[논제 1]
함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대하여 다음이 성립한다. $$ \begin{aligned} f(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 \\ = -7, \quad g(-1) = \frac{3}{2}(-1) - \frac{11}{2} = -7 \end{aligned} $$ 이므로 $f(-1) = g(-1)$이다. 즉, 방정식 $f(x) - g(x) = 0$은 $x+1$을 인수로 가진다. 조립제법을 통해 식을 인수분해하면 다음과 같다. $$ \begin{aligned} f(x) - g(x) = x^3 - 6x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{11}{2} \\ = (x+1)\left(x^2 - 7x + \frac{11}{2}\right) = 0 \end{aligned} $$ 유리수가 아닌 두 근 $\alpha, \beta$는 이차방정식 $x^2 - 7x + \frac{11}{2} = 0$의 근이다. 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립한다. $$ \alpha + \beta = 7, \quad \alpha\beta = \frac{11}{2} $$ 따라서 구하고자 하는 상수 $L$의 값은 다음과 같다. $$ \begin{aligned} L &= \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) \\ &= (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta) \\ &= 7 \left(7^2 - 3 \times \frac{11}{2}\right) = 7 \left(49 - \frac{33}{2}\right) = 7 \times \frac{65}{2} = \frac{455}{2} \end{aligned} $$

[논제 2]
함수 $h(x) = mx - m - 4 = m(x-1) - 4$라고 하자. 방정식 $f(x) - mx + m + 4 = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 2개라는 것은 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = h(x)$가 서로 다른 두 점에서 만남을 의미하며, 이는 한 점에서 접하고 다른 한 점에서 만남을 뜻한다. 곡선 $y=f(x)$ 위의 접점의 $x$좌표를 $p$라 하면, 접점 $(p, f(p))$에서의 접선 방정식은 다음과 같다. $$ y = (3p^2 - 12p)(x-p) + p^3 - 6p^2 = (3p^2 - 12p)x - 2p^3 + 6p^2 $$ 이 접선이 직선 $y = m(x-1)-4$, 즉 $(1, -4)$를 지나는 직선과 일치해야 하므로, 접선 식에 $x=1, y=-4$를 대입한다. $$ -4 = (3p^2 - 12p)(1-p) + p^3 - 6p^2 \implies -4 = -2p^3 + 9p^2 - 12p $$ 정리하면 $2p^3 - 9p^2 + 12p - 4 = 0$이며, 인수분해하면 $2(p-2)^2\left(p-\frac{1}{2}\right) = 0$이다. 따라서 $p = 2$ 또는 $p = \frac{1}{2}$이다.
i) $p = 2$인 경우: 기울기 $m = 3(2)^2 - 12(2) = -12$이다. 이때 $f(x) - h(x) = (x-2)^3 = 0$이 되어 삼중근 $x=2$만을 실근으로 갖는다. 이는 실근의 개수가 1개이므로 모순이다.
ii) $p = \frac{1}{2}$인 경우: 기울기 $m = 3(1/2)^2 - 12(1/2) = -\frac{21}{4}$이다. 이때 $f(x) - h(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2(x-5) = 0$이 되어 실근이 $x=\frac{1}{2}, 5$로 2개가 되므로 조건에 부합한다. 따라서 구하는 상수 $m = -\frac{21}{4}$이다.

[논제 1]
$X = x+t$라 하면, $t \to 0+$ 일 때 $X \to x+$ 이고, $t \to 3+$ 일 때 $X \to (x+3)+$ 이다. 따라서 $h(x) = \lim_{X \to x+} g(X) \cdot \lim_{X \to (x+3)+} g(X)$ 이다. $x$의 범위에 따라 $x$와 $x+3$이 속하는 범위를 고려하여 $h(x)$를 작성하면 다음과 같다. $$ \begin{aligned} h(x) = \begin{cases} 3x \times 3(x+3) \\ = 9x(x+3) & (x \ge 3) \\ f(x) \times 3(x+3) = 3(x+3)f(x) & (0 \le x < 3) \\ 3x \times f(x+3) = 3x f(x+3) & (-3 \le x < 0) \\ 3x \times 3(x+3) = 9x(x+3) & (x < -3) \end{cases} \end{aligned} $$ 주어진 함수 $h(x)$는 모든 실수 $x$에서 연속이므로 경계값 $x=3, x=0, x=-3$에서 연속이어야 한다.
1) $x=3$에서의 연속성: $$ \begin{aligned} \lim_{x \to 3+} h(x) = 9 \times 3 \times 6 \\ = 162, \quad \lim_{x \to 3-} h(x) = 18 f(3) \implies 18 f(3) = 162 \implies f(3) = 9 \end{aligned} $$ 2) $x=0$에서의 연속성: $$ \begin{aligned} \lim_{x \to 0+} h(x) = 9 f(0), \quad \lim_{x \to 0-} h(x) \\ = 0 \implies 9 f(0) = 0 \implies f(0) = 0 \end{aligned} $$ 따라서 다항함수 $f(x)$에 대하여 $f(0) = 0, f(3) = 9$ 이므로, $f(0) + f(3) = 9$ 이다.

[논제 2]
$\int_{-5}^{5} h(x) dx = 600$을 구간별로 나누어 적분 식을 세우면 다음과 같다. $$ \int_{-5}^{-3} 9x(x+3) dx + \int_{-3}^{0} 3x f(x+3) dx + \int_{0}^{3} 3(x+3) f(x) dx + \int_{3}^{5} 9x(x+3) dx = 600 $$ 다항식으로 된 적분 구간의 값을 직접 계산하면: $$ \begin{aligned} \int_{-5}^{-3} 9(x^2 + 3x) dx = 9 \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_{-5}^{-3} \\ = 78 \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \int_{3}^{5} 9(x^2 + 3x) dx = 9 \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_{3}^{5} \\ = 510 \end{aligned} $$ 따라서 $78 + \int_{-3}^{0} 3x f(x+3) dx + \int_{0}^{3} 3(x+3) f(x) dx + 510 = 600$ 이므로 $$ \int_{-3}^{0} 3x f(x+3) dx + \int_{0}^{3} 3(x+3) f(x) dx = 12 $$ 여기서 첫 번째 적분항에 대해 $u = x+3$으로 치환하면 $dx = du$이고 $x=u-3$이며, 적분 구간은 $[0, 3]$이 된다. $$ \begin{aligned} \int_{-3}^{0} 3x f(x+3) dx = \int_{0}^{3} 3(u-3) f(u) du \\ = \int_{0}^{3} 3(x-3) f(x) dx \end{aligned} $$ 이를 식에 대입하여 더해주면 다음과 같다. $$ \begin{aligned} \int_{0}^{3} 3(x-3) f(x) dx + \int_{0}^{3} 3(x+3) f(x) dx = \int_{0}^{3} 6x f(x) dx \\ = 12 \end{aligned} $$ 따라서 구하고자 하는 적분값은 $\int_{0}^{3} x f(x) dx = 2$ 이다.

[논제 1]
제시문 (ㄱ)-(나)에 의해 $\sin 2B = \sin 2C$ 또는 $\cos 2B = \cos 2C$ 이다. 삼각형의 각은 $0 < B, C < \pi$ 이다.
1) $\sin 2B = \sin 2C \implies 2B = 2C$ 또는 $2B + 2C = \pi \implies B = C$ 또는 $B+C = \frac{\pi}{2}$
2) $\cos 2B = \cos 2C \implies 2B = 2C$ 또는 $2B + 2C = 2\pi \implies B = C$ 또는 $B+C = \pi$ 삼각형 내각의 합 조건상 $B+C = \pi$는 불가능하므로, 가능한 경우는 $A = \frac{\pi}{2}$인 직각삼각형 또는 $B=C$인 이등변삼각형이다. $\cos B = \frac{1}{3}$일 때 $\overline{BC}$의 길이를 구하자.
i) 직각삼각형인 경우 ($A = \frac{\pi}{2}$): $\cos B = \frac{1}{3} > 0$ 이므로 $B$는 예각이다. 또한 $\cos B < \cos \frac{\pi}{4} \implies B > \frac{\pi}{4}$ 이므로 $B > C$ 이다. 가장 짧은 변은 $C$의 대변인 $\overline{AB}$가 되어 $\overline{AB} = 3$이다. 직각삼각형 정의에 의해 $\overline{BC} = \frac{\overline{AB}}{\cos B} = 9$이다.
ii) 이등변삼각형인 경우 ($B=C$): $\cos B = \frac{1}{3} < \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3} \implies B > \frac{\pi}{3}$ 이다. 이때 $A = \pi - 2B < \frac{\pi}{3}$ 이므로 $A$가 가장 작은 각이다. 가장 짧은 변은 $A$의 대변인 $\overline{BC}$가 되어 $\overline{BC} = 3$이다. 따라서 (i), (ii)에 의해 집합 $M = \{3, 9\}$이다.

[논제 2]
삼각형 $APC$와 $BPC$의 외접원 반지름을 $R_1, R_2$라 하자. 선분 $PC$에 대하여 사인법칙을 적용하면: $$ \begin{aligned} 2R_1 = \frac{\overline{PC}}{\sin A}, \quad 2R_2 \\ = \frac{\overline{PC}}{\sin B} \implies \frac{S_1}{S_2} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{\sin^2 B}{\sin^2 A} \end{aligned} $$ 삼각형 $ABC$에 대해 사인법칙을 쓰면 $\frac{\overline{BC}}{\sin A} = \frac{\overline{AC}}{\sin B} = 2R \implies \frac{\sin B}{\sin A} = \frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}$ 이므로, $\frac{S_1}{S_2} = \frac{\overline{AC}^2}{\overline{BC}^2}$ 이 성립한다.
i) 직각삼각형일 때 ($A=\frac{\pi}{2}$): 피타고라스 정리에 의해 $\overline{AC}^2 + \overline{AB}^2 = \overline{BC}^2$ 이다.
ii) 이등변삼각형일 때 ($B=C$): 수선의 발을 통해 $\cos B = \frac{\overline{BC}}{2\overline{AC}} \implies \frac{\overline{AC}^2}{\overline{BC}^2} = \frac{1}{4\cos^2 B}$ 이다.
1) $\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{8}$ 인 경우: 이등변삼각형에서는 $\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{4\cos^2 B} \ge \frac{1}{4}$이므로 $\frac{1}{8}$이 될 수 없다. 따라서 직각삼각형만 가능하다. $\overline{AC}^2 : \overline{AB}^2 : \overline{BC}^2 = 1 : 7 : 8$ 이며, $\overline{AC} < \overline{AB} < \overline{BC}$ 에서 가장 짧은 변은 $\overline{AC} = 3$ 이다. 따라서 $\overline{BC} = 3\sqrt{8} = 6\sqrt{2}$ 이며, $p = 6\sqrt{2}$ 이다.
2) $\frac{S_1}{S_2} = \frac{3}{8}$ 인 경우: - 직각삼각형: $\overline{AC}^2 : \overline{AB}^2 : \overline{BC}^2 = 3 : 5 : 8$. 가장 짧은 변은 $\overline{AC} = 3$ 이므로 $\overline{BC} = 2\sqrt{6}$ 이다. - 이등변삼각형: $\frac{1}{4\cos^2 B} = \frac{3}{8} \implies \cos B = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ 이다. $B < A$에서 $\overline{AB} = 3$ 이므로 $\overline{BC} = 2\overline{AC}\cos B = 6\cos B = 2\sqrt{6}$ 이다. 두 경우 모두 $\overline{BC} = 2\sqrt{6}$ 이므로 최솟값 $q = 2\sqrt{6}$ 이다.
3) $\frac{S_1}{S_2} = \frac{5}{8}$ 인 경우: - 직각삼각형: $\overline{AC}^2 : \overline{AB}^2 : \overline{BC}^2 = 5 : 3 : 8$. 가장 짧은 변은 $\overline{AB} = 3$ 이므로 $\overline{BC} = 2\sqrt{6}$ 이다. - 이등변삼각형: $\frac{1}{4\cos^2 B} = \frac{5}{8} \implies \cos B = \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$ 이다. 가장 짧은 변 $\overline{AB}=3$을 이용하여 $\overline{BC} = 6\cos B = \frac{6\sqrt{10}}{5}$ 을 얻는다. $2\sqrt{6} > \frac{6\sqrt{10}}{5}$ 이므로 $\overline{BC}$의 최솟값은 이등변삼각형일 때의 $r = \frac{6\sqrt{10}}{5}$ 이다.

[논제 1]
집합 $A$의 원소는 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제100항까지로, 크기순으로 나열하면 $a_1 < a_2 < \dots < a_{100}$ 이다. 집합 $A$의 원소 중 하나를 제외한 나머지 99개 원소들의 평균은 가장 작은 원소인 $a_1$을 제외할 때 가장 크고, 가장 큰 원소인 $a_{100}$을 제외할 때 가장 작다. 등차수열의 일반항은 $a_k = 3 + 7(k-1)$ 이므로, 평균의 최솟값 $m$은 가장 큰 원소인 $a_{100}$을 제외한 경우이다. $$ \begin{aligned} m &= \frac{1}{99}\sum_{k=1}^{99} (3 + 7(k-1)) = \frac{a_1 + a_{99}}{2} \\ &= \frac{3 + (3 + 7 \times 98)}{2} = \frac{6 + 686}{2} = 346 \end{aligned} $$ 평균의 최댓값 $M$은 가장 작은 원소인 $a_1$을 제외한 경우이다. $$ \begin{aligned} M &= \frac{1}{99}\sum_{k=2}^{100} (3 + 7(k-1)) = \frac{a_2 + a_{100}}{2} \\ &= \frac{10 + (3 + 7 \times 99)}{2} = \frac{10 + 696}{2} = 353 \end{aligned} $$ 따라서 $m = 346, M = 353$ 이다.

[논제 2]
집합 $B$의 원소 중 하나를 제외한 나머지 $N-1$개 원소들의 평균은 가장 작은 원소 $a_1$을 제외할 때 가장 크고, 가장 큰 원소 $a_N$을 제외할 때 가장 작다. 따라서 제시문 (ㄷ)의 조건에 의해 다음 부등식이 성립한다. $$ \begin{aligned} \frac{1}{N-1}\sum_{k=1}^{N-1} a_k \le 97 + \frac{1}{9} \le \frac{1}{N-1}\sum_{k \\ =2}^{N} a_k \end{aligned} $$ 이 부등식을 등차수열 합의 공식을 이용하여 정리하면: $$ -4 + \frac{7}{2}N \le 97 + \frac{1}{9} \le 3 + \frac{7}{2}N $$ 양변에 $2$를 곱하고 식을 각각 정리하면: $$ 26 + \frac{56}{63} \le N \le 28 + \frac{56}{63} $$ $N$은 자연수이므로 가능한 $N$의 값은 $27$ 또는 $28$ 이다. 한편, 원소 $p$를 제외한 $N-1$개 원소들의 합 $(N-1) \times \left(97 + \frac{1}{9}\right) = (N-1) \times \frac{874}{9}$ 은 정수여야 하므로, $N-1$은 $9$의 배수여야 한다. $N=27$ 이면 $N-1=26$ (9의 배수가 아님), $N=28$ 이면 $N-1=27$ (9의 배수임)이므로 만족하는 $N$의 값은 $28$ 이다. 따라서 집합 $B$의 원소 $p$를 제외한 나머지 27개 원소들의 평균이 $\frac{874}{9}$ 이므로: $$ \begin{aligned} p &= \sum_{k=1}^{28} a_k - 27 \times \left(97 + \frac{1}{9}\right) = \sum_{k=1}^{28} (3 + 7(k-1)) - 2622 \\ &= \left( 28 \times 3 + 7 \times \frac{27 \times 28}{2} \right) - 2622 = 2730 - 2622 = 108 \end{aligned} $$ 따라서 구하고자 하는 원소 $p$의 값은 $108$ 이다.

[논제 1]
함수 $g(x) = f(x) - kx$는 최고차항의 계수가 $a$인 삼차함수이다. 제시문 (ㄱ)의 조건에 의해 곡선 $y = g(x)$는 직선 $y = 1$과 $x = \alpha, 1$에서만 만나며, $y = -1$과 $x = -1, \beta$에서만 만나므로 $y = 1$ 및 $y = -1$에 각각 접한다. 따라서 삼차함수 $g(x)$의 극댓값과 극솟값은 각각 $1$과 $-1$이다. 만약 $g(x)$의 최고차항의 계수 $a$가 양수라고 가정하면, $1$이 극댓값이므로 $g(\alpha) = g(1) = 1$ ($\alpha < 1$)에서 $g'(\alpha) = 0$ 이고, $-1$이 극솟값이므로 $g(-1) = g(\beta) = -1$ ($-1 < \beta$)에서 $g'(\beta) = 0$ 이 된다. 이때 닫힌구간 $[\alpha, \beta]$에서 $g(x)$는 감소하므로 $g(-1) = g(\beta) = -1$ 에서 $-1 < \alpha$ 가 되어 문제의 조건 $\alpha < -1$에 모순이 발생한다. 따라서 최고차항의 계수 $a < 0$ 이다. 이에 따라 극댓값은 $g(1) = 1$ 이고 극솟값은 $g(-1) = -1$ 이며, $g'(1) = 0, g'(-1) = 0$ 이 성립한다. 도함수를 $g'(x) = 3a(x^2 - 1)$ 이라 놓으면 $g(x) = a(x^3 - 3x) + b$ 이다. $g(-1) = 2a + b = -1$, $g(1) = -2a + b = 1$ 을 연립하면 $a = -\frac{1}{2}, b = 0$ 이다. 따라서 구하는 함수 $g(x) = -\frac{1}{2}(x^3 - 3x)$ 이다.

[논제 2]
논제 1의 결과에 의해 삼차함수 $f(x) = -\frac{1}{2}x^3 + \left(k + \frac{3}{2}\right)x$ 이다. 삼차함수 $h(x) = f(x) - (x^2 + cx + c)$ 라고 하자. 곡선 $y = f(x)$와 $y = x^2 + cx + c$가 두 점에서만 만나므로, 방정식 $h(x) = 0$ 은 $x = t, 2$에서 실근을 갖고 둘 중 하나는 중근이다. $h(x)$의 최고차항의 계수가 $-\frac{1}{2}$이므로 다음 두 경우로 나눌 수 있다.
1) $h(x) = -\frac{1}{2}(x-t)^2(x-2)$ 인 경우: 전개하면 $h(x) = -\frac{1}{2}\left(x^3 - 2(t+1)x^2 + (t^2 + 4t)x - 2t^2\right)$ 이다. 한편 $h(x) = -\frac{1}{2}x^3 - x^2 + \left(k-c+\frac{3}{2}\right)x - c$ 이므로 계수를 비교하면: $t+1 = -1 \implies t = -2$ 이고, $-c = -\frac{1}{2}(2t^2) = t^2 \implies c = -4$ 이며, $k-c+\frac{3}{2} = -\frac{1}{2}(t^2+4t) = 2 \implies k - (-4) + \frac{3}{2} = 2 \implies k = -\frac{7}{2}$ 이다. 이는 $k > 0$ 조건에 모순이므로 성립하지 않는다.
2) $h(x) = -\frac{1}{2}(x-t)(x-2)^2$ 인 경우: 전개하면 $h(x) = -\frac{1}{2}\left(x^3 - (t+4)x^2 + 4(t+1)x - 4t\right)$ 이다. 계수를 비교하면: $\frac{t+4}{2} = -1 \implies t = -6$ 이고, $-c = -\frac{1}{2}(4t) = 2t \implies c = 12$ 이며, $k-c+\frac{3}{2} = -2(t+1) = 10 \implies k - 12 + \frac{3}{2} = 10 \implies k = \frac{41}{2}$ 이다. 이는 $k = \frac{41}{2} > 0$ 이므로 조건에 만족한다. 따라서 구하는 실수 $c$의 값은 $12$ 이다.

[논제 1]
급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{t}{e^t}\right)^n$ 은 첫째항과 공비가 모두 $r = \frac{t}{e^t}$ 인 등비급수이다. 함수 $F(t) = \frac{t}{e^t} = te^{-t}$ 라 하면, 도함수는 $F'(t) = (1-t)e^{-t}$ 이다. $F(t)$는 구간 $(-\infty, 1]$에서 증가하고, $[1, \infty)$에서 감소하므로 $t=1$에서 최댓값 $F(1) = \frac{1}{e}$ 을 가진다. 또한 $\lim_{t \to \infty} F(t) = 0$, $\lim_{t \to -\infty} F(t) = -\infty$, $F(0) = 0$ 이다. 등비급수의 수렴 조건은 $|r| < 1$, 즉 $-1 < F(t) < 1$ 이다. 최댓값이 $\frac{1}{e} < 1$ 이므로 우측 부등식 $F(t) < 1$은 항상 성립한다. 따라서 수렴 조건은 $F(t) > -1$ 이다. $F(t)$는 증가함수이므로, $F(t) > -1$ 을 만족하는 실수의 범위는 $t > a$ (여기서 $F(a) = -1$) 이다. $t > a$ 일 때, 등비급수의 합은 $\frac{r}{1-r} = \frac{t}{e^t - t}$ 이다. 함수 $f(t) = \frac{F(t)}{1 - F(t)}$ 이고, $y = \frac{r}{1-r}$ 은 $-1 < r < 1$ 에서 증가함수이므로, $F(t)$가 최댓값 $F(1) = \frac{1}{e}$ 을 가질 때 $f(t)$도 최댓값 $M$을 갖는다. $$ M = \frac{F(1)}{1 - F(1)} = \frac{1/e}{1 - 1/e} = \frac{1}{e - 1} $$ 따라서 $M = \frac{1}{e-1}$ 이다.

[논제 2]
함수 $F(t) = \frac{t}{e^t}$ 는 $t \le 1$ 에서 증가함수이다. $|\cos\alpha| \le 1$, $|\sin\alpha| \le 1$ 이므로, $F(\cos\alpha) \le F(\sin\alpha)$ 일 필요충분조건은 $\cos\alpha \le \sin\alpha$ 이다. $0 \le \alpha \le 2\pi$ 이므로 $\cos\alpha \le \sin\alpha$ 의 해는 $\frac{\pi}{4} \le \alpha \le \frac{5\pi}{4}$ 이다. 따라서 집합 $A = \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$ 이다. 다음으로 둘러싸인 넓이 $S$를 구하자. $q(x) = g(x) - h(x) = e^{\cos x}\sin x - e^{\sin x}\cos x$ 라 하면, $S = \int_{0}^{2\pi} |q(x)| dx$ 이다. $q(x) \ge 0 \iff F(\sin x) \ge F(\cos x) \iff \sin x \ge \cos x \iff x \in A$ 이므로: $$ S = -\int_{0}^{\pi/4} q(x) dx + \int_{\pi/4}^{5\pi/4} q(x) dx - \int_{5\pi/4}^{2\pi} q(x) dx $$ $q(x)$의 부정적분을 구하기 위해 치환적분을 사용한다. $Q(x) = -e^{\cos x} - e^{\sin x}$ 라 하면 $Q'(x) = e^{\cos x}\sin x - e^{\sin x}\cos x = q(x)$ 이므로 $Q(x)$는 $q(x)$의 부정적분이다. $$ \begin{aligned} S &= -[Q(x)]_{0}^{\pi/4} + [Q(x)]_{\pi/4}^{5\pi/4} - [Q(x)]_{5\pi/4}^{2\pi} \\ &= Q(0) - 2Q\left(\frac{\pi}{4}\right) + 2Q\left(\frac{5\pi}{4}\right) - Q(2\pi) \end{aligned} $$ $Q(0) = -e - 1$, $Q(2\pi) = -e - 1$, $Q\left(\frac{\pi}{4}\right) = -2e^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$, $Q\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -2e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$ 이므로, $$ \begin{aligned} S = (-e-1) - 2\left(-2e^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) + 2\left(-2e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) - (-e-1) \\ = 4\left(e^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) \end{aligned} $$ 따라서 집합 $A = \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$, 넓이 $S = 4\left(e^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)$ 이다.

[논제 1]
삼각형 $ABC$의 세 각의 합은 $\pi$이므로 $\cos(B+C) = \cos(\pi - A) = -\cos A$ 이다.
한편, $\overline{BC}=a, \overline{AC}=b$라 하면 사인법칙과 코사인법칙에 의해 다음이 성립한다. $$ \begin{aligned} \sin B = \frac{b}{2R}, \quad \sin C \\ = \frac{c}{2R}, \quad \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \end{aligned} $$ 이를 제시문 (ㄱ)의 관계식에 대입하면 다음과 같다. $$ \sin C \cos(B+C) + \sin B = 0 \iff -\sin C \cos A + \sin B = 0 $$ $$ \begin{aligned} \iff -\frac{c}{2R} \cdot \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} + \frac{b}{2R} = 0 \iff c^2 \\ = a^2 + b^2 \end{aligned} $$ 따라서 삼각형 $ABC$는 $C = \frac{\pi}{2}$ 인 직각삼각형이다. 사인법칙을 이용하면 다음을 얻는다. $$ \frac{c}{R} = 2\sin C = 2 $$

[논제 2]
내접원의 성질에 의해 $\overline{AP} = mx, \overline{PB} = nx$ ($x > 0$)라 하면 변들의 길이는 다음과 같다. $$ a = nx + 2, \quad b = mx + 2, \quad c = (m + n)x $$ 이때 $a, b, c$가 자연수이므로 $x$는 반드시 유리수여야 한다. 이 식들을 피타고라스 정리 $c^2 = a^2 + b^2$ 에 대입하면 다음과 같다. $$ (m+n)^2 x^2 = (nx+2)^2 + (mx+2)^2 \iff mnx^2 - 2(m+n)x - 4 = 0 $$ 이차방정식의 판별식을 $D$라 할 때, 유리수 해 $x$가 존재하기 위해선 $\frac{D}{4} = (m+n)^2 + 4mn$ 이 어떤 자연수의 제곱이어야 한다. $m, n$은 $3$ 이하의 자연수이므로 가능한 모든 경우를 조사하면 다음과 같다. - $(m, n) = (1, 1) \implies \frac{D}{4} = 8$ (탈락) - $(m, n) = (1, 2)$ 또는 $(2, 1) \implies \frac{D}{4} = 17$ (탈락) - $(m, n) = (1, 3)$ 또는 $(3, 1) \implies \frac{D}{4} = 28$ (탈락) - $(m, n) = (2, 2) \implies \frac{D}{4} = 32$ (탈락) - $(m, n) = (2, 3)$ 또는 $(3, 2) \implies \frac{D}{4} = 49 = 7^2$ (적합) - $(m, n) = (3, 3) \implies \frac{D}{4} = 72$ (탈락) 따라서 적합한 순서쌍은 $(m, n) = (2, 3)$ 또는 $(3, 2)$ 이다.
이때 이차방정식은 $6x^2 - 10x - 4 = 0 \iff (3x+1)(x-2) = 0$ 이고 $x > 0$ 이므로 $x = 2$ 이다. - $m=3, n=2$ 이면 $a = nx + 2 = 6$ 이다. - $m=2, n=3$ 이면 $a = nx + 2 = 8$ 이다. 따라서 가능한 $a$의 값은 $6, 8$ 이다.

[논제 1]
삼차함수 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$라 하자. 조건 (가) $f(x) + f(-x) = 4$ 에 대입하면 다음과 같다. $$ f(x) + f(-x) = 2bx^2 + 2d = 4 $$ 이 식은 모든 실수 $x$에 대해 성립하므로 $b = 0, d = 2$ 이다. 따라서 $f(x) = ax^3 + cx + 2$ 이다. 이를 미분하면 $f'(x) = 3ax^2 + c$ 이다. 조건 (나) $f'(1) - f'(0) = -3$ 에 대입하면 다음과 같다. $$ (3a + c) - c = 3a = -3 \implies a = -1 $$ 따라서 삼차함수 $f(x)$의 최고차항의 계수는 $-1$ 이다.

[논제 2]
$f(x) = -x^3 + cx + 2$ 이고 $f'(x) = -3x^2 + c$ 이다. $f'(0) > 0$ 이므로 $c > 0$ 이다. $f'(x) = 0 \iff x = \pm \sqrt{\frac{c}{3}}$ 이므로 함수 $f(x)$는 극값을 가지며, 극솟값은 $f\left(-\sqrt{\frac{c}{3}}\right) = 2 - \frac{2c}{3}\sqrt{\frac{c}{3}}$ 이고, 극댓값은 $f\left(\sqrt{\frac{c}{3}}\right) = 2 + \frac{2c}{3}\sqrt{\frac{c}{3}}$ 이다. 극댓값은 항상 $2$보다 크고 극솟값은 항상 $2$보다 작다. 방정식 $f(x) = k$의 실근의 개수 $A(k)$에 대해 다음을 분석한다. - $A(20) = 3$ 이면 조건 (가)에 의해 $A(0) = 3, A(18) = 3$ 이 되나, 이는 조건 (나) $A(0) - A(18) = A(20)$ 를 만족시키지 않는다. - $A(20) = 2$ 이면 조건 (나)에 의해 $A(0) - A(18) = 2$ 이므로 $A(0) = 3, A(18) = 1$ 이어야 한다. 그러나 이는 조건 (가) $A(0) \ge A(18)$ 에 모순이다. - 따라서 $A(20) = 1$ 이어야 하며, 조건 (나)에 의해 가능한 경우는 다음과 같다.
1) $A(0) = 2, A(18) = 1, A(20) = 1$ 인 경우:
$A(0) = 2$ 이므로 극솟값이 $0$ 이어야 한다. $$ 2 - \frac{2c}{3}\sqrt{\frac{c}{3}} = 0 \implies c = 3 $$ 이때 극댓값은 $4$이므로 $A(18) = 1, A(20) = 1$ 을 모두 만족한다. 따라서 $f(x) = -x^3 + 3x + 2$ 이다. $$ \begin{aligned} I = \int_{0}^{2} (-x^3 + 3x + 2) dx \\ = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^2 + 2x \right]_{0}^{2} = -4 + 6 + 4 = 6 \end{aligned} $$ 2) $A(0) = 3, A(18) = 2, A(20) = 1$ 인 경우:
$A(18) = 2$ 이므로 극댓값이 $18$ 이어야 한다. $$ 2 + \frac{2c}{3}\sqrt{\frac{c}{3}} = 18 \implies c = 12 $$ 이때 극솟값은 $-14$이므로 $A(0) = 3, A(20) = 1$ 을 모두 만족한다. 따라서 $f(x) = -x^3 + 12x + 2$ 이다. $$ \begin{aligned} I = \int_{0}^{2} (-x^3 + 12x + 2) dx \\ = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + 6x^2 + 2x \right]_{0}^{2} = -4 + 24 + 4 = 24 \end{aligned} $$ 따라서 가능한 $I$의 값은 $6, 24$ 이다.

[논제 1]
수열 ${a_n}$의 일반항은 $a_n = a + b(n-1)$ 이다. $a_k + a_m = 2a + b(k+m-2) = 0$ 이므로 공차 $b$는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ \begin{aligned} b = -\frac{2a}{k+m-2} \\ = -\frac{2a}{l} \quad (\text{단, } l = k+m-2\text{는 자연수}) \end{aligned} $$ 위 식을 만족시키는 순서쌍 $(k, m)$ (단, $k < m$)의 개수는 $k+m = l+2$ 를 만족시키는 자연수 순서쌍의 개수와 같다. - $l > 4$ 이면 순서쌍 $(k, m)$은 $(1, l+1), (2, l), (3, l-1)$ 등 최소 3개 이상 존재한다. - $l = 4$ 이면 순서쌍 $(k, m)$은 $(1, 5), (2, 4)$ 로 정확히 2개 존재한다. - $l = 3$ 이면 순서쌍 $(k, m)$은 $(1, 4), (2, 3)$ 으로 정확히 2개 존재한다. - $l = 2$ 이면 순서쌍 $(k, m)$은 $(1, 3)$ 으로 정확히 1개 존재한다. 따라서 개수가 1개 또는 2개가 되도록 하는 자연수 $l$ 중 최댓값은 $4$ 이다. 공차 $b = -\frac{2a}{l}$ 에서 $b$가 가장 크려면 분모 $l$이 가장 커야 하므로 최댓값 $d$는 다음과 같다. $$ d = -\frac{2a}{4} = -\frac{a}{2} $$

[논제 2]
$d = -\frac{a}{2}$ 이므로 수열 ${b_n}$의 일반항은 다음과 같다. $$ b_n = a - \frac{a}{2}(n-1) = \frac{a}{2}(3-n) $$ - $k \le 3$ 이면 $|b_k| = \frac{a}{2}(3-k)$ 이고, $k \ge 3$ 이면 $|b_k| = \frac{a}{2}(k-3)$ 이다. 이를 합 식 $S$에 적용하여 구간을 분할한다. $$ \begin{aligned} S = \sqrt{\frac{2}{a}} \left[ \sum_{k \\ =1}^{2} \frac{1}{\sqrt{3-k} + \sqrt{2-k}} + \sum_{k=3}^{52} \frac{1}{\sqrt{k-3} + \sqrt{k-2}} \right] \end{aligned} $$ 각 합 항을 유리화하여 전개하면 다음과 같다. - 첫 번째 합: $$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{2} \frac{1}{\sqrt{3-k} + \sqrt{2-k}} \\ = \sum_{k=1}^{2} (\sqrt{3-k} - \sqrt{2-k}) = (\sqrt{2}-1) + (1-0) = \sqrt{2} \end{aligned} $$ - 두 번째 합: $$ \begin{aligned} \sum_{k=3}^{52} \frac{1}{\sqrt{k-3} + \sqrt{k-2}} \\ = \sum_{k=3}^{52} (\sqrt{k-2} - \sqrt{k-3}) = (1-0) + (\sqrt{2}-1) + \dots + (5\sqrt{2}-7) = 5\sqrt{2} \end{aligned} $$ 따라서 $S$의 값은 다음과 같이 정리된다. $$ \begin{aligned} S = \sqrt{\frac{2}{a}} \left( \sqrt{2} + 5\sqrt{2} \right) \\ = \sqrt{\frac{2}{a}} \cdot 6\sqrt{2} = \frac{12}{\sqrt{a}} \end{aligned} $$ $S = 3$ 이므로 $\frac{12}{\sqrt{a}} = 3 \iff \sqrt{a} = 4 \implies a = 16$ 이다.

[논제 1]
제시문 (ㄱ)의 (가)에 의해 $f(2) = 16 - 8(k+2) + 2(k^2+4k-6) - 2k^2 + 12 = 0$ 이므로 $f(x)$는 다음과 같이 인수분해된다. $$ f(x) = (x-2)(2x^2 - 2kx + k^2 - 6) $$ 복소수 $z = \alpha + \beta i$ (단, $\alpha, \beta$는 실수, $\beta \ne 0$)라 할 때, 제시문 (ㄱ)의 (다)에 의해 다음이 성립한다. $$ \begin{aligned} 3\alpha - 1 - 3\beta i = \overline{3z - 1} \\ = 2z - \frac{5}{3}i = 2\alpha + \left(2\beta - \frac{5}{3}\right)i \end{aligned} $$ 실수부분과 허수부분을 비교하면: $$ 3\alpha - 1 = 2\alpha \implies \alpha = 1 $$ $$ -3\beta = 2\beta - \frac{5}{3} \implies \beta = \frac{1}{3} $$ 따라서 $3z - 1 = 3\left(1 + \frac{1}{3}i\right) - 1 = 2 + i$ 이다. 이것이 삼차방정식 $f(x)=0$의 허근이므로, $2x^2 - 2kx + k^2 - 6 = 0$ 의 한 근이다. $x = 2 + i$ 를 대입하면: $$ \begin{aligned} 2(2+i)^2 - 2k(2+i) + k^2 - 6 = 0 \iff 2(3+4i) - 4k - 2ki + k^2 - 6 \\ = 0 \end{aligned} $$ $$ \iff (k^2 - 4k) + (8 - 2k)i = 0 $$ 이를 만족시키는 실수 $k$의 값은 $k = 4$ 이다.

[논제 2]
$k=4$ 이므로 삼차함수 $f(x) = 2x^3 - 12x^2 + 26x - 20$ 이고, 도함수는 $f'(x) = 6x^2 - 24x + 26 = 6(x-2)^2 + 2 > 0$ 이다. 따라서 모든 실수 $x$에 대해 다음이 성립해야 한다. $$ |ax^2 - 2(a+3)x + 11| \le 3x^2 - 12x + 13 $$ $$ \iff -(3x^2 - 12x + 13) \le ax^2 - 2(a+3)x + 11 \le 3x^2 - 12x + 13 $$ 이 식은 다음 두 연립이차부등식이 모든 실수 $x$에 대해 성립함을 뜻한다. 1) $(3-a)x^2 - 2(3-a)x + 2 \ge 0$
2) $(a+3)x^2 - 2(a+9)x + 24 \ge 0$
각 경우에 대해 판별식을 분석한다. - $a = 3$ 인 경우: 1) $2 \ge 0$, 2) $6x^2 - 24x + 24 = 6(x-2)^2 \ge 0$ 이 되므로 성립한다. 따라서 $3 \in S$ 이다. - $a = -3$ 인 경우: 2) $-12x + 24 \ge 0$ 은 모든 실수 $x$에 대해 성립하지 않으므로 탈락이다. - $a \ne 3, a \ne -3$ 인 경우: 1)이 성립할 조건: $3-a > 0 \iff a < 3$ 이고, $\frac{D_1}{4} = (3-a)^2 - 2(3-a) = (3-a)(1-a) \le 0 \iff 1 \le a < 3$ 이다. 2)가 성립할 조건: $a+3 > 0 \iff a > -3$ 이고, $\frac{D_2}{4} = (a+9)^2 - 24(a+3) = (a-3)^2 \le 0 \iff a = 3$ 이다. 두 조건을 동시에 만족하는 실수는 존재하지 않는다. 따라서 만족시키는 집합 $S$는 다음과 같다. $$ S = {3} $$

[논제 1]
제시문 (ㄱ)의 (나) 식 $\int_{0}^{t} f(5+x)dx = \int_{0}^{t} f(5-x)dx$ 의 양변을 $t$에 대해 미분하면 다음과 같다. $$ f(5+t) = f(5-t) $$ 삼차함수 $g(x) = f(x+5)$ 라 하면 $g(t) = g(-t)$ 이므로 $g(x)$는 우함수(y축 대칭)인 사차함수이다. 따라서 $g(x) = x^4 + c_2 x^2 + c_0$ 로 설정할 수 있다. $y = g(x)$의 그래프는 $y = f(x)$의 그래프를 x축 방향으로 $-5$만큼 평행이동한 것이므로, 조건 (가) $f(0)=0$ 에 의해 $g(-5) = 0$ 이고, 조건 (다)에 의해 $f(x)$가 $x=10$에서 극값을 가지므로 $g(x)$는 $x=5$에서 극값을 가진다. 즉 $g'(5) = 0$ 이다. - $g(-5) = 625 + 25c_2 + c_0 = 0$
- $g'(x) = 4x^3 + 2c_2 x \implies g'(5) = 500 + 10c_2 = 0 \iff c_2 = -50$
이를 대입하면 $c_0 = 625$ 이다. 따라서 $g(x) = x^4 - 50x^2 + 625 = (x^2 - 25)^2 = (x-5)^2(x+5)^2$ 이고, $$ f(x) = g(x-5) = x^2(x-10)^2 $$ 이다. $f(x)$는 $x=0, 10$에서 극솟값 $0$을 갖고 $x=5$에서 극댓값 $f(5) = 625$를 갖는다. 방정식 $f(x) = k$의 양의 실근의 개수 $n$은 다음과 같다. - $0 < k < 625$ 일 때, 양의 실근은 $x=5$를 기준으로 대칭인 위치에 3개 존재한다. ($n=3$) - $k > 625$ 일 때, 극대보다 크므로 양의 실근은 1개 존재한다. ($n=1$) 따라서 최댓값 $M$은 다음과 같다. $$ M = 625 $$

[논제 2]
$f(a)=f(b)=f(c)=k$ 라 하면 조건 (가)에 의해 세 양의 실근의 존재 영역은 $0 < k < 625$ 이다. 우함수 $g(x) = f(x+5)$ 에 대해, 방정식 $g(x) = k$는 $x=0$을 축으로 대칭인 네 실근 $-\beta, -\alpha, \alpha, \beta$ ($0 < \alpha < 5 < \beta$)를 가진다. $$ \begin{aligned} g(x) - k = (x^2 - \alpha^2)(x^2 - \beta^2) \\ = x^4 - (\alpha^2 + \beta^2)x^2 + \alpha^2 \beta^2 \end{aligned} $$ 동시에 $g(x) - k = x^4 - 50x^2 + (625 - k)$ 이므로 계수비교법에 의해 다음이 성립한다. $$ \alpha^2 + \beta^2 = 50, \quad \alpha^2 \beta^2 = 625 - k $$ 방정식 $f(x) = k$의 서로 다른 네 실근은 $5-\beta, 5-\alpha, 5+\alpha, 5+\beta$ 이며, $0 < a < b < c$ 인 양의 세 실근은 다음과 같다. $$ a = 5-\alpha, \quad b = 5+\alpha, \quad c = 5+\beta $$ 조건 (다) $c-a = \sqrt{70}$ 에 대입하면 다음과 같다. $$ (5+\beta) - (5-\alpha) = \alpha + \beta = \sqrt{70} $$ 이를 제곱하여 관계식을 정리한다. $$ \begin{aligned} (\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta \iff 70 \\ = 50 + 2\alpha\beta \iff \alpha\beta = 10 \end{aligned} $$ 따라서 $\alpha^2 \beta^2 = 100$ 이다. 계수비교 식 $625 - k = 100$ 이므로 $k = 525$ 이다. 따라서 구하는 함숫값은 다음과 같다. $$ f(a) = k = 525 $$

[논제 1]
원 $x^2 + y^2 = 9$ 위의 점 $T(a, b)$에서의 접선의 방정식은 $ax + by = 9$ 이다. 이 접선이 점 $A(-5, 0)$을 지나므로 $-5a = 9 \iff a = -\frac{9}{5}$ 이다. 점 $T$는 원 위에 있으므로 다음이 성립한다. $$ \begin{aligned} a^2 + b^2 = 9 \iff b^2 \\ = 9 - \frac{81}{25} = \frac{144}{25} \implies b = \pm \frac{12}{5} \end{aligned} $$ 조건 (나) $BC < BD$ 에 의해 $y$좌표가 큰 점이 $C$, 작은 점이 $D$ 이다. (점 B의 y좌표가 3이므로 C의 y좌표가 양수여야 B와 더 가깝다.) 따라서 $C\left(-\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right)$, $D\left(-\frac{9}{5}, -\frac{12}{5}\right)$ 이다. 선분 $AB$의 길이는 다음과 같다. $$ AB = \sqrt{(-4 - (-5))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} $$ 두 점 $A(-5, 0)$, $B(-4, 3)$을 지나는 직선 $AB$의 방정식은 $3x - y + 15 = 0$ 이다. 점 $C$와 $D$에서 직선 $AB$까지의 거리는 각각 다음과 같다. $$ \begin{aligned} h_C = \frac{\left| 3\left(-\frac{9}{5}\right) - \frac{12}{5} + 15 \right|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} \\ = \frac{\left| -\frac{39}{5} + 15 \right|}{\sqrt{10}} = \frac{36}{5\sqrt{10}} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} h_D = \frac{\left| 3\left(-\frac{9}{5}\right) - \left(-\frac{12}{5}\right) + 15 \right|}{\sqrt{10}} \\ = \frac{\left| -\frac{15}{5} + 15 \right|}{\sqrt{10}} = \frac{12}{\sqrt{10}} = \frac{60}{5\sqrt{10}} \end{aligned} $$ 삼각형의 넓이가 더 큰 값 $S$는 거리가 더 먼 점 $D$를 선택할 때이므로 다음과 같다. $$ \begin{aligned} S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_D \\ = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{12}{\sqrt{10}} = 6 \end{aligned} $$

[논제 2]
원 $x^2 + y^2 = 18$ 위의 현 $PQ$의 중점을 $R(c, d)$라 하자. 삼각형 $OPQ$는 $OP=OQ=3\sqrt{2}$ 인 이등변삼각형이므로 $OR \perp PQ$ 이다. 현의 길이 $PQ=6$ 이므로 $RP=3$ 이다. 직각삼각형 $ORP$에서 피타고라스 정리에 의해: $$ OR^2 = OP^2 - RP^2 = 18 - 9 = 9 \implies OR = 3 $$ 따라서 중점 $R(c, d)$는 원 $x^2 + y^2 = 9$ 위의 점이다. 현 $PQ$를 포함하는 직선은 원 $x^2 + y^2 = 9$ 위의 점 $R(c, d)$에서의 접선 $cx + dy = 9$ 와 같다. 만약 $c = -\frac{9}{5}$ 이면 직선 $cx + dy = 9$ 는 점 $A(-5, 0)$을 지나므로 세 점 $A, P, Q$가 한 직선 위에 있게 되어 조건 (다)에 모순이다. 따라서 $-3 \le c \le 3$ 이고 $c \ne -\frac{9}{5}$ 이다. 삼각형 $APQ$의 넓이 $T$는 다음과 같다. $$ \begin{aligned} T = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot \text{d}(A, PQ) \\ = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{| -5c + 0d - 9 |}{\sqrt{c^2 + d^2}} = 3 \cdot \frac{|5c + 9|}{3} = |5c + 9| \end{aligned} $$ $-3 \le c \le 3$ 이므로 $|5c + 9|$의 최댓값 $M$은 $c = 3$ 일 때이다. $$ M = |5 \times 3 + 9| = 24 $$

[논제 1]
$g(1) = 1 + c = 2$ 이므로 $c = 1$ 이다. 조건 (나)의 첫 번째 식 $\lim_{x \to \infty} \frac{g'(x)}{f(x)} = 1$ 을 분석한다. $g'(x) = nx^{n-1} + lx^{l-1}$ 이고 $f(x) = ax^{m+1} + bx^m$ 이다. 무한대 극한이 $1$로 수렴하므로 최고차항의 차수와 계수가 같아야 한다. $$ n-1 = m+1 \implies n = m+2 $$ $$ \frac{n}{a} = 1 \implies a = n = m+2 $$ 조건 (나)의 두 번째 식 $\lim_{x \to 0} \frac{x g(x)}{f(x)} = \frac{1}{4}$ 을 분석한다. $$ \begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{x(x^n + x^l)}{ax^{m+1} + bx^m} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{n+1} + x^{l+1}}{ax^{m+1} + bx^m} \\ = \frac{1}{4} \end{aligned} $$ 분모와 분자의 최저차항 차수가 같아야 $0$이 아닌 값으로 수렴한다. $$ l+1 = m \implies l = m-1 $$ $$ \frac{1}{b} = \frac{1}{4} \implies b = 4 $$ 조건 (가) $f(1) = a + b = 8$ 이므로 $a + 4 = 8 \iff a = 4$ 이다. $a = m+2$ 이므로 $4 = m+2 \implies m = 2$ 이다. 따라서 모든 미지수들의 값은 다음과 같다. $$ a = 4, \quad b = 4, \quad c = 1 $$

[논제 2]
구한 변수값들로부터 $m=2, n=4, l=1$ 이므로 함수 $f(x)$와 $g(x)$는 다음과 같다. $$ f(x) = 4x^3 + 4x^2 = 4x^2(x+1) $$ $$ g(x) = x^4 + x = x(x+1)(x^2 - x + 1) $$ 이 식들을 극한 식 $L$에 대입하면 다음과 같다. $$ \begin{aligned} L = \lim_{x \to -1} \frac{x(x+1)(x^2 - x + 1)}{4x^2(x+1)} \\ = \lim_{x \to -1} \frac{x(x^2 - x + 1)}{4x^2} \end{aligned} $$ $x+1$을 분모 분자에서 약분한 뒤 $x = -1$ 을 대입한다. $$ \begin{aligned} L = \frac{-1((-1)^2 - (-1) + 1)}{4(-1)^2} \\ = \frac{-(1 + 1 + 1)}{4} = -\frac{3}{4} \end{aligned} $$

[논제 1]
8회 시행 중 앞면이 나오는 횟수를 $m$, 뒷면이 나오는 횟수를 $n$이라 하면 $m + n = 8$ 이다. 총 이동거리 $d = 3m + 2n$ 이며, $n = 8 - m$ 을 대입하면 $d = m + 16$ 이다. 정사각형의 둘레를 따라 다시 꼭짓점 $A$로 돌아오려면 총 이동거리 $d$가 둘레 길이인 $4$의 배수여야 한다. $0 \le m \le 8$ 이므로 $16 \le d \le 24$ 이다. 따라서 가능한 $d$의 값은 $16, 20, 24$ 이다. - $d = 16 \implies m = 0, n = 8$ - $d = 20 \implies m = 4, n = 4$ - $d = 24 \implies m = 8, n = 0$ 각 경우의 수를 조합으로 계산하여 합산한다. $$ a = \binom{8}{0} + \binom{8}{4} + \binom{8}{8} = 1 + 70 + 1 = 72 $$

[논제 2]
8회 시행 중 빨간, 노란, 파란 구슬이 나오는 횟수를 각각 $l, m, n$이라 하면 $l + m + n = 8$ 이다. 총 이동거리 $d = 3l + 2m + n$ 이며, 다시 꼭짓점 $A$로 돌아오려면 $d$가 정팔각형의 둘레 길이인 $8$의 배수여야 한다. $8 \le d \le 24$ 이므로 가능한 $d$의 값은 $8, 16, 24$ 이다. - **[경우 1] $d = 8$ 또는 $d = 24$ 인 경우:**
- $d = 8 \implies (l, m, n) = (0, 0, 8)$ (경우의 수: $\binom{8}{8} = 1$) - $d = 24 \implies (l, m, n) = (8, 0, 0)$ (경우의 수: $\binom{8}{8} = 1$) 따라서 이 경우의 경우의 수 합은 $1 + 1 = 2$ 이다. - **[경우 2] $d = 16$ 인 경우:**
$3l + 2m + n = 16$ 이고 $n = 8 - l - m$ 이므로 $2l + m = 8$ 을 얻는다. 가능한 순서쌍 $(l, m, n)$을 대입하면 다음과 같다. - $l = 4 \implies m = 0, n = 4$ (경우의 수: $\binom{8}{4}\binom{4}{0} = 70$) - $l = 3 \implies m = 2, n = 3$ (경우의 수: $\binom{8}{3}\binom{5}{2} = 56 \times 10 = 560$) - $l = 2 \implies m = 4, n = 2$ (경우의 수: $\binom{8}{2}\binom{6}{4} = 28 \times 15 = 420$) - $l = 1 \implies m = 6, n = 1$ (경우의 수: $\binom{8}{1}\binom{7}{6} = 8 \times 7 = 56$) - $l = 0 \implies m = 8, n = 0$ (경우의 수: $\binom{8}{0}\binom{8}{8} = 1$) 이 경우들의 경우의 수 합은 $70 + 560 + 420 + 56 + 1 = 1107$ 이다. 따라서 구하는 총 경우의 수 $b$는 다음과 같다. $$ b = 2 + 1107 = 1109 $$

[논제 1]
최고차항의 계수가 $1$이고 $f(0) = 1$ 이므로 삼차함수 $f(x)$는 다음과 같다. $$ f(x) = x^3 + px^2 + qx + 1 $$ $f'(x) = 3x^2 + 2px + q$ 이다. 조건 (다) $f'(x)$가 $x=0$에서 극값을 가지므로 $f''(0) = 6(0) + 2p = 0 \implies p = 0$ 이다. 따라서 $f(x) = x^3 + qx + 1$ 이고 $f'(x) = 3x^2 + q$ 이다. 조건 (나) 극값 중 하나가 $3$이므로 극값을 가져야 한다. 즉 $q < 0$ 이다. $c = \sqrt{-\frac{q}{3}} > 0$ 이라 하면 $q = -3c^2$ 이다. $f(x) = x^3 - 3c^2 x + 1$ 이고 극대, 극소는 $x = \pm c$ 에서 가진다. 극댓값은 $f(-c) = -c^3 + 3c^3 + 1 = 2c^3 + 1 > 1$ 이고, 극솟값은 $f(c) = c^3 - 3c^3 + 1 = -2c^3 + 1 < 1$ 이다. 극값 중 하나가 $3$이므로 $2c^3 + 1 = 3 \iff c = 1$ 이다. 따라서 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ 이다. 함수 $f(x)$의 극댓값은 $3$, 극솟값은 $-1$ 이다. 방정식 $f(x) = k$의 실근의 개수 $n$은 극대와 극소 사이인 $-1 \le k \le 3$ 일 때 $n \ge 2$ 이고, 그 외 범위일 때 $n=1$ 이다. 제시문 (ㄴ)의 조건과 비교하면 다음과 같다. $$ a = -1, \quad b = 3 $$

[논제 2]
$-1 \le k \le 3$ 에 대해 $f(t) = k$ 이고 $-1 \le t \le 1$ 인 실수 $t$가 유일하게 존재한다. 이때 $f(\alpha) = f(t) = f(\beta) = k$ 이므로 다음이 성립한다. $$ f(x) - k = f(x) - f(t) = x^3 - 3x - (t^3 - 3t) = 0 $$ $$ \iff (x-t)(x^2 + tx + t^2 - 3) = 0 $$ 따라서 $\alpha, \beta$는 이차방정식 $x^2 + tx + t^2 - 3 = 0$ 의 두 실근이다. 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립한다. $$ \alpha + \beta = -t, \quad \alpha\beta = t^2 - 3 $$ 두 근의 차의 제곱은 다음과 같다. $$ \begin{aligned} (\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \\ = (-t)^2 - 4(t^2 - 3) = -3t^2 + 12 \end{aligned} $$ $-1 \le t \le 1$ 이므로: - $t = 0$ 일 때 최댓값 $M^2 = 12 \implies M = 2\sqrt{3}$ - $t = \pm 1$ 일 때 최솟값 $m^2 = 9 \implies m = 3$ 따라서 구하고자 하는 값 $\frac{M}{m}$은 다음과 같다. $$ \frac{M}{m} = \frac{2\sqrt{3}}{3} $$