[논제 1]
함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)에 대하여 다음이 성립한다. \[f(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 = -7, \quad g(-1) = \frac{3}{2}(-1) - \frac{11}{2} = -7\] 이므로 \(f(-1) = g(-1)\)이다. 즉, 방정식 \(f(x) - g(x) = 0\)은 \(x+1\)을 인수로 가진다. 조립제법을 통해 식을 인수분해하면 다음과 같다. \[f(x) - g(x) = x^3 - 6x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{11}{2} = (x+1)\left(x^2 - 7x + \frac{11}{2}\right) = 0\] 유리수가 아닌 두 근 \(\alpha, \beta\)는 이차방정식 \(x^2 - 7x + \frac{11}{2} = 0\)의 근이다. 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립한다. \[\alpha + \beta = 7, \quad \alpha\beta = \frac{11}{2}\] 따라서 구하고자 하는 상수 \(L\)의 값은 다음과 같다. \[\begin{aligned} L &= \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) \\ &= (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta) \\ &= 7 \left(7^2 - 3 \times \frac{11}{2}\right) = 7 \left(49 - \frac{33}{2}\right) = 7 \times \frac{65}{2} = \frac{455}{2} \end{aligned}\]

[논제 2]
함수 \(h(x) = mx - m - 4 = m(x-1) - 4\)라고 하자. 방정식 \(f(x) - mx + m + 4 = 0\)의 서로 다른 실근의 개수가 2개라는 것은 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = h(x)\)가 서로 다른 두 점에서 만남을 의미하며, 이는 한 점에서 접하고 다른 한 점에서 만남을 뜻한다. 곡선 \(y=f(x)\) 위의 접점의 \(x\)좌표를 \(p\)라 하면, 접점 \((p, f(p))\)에서의 접선 방정식은 다음과 같다. \[y = (3p^2 - 12p)(x-p) + p^3 - 6p^2 = (3p^2 - 12p)x - 2p^3 + 6p^2\] 이 접선이 직선 \(y = m(x-1)-4\), 즉 \((1, -4)\)를 지나는 직선과 일치해야 하므로, 접선 식에 \(x=1, y=-4\)를 대입한다. \[-4 = (3p^2 - 12p)(1-p) + p^3 - 6p^2 \implies -4 = -2p^3 + 9p^2 - 12p\] 정리하면 \(2p^3 - 9p^2 + 12p - 4 = 0\)이며, 인수분해하면 \(2(p-2)^2\left(p-\frac{1}{2}\right) = 0\)이다. 따라서 \(p = 2\) 또는 \(p = \frac{1}{2}\)이다.
i) \(p = 2\)인 경우: 기울기 \(m = 3(2)^2 - 12(2) = -12\)이다. 이때 \(f(x) - h(x) = (x-2)^3 = 0\)이 되어 삼중근 \(x=2\)만을 실근으로 갖는다. 이는 실근의 개수가 1개이므로 모순이다.
ii) \(p = \frac{1}{2}\)인 경우: 기울기 \(m = 3(1/2)^2 - 12(1/2) = -\frac{21}{4}\)이다. 이때 \(f(x) - h(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2(x-5) = 0\)이 되어 실근이 \(x=\frac{1}{2}, 5\)로 2개가 되므로 조건에 부합한다. 따라서 구하는 상수 \(m = -\frac{21}{4}\)이다.

[논제 1]
\(X = x+t\)라 하면, \(t \to 0+\) 일 때 \(X \to x+\) 이고, \(t \to 3+\) 일 때 \(X \to (x+3)+\) 이다. 따라서 \(h(x) = \lim_{X \to x+} g(X) \cdot \lim_{X \to (x+3)+} g(X)\) 이다. \(x\)의 범위에 따라 \(x\)와 \(x+3\)이 속하는 범위를 고려하여 \(h(x)\)를 작성하면 다음과 같다. \[h(x) = \begin{cases} 3x \times 3(x+3) = 9x(x+3) & (x \ge 3) \\ f(x) \times 3(x+3) = 3(x+3)f(x) & (0 \le x < 3) \\ 3x \times f(x+3) = 3x f(x+3) & (-3 \le x < 0) \\ 3x \times 3(x+3) = 9x(x+3) & (x < -3) \end{cases}\] 주어진 함수 \(h(x)\)는 모든 실수 \(x\)에서 연속이므로 경계값 \(x=3, x=0, x=-3\)에서 연속이어야 한다.
1) \(x=3\)에서의 연속성: \[\lim_{x \to 3+} h(x) = 9 \times 3 \times 6 = 162, \quad \lim_{x \to 3-} h(x) = 18 f(3) \implies 18 f(3) = 162 \implies f(3) = 9\] 2) \(x=0\)에서의 연속성: \[\lim_{x \to 0+} h(x) = 9 f(0), \quad \lim_{x \to 0-} h(x) = 0 \implies 9 f(0) = 0 \implies f(0) = 0\] 따라서 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f(0) = 0, f(3) = 9\) 이므로, \(f(0) + f(3) = 9\) 이다.

[논제 2]
\(\int_{-5}^{5} h(x) dx = 600\)을 구간별로 나누어 적분 식을 세우면 다음과 같다. \[\int_{-5}^{-3} 9x(x+3) dx + \int_{-3}^{0} 3x f(x+3) dx + \int_{0}^{3} 3(x+3) f(x) dx + \int_{3}^{5} 9x(x+3) dx = 600\] 다항식으로 된 적분 구간의 값을 직접 계산하면: \[\int_{-5}^{-3} 9(x^2 + 3x) dx = 9 \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_{-5}^{-3} = 78\] \[\int_{3}^{5} 9(x^2 + 3x) dx = 9 \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_{3}^{5} = 510\] 따라서 \(78 + \int_{-3}^{0} 3x f(x+3) dx + \int_{0}^{3} 3(x+3) f(x) dx + 510 = 600\) 이므로 \[\int_{-3}^{0} 3x f(x+3) dx + \int_{0}^{3} 3(x+3) f(x) dx = 12\] 여기서 첫 번째 적분항에 대해 \(u = x+3\)으로 치환하면 \(dx = du\)이고 \(x=u-3\)이며, 적분 구간은 \([0, 3]\)이 된다. \[\int_{-3}^{0} 3x f(x+3) dx = \int_{0}^{3} 3(u-3) f(u) du = \int_{0}^{3} 3(x-3) f(x) dx\] 이를 식에 대입하여 더해주면 다음과 같다. \[\int_{0}^{3} 3(x-3) f(x) dx + \int_{0}^{3} 3(x+3) f(x) dx = \int_{0}^{3} 6x f(x) dx = 12\] 따라서 구하고자 하는 적분값은 \(\int_{0}^{3} x f(x) dx = 2\) 이다.

[논제 1]
제시문 (ㄱ)-(나)에 의해 \(\sin 2B = \sin 2C\) 또는 \(\cos 2B = \cos 2C\) 이다. 삼각형의 각은 \(0 < B, C < \pi\) 이다.
1) \(\sin 2B = \sin 2C \implies 2B = 2C\) 또는 \(2B + 2C = \pi \implies B = C\) 또는 \(B+C = \frac{\pi}{2}\)
2) \(\cos 2B = \cos 2C \implies 2B = 2C\) 또는 \(2B + 2C = 2\pi \implies B = C\) 또는 \(B+C = \pi\) 삼각형 내각의 합 조건상 \(B+C = \pi\)는 불가능하므로, 가능한 경우는 \(A = \frac{\pi}{2}\)인 직각삼각형 또는 \(B=C\)인 이등변삼각형이다. \(\cos B = \frac{1}{3}\)일 때 \(\overline{BC}\)의 길이를 구하자.
i) 직각삼각형인 경우 (\(A = \frac{\pi}{2}\)): \(\cos B = \frac{1}{3} > 0\) 이므로 \(B\)는 예각이다. 또한 \(\cos B < \cos \frac{\pi}{4} \implies B > \frac{\pi}{4}\) 이므로 \(B > C\) 이다. 가장 짧은 변은 \(C\)의 대변인 \(\overline{AB}\)가 되어 \(\overline{AB} = 3\)이다. 직각삼각형 정의에 의해 \(\overline{BC} = \frac{\overline{AB}}{\cos B} = 9\)이다.
ii) 이등변삼각형인 경우 (\(B=C\)): \(\cos B = \frac{1}{3} < \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3} \implies B > \frac{\pi}{3}\) 이다. 이때 \(A = \pi - 2B < \frac{\pi}{3}\) 이므로 \(A\)가 가장 작은 각이다. 가장 짧은 변은 \(A\)의 대변인 \(\overline{BC}\)가 되어 \(\overline{BC} = 3\)이다. 따라서 (i), (ii)에 의해 집합 \(M = \{3, 9\}\)이다.

[논제 2]
삼각형 \(APC\)와 \(BPC\)의 외접원 반지름을 \(R_1, R_2\)라 하자. 선분 \(PC\)에 대하여 사인법칙을 적용하면: \[2R_1 = \frac{\overline{PC}}{\sin A}, \quad 2R_2 = \frac{\overline{PC}}{\sin B} \implies \frac{S_1}{S_2} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{\sin^2 B}{\sin^2 A}\] 삼각형 \(ABC\)에 대해 사인법칙을 쓰면 \(\frac{\overline{BC}}{\sin A} = \frac{\overline{AC}}{\sin B} = 2R \implies \frac{\sin B}{\sin A} = \frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}\) 이므로, \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{\overline{AC}^2}{\overline{BC}^2}\) 이 성립한다.
i) 직각삼각형일 때 (\(A=\frac{\pi}{2}\)): 피타고라스 정리에 의해 \(\overline{AC}^2 + \overline{AB}^2 = \overline{BC}^2\) 이다.
ii) 이등변삼각형일 때 (\(B=C\)): 수선의 발을 통해 \(\cos B = \frac{\overline{BC}}{2\overline{AC}} \implies \frac{\overline{AC}^2}{\overline{BC}^2} = \frac{1}{4\cos^2 B}\) 이다.
1) \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{8}\) 인 경우: 이등변삼각형에서는 \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{4\cos^2 B} \ge \frac{1}{4}\)이므로 \(\frac{1}{8}\)이 될 수 없다. 따라서 직각삼각형만 가능하다. \(\overline{AC}^2 : \overline{AB}^2 : \overline{BC}^2 = 1 : 7 : 8\) 이며, \(\overline{AC} < \overline{AB} < \overline{BC}\) 에서 가장 짧은 변은 \(\overline{AC} = 3\) 이다. 따라서 \(\overline{BC} = 3\sqrt{8} = 6\sqrt{2}\) 이며, \(p = 6\sqrt{2}\) 이다.
2) \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{3}{8}\) 인 경우: - 직각삼각형: \(\overline{AC}^2 : \overline{AB}^2 : \overline{BC}^2 = 3 : 5 : 8\). 가장 짧은 변은 \(\overline{AC} = 3\) 이므로 \(\overline{BC} = 2\sqrt{6}\) 이다. - 이등변삼각형: \(\frac{1}{4\cos^2 B} = \frac{3}{8} \implies \cos B = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\) 이다. \(B < A\)에서 \(\overline{AB} = 3\) 이므로 \(\overline{BC} = 2\overline{AC}\cos B = 6\cos B = 2\sqrt{6}\) 이다. 두 경우 모두 \(\overline{BC} = 2\sqrt{6}\) 이므로 최솟값 \(q = 2\sqrt{6}\) 이다.
3) \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{5}{8}\) 인 경우: - 직각삼각형: \(\overline{AC}^2 : \overline{AB}^2 : \overline{BC}^2 = 5 : 3 : 8\). 가장 짧은 변은 \(\overline{AB} = 3\) 이므로 \(\overline{BC} = 2\sqrt{6}\) 이다. - 이등변삼각형: \(\frac{1}{4\cos^2 B} = \frac{5}{8} \implies \cos B = \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}\) 이다. 가장 짧은 변 \(\overline{AB}=3\)을 이용하여 \(\overline{BC} = 6\cos B = \frac{6\sqrt{10}}{5}\) 을 얻는다. \(2\sqrt{6} > \frac{6\sqrt{10}}{5}\) 이므로 \(\overline{BC}\)의 최솟값은 이등변삼각형일 때의 \(r = \frac{6\sqrt{10}}{5}\) 이다.

[논제 1]
집합 \(A\)의 원소는 등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제100항까지로, 크기순으로 나열하면 \(a_1 < a_2 < \dots < a_{100}\) 이다. 집합 \(A\)의 원소 중 하나를 제외한 나머지 99개 원소들의 평균은 가장 작은 원소인 \(a_1\)을 제외할 때 가장 크고, 가장 큰 원소인 \(a_{100}\)을 제외할 때 가장 작다. 등차수열의 일반항은 \(a_k = 3 + 7(k-1)\) 이므로, 평균의 최솟값 \(m\)은 가장 큰 원소인 \(a_{100}\)을 제외한 경우이다. \[\begin{aligned} m &= \frac{1}{99}\sum_{k=1}^{99} (3 + 7(k-1)) = \frac{a_1 + a_{99}}{2} \\ &= \frac{3 + (3 + 7 \times 98)}{2} = \frac{6 + 686}{2} = 346 \end{aligned}\] 평균의 최댓값 \(M\)은 가장 작은 원소인 \(a_1\)을 제외한 경우이다. \[\begin{aligned} M &= \frac{1}{99}\sum_{k=2}^{100} (3 + 7(k-1)) = \frac{a_2 + a_{100}}{2} \\ &= \frac{10 + (3 + 7 \times 99)}{2} = \frac{10 + 696}{2} = 353 \end{aligned}\] 따라서 \(m = 346, M = 353\) 이다.

[논제 2]
집합 \(B\)의 원소 중 하나를 제외한 나머지 \(N-1\)개 원소들의 평균은 가장 작은 원소 \(a_1\)을 제외할 때 가장 크고, 가장 큰 원소 \(a_N\)을 제외할 때 가장 작다. 따라서 제시문 (ㄷ)의 조건에 의해 다음 부등식이 성립한다. \[\frac{1}{N-1}\sum_{k=1}^{N-1} a_k \le 97 + \frac{1}{9} \le \frac{1}{N-1}\sum_{k=2}^{N} a_k\] 이 부등식을 등차수열 합의 공식을 이용하여 정리하면: \[-4 + \frac{7}{2}N \le 97 + \frac{1}{9} \le 3 + \frac{7}{2}N\] 양변에 \(2\)를 곱하고 식을 각각 정리하면: \[26 + \frac{56}{63} \le N \le 28 + \frac{56}{63}\] \(N\)은 자연수이므로 가능한 \(N\)의 값은 \(27\) 또는 \(28\) 이다. 한편, 원소 \(p\)를 제외한 \(N-1\)개 원소들의 합 \((N-1) \times \left(97 + \frac{1}{9}\right) = (N-1) \times \frac{874}{9}\) 은 정수여야 하므로, \(N-1\)은 \(9\)의 배수여야 한다. \(N=27\) 이면 \(N-1=26\) (9의 배수가 아님), \(N=28\) 이면 \(N-1=27\) (9의 배수임)이므로 만족하는 \(N\)의 값은 \(28\) 이다. 따라서 집합 \(B\)의 원소 \(p\)를 제외한 나머지 27개 원소들의 평균이 \(\frac{874}{9}\) 이므로: \[\begin{aligned} p &= \sum_{k=1}^{28} a_k - 27 \times \left(97 + \frac{1}{9}\right) = \sum_{k=1}^{28} (3 + 7(k-1)) - 2622 \\ &= \left( 28 \times 3 + 7 \times \frac{27 \times 28}{2} \right) - 2622 = 2730 - 2622 = 108 \end{aligned}\] 따라서 구하고자 하는 원소 \(p\)의 값은 \(108\) 이다.

[논제 1]
함수 \(g(x) = f(x) - kx\)는 최고차항의 계수가 \(a\)인 삼차함수이다. 제시문 (ㄱ)의 조건에 의해 곡선 \(y = g(x)\)는 직선 \(y = 1\)과 \(x = \alpha, 1\)에서만 만나며, \(y = -1\)과 \(x = -1, \beta\)에서만 만나므로 \(y = 1\) 및 \(y = -1\)에 각각 접한다. 따라서 삼차함수 \(g(x)\)의 극댓값과 극솟값은 각각 \(1\)과 \(-1\)이다. 만약 \(g(x)\)의 최고차항의 계수 \(a\)가 양수라고 가정하면, \(1\)이 극댓값이므로 \(g(\alpha) = g(1) = 1\) (\(\alpha < 1\))에서 \(g'(\alpha) = 0\) 이고, \(-1\)이 극솟값이므로 \(g(-1) = g(\beta) = -1\) (\(-1 < \beta\))에서 \(g'(\beta) = 0\) 이 된다. 이때 닫힌구간 \([\alpha, \beta]\)에서 \(g(x)\)는 감소하므로 \(g(-1) = g(\beta) = -1\) 에서 \(-1 < \alpha\) 가 되어 문제의 조건 \(\alpha < -1\)에 모순이 발생한다. 따라서 최고차항의 계수 \(a < 0\) 이다. 이에 따라 극댓값은 \(g(1) = 1\) 이고 극솟값은 \(g(-1) = -1\) 이며, \(g'(1) = 0, g'(-1) = 0\) 이 성립한다. 도함수를 \(g'(x) = 3a(x^2 - 1)\) 이라 놓으면 \(g(x) = a(x^3 - 3x) + b\) 이다. \(g(-1) = 2a + b = -1\), \(g(1) = -2a + b = 1\) 을 연립하면 \(a = -\frac{1}{2}, b = 0\) 이다. 따라서 구하는 함수 \(g(x) = -\frac{1}{2}(x^3 - 3x)\) 이다.

[논제 2]
논제 1의 결과에 의해 삼차함수 \(f(x) = -\frac{1}{2}x^3 + \left(k + \frac{3}{2}\right)x\) 이다. 삼차함수 \(h(x) = f(x) - (x^2 + cx + c)\) 라고 하자. 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = x^2 + cx + c\)가 두 점에서만 만나므로, 방정식 \(h(x) = 0\) 은 \(x = t, 2\)에서 실근을 갖고 둘 중 하나는 중근이다. \(h(x)\)의 최고차항의 계수가 \(-\frac{1}{2}\)이므로 다음 두 경우로 나눌 수 있다.
1) \(h(x) = -\frac{1}{2}(x-t)^2(x-2)\) 인 경우: 전개하면 \(h(x) = -\frac{1}{2}\left(x^3 - 2(t+1)x^2 + (t^2 + 4t)x - 2t^2\right)\) 이다. 한편 \(h(x) = -\frac{1}{2}x^3 - x^2 + \left(k-c+\frac{3}{2}\right)x - c\) 이므로 계수를 비교하면: \(t+1 = -1 \implies t = -2\) 이고, \(-c = -\frac{1}{2}(2t^2) = t^2 \implies c = -4\) 이며, \(k-c+\frac{3}{2} = -\frac{1}{2}(t^2+4t) = 2 \implies k - (-4) + \frac{3}{2} = 2 \implies k = -\frac{7}{2}\) 이다. 이는 \(k > 0\) 조건에 모순이므로 성립하지 않는다.
2) \(h(x) = -\frac{1}{2}(x-t)(x-2)^2\) 인 경우: 전개하면 \(h(x) = -\frac{1}{2}\left(x^3 - (t+4)x^2 + 4(t+1)x - 4t\right)\) 이다. 계수를 비교하면: \(\frac{t+4}{2} = -1 \implies t = -6\) 이고, \(-c = -\frac{1}{2}(4t) = 2t \implies c = 12\) 이며, \(k-c+\frac{3}{2} = -2(t+1) = 10 \implies k - 12 + \frac{3}{2} = 10 \implies k = \frac{41}{2}\) 이다. 이는 \(k = \frac{41}{2} > 0\) 이므로 조건에 만족한다. 따라서 구하는 실수 \(c\)의 값은 \(12\) 이다.

[논제 1]
급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{t}{e^t}\right)^n\) 은 첫째항과 공비가 모두 \(r = \frac{t}{e^t}\) 인 등비급수이다. 함수 \(F(t) = \frac{t}{e^t} = te^{-t}\) 라 하면, 도함수는 \(F'(t) = (1-t)e^{-t}\) 이다. \(F(t)\)는 구간 \((-\infty, 1]\)에서 증가하고, \([1, \infty)\)에서 감소하므로 \(t=1\)에서 최댓값 \(F(1) = \frac{1}{e}\) 을 가진다. 또한 \(\lim_{t \to \infty} F(t) = 0\), \(\lim_{t \to -\infty} F(t) = -\infty\), \(F(0) = 0\) 이다. 등비급수의 수렴 조건은 \(|r| < 1\), 즉 \(-1 < F(t) < 1\) 이다. 최댓값이 \(\frac{1}{e} < 1\) 이므로 우측 부등식 \(F(t) < 1\)은 항상 성립한다. 따라서 수렴 조건은 \(F(t) > -1\) 이다. \(F(t)\)는 증가함수이므로, \(F(t) > -1\) 을 만족하는 실수의 범위는 \(t > a\) (여기서 \(F(a) = -1\)) 이다. \(t > a\) 일 때, 등비급수의 합은 \(\frac{r}{1-r} = \frac{t}{e^t - t}\) 이다. 함수 \(f(t) = \frac{F(t)}{1 - F(t)}\) 이고, \(y = \frac{r}{1-r}\) 은 \(-1 < r < 1\) 에서 증가함수이므로, \(F(t)\)가 최댓값 \(F(1) = \frac{1}{e}\) 을 가질 때 \(f(t)\)도 최댓값 \(M\)을 갖는다. \[M = \frac{F(1)}{1 - F(1)} = \frac{1/e}{1 - 1/e} = \frac{1}{e - 1}\] 따라서 \(M = \frac{1}{e-1}\) 이다.

[논제 2]
함수 \(F(t) = \frac{t}{e^t}\) 는 \(t \le 1\) 에서 증가함수이다. \(|\cos\alpha| \le 1\), \(|\sin\alpha| \le 1\) 이므로, \(F(\cos\alpha) \le F(\sin\alpha)\) 일 필요충분조건은 \(\cos\alpha \le \sin\alpha\) 이다. \(0 \le \alpha \le 2\pi\) 이므로 \(\cos\alpha \le \sin\alpha\) 의 해는 \(\frac{\pi}{4} \le \alpha \le \frac{5\pi}{4}\) 이다. 따라서 집합 \(A = \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]\) 이다. 다음으로 둘러싸인 넓이 \(S\)를 구하자. \(q(x) = g(x) - h(x) = e^{\cos x}\sin x - e^{\sin x}\cos x\) 라 하면, \(S = \int_{0}^{2\pi} |q(x)| dx\) 이다. \(q(x) \ge 0 \iff F(\sin x) \ge F(\cos x) \iff \sin x \ge \cos x \iff x \in A\) 이므로: \[S = -\int_{0}^{\pi/4} q(x) dx + \int_{\pi/4}^{5\pi/4} q(x) dx - \int_{5\pi/4}^{2\pi} q(x) dx\] \(q(x)\)의 부정적분을 구하기 위해 치환적분을 사용한다. \(Q(x) = -e^{\cos x} - e^{\sin x}\) 라 하면 \(Q'(x) = e^{\cos x}\sin x - e^{\sin x}\cos x = q(x)\) 이므로 \(Q(x)\)는 \(q(x)\)의 부정적분이다. \[\begin{aligned} S &= -[Q(x)]_{0}^{\pi/4} + [Q(x)]_{\pi/4}^{5\pi/4} - [Q(x)]_{5\pi/4}^{2\pi} \\ &= Q(0) - 2Q\left(\frac{\pi}{4}\right) + 2Q\left(\frac{5\pi}{4}\right) - Q(2\pi) \end{aligned}\] \(Q(0) = -e - 1\), \(Q(2\pi) = -e - 1\), \(Q\left(\frac{\pi}{4}\right) = -2e^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\), \(Q\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -2e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\) 이므로, \[S = (-e-1) - 2\left(-2e^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) + 2\left(-2e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) - (-e-1) = 4\left(e^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)\] 따라서 집합 \(A = \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]\), 넓이 \(S = 4\left(e^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)\) 이다.

[논제 1]
삼각형 \(ABC\)의 세 각의 합은 \(\pi\)이므로 \(\cos(B+C) = \cos(\pi - A) = -\cos A\) 이다.
한편, \(\overline{BC}=a, \overline{AC}=b\)라 하면 사인법칙과 코사인법칙에 의해 다음이 성립한다. \[\sin B = \frac{b}{2R}, \quad \sin C = \frac{c}{2R}, \quad \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\] 이를 제시문 (ㄱ)의 관계식에 대입하면 다음과 같다. \[\sin C \cos(B+C) + \sin B = 0 \iff -\sin C \cos A + \sin B = 0\] \[\iff -\frac{c}{2R} \cdot \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} + \frac{b}{2R} = 0 \iff c^2 = a^2 + b^2\] 따라서 삼각형 \(ABC\)는 \(C = \frac{\pi}{2}\) 인 직각삼각형이다. 사인법칙을 이용하면 다음을 얻는다. \[\frac{c}{R} = 2\sin C = 2\]

[논제 2]
내접원의 성질에 의해 \(\overline{AP} = mx, \overline{PB} = nx\) (\(x > 0\))라 하면 변들의 길이는 다음과 같다. \[a = nx + 2, \quad b = mx + 2, \quad c = (m + n)x\] 이때 \(a, b, c\)가 자연수이므로 \(x\)는 반드시 유리수여야 한다. 이 식들을 피타고라스 정리 \(c^2 = a^2 + b^2\) 에 대입하면 다음과 같다. \[(m+n)^2 x^2 = (nx+2)^2 + (mx+2)^2 \iff mnx^2 - 2(m+n)x - 4 = 0\] 이차방정식의 판별식을 \(D\)라 할 때, 유리수 해 \(x\)가 존재하기 위해선 \(\frac{D}{4} = (m+n)^2 + 4mn\) 이 어떤 자연수의 제곱이어야 한다. \(m, n\)은 \(3\) 이하의 자연수이므로 가능한 모든 경우를 조사하면 다음과 같다. - \((m, n) = (1, 1) \implies \frac{D}{4} = 8\) (탈락) - \((m, n) = (1, 2)\) 또는 \((2, 1) \implies \frac{D}{4} = 17\) (탈락) - \((m, n) = (1, 3)\) 또는 \((3, 1) \implies \frac{D}{4} = 28\) (탈락) - \((m, n) = (2, 2) \implies \frac{D}{4} = 32\) (탈락) - \((m, n) = (2, 3)\) 또는 \((3, 2) \implies \frac{D}{4} = 49 = 7^2\) (적합) - \((m, n) = (3, 3) \implies \frac{D}{4} = 72\) (탈락) 따라서 적합한 순서쌍은 \((m, n) = (2, 3)\) 또는 \((3, 2)\) 이다.
이때 이차방정식은 \(6x^2 - 10x - 4 = 0 \iff (3x+1)(x-2) = 0\) 이고 \(x > 0\) 이므로 \(x = 2\) 이다. - \(m=3, n=2\) 이면 \(a = nx + 2 = 6\) 이다. - \(m=2, n=3\) 이면 \(a = nx + 2 = 8\) 이다. 따라서 가능한 \(a\)의 값은 \(6, 8\) 이다.

[논제 1]
삼차함수 \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)라 하자. 조건 (가) \(f(x) + f(-x) = 4\) 에 대입하면 다음과 같다. \[f(x) + f(-x) = 2bx^2 + 2d = 4\] 이 식은 모든 실수 \(x\)에 대해 성립하므로 \(b = 0, d = 2\) 이다. 따라서 \(f(x) = ax^3 + cx + 2\) 이다. 이를 미분하면 \(f'(x) = 3ax^2 + c\) 이다. 조건 (나) \(f'(1) - f'(0) = -3\) 에 대입하면 다음과 같다. \[(3a + c) - c = 3a = -3 \implies a = -1\] 따라서 삼차함수 \(f(x)\)의 최고차항의 계수는 \(-1\) 이다.

[논제 2]
\(f(x) = -x^3 + cx + 2\) 이고 \(f'(x) = -3x^2 + c\) 이다. \(f'(0) > 0\) 이므로 \(c > 0\) 이다. \(f'(x) = 0 \iff x = \pm \sqrt{\frac{c}{3}}\) 이므로 함수 \(f(x)\)는 극값을 가지며, 극솟값은 \(f\left(-\sqrt{\frac{c}{3}}\right) = 2 - \frac{2c}{3}\sqrt{\frac{c}{3}}\) 이고, 극댓값은 \(f\left(\sqrt{\frac{c}{3}}\right) = 2 + \frac{2c}{3}\sqrt{\frac{c}{3}}\) 이다. 극댓값은 항상 \(2\)보다 크고 극솟값은 항상 \(2\)보다 작다. 방정식 \(f(x) = k\)의 실근의 개수 \(A(k)\)에 대해 다음을 분석한다. - \(A(20) = 3\) 이면 조건 (가)에 의해 \(A(0) = 3, A(18) = 3\) 이 되나, 이는 조건 (나) \(A(0) - A(18) = A(20)\) 를 만족시키지 않는다. - \(A(20) = 2\) 이면 조건 (나)에 의해 \(A(0) - A(18) = 2\) 이므로 \(A(0) = 3, A(18) = 1\) 이어야 한다. 그러나 이는 조건 (가) \(A(0) \ge A(18)\) 에 모순이다. - 따라서 \(A(20) = 1\) 이어야 하며, 조건 (나)에 의해 가능한 경우는 다음과 같다.
1) \(A(0) = 2, A(18) = 1, A(20) = 1\) 인 경우:
\(A(0) = 2\) 이므로 극솟값이 \(0\) 이어야 한다. \[2 - \frac{2c}{3}\sqrt{\frac{c}{3}} = 0 \implies c = 3\] 이때 극댓값은 \(4\)이므로 \(A(18) = 1, A(20) = 1\) 을 모두 만족한다. 따라서 \(f(x) = -x^3 + 3x + 2\) 이다. \[I = \int_{0}^{2} (-x^3 + 3x + 2) dx = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^2 + 2x \right]_{0}^{2} = -4 + 6 + 4 = 6\] 2) \(A(0) = 3, A(18) = 2, A(20) = 1\) 인 경우:
\(A(18) = 2\) 이므로 극댓값이 \(18\) 이어야 한다. \[2 + \frac{2c}{3}\sqrt{\frac{c}{3}} = 18 \implies c = 12\] 이때 극솟값은 \(-14\)이므로 \(A(0) = 3, A(20) = 1\) 을 모두 만족한다. 따라서 \(f(x) = -x^3 + 12x + 2\) 이다. \[I = \int_{0}^{2} (-x^3 + 12x + 2) dx = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + 6x^2 + 2x \right]_{0}^{2} = -4 + 24 + 4 = 24\] 따라서 가능한 \(I\)의 값은 \(6, 24\) 이다.

[논제 1]
수열 \({a_n}\)의 일반항은 \(a_n = a + b(n-1)\) 이다. \(a_k + a_m = 2a + b(k+m-2) = 0\) 이므로 공차 \(b\)는 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[b = -\frac{2a}{k+m-2} = -\frac{2a}{l} \quad (\text{단, } l = k+m-2\text{는 자연수})\] 위 식을 만족시키는 순서쌍 \((k, m)\) (단, \(k < m\))의 개수는 \(k+m = l+2\) 를 만족시키는 자연수 순서쌍의 개수와 같다. - \(l > 4\) 이면 순서쌍 \((k, m)\)은 \((1, l+1), (2, l), (3, l-1)\) 등 최소 3개 이상 존재한다. - \(l = 4\) 이면 순서쌍 \((k, m)\)은 \((1, 5), (2, 4)\) 로 정확히 2개 존재한다. - \(l = 3\) 이면 순서쌍 \((k, m)\)은 \((1, 4), (2, 3)\) 으로 정확히 2개 존재한다. - \(l = 2\) 이면 순서쌍 \((k, m)\)은 \((1, 3)\) 으로 정확히 1개 존재한다. 따라서 개수가 1개 또는 2개가 되도록 하는 자연수 \(l\) 중 최댓값은 \(4\) 이다. 공차 \(b = -\frac{2a}{l}\) 에서 \(b\)가 가장 크려면 분모 \(l\)이 가장 커야 하므로 최댓값 \(d\)는 다음과 같다. \[d = -\frac{2a}{4} = -\frac{a}{2}\]

[논제 2]
\(d = -\frac{a}{2}\) 이므로 수열 \({b_n}\)의 일반항은 다음과 같다. \[b_n = a - \frac{a}{2}(n-1) = \frac{a}{2}(3-n)\] - \(k \le 3\) 이면 \(|b_k| = \frac{a}{2}(3-k)\) 이고, \(k \ge 3\) 이면 \(|b_k| = \frac{a}{2}(k-3)\) 이다. 이를 합 식 \(S\)에 적용하여 구간을 분할한다. \[S = \sqrt{\frac{2}{a}} \left[ \sum_{k=1}^{2} \frac{1}{\sqrt{3-k} + \sqrt{2-k}} + \sum_{k=3}^{52} \frac{1}{\sqrt{k-3} + \sqrt{k-2}} \right]\] 각 합 항을 유리화하여 전개하면 다음과 같다. - 첫 번째 합: \[\sum_{k=1}^{2} \frac{1}{\sqrt{3-k} + \sqrt{2-k}} = \sum_{k=1}^{2} (\sqrt{3-k} - \sqrt{2-k}) = (\sqrt{2}-1) + (1-0) = \sqrt{2}\] - 두 번째 합: \[\sum_{k=3}^{52} \frac{1}{\sqrt{k-3} + \sqrt{k-2}} = \sum_{k=3}^{52} (\sqrt{k-2} - \sqrt{k-3}) = (1-0) + (\sqrt{2}-1) + \dots + (5\sqrt{2}-7) = 5\sqrt{2}\] 따라서 \(S\)의 값은 다음과 같이 정리된다. \[S = \sqrt{\frac{2}{a}} \left( \sqrt{2} + 5\sqrt{2} \right) = \sqrt{\frac{2}{a}} \cdot 6\sqrt{2} = \frac{12}{\sqrt{a}}\] \(S = 3\) 이므로 \(\frac{12}{\sqrt{a}} = 3 \iff \sqrt{a} = 4 \implies a = 16\) 이다.

[논제 1]
제시문 (ㄱ)의 (가)에 의해 \(f(2) = 16 - 8(k+2) + 2(k^2+4k-6) - 2k^2 + 12 = 0\) 이므로 \(f(x)\)는 다음과 같이 인수분해된다. \[f(x) = (x-2)(2x^2 - 2kx + k^2 - 6)\] 복소수 \(z = \alpha + \beta i\) (단, \(\alpha, \beta\)는 실수, \(\beta \ne 0\))라 할 때, 제시문 (ㄱ)의 (다)에 의해 다음이 성립한다. \[3\alpha - 1 - 3\beta i = \overline{3z - 1} = 2z - \frac{5}{3}i = 2\alpha + \left(2\beta - \frac{5}{3}\right)i\] 실수부분과 허수부분을 비교하면: \[3\alpha - 1 = 2\alpha \implies \alpha = 1\] \[-3\beta = 2\beta - \frac{5}{3} \implies \beta = \frac{1}{3}\] 따라서 \(3z - 1 = 3\left(1 + \frac{1}{3}i\right) - 1 = 2 + i\) 이다. 이것이 삼차방정식 \(f(x)=0\)의 허근이므로, \(2x^2 - 2kx + k^2 - 6 = 0\) 의 한 근이다. \(x = 2 + i\) 를 대입하면: \[2(2+i)^2 - 2k(2+i) + k^2 - 6 = 0 \iff 2(3+4i) - 4k - 2ki + k^2 - 6 = 0\] \[\iff (k^2 - 4k) + (8 - 2k)i = 0\] 이를 만족시키는 실수 \(k\)의 값은 \(k = 4\) 이다.

[논제 2]
\(k=4\) 이므로 삼차함수 \(f(x) = 2x^3 - 12x^2 + 26x - 20\) 이고, 도함수는 \(f'(x) = 6x^2 - 24x + 26 = 6(x-2)^2 + 2 > 0\) 이다. 따라서 모든 실수 \(x\)에 대해 다음이 성립해야 한다. \[|ax^2 - 2(a+3)x + 11| \le 3x^2 - 12x + 13\] \[\iff -(3x^2 - 12x + 13) \le ax^2 - 2(a+3)x + 11 \le 3x^2 - 12x + 13\] 이 식은 다음 두 연립이차부등식이 모든 실수 \(x\)에 대해 성립함을 뜻한다. 1) \((3-a)x^2 - 2(3-a)x + 2 \ge 0\)
2) \((a+3)x^2 - 2(a+9)x + 24 \ge 0\)
각 경우에 대해 판별식을 분석한다. - \(a = 3\) 인 경우: 1) \(2 \ge 0\), 2) \(6x^2 - 24x + 24 = 6(x-2)^2 \ge 0\) 이 되므로 성립한다. 따라서 \(3 \in S\) 이다. - \(a = -3\) 인 경우: 2) \(-12x + 24 \ge 0\) 은 모든 실수 \(x\)에 대해 성립하지 않으므로 탈락이다. - \(a \ne 3, a \ne -3\) 인 경우: 1)이 성립할 조건: \(3-a > 0 \iff a < 3\) 이고, \(\frac{D_1}{4} = (3-a)^2 - 2(3-a) = (3-a)(1-a) \le 0 \iff 1 \le a < 3\) 이다. 2)가 성립할 조건: \(a+3 > 0 \iff a > -3\) 이고, \(\frac{D_2}{4} = (a+9)^2 - 24(a+3) = (a-3)^2 \le 0 \iff a = 3\) 이다. 두 조건을 동시에 만족하는 실수는 존재하지 않는다. 따라서 만족시키는 집합 \(S\)는 다음과 같다. \[S = {3}\]

[논제 1]
제시문 (ㄱ)의 (나) 식 \(\int_{0}^{t} f(5+x)dx = \int_{0}^{t} f(5-x)dx\) 의 양변을 \(t\)에 대해 미분하면 다음과 같다. \[f(5+t) = f(5-t)\] 삼차함수 \(g(x) = f(x+5)\) 라 하면 \(g(t) = g(-t)\) 이므로 \(g(x)\)는 우함수(y축 대칭)인 사차함수이다. 따라서 \(g(x) = x^4 + c_2 x^2 + c_0\) 로 설정할 수 있다. \(y = g(x)\)의 그래프는 \(y = f(x)\)의 그래프를 x축 방향으로 \(-5\)만큼 평행이동한 것이므로, 조건 (가) \(f(0)=0\) 에 의해 \(g(-5) = 0\) 이고, 조건 (다)에 의해 \(f(x)\)가 \(x=10\)에서 극값을 가지므로 \(g(x)\)는 \(x=5\)에서 극값을 가진다. 즉 \(g'(5) = 0\) 이다. - \(g(-5) = 625 + 25c_2 + c_0 = 0\)
- \(g'(x) = 4x^3 + 2c_2 x \implies g'(5) = 500 + 10c_2 = 0 \iff c_2 = -50\)
이를 대입하면 \(c_0 = 625\) 이다. 따라서 \(g(x) = x^4 - 50x^2 + 625 = (x^2 - 25)^2 = (x-5)^2(x+5)^2\) 이고, \[f(x) = g(x-5) = x^2(x-10)^2\] 이다. \(f(x)\)는 \(x=0, 10\)에서 극솟값 \(0\)을 갖고 \(x=5\)에서 극댓값 \(f(5) = 625\)를 갖는다. 방정식 \(f(x) = k\)의 양의 실근의 개수 \(n\)은 다음과 같다. - \(0 < k < 625\) 일 때, 양의 실근은 \(x=5\)를 기준으로 대칭인 위치에 3개 존재한다. (\(n=3\)) - \(k > 625\) 일 때, 극대보다 크므로 양의 실근은 1개 존재한다. (\(n=1\)) 따라서 최댓값 \(M\)은 다음과 같다. \[M = 625\]

[논제 2]
\(f(a)=f(b)=f(c)=k\) 라 하면 조건 (가)에 의해 세 양의 실근의 존재 영역은 \(0 < k < 625\) 이다. 우함수 \(g(x) = f(x+5)\) 에 대해, 방정식 \(g(x) = k\)는 \(x=0\)을 축으로 대칭인 네 실근 \(-\beta, -\alpha, \alpha, \beta\) (\(0 < \alpha < 5 < \beta\))를 가진다. \[g(x) - k = (x^2 - \alpha^2)(x^2 - \beta^2) = x^4 - (\alpha^2 + \beta^2)x^2 + \alpha^2 \beta^2\] 동시에 \(g(x) - k = x^4 - 50x^2 + (625 - k)\) 이므로 계수비교법에 의해 다음이 성립한다. \[\alpha^2 + \beta^2 = 50, \quad \alpha^2 \beta^2 = 625 - k\] 방정식 \(f(x) = k\)의 서로 다른 네 실근은 \(5-\beta, 5-\alpha, 5+\alpha, 5+\beta\) 이며, \(0 < a < b < c\) 인 양의 세 실근은 다음과 같다. \[a = 5-\alpha, \quad b = 5+\alpha, \quad c = 5+\beta\] 조건 (다) \(c-a = \sqrt{70}\) 에 대입하면 다음과 같다. \[(5+\beta) - (5-\alpha) = \alpha + \beta = \sqrt{70}\] 이를 제곱하여 관계식을 정리한다. \[(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta \iff 70 = 50 + 2\alpha\beta \iff \alpha\beta = 10\] 따라서 \(\alpha^2 \beta^2 = 100\) 이다. 계수비교 식 \(625 - k = 100\) 이므로 \(k = 525\) 이다. 따라서 구하는 함숫값은 다음과 같다. \[f(a) = k = 525\]

[논제 1]
원 \(x^2 + y^2 = 9\) 위의 점 \(T(a, b)\)에서의 접선의 방정식은 \(ax + by = 9\) 이다. 이 접선이 점 \(A(-5, 0)\)을 지나므로 \(-5a = 9 \iff a = -\frac{9}{5}\) 이다. 점 \(T\)는 원 위에 있으므로 다음이 성립한다. \[a^2 + b^2 = 9 \iff b^2 = 9 - \frac{81}{25} = \frac{144}{25} \implies b = \pm \frac{12}{5}\] 조건 (나) \(BC < BD\) 에 의해 \(y\)좌표가 큰 점이 \(C\), 작은 점이 \(D\) 이다. (점 B의 y좌표가 3이므로 C의 y좌표가 양수여야 B와 더 가깝다.) 따라서 \(C\left(-\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right)\), \(D\left(-\frac{9}{5}, -\frac{12}{5}\right)\) 이다. 선분 \(AB\)의 길이는 다음과 같다. \[AB = \sqrt{(-4 - (-5))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}\] 두 점 \(A(-5, 0)\), \(B(-4, 3)\)을 지나는 직선 \(AB\)의 방정식은 \(3x - y + 15 = 0\) 이다. 점 \(C\)와 \(D\)에서 직선 \(AB\)까지의 거리는 각각 다음과 같다. \[h_C = \frac{\left| 3\left(-\frac{9}{5}\right) - \frac{12}{5} + 15 \right|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{\left| -\frac{39}{5} + 15 \right|}{\sqrt{10}} = \frac{36}{5\sqrt{10}}\] \[h_D = \frac{\left| 3\left(-\frac{9}{5}\right) - \left(-\frac{12}{5}\right) + 15 \right|}{\sqrt{10}} = \frac{\left| -\frac{15}{5} + 15 \right|}{\sqrt{10}} = \frac{12}{\sqrt{10}} = \frac{60}{5\sqrt{10}}\] 삼각형의 넓이가 더 큰 값 \(S\)는 거리가 더 먼 점 \(D\)를 선택할 때이므로 다음과 같다. \[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_D = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{12}{\sqrt{10}} = 6\]

[논제 2]
원 \(x^2 + y^2 = 18\) 위의 현 \(PQ\)의 중점을 \(R(c, d)\)라 하자. 삼각형 \(OPQ\)는 \(OP=OQ=3\sqrt{2}\) 인 이등변삼각형이므로 \(OR \perp PQ\) 이다. 현의 길이 \(PQ=6\) 이므로 \(RP=3\) 이다. 직각삼각형 \(ORP\)에서 피타고라스 정리에 의해: \[OR^2 = OP^2 - RP^2 = 18 - 9 = 9 \implies OR = 3\] 따라서 중점 \(R(c, d)\)는 원 \(x^2 + y^2 = 9\) 위의 점이다. 현 \(PQ\)를 포함하는 직선은 원 \(x^2 + y^2 = 9\) 위의 점 \(R(c, d)\)에서의 접선 \(cx + dy = 9\) 와 같다. 만약 \(c = -\frac{9}{5}\) 이면 직선 \(cx + dy = 9\) 는 점 \(A(-5, 0)\)을 지나므로 세 점 \(A, P, Q\)가 한 직선 위에 있게 되어 조건 (다)에 모순이다. 따라서 \(-3 \le c \le 3\) 이고 \(c \ne -\frac{9}{5}\) 이다. 삼각형 \(APQ\)의 넓이 \(T\)는 다음과 같다. \[T = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot \text{d}(A, PQ) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{| -5c + 0d - 9 |}{\sqrt{c^2 + d^2}} = 3 \cdot \frac{|5c + 9|}{3} = |5c + 9|\] \(-3 \le c \le 3\) 이므로 \(|5c + 9|\)의 최댓값 \(M\)은 \(c = 3\) 일 때이다. \[M = |5 \times 3 + 9| = 24\]

[논제 1]
\(g(1) = 1 + c = 2\) 이므로 \(c = 1\) 이다. 조건 (나)의 첫 번째 식 \(\lim_{x \to \infty} \frac{g'(x)}{f(x)} = 1\) 을 분석한다. \(g'(x) = nx^{n-1} + lx^{l-1}\) 이고 \(f(x) = ax^{m+1} + bx^m\) 이다. 무한대 극한이 \(1\)로 수렴하므로 최고차항의 차수와 계수가 같아야 한다. \[n-1 = m+1 \implies n = m+2\] \[\frac{n}{a} = 1 \implies a = n = m+2\] 조건 (나)의 두 번째 식 \(\lim_{x \to 0} \frac{x g(x)}{f(x)} = \frac{1}{4}\) 을 분석한다. \[\lim_{x \to 0} \frac{x(x^n + x^l)}{ax^{m+1} + bx^m} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{n+1} + x^{l+1}}{ax^{m+1} + bx^m} = \frac{1}{4}\] 분모와 분자의 최저차항 차수가 같아야 \(0\)이 아닌 값으로 수렴한다. \[l+1 = m \implies l = m-1\] \[\frac{1}{b} = \frac{1}{4} \implies b = 4\] 조건 (가) \(f(1) = a + b = 8\) 이므로 \(a + 4 = 8 \iff a = 4\) 이다. \(a = m+2\) 이므로 \(4 = m+2 \implies m = 2\) 이다. 따라서 모든 미지수들의 값은 다음과 같다. \[a = 4, \quad b = 4, \quad c = 1\]

[논제 2]
구한 변수값들로부터 \(m=2, n=4, l=1\) 이므로 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)는 다음과 같다. \[f(x) = 4x^3 + 4x^2 = 4x^2(x+1)\] \[g(x) = x^4 + x = x(x+1)(x^2 - x + 1)\] 이 식들을 극한 식 \(L\)에 대입하면 다음과 같다. \[L = \lim_{x \to -1} \frac{x(x+1)(x^2 - x + 1)}{4x^2(x+1)} = \lim_{x \to -1} \frac{x(x^2 - x + 1)}{4x^2}\] \(x+1\)을 분모 분자에서 약분한 뒤 \(x = -1\) 을 대입한다. \[L = \frac{-1((-1)^2 - (-1) + 1)}{4(-1)^2} = \frac{-(1 + 1 + 1)}{4} = -\frac{3}{4}\]

[논제 1]
8회 시행 중 앞면이 나오는 횟수를 \(m\), 뒷면이 나오는 횟수를 \(n\)이라 하면 \(m + n = 8\) 이다. 총 이동거리 \(d = 3m + 2n\) 이며, \(n = 8 - m\) 을 대입하면 \(d = m + 16\) 이다. 정사각형의 둘레를 따라 다시 꼭짓점 \(A\)로 돌아오려면 총 이동거리 \(d\)가 둘레 길이인 \(4\)의 배수여야 한다. \(0 \le m \le 8\) 이므로 \(16 \le d \le 24\) 이다. 따라서 가능한 \(d\)의 값은 \(16, 20, 24\) 이다. - \(d = 16 \implies m = 0, n = 8\) - \(d = 20 \implies m = 4, n = 4\) - \(d = 24 \implies m = 8, n = 0\) 각 경우의 수를 조합으로 계산하여 합산한다. \[a = \binom{8}{0} + \binom{8}{4} + \binom{8}{8} = 1 + 70 + 1 = 72\]

[논제 2]
8회 시행 중 빨간, 노란, 파란 구슬이 나오는 횟수를 각각 \(l, m, n\)이라 하면 \(l + m + n = 8\) 이다. 총 이동거리 \(d = 3l + 2m + n\) 이며, 다시 꼭짓점 \(A\)로 돌아오려면 \(d\)가 정팔각형의 둘레 길이인 \(8\)의 배수여야 한다. \(8 \le d \le 24\) 이므로 가능한 \(d\)의 값은 \(8, 16, 24\) 이다. - **[경우 1] \(d = 8\) 또는 \(d = 24\) 인 경우:**
- \(d = 8 \implies (l, m, n) = (0, 0, 8)\) (경우의 수: \(\binom{8}{8} = 1\)) - \(d = 24 \implies (l, m, n) = (8, 0, 0)\) (경우의 수: \(\binom{8}{8} = 1\)) 따라서 이 경우의 경우의 수 합은 \(1 + 1 = 2\) 이다. - **[경우 2] \(d = 16\) 인 경우:**
\(3l + 2m + n = 16\) 이고 \(n = 8 - l - m\) 이므로 \(2l + m = 8\) 을 얻는다. 가능한 순서쌍 \((l, m, n)\)을 대입하면 다음과 같다. - \(l = 4 \implies m = 0, n = 4\) (경우의 수: \(\binom{8}{4}\binom{4}{0} = 70\)) - \(l = 3 \implies m = 2, n = 3\) (경우의 수: \(\binom{8}{3}\binom{5}{2} = 56 \times 10 = 560\)) - \(l = 2 \implies m = 4, n = 2\) (경우의 수: \(\binom{8}{2}\binom{6}{4} = 28 \times 15 = 420\)) - \(l = 1 \implies m = 6, n = 1\) (경우의 수: \(\binom{8}{1}\binom{7}{6} = 8 \times 7 = 56\)) - \(l = 0 \implies m = 8, n = 0\) (경우의 수: \(\binom{8}{0}\binom{8}{8} = 1\)) 이 경우들의 경우의 수 합은 \(70 + 560 + 420 + 56 + 1 = 1107\) 이다. 따라서 구하는 총 경우의 수 \(b\)는 다음과 같다. \[b = 2 + 1107 = 1109\]

[논제 1]
최고차항의 계수가 \(1\)이고 \(f(0) = 1\) 이므로 삼차함수 \(f(x)\)는 다음과 같다. \[f(x) = x^3 + px^2 + qx + 1\] \(f'(x) = 3x^2 + 2px + q\) 이다. 조건 (다) \(f'(x)\)가 \(x=0\)에서 극값을 가지므로 \(f''(0) = 6(0) + 2p = 0 \implies p = 0\) 이다. 따라서 \(f(x) = x^3 + qx + 1\) 이고 \(f'(x) = 3x^2 + q\) 이다. 조건 (나) 극값 중 하나가 \(3\)이므로 극값을 가져야 한다. 즉 \(q < 0\) 이다. \(c = \sqrt{-\frac{q}{3}} > 0\) 이라 하면 \(q = -3c^2\) 이다. \(f(x) = x^3 - 3c^2 x + 1\) 이고 극대, 극소는 \(x = \pm c\) 에서 가진다. 극댓값은 \(f(-c) = -c^3 + 3c^3 + 1 = 2c^3 + 1 > 1\) 이고, 극솟값은 \(f(c) = c^3 - 3c^3 + 1 = -2c^3 + 1 < 1\) 이다. 극값 중 하나가 \(3\)이므로 \(2c^3 + 1 = 3 \iff c = 1\) 이다. 따라서 \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) 이다. 함수 \(f(x)\)의 극댓값은 \(3\), 극솟값은 \(-1\) 이다. 방정식 \(f(x) = k\)의 실근의 개수 \(n\)은 극대와 극소 사이인 \(-1 \le k \le 3\) 일 때 \(n \ge 2\) 이고, 그 외 범위일 때 \(n=1\) 이다. 제시문 (ㄴ)의 조건과 비교하면 다음과 같다. \[a = -1, \quad b = 3\]

[논제 2]
\(-1 \le k \le 3\) 에 대해 \(f(t) = k\) 이고 \(-1 \le t \le 1\) 인 실수 \(t\)가 유일하게 존재한다. 이때 \(f(\alpha) = f(t) = f(\beta) = k\) 이므로 다음이 성립한다. \[f(x) - k = f(x) - f(t) = x^3 - 3x - (t^3 - 3t) = 0\] \[\iff (x-t)(x^2 + tx + t^2 - 3) = 0\] 따라서 \(\alpha, \beta\)는 이차방정식 \(x^2 + tx + t^2 - 3 = 0\) 의 두 실근이다. 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립한다. \[\alpha + \beta = -t, \quad \alpha\beta = t^2 - 3\] 두 근의 차의 제곱은 다음과 같다. \[(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (-t)^2 - 4(t^2 - 3) = -3t^2 + 12\] \(-1 \le t \le 1\) 이므로: - \(t = 0\) 일 때 최댓값 \(M^2 = 12 \implies M = 2\sqrt{3}\) - \(t = \pm 1\) 일 때 최솟값 \(m^2 = 9 \implies m = 3\) 따라서 구하고자 하는 값 \(\frac{M}{m}\)은 다음과 같다. \[\frac{M}{m} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\]