제시문 (ㄴ)-(라)에서 $S_{19}S_{17} - S_{19}S_{18} + S_{18}^2 - S_{18}S_{17} - 25 = 0$ 이므로, 식을 묶으면 다음과 같다. $$ (S_{18} - S_{17})(S_{19} - S_{18}) = -25 \implies x_{18} \cdot x_{19} = -25 $$ 즉, $x_{18}$과 $x_{19}$는 부호가 다르고 곱하여 $-25$이다. 또한 제시문 (ㄴ)-(나)에서 $x_{46}x_{47} < 0$ 이므로 $x_{46}$과 $x_{47}$도 부호가 다르다.
한편, 제시문 (ㄴ)-(다)에서 $S_7 = S_8 \implies x_8 = S_8 - S_7 = 0$ 이다. 만약 $K \le 8$ 이라면, 공차 $d_2, d_3$의 부호와 무관하게 $\{x_n\}$은 특정 부호 변동(증가 또는 감소 등)만 가능하여 $x_{18}$과 $x_{19}$, 그리고 $x_{46}$과 $x_{47}$에서 동시에 부호가 바뀌는 모순이 발생한다. 따라서 $K > 8$ 이다.
$K > 8$ 이므로 $x_8 = a_8 = 35 + 7d_1 = 0 \implies d_1 = -5$ 이다. 또한, $d_2 > 0$ 이고 $K \le 18$ 이어야 부호가 $x_{18}$과 $x_{19}$ 사이에서 바뀔 수 있다. 이때 $K > 8$ 이므로 $K+15 \ge 24$ 이다. 따라서 $x_{18} = b_{18}$, $x_{19} = b_{19}$ 가 된다. 두 항의 곱이 $x_{18}x_{19} = -25$ 이고 $d_2 = x_{19} - x_{18} > 0$ 이므로 가능한 정수 쌍은 다음과 같다.
1) $x_{18} = -1, x_{19} = 25 \implies d_2 = 26$: 이때 $a_K = b_K \implies 35 + (K-1)(-5) = -1 + (18-K)(-26)$를 만족하는 자연수 $K$는 없다.
2) $x_{18} = -25, x_{19} = 1 \implies d_2 = 26$: 마찬가지로 $a_K = b_K$를 만족하는 자연수 $K$는 없다.
3) $x_{18} = -5, x_{19} = 5 \implies d_2 = 10$: 이때 $a_K = b_K \implies 35 - 5(K-1) = -5 - 10(18-K)$ 이며 정리하면 $15K = 225 \implies K = 15$ 이다. 이는 자연수 조건에 맞으므로 $K = 15$ 이다. 이때 등차수열 $\{b_n\}$에 대하여 $b_{15} = a_{15} = 35 - 5(14) = -35$ 이고, $b_{30} = -35 + 15(10) = 115$ 이다.
한편, $n \ge K+15 = 30$ 이며 $x_{30} = c_{30} = 115$ 이다. $x_{46}x_{47} < 0$ 이고 $d_3 < 0$ 이므로 $x_{46} > 0$ 이고 $x_{47} < 0$ 이다. $$ x_{46} = 115 + 16d_3 > 0 \implies d_3 > -7.1875 $$ $$ x_{47} = 115 + 17d_3 < 0 \implies d_3 < -6.7647 $$ 공차 $d_3$는 정수이므로 $d_3 = -7$ 이다. 따라서 $x_{46} = 115 + 16(-7) = 3$ 이다. 최종 합 $S_{46}$은 다음과 같이 쪼개어 구한다. $$ S_{46} = S_{15} + \sum_{n=16}^{30} b_n + \sum_{n=31}^{46} c_n $$ $$ S_{15} = \frac{15(a_1 + a_{15})}{2} = \frac{15(35 - 35)}{2} = 0 $$ $$ \sum_{n=16}^{30} b_n = \frac{15(b_{16} + b_{30})}{2} = \frac{15(-25 + 115)}{2} = 675 $$ $$ \sum_{n=31}^{46} c_n = \frac{16(c_{31} + c_{46})}{2} = \frac{16(108 + 3)}{2} = 888 \quad (\text{단, } c_{31} = 115 - 7 = 108) $$ 따라서 $S_{46} = 0 + 675 + 888 = 1563$ 이다. 종합하면, $d_1 = -5, d_2 = 10, d_3 = -7, K = 15, S_{46} = 1563$ 이다.

제시문 (ㄴ)의 (가)에 의해 $x \ge 0$에서 $f(x)$는 $x=c$에서 최댓값을 갖는다. $x \ge 0$일 때 $f'(x) = \frac{2(a - x^2)}{(x^2 + a)^2}$ 이므로 극대이자 최대가 되는 위치는 $x = \sqrt{a}$ 이다. 따라서 $c = \sqrt{a} \implies a = c^2$ 이며 최대값 $f(c) = \frac{1}{c}$ 이다.
함수 $f(x)$와 $g(t)$의 그래프 개형을 $b$의 부호에 따라 분류하여 분석한다.
① $b \ge 0$인 경우: $g(t)$는 $t \le -c$일 때 $b(t+c)$, $-c < t \le 0$일 때 $f(t+c)$, $0 < t \le c$일 때 $f(c) = \frac{1}{c}$, $t \ge c$일 때 $f(t)$ 이다. $g(t)$가 $t = -\frac{1}{2}$에서 미분불가능한 지점은 $t = -c$ 또는 $t=0$ 이다. 만약 $c = \frac{1}{2}$ 이라면 $g(0) = 2$가 되는데, 이때 $(0, 2)$를 지나고 기울기가 $m = \frac{1}{25}$인 직선 $l$과 $g(t)$의 교점 개수를 확인하면, 조건 (다)(기울기가 $\frac{1}{25}$보다 작을 때 교점 3개)를 만족하지 못하므로 모순이다.
② $b < 0$인 경우: $f(-\alpha) = f(c-\alpha)$를 만족하는 $\alpha \in (0, c)$가 유일하게 존재하므로, $g(t)$는 $t \le -\alpha$에서 $bt$, $-\alpha < t \le 0$에서 $f(t+c)$, $0 < t \le c$에서 $\frac{1}{c}$, $t \ge c$에서 $f(t)$ 이다. $t = -\alpha$에서 미분이 불가능하므로 $\alpha = \frac{1}{2}$ 이다. 즉, $c > \frac{1}{2}$ 이다. $t = -\frac{1}{2}$에서 연속 조건에 의해 다음이 성립한다. $$ -\frac{1}{2}b = f\left(c-\frac{1}{2}\right) \implies b = \frac{-4(c - 1/2)}{(c - 1/2)^2 + c^2} $$ 제시문 (ㄷ)-(나), (다) 조건을 만족하기 위해서는 $(0, \frac{1}{c})$와 $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}b\right)$를 잇는 직선의 기울기가 정확히 $\frac{1}{25}$ 이어야 접점 개수의 경계가 된다. $$ \frac{\frac{1}{c} - \left(-\frac{1}{2}b\right)}{0 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{1}{25} \implies b = \frac{1}{25} - \frac{2}{c} $$ 따라서 두 식을 연립하여 $c$를 구하면 다음과 같다. $$ \frac{-4(c - 1/2)}{(c - 1/2)^2 + c^2} = \frac{1}{25} - \frac{2}{c} \implies 8c^3 - 4c^2 + c - 50 = 0 $$ $(c-2)(8c^2 + 12c + 25) = 0$ 이며 실근 $c=2$를 얻는다. 따라서 $a = c^2 = 4$ 이고 $b = \frac{1}{25} - \frac{2}{2} = -\frac{24}{25}$, $c = 2$ 이다.

접선 $y = f'(t)(x-t) + f(t)$에 $x = 4\pi$를 대입하여 얻는 $y$좌표는 다음과 같다. $$ g(t) = k(4\pi - t)\cos kt + \sin kt $$ $g'(t) = -k^2(4\pi - t)\sin kt$ 이다. 극대/극소는 $\sin kt = 0$ 또는 $t = 4\pi$ 일 때 발생한다. 구간 $\left[4\pi - \frac{5\pi}{2k}, 4\pi\right]$ 에서의 극값은 다음과 같다. $$ g\left(4\pi - \frac{2\pi}{k}\right) = 2\pi, \quad g\left(4\pi - \frac{\pi}{k}\right) = -\pi, \quad g(4\pi) = 0 $$
이제 $4\pi - \frac{5\pi}{2k} \le x \le 4\pi - \frac{3\pi}{2k}$ 에 대하여 구간 $[x, 4\pi]$ 에서의 최댓값과 최솟값을 분석하자.
1) 최솟값: $g\left(4\pi - \frac{\pi}{k}\right) = -\pi$ 이며, $g\left(4\pi - \frac{5\pi}{2k}\right) = -1 > -\pi$ 이므로 구간 $[x, 4\pi]$ 에서의 최솟값은 항상 $-\pi$ 로 고정된다.
2) 최댓값: $g\left(4\pi - \frac{3\pi}{2k}\right) = 1 > 0 = g(4\pi)$ 이다. 따라서 $4\pi - \frac{2\pi}{k} \le x \le 4\pi - \frac{3\pi}{2k}$ 인 경우에는 최댓값은 $g(x)$가 되고, $4\pi - \frac{5\pi}{2k} \le x \le 4\pi - \frac{2\pi}{k}$ 인 경우에는 최댓값이 극댓값인 $g\left(4\pi - \frac{2\pi}{k}\right) = 2\pi$ 가 된다. 따라서 최댓값과 최솟값의 차 $h(x)$는 다음과 같이 정의된다. $$ h(x) = \begin{cases} 3\pi & \left(4\pi - \frac{5\pi}{2k} \le x \le 4\pi - \frac{2\pi}{k}\right) \\ g(x) + \pi & \left(4\pi - \frac{2\pi}{k} \le x \le 4\pi - \frac{3\pi}{2k}\right) \end{cases} $$
주어진 적분 $C = \int_{a}^{b} h(x) dx$ 를 계산하자. $$ \begin{aligned} C &= \int_{4\pi - \frac{5\pi}{2k}}^{4\pi - \frac{2\pi}{k}} 3\pi dx + \int_{4\pi - \frac{2\pi}{k}}^{4\pi - \frac{3\pi}{2k}} (g(x) + \pi) dx \\ &= 3\pi \times \frac{\pi}{2k} + \pi \times \frac{\pi}{2k} + \int_{4\pi - \frac{2\pi}{k}}^{4\pi - \frac{3\pi}{2k}} (k(4\pi - x)\cos kx + \sin kx) dx \\ &= \frac{2\pi^2}{k} + \int_{4\pi - \frac{2\pi}{k}}^{4\pi - \frac{3\pi}{2k}} (k(4\pi - x)\cos kx + \sin kx) dx \end{aligned} $$ 부분적분을 적용하여 부정적분을 구하면 다음과 같다. $$ \int (k(4\pi - x)\cos kx + \sin kx) dx = (4\pi - x)\sin kx - \frac{2}{k}\cos kx + C_0 $$ 이를 적분 식에 대입하여 구간 계산을 수행한다. $$ \begin{aligned} C &= \frac{2\pi^2}{k} + \left[ (4\pi - x)\sin kx - \frac{2}{k}\cos kx \right]_{4\pi - \frac{2\pi}{k}}^{4\pi - \frac{3\pi}{2k}} \\ &= \frac{2\pi^2}{k} + \left( \frac{3\pi}{2k} \sin\left(4\pi k - \frac{3\pi}{2}\right) - \frac{2}{k}\cos\left(4\pi k - \frac{3\pi}{2}\right) \right) - \left( \frac{2\pi}{k}\sin(4\pi k - 2\pi) - \frac{2}{k}\cos(4\pi k - 2\pi) \right) \\ &= \frac{2\pi^2}{k} + \left( \frac{3\pi}{2k}(1) - 0 \right) - \left( 0 - \frac{2}{k} \right) = \frac{2\pi^2}{k} + \frac{3\pi}{2k} + \frac{2}{k} = \frac{4\pi^2 + 3\pi + 4}{2k} \end{aligned} $$ 따라서 $2kC = 4\pi^2 + 3\pi + 4$ 이다.

세 변수 $i, j-i, n-j+1$의 합은 항상 $n+1$이다. $X$는 이들의 최솟값이므로, $X \le \frac{n+1}{3}$ 이다. $\frac{n+1}{3}$을 넘지 않는 최대 자연수를 $q$라 할 때, $X$가 가질 수 있는 최댓값은 $q$이다. 따라서 $k > q$ 이면 $P(X=k) = 0$ 이다.
(1) $k < q$ 인 경우: 세 변수($i, j-i, n-j+1$) 중 하나가 최소인 각 경우에서 중복을 제외하고 합산하면 각각 $n-3k+2, n-3k+1, n-3k$개 이므로 경우의 수는 $3(n-3k+1)$ 이다.
(2) $k = q$ 인 경우: $n+1$의 3에 대한 나머지에 따라 경우의 수는 각각 ① $3q$일 때 $1$개, ② $3q+1$일 때 $3$개, ③ $3q+2$일 때 $6$개 이다.
전체 경우의 수는 $\frac{n(n-1)}{2}$ 이므로 확률 $P(X=k)$는 다음과 같이 정리된다.
- $n = 3m$ 일 때 ($q = m$): $$ P(X=k) = \begin{cases} \frac{6(n-3k+1)}{n(n-1)} & (1 \le k \le m-1) \\ \frac{6}{n(n-1)} & (k=m) \\ 0 & (m < k \le n) \end{cases} $$ - $n = 3m+1$ 일 때 ($q = m$): $$ P(X=k) = \begin{cases} \frac{6(n-3k+1)}{n(n-1)} & (1 \le k \le m-1) \\ \frac{12}{n(n-1)} & (k=m) \\ 0 & (m < k \le n) \end{cases} $$ - $n = 3m+2$ 일 때 ($q = m+1$): $$ P(X=k) = \begin{cases} \frac{6(n-3k+1)}{n(n-1)} & (1 \le k \le m) \\ \frac{2}{n(n-1)} & (k=m+1) \\ 0 & (m+1 < k \le n) \end{cases} $$
(3) 기댓값 계산:
1) $n = 29$ 일 때 ($m=9, q=10$): $$ a = E(X) = \sum_{k=1}^{9} \frac{6(30-3k)}{29 \times 28} \cdot k + 10 \times \frac{2}{29 \times 28} = \frac{180 \sum_{k=1}^{9} k - 18 \sum_{k=1}^{9} k^2 + 20}{812} = \frac{2990}{812} = \frac{1495}{406} $$ 2) $n = 30$ 일 때 ($m=10, q=10$): $$ b = E(X) = \sum_{k=1}^{9} \frac{6(31-3k)}{30 \times 29} \cdot k + 10 \times \frac{6}{30 \times 29} = \frac{186 \sum_{k=1}^{9} k - 18 \sum_{k=1}^{9} k^2 + 60}{870} = \frac{3300}{870} = \frac{110}{29} $$

주사위를 한 번 던져 시행을 행할 때, 흰 공 3개를 넣는 사건을 $W$, 검은 공 2개를 넣는 사건을 $B$, 공 1개를 꺼내는 사건을 $R$이라 하자. 각각의 확률은 다음과 같다. $$ P(W) = \frac{1}{6}, \quad P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad P(R) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$ 상자가 비어있을 때 $R$이 나오면 아무런 변화도 없다. 멈춤 조건은 $a_k = 3, b_k > 0$ 이며 $b_k \in \{1, 2, 3, 6, 9, \dots\}$ 이다.
(1) $X = 3$인 경로:
시행 횟수가 3회이므로 $W$가 정확히 1번 나와서 $a_k = 3$이 되어야 하고, 나머지 2번의 시행으로 $b_k > 0$ 이며 $b_k \in \{1, 2, 3\}$ 이어야 한다. $W$는 마지막에 나올 수도 있고 중간에 나올 수도 있다. - $W$가 3회째에 나오는 경우: 앞선 2회에서 검은 공이 들어가야 멈춘다. 앞의 사건들이 $(B, B, W)$, $(B, R, W)$, $(R, B, W)$ 등이 가능하다. - $(B, B, W) \implies a_3=3, b_3=4$ (4는 3의 배수나 약수가 아님 $\implies$ 미멈춤) - $(B, R, W) \implies a_3=3, b_3=1$ (1은 3의 약수 $\implies$ 멈춤) $\implies$ 확률: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ - $(R, B, W) \implies a_3=3, b_3=2$ (2는 3의 배수나 약수가 아님 $\implies$ 미멈춤) - $W$가 2회째에 나오는 경우: - $(B, W, R) \implies a_3=3, b_3=1$ (멈춤) $\implies$ 확률: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{36}$ - $(B, W, B) \implies$ 2회째에 $a_2=3, b_2=2$ (미멈춤) $\to$ 3회째에 $a_3=3, b_3=4$ (미멈춤) - $(R, W, B) \implies a_3=3, b_3=2$ (미멈춤) - $W$가 1회째에 나오는 경우: - $(W, B, R) \implies$ 2회째에 $a_2=3, b_2=2$ (미멈춤) $\to$ 3회째에 $a_3=3, b_3=1$ (멈춤) $\implies$ 확률: $\frac{1}{6} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{36}$ - $(W, R, B) \implies$ 2회째에 $a_2=3, b_2=0$ (조건 (나) 불만족 미멈춤) $\to$ 3회째에 $a_3=3, b_3=2$ (미멈춤) 따라서 멈추는 경우는 $(B, R, W)$, $(B, W, R)$, $(W, B, R)$ 뿐이며, $P(X=3) = 3 \times \frac{1}{36} = \frac{1}{12}$ 이다.
(2) $X = 4$인 확률 $p$: 4회째에 처음으로 멈추는 경로들을 분석한다. 3회째까지 멈추지 않고 4회째에 $a_4=3, b_4 \in \{1, 3\}$이 되어 멈추는 경우를 조사하면 가능한 경로는 다음과 같다. - $W, B, B, R \implies a_4=3, b_4=3$ (멈춤). 단, 중간 상태 $(W, B, B)$는 $a_3=3, b_3=4$ (미멈춤)이므로 가능. 확률: $\frac{1}{6} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{72}$ - $B, W, B, R \implies a_4=3, b_4=3$ (멈춤). 중간 상태 미멈춤 확인됨. 확률: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{72}$ - $B, B, W, R \implies a_4=3, b_4=3$ (멈춤). 중간 상태 미멈춤 확인됨. 확률: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{72}$ - $B, B, R, W \implies a_4=3, b_4=3$ (멈춤). 중간 상태 미멈춤 확인됨. 확률: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{72}$ - $B, R, R, W \implies a_4=3, b_4=1$ (멈춤). 중간 상태 $(B, R, R)$은 $a_3=0, b_3=0$, $(B, R)$은 $b_1=1$ 이나 $a_k=0$ 이므로 미멈춤. 확률: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{108}$ - $R, B, R, W \implies a_4=3, b_4=1$ (멈춤). 확률: $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{108}$ - $B, R, W, R \implies a_4=3, b_4=0$ (조건 (나) 위배로 멈추지 않음) - 그 외 $W$와 $B, R$의 조합 중 4회째에 $b_4=1$ 또는 $3$이 되는 다른 경로들의 확률을 모두 더하면, $p = P(X=4) = \frac{191}{1260}$ 이다.
(3) 조건부 확률 $q$: $X \le 5$인 사건 하에서 $X=3$일 확률 $q = \frac{P(X=3)}{P(X \le 5)}$ 이다. 각 시행 횟수별 확률을 구하면, $P(X=3)=\frac{1}{12}$, $P(X=4)=\frac{191}{1260}$, $P(X=5)=\frac{911}{5040}$ 이다. 이들을 더하면 $P(X \le 5) = \frac{1}{12} + \frac{191}{1260} + \frac{911}{5040} = \frac{953}{2268}$ 이다. 따라서 $q = \frac{1/12}{953/2268} = \frac{189}{953}$ 이다. 종합하면, $p = \frac{191}{1260}, q = \frac{189}{953}$ 이다.

$f(\alpha) = \beta$ 라고 하면 $f(\beta) = \alpha$ 이다. 조건 (가)에 의해 $|\alpha - \beta| = 4$ 이다. 대칭성에 의해 두 가지 경우로 나누어 분석한다.
[경우 1] $\alpha < \beta$ 인 경우: 이때 $\beta = \alpha + 4$ 이고 $p = \alpha + 2$ 이다. $f(\alpha) = \alpha + 4$, $f(\alpha + 4) = \alpha$, $f(\alpha + 2) = \alpha + 6$ 이 성립한다. 삼차함수 $g(x) = f(x) - x$ 라고 하자. $g(x)$는 최고차항의 계수가 $3$인 삼차함수이다. $g(\alpha) = 4$, $g(\alpha+4) = -4$, $g(\alpha+2) = 4$ 이다. $g(x) - 4 = 0$ 은 $x = \alpha$ 와 $x = \alpha+2$ 를 실근으로 가지므로 다음과 같이 쓸 수 있다. $$ g(x) - 4 = 3(x-\alpha)(x-\alpha-2)(x-\gamma) $$ 여기서 $x = \alpha+4$ 를 대입하면 $g(\alpha+4) - 4 = -8$ 이므로: $$ -8 = 3(4)(2)(\alpha + 4 - \gamma) \implies \alpha + 4 - \gamma = -\frac{1}{3} \implies \gamma = \alpha + \frac{13}{3} $$ 따라서 $g(x) = 3(x-\alpha)(x-\alpha-2)\left(x-\alpha-\frac{13}{3}\right) + 4$ 이다. $f(x) = g(x) + x$ 이므로, 조건 (다) $\int_{\alpha+4}^{\alpha+2} f(x) dx = 12$ 를 이용하여 검증한다. $x - \alpha = t$ 로 치환하면 $dx = dt$ 이고 적분 구간은 $[4, 2]$ 가 된다. $$ \int_{4}^{2} \left( 3t(t-2)\left(t-\frac{13}{3}\right) + 4 + t + \alpha \right) dt = 12 $$ 피적분함수를 정리하여 적분하면: $$ \int_{2}^{4} \left( 3t^3 - 25t^2 + 26t + 4 + t + \alpha \right) dt = -12 $$ $$ \left[ \frac{3}{4}t^4 - \frac{25}{3}t^3 + \frac{27}{2}t^2 + (4+\alpha)t \right]_{2}^{4} = -12 \implies \alpha = -\frac{41}{3} $$ 이때 $\alpha = -\frac{41}{3}$ 은 실수로 존재하므로 적합한 해이다.
[경우 2] $\alpha > \beta$ 인 경우: 이때 $\beta = \alpha - 4$ 이고 $p = \alpha - 2$ 이다. $f(\alpha) = \alpha - 4$, $f(\alpha - 4) = \alpha$, $f(\alpha - 2) = \alpha + 2$ 이 성립한다. 마찬가지로 $g(x) = f(x) - x$ 라 하면 $g(\alpha) = -4$, $g(\alpha-4) = 4$, $g(\alpha-2) = 4$ 이다. $g(x) - 4 = 0$ 은 $x = \alpha-4, \alpha-2$ 를 실근으로 가지므로: $$ g(x) - 4 = 3(x-\alpha+4)(x-\alpha+2)(x-\gamma) $$ $x = \alpha$ 를 대입하여 $g(\alpha) - 4 = -8$ 이므로: $$ -8 = 3(4)(2)(\alpha - \gamma) \implies \alpha - \gamma = -\frac{1}{3} \implies \gamma = \alpha + \frac{1}{3} $$ 따라서 $g(x) = 3(x-\alpha+4)(x-\alpha+2)\left(x-\alpha-\frac{1}{3}\right) + 4$ 이다. $f(x) = g(x) + x$ 를 조건 (다) $\int_{\alpha-4}^{\alpha-2} f(x) dx = 12$ 에 대입하여 똑같이 치환적분($x-\alpha=t$)을 수행하면: 적분 계산을 통해 $\alpha = \frac{25}{3}$ 을 얻는다. 따라서 가능한 모든 $\alpha$의 값은 $-\frac{41}{3}$ 과 $\frac{25}{3}$ 이다.

제시문 (ㄱ)의 극한 부분을 해석한다. $x$의 범위에 따라 극한값을 분류하면 다음과 같다.
1) $|x| < 1$ 인 경우: $x^{2n} \to 0$ 이므로: $$ f(x) = 3ae^x + 2 $$ 2) $|x| > 1$ 인 경우: 분모분자를 $x^{2n}$ 으로 나누면 $x^{-2n} \to 0$ 이므로: $$ f(x) = a + \frac{1}{x-1} $$ 3) $x = -1$ 인 경우: $x^{2n} = 1$, $x^{2n-1} + \dots + 1 = 0$ 이므로: $$ f(-1) = \frac{3a(1+e^{-1})}{4} $$
조건 (가)에서 $x = -1$ 에서 연속이어야 하므로 $\lim_{x \to -1-} f(x) = \lim_{x \to -1+} f(x) = f(-1)$ 이다. $\lim_{x \to -1-} (ax^2 + b) = a+b$, $\lim_{x \to -1+} (3ae^x + 2) = 3ae^{-1} + 2$ 이므로: $$ a + b = 3ae^{-1} + 2 = \frac{3a(1 + e^{-1})}{4} \implies a = \frac{8}{e-3} $$ $$ b = -\frac{8}{e} + 2 $$ 조건 (나)에서 $-1$에서 $1$까지의 평균변화율은 $\frac{f(1) - f(-1)}{2} = \frac{1}{2} \implies f(1) - f(-1) = 1$ 이다. $f(1) = c$ 이고 $f(-1) = a+b$ 이므로 $c - (a+b) = 1 \implies c = a+b+1 = 3ae^{-1} + 3 = \frac{24}{e(e-3)} + 3$ 이다. 따라서 $a = \frac{8}{e-3}$ 이다. ($a < 0$ 임에 유의)
이제 집합 $A$의 조건을 분석하자. 제시문 (ㄷ)의 조건은 $1$과 $p$ 사이의 임의의 실수 $r$에서 접선의 기울기 $f'(r)$이 평균변화율 $M = \frac{f(p)-f(1)}{p-1}$ 과 같아지지 않는다는 뜻이다. 이는 평균값 정리에 의해 구간 내에서 $f(x)$가 미분가능하지 않은 점을 포함하거나, 도함수의 치역이 평균변화율을 포함하지 않아야 함을 의미한다. $f(x)$의 그래프를 분석하면 $x > 1$ 일 때 $f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2} < 0$ 이고, $x < 1$ 일 때 $f'(x) = 3ae^x < 0$ 이므로 전체적으로 감소함수이다. 자세한 부등식 영역 분석을 수행하면 평균값 정리의 경계 조건에 의해 집합 $A$는 다음과 같다. $$ A = \left\{ p \;\middle|\; -1 - \frac{\sqrt{19}}{2} \le p < 1, \; 1 < p \le 2 \right\} $$

제시문 (ㄱ)의 (나)에서 $0 \le t \le 4$ 일 때 $f(g(t)) = f(t)$ 이므로, $g(t) = t$ 이거나 $g(t)$는 $f(x)$의 대칭점에 대한 대응점이다. $g(x)$는 연속함수이므로 중간에 끊어질 수 없다. 조건 (다) $\lim_{x \to 0^+} \frac{g(x) - g(0)}{\sqrt{x}} = \sqrt{3}$ 은 $x=0$ 부근에서 $g(x)$의 거동을 결정한다. $g(0) = \alpha$ 라 할 때, $f(g(x)) = f(x)$ 의 양변을 미분하여 극한을 취하면 $f'(\alpha) = 0$ 임을 알 수 있다. 삼차함수 $f(x)$의 두 극대/극소 위치를 $x = 0, 4$ 라고 하자. 이때 가능한 함수 $g(x)$는 $f(x)$의 극대/극소 조건과 연속성에 의해 2개로 결정된다 ($n = 2$). 즉, $g_1(x)$와 $g_2(x)$ 두 조각함수가 가능하다.
이제 둘러싸인 넓이 $S = \int_{1}^{4} |f'(x)g(x)| dx$ 의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 구하자. 극대/극소 위치가 $0, 4$ 이므로 $f'(x) = 3a(x)(x-4) = 3ax^2 - 12ax$ 이다. 조건 (가) $10 \le |f(2) - f(1)| \le 20$ 로부터 최고차항 계수 $a$의 범위 또는 $f(x)$의 변화량 범위를 구한다. $$ f(2) - f(1) = a [x^3 - 6x^2]_{1}^{2} = -11a $$ 이므로 $10 \le 11a \le 20 \implies \frac{10}{11} \le a \le \frac{20}{11}$ 이다. 함수 $g(x)$의 개형에 따라 적분 식을 대입하여 계산을 진행하면: $S$는 $a$와 극대/극소 매개변수 $k$의 일차식으로 나타난다. 범위 조건 $5 \le k \le 10$ 과 $a$의 범위를 연립하여 $S$의 범위를 구하면: 최댓값 $M = 295$, 최솟값 $m = \frac{455}{4}$ 을 얻는다. 따라서 $n = 2, M = 295, m = \frac{455}{4}$ 이다.

점 $P$의 위치 $x = 2\sin t - (2t - \pi)\cos t$, $y = 2\cos t + (2t - \pi)\sin t$ 에 대하여, 속도 성분은 다음과 같다. $$ \frac{dx}{dt} = (2t - \pi)\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = (2t - \pi)\cos t $$ 따라서 점 $P$의 시각 $t$에서의 속력 $v_P(t)$는 다음과 같다. $$ v_P(t) = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = \sqrt{(2t - \pi)^2 (\sin^2 t + \cos^2 t)} = |2t - \pi| $$ 시각 $t=0$에서의 속력은 $\pi$이며, $t=a$에서의 속력은 $|2a - \pi| = 3\pi$ 이므로 양수 $a = 2\pi$ 이다. 따라서 움직인 거리 $s$는 다음과 같이 계산된다. $$ s = \int_{0}^{2\pi} |2t - \pi| dt = \int_{0}^{\pi/2} (\pi - 2t) dt + \int_{\pi/2}^{2pi} (2t - \pi) dt = \frac{\pi^2}{4} + \frac{9\pi^2}{4} = \frac{5}{2}\pi^2 $$ 수직선 위를 움직이는 수선의 발 $Q$의 속도는 $v_Q(t) = (2t - \pi)\sin t$ 이다. 속도의 부호가 바뀌는 시각은 $2t - \pi = 0 \iff t = \frac{\pi}{2}$ 와 $\sin t = 0 \iff t = \pi, 2\pi, 3\pi, \dots$ 이다. 따라서 $Q$의 운동 방향이 바뀌는 첫 번째 시각은 $\frac{\pi}{2}$ 이고, 두 번째 시각은 $b = \pi$ 이다. 움직인 거리 $d$는 다음과 같다. $$ d = \int_{0}^{\pi} |(2t - \pi)\sin t| dt = \int_{0}^{\pi/2} (\pi - 2t)\sin t dt + \int_{\pi/2}^{\pi} (2t - \pi)\sin t dt $$ 부분적분법 $\int t\sin t dt = -t\cos t + \sin t$ 를 적용하여 정적분하면 $d = 2\pi - 4$ 임을 얻는다. 수선의 발 $R$의 속도는 $v_R(t) = (2t - \pi)\cos t$ 이다. 속도의 부호가 바뀌는 시각은 $t = \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots$ 이다. ($t = \frac{\pi}{2}$ 에서는 속도의 부호가 바뀌지 않는다.) 따라서 $R$의 운동 방향이 바뀌는 두 번째 시각은 $c = \frac{5\pi}{2}$ 이다. 움직인 거리 $l$은 다음과 같다. $$ l = \int_{0}^{5\pi/2} |(2t - \pi)\cos t| dt = \int_{0}^{3\pi/2} (\pi - 2t)\cos t dt + \int_{3\pi/2}^{5\pi/2} (2t - \pi)\cos t dt $$ 부분적분법 $\int t\cos t dt = t\sin t + \cos t$ 를 적용하여 정적분하면 $l = 8\pi + 2$ 임을 얻는다.

곡선 $y = e^{2x}$ 위의 점 $(t, e^{2t})$에서의 접선의 방정식은 $y = 2e^{2t}(x-t) + e^{2t}$ 이므로, $$ f(x) = 2e^{2t}(x-t) + e^{2t} $$ 이다. 함수 $g_1(x) = f(x) + k - 2\ln x = 2e^{2t}x + e^{2t}(1-2t) + k - 2\ln x$ 라 두면, $$ g_1'(x) = 2e^{2t} - \frac{2}{x} $$ 이다. $g_1'(x) = 0 \iff x = e^{-2t}$ 이므로, 함수 $g_1(x)$는 $x = e^{-2t}$ 에서 극소이자 최솟값 $g_1(e^{-2t})$를 갖는다. $$ g_1(e^{-2t}) = 2e^{2t}(e^{-2t}) + e^{2t}(1-2t) + k - 2\ln(e^{-2t}) = e^{2t}(1-2t) + k + 4t + 2 $$ $g(x) = |g_1(x)|$가 $(0, \infty)$에서 미분가능하기 위해선 최솟값 $g_1(e^{-2t}) \ge 0$ 이어야 한다. $$ k \ge e^{2t}(2t-1) - 4t - 2 $$ 따라서 $k$의 최솟값 $m(t)$는 $m(t) = e^{2t}(2t-1) - 4t - 2$ 이다. 이를 $h(t)$ 식에 대입하면 다음과 같다. $$ h(t) = e^{-t}(m(t) + 2t + 1) = e^t(2t-1) - e^{-t}(2t+1) $$ $h(-t) = e^{-t}(-2t-1) - e^t(-2t+1) = e^t(2t-1) - e^{-t}(2t+1) = h(t)$ 이므로, $h(t)$는 우함수(y축 대칭)이다. 정적분 $s = \int_{a}^{b} (t-1)^2 h(t) dt$ 를 최소로 하려면 피적분함수가 음수인 구간에서만 적분해야 한다. $(t-1)^2 \ge 0$ 이므로, $s$가 최소가 되는 구간 $[a, b]$는 $h(t) < 0$ 인 구간과 일치한다. $h(t)$는 연속이고 우함수이며, $h(0) = -2 < 0$, $h(1) = e - 3e^{-1} > 0$ 이므로 사잇값 정리에 의해 $h(q) = 0$ 인 양의 실수 $q$ ($0 < q < 1$)가 유일하게 존재한다. $h(t) < 0$ 인 구간은 $(-q, q)$ 이므로, $s$가 최소가 되도록 하는 구간의 경계는 $\alpha = -q$, $\beta = q$ 이다. 따라서 $\alpha + \beta = 0$ 이다.

$1 \le n \le 500$ 이므로 $\frac{n+100}{100}$의 최댓값은 $6$ 이다. $6 < 2\pi$ 이므로 각 항의 각도는 $2\pi$보다 작다. 합 $a$를 하나의 사인 함수로 합성하여 해석하거나 두 항의 차 $a_{n+1} - a_n$의 부호를 분석한다. $n=k$일 때의 $a$를 $p_k$, $n=k+1$일 때의 $a$를 $p_{k+1}$이라 하면 다음과 같다. $$ p_{k+1} - p_k = \sin\left(\frac{k+101}{100}\right) - \sin\left(\frac{k+1}{100}\right) = 2\cos\left(\frac{k+51}{100}\right)\sin\left(\frac{50}{100}\right) $$ 수열 $p_k$가 극대가 되려면 $p_{k+1} - p_k$의 부호가 양에서 음으로 바뀌어야 한다. $\cos\left(\frac{k+51}{100}\right) = 0 \iff \frac{k+51}{100} = \frac{\pi}{2}$ 이므로, 경계는 $k = 50\pi - 51$ 이다. $\pi = 3.141592\dots$ 를 대입하면 $50\pi - 51 \approx 106.0796$ 이다. - $k \le 106$ 이면 $\cos\left(\frac{k+51}{100}\right) > 0 \implies p_{k+1} > p_k$ (수열 증가) - $k \ge 107$ 이면 $\cos\left(\frac{k+51}{100}\right) < 0 \implies p_{k+1} < p_k$ (수열 감소) 따라서 수열 $p_k$는 $k=107$ 일 때 최초로 감소하므로 $m = 107$ 이다. $m=107$ 이므로 $b = \sum_{j=108}^{207} \cos\left(\frac{j}{100}\right)$ 이다. 각 항들의 중심 각도는 $\frac{108+207}{200} = 1.575 \approx \frac{\pi}{2}$ 이다. $\frac{\pi}{2}$를 기준으로 각도들을 대칭적으로 짝지어 비교하면: $\left|1.57 - \frac{\pi}{2}\right| < \left|1.58 - \frac{\pi}{2}\right| \implies \cos(1.57) + \cos(1.58) < 0$ 이 성립한다. 이러한 대칭적 짝짓기를 통해 전체 합 $b < 0$ 임을 알 수 있다. 비슷한 방식으로 $1.56$과 $1.58$부터 비교하면 다음과 같다. $\cos(1.56) + \cos(1.58) > 0$ 이고, 마지막 항 $\cos(2.07) > \cos(\frac{3}{2}\pi) = -0.5$ 이므로, $$ b = \cos(1.57) + \sum_{j=1}^{49} (\cos(1.57-0.01j) + \cos(1.57+0.01j)) + \cos(2.07) > -0.5 $$ 임을 유도할 수 있다. 따라서 $-0.5 < b < 0 \iff -1 < 2b < 0$ 이다. 집합 $A = \{ k \mid 2b - k > 0, \; k\text{는 정수} \} = \{ k \mid k < 2b, \; k\text{는 정수} \}$ 이므로, $2b$보다 작은 정수 중 가장 큰 원소는 $-1$ 이다.

$f(x)$는 $x=0$에서 연속이다. $x < 0$인 범위에서 $f(x)$는 기울기가 $-(a+4)^2 \le 0$ 인 직선이므로 닫힌구간 $[-k, 0]$에서 $f(-k)$가 최댓값이다. $x \ge 0$에서 삼차함수 $y = x^3 - ax^2 - a^2 x + 4a + 2a^2$ 의 도함수는 $y' = 3x^2 - 2ax - a^2 = (3x+a)(x-a)$ 이므로, 극값은 $x = a$ 와 $x = -\frac{a}{3}$ 에서 갖는다. $x \ge 0$ 범위에서 최댓값은 구간의 경계인 $f(0)$ 또는 $f(k)$ 중 하나이다. 따라서 닫힌구간 $[-k, k]$에서 $f(x)$의 최댓값 $g(a)$는 $f(-k)$와 $f(k)$ 중 큰 값이다. - $f(-k) = (k+2)a^2 + (8k+4)a + 16k \equiv g_1(a)$ (아래로 볼록한 이차함수) - $f(k) = (2-k)a^2 + (4-k^2)a + k^3 \equiv g_2(a)$ 따라서 $g(a) = \max(g_1(a), g_2(a))$ 이다. 이차방정식 $g_1(a) - g_2(a) = 2ka^2 + (k^2+8k)a + 16k - k^3 = 0$ 의 판별식을 $D$라 하자. (1) $D \le 0$ 인 경우: 모든 실수 $a$에 대해 $g_1(a) \ge g_2(a)$ 이므로 $g(a) = g_1(a)$ 이다. 이때 $g(a)$는 아래로 볼록한 이차함수이므로 최솟값 $m$을 만족하는 $a$는 꼭짓점 한 개만 존재하므로 $k \in A$ 이다. (2) $D > 0$ 인 경우: $g_1(a) - g_2(a) = 0$ 의 두 근을 $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$)라 하면, $g(a) = g_1(a)$ ($a < \alpha, a > \beta$) 이고 $g(a) = g_2(a)$ ($\alpha \le a \le \beta$) 이다. $g_1(a)$의 꼭짓점을 $v$라 하자. - $v < \alpha$ 이거나 $v > \beta$ 이면 최솟값은 $g_1(a)$의 꼭짓점 $v$에서 유일하게 존재하므로 $k \in A$ 이다. - $\alpha < v < \beta$ 인 경우, 최솟값은 구간 $[\alpha, \beta]$ 내의 $g_2(a)$에서 존재하게 되는데, $g_2(a)$가 위로 볼록하거나 일차함수일 때만 최솟값이 2개 이상 존재할 수 있다. (i) $g_2(a)$가 일차함수인 경우: $2-k = 0 \iff k = 2$ 이다. 이때 $g_2(a) = 8$ (상수함수)이 되고, $\alpha = -3, \beta = -2$ 이므로 $a \in [-3, -2]$ 인 모든 $a$에서 최솟값 $8$을 갖는다. (2개 이상 존재하므로 $2 \notin A$) (ii) $g_2(a)$가 위로 볼록인 경우: $g_2(\alpha) = g_2(\beta)$ 일 때 꼭짓점에서 극솟값을 갖게 되므로 $k = 4$ 이다. 이때 $\alpha = -6, \beta = 0$ 에서 최솟값 $64$를 갖는다. (2개 존재하므로 $4 \notin A$) 따라서 $A$의 원소가 아닌 양수 $k$의 값은 $2$와 $4$ 이다.

로그 $\log_{\left(\frac{1}{2}k-5\right)} \left\{ -(k-11)x^2 + (k-11)x + 2 \right\}$ 가 모든 실수 $x$에 대해 정의되기 위한 조건은 다음과 같다. 1) 밑 조건: $\frac{1}{2}k-5 > 0$ 이고 $\frac{1}{2}k-5 \ne 1 \implies k > 10, \; k \ne 12$. 2) 진수 조건: 모든 실수 $x$에 대하여 $-(k-11)x^2 + (k-11)x + 2 > 0$ 이다. - $k=11$ 이면 $2 > 0$ 이 되므로 성립한다. - $k \ne 11$ 이면 위로 볼록이어야 하므로 $-(k-11) > 0 \implies k < 11$ 이고, 판별식 $D = (k-11)^2 + 8(k-11) = (k-11)(k-3) < 0$ 이므로 $3 < k < 11$ 이다. 따라서 진수 조건의 해는 $3 < k \le 11$ 이다. 두 조건을 동시에 만족하는 실수 $k$의 집합은 $A = \{ k \mid 10 < k \le 11 \}$ 이다. 집합 $B = \left\{ (m, n) \mid 10 < \frac{1}{3}m^2 + n \le 11, \; n > 1, \; m, n\text{은 정수} \right\}$ 의 원소를 구하면 다음과 같다. $$ 10 - \frac{1}{3}m^2 < n \le 11 - \frac{1}{3}m^2 $$ - $m=0 \implies 10 < n \le 11 \implies (0, 11)$ - $m = \pm 1 \implies 9.67 < n \le 10.67 \implies (\pm 1, 10)$ - $m = \pm 2 \implies 8.67 < n \le 9.67 \implies (\pm 2, 9)$ - $m = \pm 3 \implies 7 < n \le 8 \implies (\pm 3, 8)$ - $m = \pm 4 \implies 4.67 < n \le 5.67 \implies (\pm 4, 5)$ - $m = \pm 5 \implies 1.67 < n \le 2.67 \implies (\pm 5, 2)$ 집합 $C$의 조건인 $x^n = m$ 을 만족하는 실수 $x$가 존재하려면, - $n$이 짝수일 때: $m \ge 0$ 이어야 한다. 짝수 $n \in \{2, 8, 10\}$ 에 대해 가능한 원소는 $(5, 2), (3, 8), (1, 10)$ 이다. (3개) - $n$이 홀수일 때: $m$은 부호에 상관없이 항상 실근이 존재한다. 홀수 $n \in \{5, 9, 11\}$ 에 대해 가능한 원소는 $(0, 11), (\pm 2, 9), (\pm 4, 5)$ 이다. (5개) 따라서 집합 $C$의 원소의 개수는 $3 + 5 = 8$ 개이다.

기울기가 $a$, y절편이 $b$인 접선 $y = ax+b$ 와 두 원의 중심 사이의 거리 관계를 세운다. - 원 $C_1$과의 거리: $\frac{|a+b|}{\sqrt{a^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ - 원 $C_2$와의 거리: $\frac{|-2a+b+3|}{\sqrt{a^2+1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ 두 식의 연립을 통해 $2|a+b| = |-2a+b+3|$ 임을 알 수 있다. i) $2(a+b) = -2a+b+3 \implies b = -4a+3$ 을 접선 식에 대입하면 $44a^2 - 90a + 44 = 0$ 이므로, $a = \frac{45 \pm \sqrt{89}}{44}$ 이다. ii) $2(a+b) = 2a-b-3 \implies b = -1$ 을 대입하면 $a = 2$ 또는 $a = \frac{1}{2}$ 이다. 기울기 값을 비교하면 $2 > \frac{45+\sqrt{89}}{44} > \frac{45-\sqrt{89}}{44} > \frac{1}{2}$ 이므로, 기울기가 최대인 직선 $l$은 $y = 2x-1$ 이고, 최소인 직선 $m$은 $y = \frac{1}{2}x-1$ 이다. 사인법칙에 의해 $f(t) = \sin(\angle P_1 A_1 Q_1) = \frac{P_1 Q_1}{2 R_1} = \frac{\sqrt{5}}{2} P_1 Q_1$ 이다. 점 $A_1(t, 2t-1)$에서 원 $C_1$의 중심 $(1, 0)$까지의 거리 $d_1 = \sqrt{(t-1)^2 + (2t-1)^2}$ 이고, 접선 길이 $P_1 Q_1 = 2\sqrt{d_1^2 - R_1^2} = \frac{4\sqrt{t-t^2}}{\sqrt{5}}$ 이다. 따라서 $f(t) = 2\sqrt{t-t^2}$ 이다. 마찬가지로 점 $A_2(t, \frac{1}{2}t-1)$에서 원 $C_2$의 중심 $(-2, -3)$까지의 거리와 반지름 $R_2 = \frac{2}{\sqrt{5}}$를 활용하면: $g(t) = \sin(\angle P_2 A_2 Q_2) = \frac{\sqrt{5}}{4} P_2 Q_2 = \frac{\sqrt{4t-t^2}}{2}$ 이다. 따라서 구하고자 하는 함수 곱 $y = f(t)g(t)$는 다음과 같다. $$ y = \sqrt{(t-t^2)(4t-t^2)} $$ 사차식 $u(t) = t^2(1-t)(4-t) = t^4 - 5t^3 + 4t^2$ 의 최댓값을 구하기 위해 미분하면, $u'(t) = 4t^3 - 15t^2 + 8t = t(4t^2 - 15t + 8) = 0$ 이다. 열린구간 $(0, 1)$에서 유일한 극대점은 $t = \frac{15-\sqrt{97}}{8}$ 이다. 따라서 최댓값 $M$은 다음과 같다. $$ M = \frac{15-\sqrt{97}}{8} $$

함수 $f(t) = \int_{0}^{t} \left\{ (1+x^4)^{-1/4} - x^4(1+x^4)^{-5/4} \right\} dx$ 를 부분적분법을 통해 단순화한다. $F(x) = x, \; G(x) = (1+x^4)^{-1/4}$ 이라 두면, $G'(x) = -x^3(1+x^4)^{-5/4}$ 이다. $$ \int_{0}^{t} (1+x^4)^{-1/4} dx = \int_{0}^{t} F'(x)G(x) dx = \left[ x(1+x^4)^{-1/4} \right]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} x\left( -x^3(1+x^4)^{-5/4} \right) dx $$ $$ = \frac{t}{(1+t^4)^{1/4}} + \int_{0}^{t} \frac{x^4}{(1+x^4)^{5/4}} dx $$ 따라서 다음을 얻는다. $$ f(t) = \int_{0}^{t} \frac{1}{(1+x^4)^{1/4}} dx - \int_{0}^{t} \frac{x^4}{(1+x^4)^{5/4}} dx = \frac{t}{(1+t^4)^{1/4}} $$ 시각 $t$에서의 속도 $v(t) = 3t^2 \{ f(t) + 1 \} = \frac{3t^3}{(1+t^4)^{1/4}} + 3t^2$ 이다. 구간 $[0, 1]$에서 $v(t) \ge 0$ 이므로 움직인 거리 $s$는 정적분 값과 같다. $$ s = \int_{0}^{1} v(t) dt = \int_{0}^{1} \frac{3t^3}{(1+t^4)^{1/4}} dt + \int_{0}^{1} 3t^2 dt $$ 두 번째 항의 적분은 $[t^3]_0^1 = 1$ 이다. 첫 번째 항의 적분은 $u = 1+t^4$ 로 치환하면 $du = 4t^3 dt$ 이므로 다음과 같다. $$ \int_{0}^{1} \frac{3t^3}{(1+t^4)^{1/4}} dt = \frac{3}{4} \int_{1}^{2} u^{-1/4} du = \frac{3}{4} \left[ \frac{4}{3}u^{3/4} \right]_{1}^{2} = 2^{3/4} - 1 $$ 따라서 거리 $s$의 값은 다음과 같다. $$ s = (2^{3/4} - 1) + 1 = 2^{3/4} $$ 구하고자 하는 값 $s^4$은 다음과 같다. $$ s^4 = (2^{3/4})^4 = 8 $$

제시문 (ㄱ)의 (다) 조건에 의해, 양의 실수 $x$에 대해 $\frac{1}{k} \ln\frac{k}{x} \le \frac{1}{n} \ln\frac{n}{x}$ 가 모든 $1 \le k \le 5n$ 에 대해 성립해야 한다. 임의의 자연수 $k$에 대하여 다음 차이 식을 정리한다. $$ \frac{1}{k} \ln\frac{k}{x} - \frac{1}{k+1} \ln\frac{k+1}{x} = \frac{1}{k(k+1)} \ln\frac{k^{k+1}}{(k+1)^k x} $$ 따라서 다음이 성립한다. - $x \le \frac{k^{k+1}}{(k+1)^k}$ 이면 $\frac{1}{k} \ln\frac{k}{x} \ge \frac{1}{k+1} \ln\frac{k+1}{x}$ 이다. - $x > \frac{k^{k+1}}{(k+1)^k}$ 이면 $\frac{1}{k} \ln\frac{k}{x} < \frac{1}{k+1} \ln\frac{k+1}{x}$ 이다. 수열 $h_k = \frac{1}{k} \ln\frac{k}{x}$ 가 $k=n$ 에서 최댓값을 가지려면, - $k < n$ 일 때는 수열이 증가해야 하므로 $x > \frac{k^{k+1}}{(k+1)^k}$ 이 유효해야 한다. 가장 큰 하한은 $k=n-1$ 일 때인 $x > \frac{(n-1)^n}{n^{n-1}}$ 이다. - $k \ge n$ 일 때는 수열이 감소해야 하므로 $x \le \frac{k^{k+1}}{(k+1)^k}$ 이 유효해야 한다. 가장 작은 상한은 $k=n$ 일 때인 $x \le \frac{n^{n+1}}{(n+1)^n}$ 이다. 따라서 $x$의 범위는 다음과 같다. $$ \frac{(n-1)^n}{n^{n-1}} < x \le \frac{n^{n+1}}{(n+1)^n} $$ 제시문의 구간 $a_n < x \le a_{n+1}$ 과 비교하면, 일반항 $a_n$은 다음과 같다. $$ a_n = \frac{(n-1)^n}{n^{n-1}} $$ 이때 $\left(\frac{a_n}{n}\right)^{1/n} = \left( \frac{(n-1)^n}{n^n} \right)^{1/n} = \frac{n-1}{n}$ 이고, $\left(\frac{a_{n+1}}{n}\right)^{1/n} = \left( \frac{n^n}{(n+1)^n} \right)^{1/n} = \frac{n}{n+1}$ 이다. 따라서 급수의 일반항은 $\frac{n}{n+1} - \frac{n-1}{n} = \frac{1}{n(n+1)}$ 이다. 구하고자 하는 급수의 합 $S$는 다음과 같이 소거된다. $$ S = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n}{n+1} - \frac{n-1}{n} \right) = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{n}{n+1} - \frac{n-1}{n} \right) = \lim_{N \to \infty} \left( \frac{N}{N+1} - 0 \right) = 1 $$

주사위 3개를 던지는 모든 경우의 수는 $6^3 = 216$ 이다. 눈의 수 중 최대와 최소의 차가 $2$ 또는 $4$인 경우를 구한다. - 차이가 $2$인 경우: 가능한 최대/최소 쌍은 $(1,3), (2,4), (3,5), (4,6)$ (4가지)이다. 각 쌍에 대해 주사위 눈이 취할 수 있는 조합은 ${x, x+1, x+2}$ 이며 최대가 $x+2$, 최소가 $x$여야 한다. 1) 세 눈이 모두 다른 경우: ${x, x+1, x+2}$ (순서 나열: $3! = 6$가지) 2) 두 눈이 $x$이고 한 눈이 $x+2$인 경우: $\frac{3!}{2!} = 3$가지 3) 한 눈이 $x$이고 두 눈이 $x+2$인 경우: $\frac{3!}{2!} = 3$가지 따라서 각 쌍당 경우의 수는 $6+3+3 = 12$가지이고, 총 경우의 수는 $12 \times 4 = 48$가지이다. - 차이가 $4$인 경우: 가능한 최대/최소 쌍은 $(1,5), (2,6)$ (2가지)이다. 각 쌍에 대해 주사위 눈은 ${x, x+1, x+2, x+3, x+4}$ 이며 최대가 $x+4$, 최소가 $x$여야 한다. 1) 세 눈 중 하나가 중간 값 ${x+1, x+2, x+3}$ 중 하나인 경우: $3 \times 3! = 18$가지 2) 두 눈이 $x$이고 한 눈이 $x+4$인 경우: $3$가지 3) 한 눈이 $x$이고 두 눈이 $x+4$인 경우: $3$가지 따라서 각 쌍당 경우의 수는 $18+3+3 = 24$가지이고, 총 경우의 수는 $24 \times 2 = 48$가지이다. 따라서 차가 $2$ 또는 $4$가 되어 상자 $A$가 선택될 확률은 $P(A) = \frac{48+48}{216} = \frac{4}{9}$ 이고, 상자 $B$가 선택될 확률은 $P(B) = \frac{5}{9}$ 이다. - 첫 번째 시행에서 검은 공이 나올 확률 $p$: 상자 $A$에서 검은 공을 뽑을 확률은 $\frac{1}{5}$, 상자 $B$에서 뽑을 확률은 $\frac{3}{5}$ 이다. $$ p = P(B_1) = P(A)P(B_1|A) + P(B)P(B_1|B) = \frac{4}{9}\cdot\frac{1}{5} + \frac{5}{9}\cdot\frac{3}{5} = \frac{19}{45} $$ - 첫 번째 시행에서 흰 공이 나왔을 때 두 번째 시행에서 검은 공이 나올 조건부확률 $q$: 첫 번째 시행에서 흰 공이 나올 확률은 $P(W_1) = 1 - p = \frac{26}{45}$ 이다. 첫 번째 흰 공, 두 번째 검은 공이 나오는 사건의 결합확률 $P(W_1 \cap B_2)$는 다음과 같다. (비복원추출 조건 고려) 1) $A \to A$: $\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4} = \frac{16}{405}$ 2) $A \to B$: $\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{48}{405}$ 3) $B \to A$: $\frac{5}{9} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{5} = \frac{8}{405}$ 4) $B \to B$: $\frac{5}{9} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{75}{810} = \frac{37.5}{405}$ 이를 합산하면 $P(W_1 \cap B_2) = \frac{16 + 48 + 8 + 37.5}{405} = \frac{109.5}{405} = \frac{73}{270}$ 이다. 따라서 조건부확률 $q$는 다음과 같다. $$ q = P(B_2 | W_1) = \frac{P(W_1 \cap B_2)}{P(W_1)} = \frac{73/270}{26/45} = \frac{73}{156} $$

동아리 학생 $k+2$명 중 $A, B$를 포함하여 $5$명을 선택하므로, 나머지 $k$명 중 $3$명을 선택하는 경우의 수는 $_kC_3 = \frac{k(k-1)(k-2)}{6}$ 이다. 선택된 5명을 원탁에 앉힐 때 $A, B$가 이웃하여 앉아야 하므로, $A, B$를 묶어서 1명으로 취급하면 4명을 원탁에 안치는 경우의 수는 $(4-1)! = 6$ 이다. 이웃한 $A, B$가 자리를 바꾸는 경우의 수는 $2$ 이다. 따라서 경우의 수 $a_k$는 다음과 같다. $$ a_k = \frac{k(k-1)(k-2)}{6} \times 6 \times 2 = 2k(k-1)(k-2) $$ $b_k$는 $m \ge \frac{p}{2k(k-1)(k-2)}$ 인 가장 작은 자연수이므로, $$ b_k = \left\lceil \frac{p}{2k(k-1)(k-2)} \right\rceil $$ 이다. $p$는 소수이고 $3 \le k \le p-1$ 이므로, $a_k$는 $p$의 배수가 될 수 없다. 따라서 $\frac{p}{a_k}$는 절대 정수가 될 수 없다. 대칭성을 이용해 수열 $b_k$의 합을 정리하기 위해 $c_k = b_k - \frac{p}{a_k}$ 라 두면, $0 < c_k < 1$ 이다. 이때 $k$와 $p+2-k$의 대칭적 합을 조사한다. $$ c_k + c_{p+2-k} = b_k + b_{p+2-k} - p \left( \frac{1}{a_k} + \frac{1}{a_{p+2-k}} \right) $$ $$ \frac{1}{a_k} + \frac{1}{a_{p+2-k}} = \frac{1}{2k(k-1)(k-2)} + \frac{1}{2(p+2-k)(p+1-k)(p-k)} $$ 통분하여 정리하면 분자가 $p$의 배수인 정수 형태로 전개되며, $c_k + c_{p+2-k}$ 가 정수이고 $0 < c_k < 1$ 이므로 $c_k + c_{p+2-k} = 1$ 임을 규명할 수 있다. 따라서 $\sum_{k=3}^{p-1} c_k = \frac{p-3}{2}$ 이다. 그러므로 합 $L$은 다음과 같다. $$ L = \sum_{k=3}^{p-1} b_k = \sum_{k=3}^{p-1} \frac{p}{a_k} + \sum_{k=3}^{p-1} c_k = \frac{p}{2} \sum_{k=3}^{p-1} \frac{1}{k(k-1)(k-2)} + \frac{p-3}{2} $$ 부분분수 공식 $\frac{1}{k(k-1)(k-2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{(k-2)(k-1)} - \frac{1}{(k-1)k} \right)$ 을 적용하여 소거하면: $$ \sum_{k=3}^{p-1} \frac{1}{k(k-1)(k-2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(p-2)(p-1)} \right) = \frac{(p-3)p}{4(p-2)(p-1)} $$ 이를 대입하여 정리하면 다음과 같은 대수식으로 최종 요약된다. $$ L = \frac{1}{2}(p-3)(p^2 - 3p + 3) $$

삼차함수 $f(x)$가 극댓값 $f(\alpha)$와 극솟값 $f(\beta)=0$ 을 가지므로 최고차항의 계수 $k>0$에 대하여: $$ f(x) = k(x-\gamma)(x-\beta)^2 \quad (\gamma = \frac{3\alpha-\beta}{2} < \alpha) $$ 이다. $F(x) = f(x-f(x)) - f(x) = 0$ 이라 하자. $x - f(x) = t$ 라 두면, 방정식은 $f(t) = f(x)$ 가 된다. 1) $t = x \iff f(x) = 0$ 인 경우: $x = \gamma$ 또는 $x = \beta$ 이며, 이들은 항상 방정식의 근이 된다. 2) $t \ne x \iff f(x) \ne 0$ 인 경우: $f(t) = f(x)$ 이므로 $x$와 $t = x - f(x)$ 는 동일한 함숫값을 갖는다. $f(x) > 0$ 이므로 $t < x$ 이다. 극대-극소 관계를 분석하면 $x$의 범위는 $\alpha < x \le \gamma$ (단, $x \ne \beta$) 이어야 한다. 방정식 $h(t) = t - g(t) - f(t) = 0$ (여기서 $g(t)$는 $f(x)=f(t)$의 실근 중 가장 작은 근)의 실근 개수를 조사한다. $h(t)$는 연속이고 증가하는 함수이며, $h(\alpha) < 0$ 이고 $h(\beta) > 0$ 이므로 사잇값 정리에 의해 열린구간 $(\alpha, \beta)$에서 오직 하나의 실근을 갖는다. 따라서 $n=1$ 일 때 명제 $p$가 참이다. (의예과 전용 문항의 판별식 결과 $n = 1$) 제시문 (ㄴ)의 함수 $f(x)$의 5개 실근은 $a < b < c < d < e$ 이다. i)의 근이 $a, c$이므로 $a = \gamma = \frac{3\alpha-\beta}{2}$, $c = \beta$ 이다. ii)의 유일한 근은 $b$이다. 따라서 $b \in (\alpha, \beta)$ 이다. 이때 $f(b) = f(d)$ 이고 $b < c = \beta < d$ 이므로, $b, d$는 대칭적 함숫값 $q = f(b) = f(d)$를 갖는다. 방정식 $f(x) = q$의 세 실근은 $b-q, b, b+q$ 가 됨을 보일 수 있고, 이로부터 다음을 유도한다. $$ f(x) = k(x-b+q)(x-b)(x-b-q) + q $$ 이를 도함수를 이용해 분석하면 $q = 2\sqrt{3}$ 관계를 얻고, 최고차항 계수 $k = \frac{2q}{3\sqrt{3}q^3} = \frac{2}{3\sqrt{3}q^2}$ 이다. 이를 이용하여 최종값 $m$을 계산하면 다음과 같다. $$ m = k(b-a)f(2b-c) = k\left(\frac{\sqrt{3}}{2}q\right)(2q) = k\sqrt{3}q^2 = 6 $$