circ\)이므로 사각형 \(\mathrm{QDCE}\)는 선분 \(\mathrm{QC}\)를 지름으로 하는 원에 내접한다. \(\angle\mathrm{DCE} = \pi - \theta\)이므로 \(\angle\mathrm{DQE} = \theta\)이다.

\(\cos\theta = \frac{1}{4}\)이므로 \(\sin\theta = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \frac{\sqrt{15}}{4}\)이다. 삼각형 \(\mathrm{QED}\)의 외접원의 지름이 \(\overline{\mathrm{QC}}\)이므로 사인법칙에 의해

\[\overline{\mathrm{QC}} = \frac{\overline{\mathrm{ED}}}{\sin\theta} = \frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\]

직각삼각형 \(\mathrm{QEC}\)에서 원의 반지름 \(r = \overline{\mathrm{EQ}}\)는 다음과 같다.

\[r^2 = \overline{\mathrm{EQ}}^2 = \overline{\mathrm{QC}}^2 - \overline{\mathrm{EC}}^2 = \left(\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)^2 - 1^2 = \frac{24}{9} - 1 = \frac{15}{9} \implies r = \frac{\sqrt{15}}{3}\]

[단계 2: 삼각형 \(\mathrm{PED}\)의 높이의 최댓값]

직선 \(\mathrm{QC}\)는 이등변삼각형 \(\mathrm{QED}\)의 꼭지각의 이등분선이므로 밑변 \(\overline{\mathrm{ED}}\)를 수직이등분한다. 선분 \(\mathrm{QC}\)와 선분 \(\mathrm{ED}\)의 교점을 \(\mathrm{R}\)이라 하면 \(\overline{\mathrm{ER}} = \frac{1}{2}\overline{\mathrm{ED}} = \frac{\sqrt{10}}{4}\)이다. 직각삼각형 \(\mathrm{EQR}\)에서

\[\overline{\mathrm{QR}}^2 = \overline{\mathrm{EQ}}^2 - \overline{\mathrm{ER}}^2 = \frac{15}{9} - \frac{10}{16} = \frac{5}{3} - \frac{5}{8} = \frac{25}{24} \implies \overline{\mathrm{QR}} = \frac{5}{2\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{6}}{12}\]

원 위의 점 \(\mathrm{P}\)에서 직선 \(\mathrm{ED}\)까지의 거리가 최대가 되는 점을 \(\mathrm{P}'\)이라 하면, \(\mathrm{P}'\)은 반직선 \(\mathrm{RQ}\)가 원과 만나는 점이므로 최대 높이는 \(h_{\max} = \overline{\mathrm{QR}} + r = \frac{5\sqrt{6}}{12} + \frac{\sqrt{15}}{3}\)이다.

[단계 3: 넓이의 최댓값 계산]

\[\Delta \mathrm{P'ED} = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{ED}} \times (\overline{\mathrm{QR}} + \overline{\mathrm{P'Q}}) = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{10}}{2} \times \left(\frac{5\sqrt{6}}{12} + \frac{\sqrt{15}}{3}\right)\] \[= \frac{\sqrt{10}}{4} \times \frac{5\sqrt{6}}{12} + \frac{\sqrt{10}}{4} \times \frac{\sqrt{15}}{3} = \frac{5\sqrt{60}}{48} + \frac{\sqrt{150}}{12} = \frac{10\sqrt{15}}{48} + \frac{5\sqrt{6}}{12} = \frac{5\sqrt{15}}{24} + \frac{5\sqrt{6}}{12}\]

[소문항 (1) 해설 및 모범 답안]

(ⅰ) \(n=1\)일 때:

조건 (가)에 의해 \(a = 1\)이다. 조건 (다)에 \(n=1, a=1\)을 대입하면

\[-1+1+1 - \frac{1}{3} \lt b \le 1+2 + \frac{1}{1-1-1} \iff \frac{2}{3} \lt b \le 2\]

\(b\)는 자연수이므로 \(b = 1, 2\)이다. 순서쌍 \((a, b)\)는 \((1, 1), (1, 2)\)의 \(2\)개이므로 \(A_1 = 2\)이다.

(ⅱ) \(n=2\)일 때:

조건 (가)에 의해 \(a \in \{1, 2\}\)이다.

① \(a = 1\)일 때: 조건 (다)에 대입하면

\[-1+2+1 - \frac{1}{4} \lt b \le 2+2 + \frac{1}{1-2-1} \iff \frac{7}{4} \lt b \le \frac{7}{2}\]

\(b\)는 자연수이므로 \(b = 2, 3\) (2개: \((1, 2), (1, 3)\))이다.

② \(a = 2\)일 때: 조건 (다)에 대입하면

\[-2+2+1 - \frac{1}{4} \lt b \le 2+2 + \frac{1}{2-2-1} \iff \frac{3}{4} \lt b \le 3\]

\(b\)는 자연수이므로 \(b = 1, 2, 3\) (3개: \((2, 1), (2, 2), (2, 3)\))이다.

따라서 순서쌍의 총 개수는 \(2 + 3 = 5\)이므로 \(A_2 = 5\)이다.

[소문항 (2) 심층 전개 및 종합 판정]

[단계 1: 주어진 \(a\)에 대한 \(b\)의 개수 산출]

\(n\) 이하의 자연수 \(a\)에 대하여 조건 (다)의 부등식을 다음과 같이 변형한다.

\[(n-a) + \left(1 - \frac{1}{n+2}\right) \lt b \le (n+2) - \frac{1}{n-a+1} \quad \cdots \text{①}\]

\(n \ge 1\)이므로 \(0 \lt 1 - \frac{1}{n+2} \lt 1\)이다. 따라서 부등식 좌변을 만족하는 가장 작은 자연수 \(b\)는 \((n-a)+1\)이다.

또한 \(a \le n\)이므로 \(n-a+1 \ge 1\)이고 \(0 \lt \frac{1}{n-a+1} \le 1\)이다. 따라서 \(n+1 \le (n+2) - \frac{1}{n-a+1} \lt n+2\)이므로 부등식 우변을 만족하는 가장 큰 자연수 \(b\)는 \(n+1\)이다.

그러므로 조건을 만족하는 자연수 \(b\)는

\[b \in \{n-a+1, n-a+2, \dots, n+1\}\]

따라서 주어진 \(a\)에 대하여 가능한 \(b\)의 개수는 \((n+1) - (n-a+1) + 1 = a+1\)개이다.

[단계 2: 일반항 \(A_n\) 및 합 계산]

\(a\)가 \(1\)부터 \(n\)까지 변하므로 모든 순서쌍의 개수 \(A_n\)은

\[A_n = \sum_{a=1}^n (a+1) = \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{n^2+3n}{2}\]

따라서 구하고자 하는 급수의 합은

\[\sum_{n=1}^{20} A_n = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{20} (n^2+3n) = \frac{1}{2}\left(\frac{20 \times 21 \times 41}{6} + 3 \times \frac{20 \times 21}{2}\right)\] \[= \frac{1}{2}(2870 + 630) = \frac{1}{2} \times 3500 = 1750\]