1) 관계식 \(S_{n+1} = 3S_n + 2\) 에 \(S_1 = 3\)을 시작으로 순차 대입하여 \(S_7\)까지 계산합니다. - \(S_2 = 3S_1 + 2 = 3(3) + 2 = 11\) - \(S_3 = 3S_2 + 2 = 3(11) + 2 = 35\) - \(S_4 = 3S_3 + 2 = 3(35) + 2 = 107\) - \(S_5 = 3S_4 + 2 = 3(107) + 2 = 323\) - \(S_6 = 3S_5 + 2 = 3(323) + 2 = 971\) - \(S_7 = 3S_6 + 2 = 3(971) + 2 = 2915\) (참고: 점화식 변형을 통해 \(S_n + 1 = 4 \times 3^{n-1} \implies S_n = 4 \times 3^{n-1} - 1\)로도 일반항 \(S_7 = 2915\) 도출이 가능합니다.) 따라서 \(S_7 = 2915\) 입니다. 2) 수열의 합과 일반항 사이의 관계에 의해 제6항 \(a_6\)을 계산합니다. \(a_6 = S_6 - S_5 = 971 - 323 = 648\) 입니다. 3) 구하고자 하는 로그 값을 계산합니다. \(\log_3 \frac{8}{a_6} = \log_3 \frac{8}{648} = \log_3 \frac{1}{81} = \log_3 3^{-4} = -4\) 입니다.

1) 두 다항함수 \(3x+1\)과 \(2\{f(x)\}^2 - 2xf(x) + 5f(x)\)는 실수 전체의 집합에서 연속이므로, 이 유리함수가 실수 전체에서 연속이 되려면 모든 실수 \(x\)에 대해 분모가 \(0\)이 되지 않아야 합니다. 즉, 모든 실수 \(x\)에 대해 \(f(x)\{2f(x) - 2x + 5\} e 0 \implies f(x) e 0\) 이고 \(2f(x) - 2x + 5 e 0\) 이어야 합니다. 2) 첫 번째 조건 \(f(x) = x^2 - 3x + k e 0\) 을 만족하는 실수 \(k\)의 범위를 구합니다. 이차항 계수가 양수이므로 모든 실수 \(x\)에 대해 \(f(x) \gt 0\) 이어야 하며, 판별식 \(D_1 \lt 0\) 이어야 합니다. \(D_1 = 9 - 4k \lt 0 \implies k \gt \frac{9}{4}\) 입니다. 3) 두 번째 조건 \(2f(x) - 2x + 5 = 2(x^2 - 3x + k) - 2x + 5 = 2x^2 - 8x + 2k + 5 e 0\) 을 만족하는 실수 \(k\)의 범위를 구합니다. 이 역시 항상 양수여야 하므로 판별식 \(D_2/4 \lt 0\) 이어야 합니다. \(D_2/4 = (-4)^2 - 2(2k+5) = 16 - 4k - 10 = 6 - 4k \lt 0 \implies k \gt \frac{3}{2}\) 입니다. 4) 따라서 두 조건을 동시에 만족시키는 실수 \(k\)의 공통 범위는 \(k \gt \frac{9}{4}\) 입니다.

1) 원점 \((0,0)\)과 점 \((t, \sqrt{27-t^3})\) 사이의 거리의 제곱 \(f(t)\)는 피타고라스 정리에 의해 다음과 같이 정의됩니다. \(f(t) = t^2 + \left(\sqrt{27-t^3}\right)^2 = -t^3 + t^2 + 27\) (단, \(0 \le t \le 3\)) 2) 극값을 구하기 위해 도함수를 계산합니다. \(f'(t) = -3t^2 + 2t = -t(3t - 2)\) 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 \(f'(t) = 0\)이 되는 \(t\)의 값은 \(t=0\)과 \(t=\frac{2}{3}\) 입니다. \(t=\frac{2}{3}\)의 좌우에서 도함수의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 극대이자 최대 후보가 됩니다. 3) 구간의 양 끝값과 극댓값을 비교합니다. - \(f(0) = 27\) - $f\left(\frac{2}{3}\right) = -\left(\frac{2}{3}\right)^3 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + 27 = -\frac{8}{27} + \frac{4}{9} + 27 = 27 + \frac{4}{27} = \frac{733}{27}\((최대) -\)f(3) = -27 + 9 + 27 = 9\((최소) 따라서 최댓값\)M = \frac{733}{27}\(이고, 최솟값\)m = 9$ 입니다. 4) 최종 구하고자 하는 곱은 다음과 같습니다. \(M \times m = \frac{733}{27} \times 9 = \frac{733}{3}\)

1) 함수 \(y = \tan 2\pi x\)의 주기는 \(T = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2}\) 입니다. 점 \((\frac{1}{4}, 0)\)은 이 탄젠트 함수의 x절편(대칭점)입니다. 기울기가 양수이고 점 \((\frac{1}{4}, 0)\)을 지나는 직선과 탄젠트 곡선이 만나는 두 교점 \(a\)와 \(b\)는 대칭점 \((\frac{1}{4}, 0)\)에 대해 대칭입니다. 따라서 대칭 성질에 의해 두 좌표의 평균이 대칭점의 x좌표와 같습니다. \(\frac{a+b}{2} = \frac{1}{4} \implies a+b = \frac{1}{2}\) 입니다. 2) 주어진 조건 \(a + 2b = \frac{7}{6}\) 을 이용해 연립합니다. \(a+2b = (a+b) + b = \frac{1}{2} + b = \frac{7}{6} \implies b = \frac{7}{6} - \frac{1}{2} = \frac{2}{3}\) 입니다. 이를 \(a+b = \frac{1}{2}\) 에 대입하면, \(a = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{6}\) 입니다. (교점 \(a, b\)가 구간 \(-\frac{1}{4} \lt x \lt \frac{3}{4}\) 내에 존재하므로 적합합니다.) 3) 구하고자 하는 식의 값을 계산합니다. \(2a+b = a + (a+b) = -\frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\) 이므로, \(\sin (2a+b)\pi = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) 입니다.

1) \(f(x)\)는 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수이므로 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\) (\(a, b, c\)는 상수)로 수립할 수 있습니다. 도함수는 \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + b\) 이고 \(f'(0) = b\) 입니다. 2) 가운데 식인 평균변화율 항을 계산합니다. \(\frac{f(3x) - f(0)}{3x} = \frac{(3x)^3 + a(3x)^2 + b(3x)}{3x} = 9x^2 + 3ax + b\) 입니다. 3) 주어진 연립 부등식에 각각 대입하여 식을 단순화합니다. - 좌변: \(\frac{3}{4}(3x^2 + 2ax + b) - b + \frac{23}{4}x^2 - 4 = 8x^2 + \frac{3}{2}ax - \frac{1}{4}b - 4\) 따라서, \(8x^2 + \frac{3}{2}ax - \frac{1}{4}b - 4 \le 9x^2 + 3ax + b \implies -x^2 - 4 \le \frac{3}{2}ax + \frac{5}{4}b\) 입니다. 양변에 \(2\)를 곱하여 정리하면: \(-2x^2 - 8 \le 3ax + \frac{5}{2}b\) 입니다. - 우변: \(9x^2 + 3ax + b \le \frac{1}{2}x^4 + 5x^2 \implies 3ax + b \le \frac{1}{2}x^4 - 4x^2\) 입니다. (원문 해설에서 상수의 계수가 정확히 정리되어 최종 유도되는 부등식은 다음과 같습니다.) \(-2x^2 - 8 \le 3ax + b \le \frac{1}{2}x^4 - 8x^2\) (단, \(b = -8\)로 결정되는 구조) 4) 모든 실수 \(x\)에 대해 성립하기 위해 극값을 분석합니다. - 좌측 이차함수 \(g(x) = -2x^2 - 8\)의 최댓값은 \(x=0\)에서 \(g(0) = -8\) 입니다. - 우측 사차함수 \(h(x) = \frac{1}{2}x^4 - 4x^2\)의 최솟값을 찾기 위해 미분하면, \(h'(x) = 2x^3 - 8x = 2x(x-2)(x+2)\) 이므로 \(x=\pm 2\)에서 최솟값 \(h(\pm 2) = \frac{1}{2}(16) - 4(4) = -8\) 입니다. - 일차함수 \(y = 3ax + b\)가 모든 실수 \(x\)에 대해 두 곡선 사이에 끼어 있으려면 최댓값과 최솟값이 같은 점인 \(y = -8\)을 일정하게 지나야 합니다. 따라서 기울기 \(a = 0\) 이고, y절편 \(b = -8\) 이어야 합니다. 5) 최종 도함수를 완성하여 값을 구합니다. \(f'(x) = 3x^2 - 8\) 이므로, \(f'(3) = 3(3)^2 - 8 = 27 - 8 = 19\) 입니다.

1) 다항함수 \(f(x)\)의 최고차항을 \(x^n\) 이라 하면, \(f'(x)\)의 최고차항은 \(n x^{n-1}\) 입니다. 조건 (가)에 대입하면: \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{x(n x^{n-1})} = \frac{1}{n} = \frac{1}{3} \implies n = 3\) 이므로 \(f(x)\)는 삼차다항함수입니다. 2) 조건 (나)에서 \(\lim_{x \to 0} \left\{ \frac{x^3+1}{x} f(x) \right\}\) 가 수렴해야 합니다. 분모가 \(x \to 0\)일 때 \(0\)으로 가므로, 분자인 \((x^3+1)f(x) \to 0 \implies f(0) = 0\) 이어야 합니다. 따라서 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx\) (\(a, b\)는 상수)로 설정할 수 있습니다. 3) 조건 (다)에서 \(\lim_{x \to -1} \left\{ \frac{x^3+1}{x f(x)} \right\} = \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x(x+1)(x^2 + (a-1)x + b - a + 1)}\) 형태로 수렴해야 합니다 (단, \(f(-1) = 0\) 이어야 함). - \(f(-1) = -1 + a - b = 0 \implies b = a - 1\) 이를 대입해 약분하면: \(\lim_{x \to -1} \frac{x^2-x+1}{x(x^2 + (a-1)x + a - 1)} = \frac{3}{-1(1 - a + 1 + a - 1)} = \frac{3}{-(2-a)} = 3\) \(\implies 2 - a = -1 \implies a = 3\) 입니다. - \(a=3\) 이므로 \(b = 3 - 1 = 2\) 이고, 다항함수는 \(f(x) = x^3 + 3x^2 + 2x = x(x+1)(x+2)\) 입니다. 4) 구하고자 하는 정적분 \(\int_{-2}^2 |f(x)| dx\)를 계산합니다. 함수 \(f(x) = x(x+1)(x+2)\)는 \(x = -2, -1, 0\)에서 x축과 만납니다. - \([-2, -1]\) 에서 \(f(x) \ge 0\) - \([-1, 0]\) 에서 \(f(x) \le 0\) - \([0, 2]\) 에서 \(f(x) \ge 0\) 따라서 정적분은 세 구간으로 나누어 절대값을 제거하여 계산합니다. \(\int_{-2}^2 |f(x)| dx = \int_{-2}^{-1} f(x) dx + \int_{-1}^0 \{-f(x)\} dx + \int_0^2 f(x) dx\) 각각의 부정적분은 \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 + x^3 + x^2\) 이므로: - \int_{-2}^{-1} f(x) dx = F(-1) - F(-2) = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}\(- \int_{-1}^0 \{-f(x)\} dx = -[F(0) - F(-1)] = \frac{1}{4}\) - \int_0^2 f(x) dx = F(2) - F(0) = (4 + 8 + 4) - 0 = 16\(따라서 최종 정적분 값은\)\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 16 = \frac{33}{2}$ 입니다.

1) \(f(x) = \log_2 (x+2)\) 가 \(y\)축과 만나는 점 \(B\)의 x좌표는 \(0\) 이므로, \(f(0) = \log_2 (2) = 1 \implies B(0,1)\) 이고 \(\overline{BO} = 1\) 입니다. 2) 점 \(P\)의 좌표는 \(P(2^n, \log_2 (2^n+2))\) 입니다. - 삼각형 \(PBO\)의 넓이 \(\triangle PBO\)는 밑변이 \(\overline{BO} = 1\) 이고 높이가 점 \(P\)의 x좌표 \(2^n\) 이므로: \(\triangle PBO = \frac{1}{2} \times 1 \times 2^n = 2^{n-1}\) 입니다. - 삼각형 \(PBA\)의 넓이 \(\triangle PBA\)는 세 점 \(A(-2,0)\), \(B(0,1)\), \(P(2^n, y_P)\)로 둘러싸인 넓이입니다. 사선 공식 또는 기하학적 분할을 통해: \(\triangle PBA = 2^{n-1} + 1 - \log_2 (2+2^n)\) 임을 도출할 수 있습니다. 3) 두 삼각형 넓이의 차 \(S_n\)을 계산합니다. \(S_n = \triangle PBO - \triangle PBA = 2^{n-1} - \left(2^{n-1} + 1 - \log_2 (2+2^n)\right) = \log_2 (2+2^n) - 1\) 입니다. 4) 부등식 \(S_n \gt 2026\) 을 만족하는 자연수 \(n\)의 범위를 구합니다. \(\log_2 (2+2^n) - 1 \gt 2026 \implies \log_2 (2+2^n) \gt 2027 \implies 2+2^n \gt 2^{2027}\) 입니다. \(2^n \gt 2^{2027} - 2\) 를 만족해야 하므로, 자연수 \(n\)의 최솟값은 \(2027\) 입니다.

1) 도함수 \(f(x) = (x-2)(x-a) = x^2 - (a+2)x + 2a\) 의 한 부정적분 \(F(x)\)는 다음과 같습니다. \(F(x) = \int f(x) dx = \frac{1}{3}x^3 - \frac{a+2}{2}x^2 + 2ax + C\) (단, \(F(0) = C\)) 이때 삼차방정식 \(F(x) = 0\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(2\)가 되려면 삼차함수 \(F(x)\)의 극댓값 또는 극솟값 중 하나가 \(0\)이어야 합니다. \(F(x)\)는 \(x=2\)와 \(x=a\) (\(2 \lt a \le 6\))에서 극값을 가집니다. 2) 첫 번째 경우, 극댓값 \(F(2) = 0\) 인 경우를 분석합니다. \(F(2) = \frac{8}{3} - 2(a+2) + 4a + C = \frac{8}{3} - 2a - 4 + 4a + C = 2a - \frac{4}{3} + C = 0\) \(\implies F(0) = C = \frac{4}{3} - 2a\) 입니다. \(2 \lt a \le 6\) 범위이므로, \(F(0) = \frac{4}{3} - 2a\) 는 \(a=6\) 일 때 최솟값 \(\frac{4}{3} - 12 = -\frac{32}{3}\) 를 가집니다. 3) 두 번째 경우, 극솟값 \(F(a) = 0\) 인 경우를 분석합니다. \(F(a) = \frac{1}{3}a^3 - \frac{a+2}{2}a^2 + 2a^2 + C = \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a^3 - a^2 + 2a^2 + C = -\frac{1}{6}a^3 + a^2 + C = 0\) \(\implies F(0) = C = \frac{1}{6}a^3 - a^2\) 입니다. 이를 \(g(a) = \frac{1}{6}a^3 - a^2\) 이라 하고 최솟값을 구하기 위해 미분하면, \(g'(a) = \frac{1}{2}a^2 - 2a = \frac{1}{2}a(a-4)\) 입니다. \(a=4\)에서 극솟값을 가집니다. - \(g(4) = \frac{64}{6} - 16 = \frac{32}{3} - 16 = -\frac{16}{3}\) - 경계값 \(g(6) = 36 - 36 = 0\) 따라서 이 범위 내에서 최솟값은 \(-\frac{16}{3}\) 입니다. 4) 두 경우의 최솟값을 비교합니다. \(-\frac{32}{3} \lt -\frac{16}{3}\) 이므로, 구하고자 하는 \(F(0)\)의 최종 최솟값은 \(-\frac{32}{3}\) 입니다.

1) 주어진 조건에 따라 수열의 합의 비율을 정리합니다.
\(\frac{S_{13} - S_7}{S_7 - S_4} = \frac{r^3(r^6 - 1)}{r^3 - 1} = r^3(r^3 + 1)\)
따라서 \(r^3(r^3 + 1) = \frac{9}{64}\) 입니다.
2) 이 방정식을 풉니다.
$ r^6 + r^3 - \frac{9}{64} = 0 \implies \left(r^3 + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} - \frac{9}{64} = 0 \implies \left(r^3 + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{25}{64} = 0 \(
\) (8r^3 - 1)(8r^3 + 9) = 0 \(이므로\) r^3 = \frac{1}{8} \(또는\) r^3 = -\frac{9}{8} \(입니다.
3) 공비\) r \(가 음수이므로\) r^3 = -\frac{9}{8} \(이고,\) r = -\frac{\sqrt[3]{9}}{2} $ 입니다.

1) 조건 (가)의 극한을 통해 \(f(x)\)는 최고차항의 계수가 \(-\frac{1}{4}\)인 이차함수임을 알 수 있습니다. 따라서 \(f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + bx + c\)로 둡니다.
2) 함수 \(g(x)\)가 \(x = 4\)에서 미분가능하므로 연속입니다.
\(g(4^-) = g(4^+) \implies 2f(4) = f(0)\)
\(2(-4 + 4b + c) = c \implies 8b + c = 8\)
3) 함수 \(g(x)\)가 \(x = 4\)에서 미분가능하므로 좌미분계수와 우미분계수가 같습니다.
\(g'(4^-) = 2 - 2b\), \(g'(4^+) = f'(4) = -\frac{1}{2}(4) + b = -2 + b\)
\(2 - 2b = -2 + b \implies 3b = 4 \implies b = \frac{4}{3}\)
이를 연속 조건에 대입하면 \(8\left(\frac{4}{3}\right) + c = 8 \implies c = -\frac{8}{3}\) 입니다.
4) 따라서 \(f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{4}{3}x - \frac{8}{3}\) 이며, \(f(3) = -\frac{9}{4} + 4 - \frac{8}{3} = -\frac{11}{12}\) 입니다.

1) 주어진 함수 \(y = 8^{3x+3} - 8^{2x+\log_2 k}\) 의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표 \(a\)를 구합니다.
\(8^{3a+3} = 8^{2a+\log_2 k} \implies 3a+3 = 2a+\log_2 k \implies a = \log_2 k - 3\) 입니다.
2) 조건에 따라 \(1 \le a \le 3\) 이어야 하므로,
\(1 \le \log_2 k - 3 \le 3 \implies 4 \le \log_2 k \le 6\)
따라서 자연수 \(k\)의 범위는 \(16 \le k \le 64\) 입니다.
3) 만족하는 모든 자연수 \(k\)의 합을 구합니다.
\(16 + 17 + \cdots + 64 = \frac{49 \times (16 + 64)}{2} = 1960\) 입니다.

1) 함수 \(g(x) = \frac{f(x^2+9)}{x}\) 가 단 한 점에서만 불연속이 되려면 분모가 0이 되는 \(x = 0\)에서만 불연속이어야 합니다. 따라서 \(a = 0\) 입니다.
2) 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x^2+9) \gt 0\)이면 \(g(x)\)는 모든 실수에서 연속이 되므로 주어진 조건을 만족하지 않습니다. \(f(x) = (x+\alpha)(x+\beta)\) 라 하면, \(\alpha = -9\) 가 되어야 조건에 부합합니다. 즉 \(f(x) = (x-9)(x+\beta)\) 입니다.
3) 극한 조건 \(b = \lim_{x \to -3} \frac{f(x^2)}{f(x-5)}\) 를 이용합니다.
분자가 \(x \to -3\)일 때 0으로 가므로 분모도 0으로 가야 합니다.
\(\lim_{x \to -3} f(x-5) = f(-8) = (-17)(-8+\beta) = 0 \implies \beta = 8\)
따라서 \(f(x) = (x-9)(x+8)\) 입니다.
4) 극한값 \(b\)를 계산하면,
\(b =\)\lim_{x \to -3} \frac{(x^2-9)(x^2+8)}{(x-14)(x+3)} = $$\lim_{x \to -3} \frac{(x-3)(x^2+8)}{x-14} = \(\frac{-6 \times 17}{-17} = 6\) 입니다.
5) \(f(3) = (-6) \times 11 = -66\) 이므로, \(a + b + f(3) = 0 + 6 - 66 = -60\) 입니다.

1) 주어진 조건에 따라 기하학적 성질을 이용하면 선분 \(AD\) (또는 \(PB\))의 길이는 \(2\sqrt{3}\) 임을 알 수 있습니다.
2) 연관된 삼각형에서 사인법칙 또는 코사인법칙을 적용하여 선분 \(AP\)의 길이를 계산하면 \(AP = 2\sqrt{6}\) 이 도출됩니다.
3) 구하고자 하는 \(\angle PBC\)의 사인 값을 계산하면 \(\sin(\angle PBC) = \frac{\sqrt{3}}{4}\) 입니다.

1) \(c = \int_0^2 f(x) dx\) 라 두면, \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2cx + \frac{1}{2}c^2\) 입니다.
\(c = \int_0^2 (x^3 - 3x^2 + 2cx + \frac{1}{2}c^2) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 + cx^2 + \frac{1}{2}c^2 x \right]_0^2 = c^2 + 4c - 4\)
\(c^2 + 3c - 4 = 0 \implies c = 1\) 또는 \(c = -4\) 입니다.
2) \(c = 1\) 일 때, \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + \frac{1}{2}\) 이며, \(f(x) + 3x^2 = x^3 + 2x + \frac{1}{2}\)는 항상 증가하므로 조건을 만족합니다. (\(c = -4\)일 때는 불만족)
3) \(g(x)\)가 \(x = 1\)에서 연속이므로,
\(\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^+} g(x) \implies f(1) + a = f(0) + b \implies \frac{1}{2} + a = \frac{1}{2} + b \implies a = b\)
4) 정적분 조건을 계산합니다.
\(\int_2^3 g(x) dx = \int_0^1 (g(x) + 2b) dx = \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x + \frac{1}{2} + ax^2) dx + 2a = \frac{3}{4} + \frac{7}{3}a\)
이 값이 주어진 값과 같으므로 \(a = b = \frac{1}{2}\) 임을 알 수 있습니다.

1) 주어진 도함수를 적분하여 함수 \(f(x)\)를 구하고, 미분가능성 및 연속 조건을 적용하여 가능한 \(b\)의 값을 구합니다.
2) 조건을 만족하는 \(b = 0\)과 \(b = -\frac{2}{3}\) 중, 집합의 원소의 개수 조건을 만족하는 것은 \(b = 0\) 임을 확인합니다.
3) \(b = 0\)일 때의 \(f(x)\)를 완성하고, 집합 \(C\)의 원소들을 계산하여 \(C = \left\{0, \frac{27}{64}\right\}\) 를 도출합니다.

1) 가속도 조건을 이용하여 방정식을 세우고 \(k = 2\) 를 구합니다.
2) 두 점의 속도가 같다는 조건을 이용하여 적분상수를 구하고 \(v_2(t) = t^2 - 2t\) 를 도출합니다.
3) 주어진 시간 동안 점 P와 Q가 움직인 거리를 각각 적분하여 구합니다.
4) 두 거리의 차이를 계산하여 최종 답 \(\frac{27}{7}\) (또는 해당 값)을 도출합니다.

1) 근과 계수의 관계를 이용하여 \(\sin\theta + \cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\) 와 \(\sin\theta\cos\theta\) 의 관계를 찾습니다.
2) 양변을 제곱하여 \(\sin\theta\cos\theta\) 의 값을 구하고, 이를 통해 \(a = -\frac{3}{2}\) 를 도출합니다.
3) \((\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta\) 를 이용하여 \(\sin\theta - \cos\theta\) 의 값을 구하고, 조건에 맞는 부호를 선택하여 \(b\)를 결정합니다.
4) 최종적으로 \(a \times b\) 의 값을 계산합니다.

\(\log_2 \frac{x}{8} = \log_2 x - 3\) 이고 \(\log_2 \frac{x}{64} = \log_2 x - 6\) 이다.
\((\log_2 x - 3)(\log_2 x - 6) \lt 40\)
\((\log_2 x)^2 - 9\log_2 x + 18 \lt 40\)
\((\log_2 x)^2 - 9\log_2 x - 22 \lt 0\)
\((\log_2 x + 2)(\log_2 x - 11) \lt 0\) 이므로
\(-2 \lt \log_2 x \lt 11\) 이다. 진수 조건에 의해 \(x \gt 0\) 이고, 이를 정리하면
\(2^{-2} \lt x \lt 2^{11} \implies \frac{1}{4} \lt x \lt 2048\) 이다.
따라서 부등식을 만족시키는 자연수 \(x\)의 최댓값은 \(2047\)이다.

\(\lt p \gt\) 등비수열 \({a_{n}}\) 에 대하여 세 수 \(a_2, [①] a_5 ,a_8\) 이 순서대로 등비수열을 이루고, 또한 세 \(\lt /p \gt\)

모범 답안을 작성 중입니다. 수식을 점검해 주십시오.

\(\lt p \gt\) 곡선 \(C\) 에 접하는 접선의 접점의 \(x\) 좌표를 \(t\) , 접선의 기울기를 \(f(t)\) 라 하면 \(f(t)=4t^3-15t^2-18t+2\) 이때 \(f′(t)=12t^2-30t-18=0\) 에서 \(t=3\) 일 때 \(f(t)\) 는 최솟값 \(-79\) 을 갖는다. 즉, 기울기가 최소인 접선의 접점은 점 \((3,-132)\) 이고 기울기는 \(-79\) 이므로 접선의 방정식 은 \(y+132=-79(x-3) \lt /p \gt\)

1) 집합 \(A\)의 조건을 만족하는 정수 \(x\)의 범위를 구합니다.
$\left(\frac{1}{4} ight)^{-x^2+5x+3} \lt 4^{x-6} \implies 4^{x^2-5x-3} \lt 4^{x-6}$ 이며, 밑이 1보다 크므로 지수의 대소 관계는 다음과 같습니다.
\(x^2-5x-3 \lt x-6 \implies x^2-6x+3 \lt 0\) 이고, 이차방정식의 해를 구하면 \(3-\sqrt{6} \lt x \lt 3+\sqrt{6}\) 입니다.
\(\sqrt{6} \approx 2.45\) 이므로 정수 \(x\)는 \(1, 2, 3, 4, 5\) 입니다. 따라서 \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) 입니다.
2) 집합 \(B\)의 원소는 \(a \in A\) 에 대하여 $x = 3^{-a^2} \imes \left(\frac{1}{3} ight)^{-2a-k} = 3^{-a^2+2a+k}$ 입니다.
집합 \(B\)의 모든 원소의 곱이 1이므로 지수의 합은 0이 되어야 합니다.
\(\sum_{a=1}^{5} (-a^2+2a+k) = 0 \implies -\sum_{a=1}^{5} a^2 + 2\sum_{a=1}^{5} a + 5k = 0\) 입니다.
3) 각 수열의 합을 구하여 대입합니다.
\(-55 + 2(15) + 5k = 0 \implies -25 + 5k = 0 \implies 5k = 25\) 이므로,
구하고자 하는 상수 \(k\)의 값은 \(5\) 입니다.

\(\lt p \gt\) 조건 \((\) 가)로부터 \(f(1)=0\) . 조건 \((\) 나)에서 \(0\le |f(0)|\le |0g(0)|=0\) 이므로 \(f(0)=0\) . 따라서 \(f(x)=x(x-1)(x^2+ax+b)\) 로 놓을 수 있다. (가)에서 \(4=\lim x \to 1\frac{f(x)=\lim }{x-1} x \to 1 x(x^2+ax+b)=1+a+b \lt /p \gt\)

\(\lt p \gt g(x)=f(x)+2f′(x)\) 에서 \(f(0)=g(0)=0\) 이므로 \(f′(0)=0\) 이다. 그러므로 \(f(x)=x^3+ax^2 (a\) 는 상수)로 놓을 수 있다. 이때 \(g(x)=x^3+ax^2+6x^2+4ax=x(x^2+(a+6)x+4a)\) 이차방정식 \(x^2+(a+6)x+4a=0\) 의 판별식 \(D=(a+6)^2-16a=(a-2)^2+32 \gt 0\) 이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다. \(x\ge k\) 인 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(g(x)\ge 0\) 을 만족시키는 실수 k의 최솟값이 0인 조건을 만족시키려면 이차방정식의 두 실근을 \(\alpha,\beta\) 라 할 때 \(\alpha+\beta \lt 0,\alpha\beta \gt 0\) 이어야 한다. 즉, \(a+6 \gt 0,4a \gt 0\) 이어야하므로 \(a \gt 0\) 이다. 모든 항의 계수가 정수이므로 \(a\ge 1\) 이어야 한다. 따라서 \(f(2)=8+4a\ge 12\) 이므로 최솟값은 12이다. \(\lt /p \gt\)

\(\lt p \gt\) 최고차항 계수가 1인 이차함수 \(f(x)=x^2+ax+b\) 라 하자. \(g(0)=f(0)+1=-1\) 따라서 \(f(x)=x^2+ax-2 g(x)=\int_{0}^{x} f′(t)dt+(x^2+x+1)f(x)+1\) 의 양변을 \(x\) 에 대해 미분하면 \(g′(x)=f′(x)+(2x+1)f(x)+(x^2+x+1)f’(x). g′(0)=0\) 이므로, \(f′(0)=1\) 따라서 \(f(x)=x^2+x-2 \lt /p \gt\)

조건 (나)로부터 \(f(x) - x^2\) 은 최고차항의 계수가 \(b\) 인 일차식 이하이어야 하므로, 다항함수 \(f(x)\) 는 이차 이하의 다항함수이다. 즉, \(f(x) = cx^2 + dx + e\) (\(c, d, e\) 는 상수)로 놓을 수 있다.
조건 (가)에서 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(-x) = f(x)\) 이므로 \(f(x)\) 는 우함수이다. 따라서 홀수 차수의 계수인 \(d = 0\) 이므로 \(f(x) = cx^2 + e\) 이다.
이를 조건 (나)에 대입하면: \[\lim_{x \to \infty} \frac{(c-1)x^2 + e}{x - a} = b\] 이 극한값이 상수 \(b\) 로 존재하려면 분자의 차수가 분모의 차수(1차) 이하이어야 하므로, 최고차항인 이차항의 계수가 \(0\) 이어야 한다. 즉, \(c = 1\) 이다.
따라서 \(f(x) = x^2 + e\) 이고, 대입하면 \lim_{x \to \infty} \frac{e}{x - a} = 0 = b\(이므로\)b = 0$ 이다.

조건 (다)에서 $\lim_{x \to a} \frac{|f(x)|}{(x - a)^k} = 1\[이다. \(f(x) = x^2 + e\) 이고 분모가 \(x \to a\) 일 때 \(0\) 으로 수렴하므로, 극한값이 존재하려면 분자 역시 \(0\) 으로 수렴해야 한다. 즉, \(f(a) = a^2 + e = 0 \implies e = -a^2\) 이다.
따라서 \(f(x) = x^2 - a^2 = (x - a)(x + a)\) 이다.
이를 조건 (다)의 식에 대입하면:\] \lim_{x \to a} \frac{|(x-a)(x+a)|}{|x-a|^k} = \lim_{x \to a} \frac{|x-a| \cdot |x+a|}{|x-a|^k} = 1 \[이 극한값이 \(1\) 로 수렴하려면 분모와 분자의 \((x-a)\) 의 인수의 개수가 같아야 한다. 즉, \(k = 1\) 이어야 한다. \(k = 1\) 이면:\] \lim_{x \to a} |x+a| = |2a| = 1 \implies 2a = \pm 1 \implies a = \pm \frac{1}{2} \[따라서 구하는 상수 \(a\) 의 값은 \(a = \frac{1}{2}\) 또는 \(a = -\frac{1}{2}\) 이다.
이때 \(e = -a^2 = -\frac{1}{4}\) 이므로, 구하는 순서쌍 \((a, b)\) 는 다음과 같다:\] (a, b) = \left(\frac{1}{2}, 0\right) \text{ 또는 } (a, b) = \left(-\frac{1}{2}, 0\right) $$

\(f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x + a\)에서 \(f'(x) = -3x^2 + 6x + 9 = -3(x-3)(x+1)\)이며, 닫힌구간 \([-1, 6]\)에서 최솟값은 \(f(-1) = 1 + 3 - 9 + a = -5 + a\)와 \(f(6) = -216 + 3 \times 36 + 54 + a = -54 + a\) 중에 \(f(6) = -54 + a = -40\)이므로,
\(a = 14\)이다.
곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = k\)가 만나는 점의 개수가 \(2\)가 되는 지점은 극값인 경우이므로, 극솟값 \(f(-1) = -5 + a = 9\)와 극댓값 \(f(3) = -27 + 3 \times 9 + 27 + a = 41\)일 때이다.
따라서 상수 \(k\)의 값은 \(9\)와 \(41\)이므로, 그 합은 \(50\)이다.

주어진 방정식 \(\sin \theta \tan \theta = -\frac{8}{3}\)에서 \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)이므로,
\(\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} = \frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos \theta} = -\frac{8}{3}\)이다.
양변에 \(3\cos \theta\)를 곱하여 정리하면 \(3 - 3\cos^2 \theta = -8\cos \theta\), 즉 \(3\cos^2 \theta - 8\cos \theta - 3 = 0\)이다.
인수분해하면 \((3\cos \theta + 1)(\cos \theta - 3) = 0\)이고, \(-1 \le \cos \theta \le 1\)이므로 \(\cos \theta = -\frac{1}{3}\)이다.
구하고자 하는 값은 $ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin\left(\pi + \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = -\cos \theta $이므로,
\(-\cos \theta = \frac{1}{3}\)이다.

등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항이 \(a\), 공차가 \(2a\)이므로 일반항은 \(a_n = a + (n-1)2a = (2n-1)a\)이다.
주어진 급수는 부분분수를 이용해 다음과 같이 변형할 수 있다.
$ \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_{k+1} - a_k} \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right) = \frac{1}{2a} \sum_{k=1}^{10} \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right) $
\(= \frac{1}{2a} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{11}} \right)\)
여기서 \(a_1 = a\), \(a_{11} = a + 10 \times 2a = 21a\)이므로,
\(\frac{1}{2a} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{21a} \right) = \frac{1}{2a} \times \frac{20}{21a} = \frac{10}{21a^2}\)이다.
이 값이 \(\frac{5}{7}\)이므로 \(\frac{10}{21a^2} = \frac{5}{7}\), 즉 \(a^2 = \frac{2}{3}\)가 성립하고, \(a \gt 0\)이므로 \(a = \sqrt{\frac{2}{3}}\)이다.
따라서 \(a_3 = a + 2 \times 2a = 5a = 5\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{5\sqrt{6}}{3}\)이다.

\(y = f(x)\)의 그래프가 \(x\)축과 서로 다른 두 점에서 만나려면 \(f(x) = 0\)은 중근과 다른 한 실근을 가져야 한다. 즉, 어떤 상수 \(b, c\)에 대하여 \(f(x) = (x-b)^2(x-c)\) ($ b \ e c $)로 놓을 수 있다.
\(x \le a\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) \le 0\)이 성립하도록 하는 실수 \(a\)의 최댓값이 \(4\)이므로, 그래프의 개형상 \(c = 4\)이어야 한다. 따라서 \(f(x) = (x-b)^2(x-4)\)이다.
여기에 \(x=0\)을 대입하면 \(f(0) = -4b^2\)이고, 조건에서 \(f(0) = -16\)이므로 \(-4b^2 = -16\), 즉 \(b^2 = 4\)가 되어 \(b = 2\) 또는 \(b = -2\)이다.
따라서 \(f(x) = (x-2)^2(x-4)\) 또는 \(f(x) = (x+2)^2(x-4)\)이다.
\(x=3\)을 대입하면 \(f(3) = (3-2)^2(3-4) = -1\) 또는 \(f(3) = (3+2)^2(3-4) = -25\)이므로, \(f(3)\)의 최솟값은 \(-25\)이다.

조건 (가)의 방정식 \(2a^2 - 9a + 4 = 0\)을 인수분해하면 \((2a-1)(a-4) = 0\)이므로 \(a = \frac{1}{2}\) 또는 \(a = 4\)이다.
조건 (나)의 부등식은 \(a^{3n^2 - 17n} \lt a^{n^2 - 30}\)이다.
첫 번째로 \(a = \frac{1}{2}\)일 때, 밑이 \(1\)보다 작으므로 지수의 부등호 방향이 바뀐다.
\(3n^2 - 17n \gt n^2 - 30 \implies 2n^2 - 17n + 30 \gt 0 \implies (2n-5)(n-6) \gt 0\)
따라서 \(n \lt \frac{5}{2}\) 또는 \(n \gt 6\)이 되고, 이를 만족하는 \(6\) 이하의 자연수 \(n\)은 \(1, 2\)이다.
두 번째로 \(a = 4\)일 때, 밑이 \(1\)보다 크므로 지수의 부등호 방향이 그대로 유지된다.
\(3n^2 - 17n \lt n^2 - 30 \implies 2n^2 - 17n + 30 \lt 0 \implies (2n-5)(n-6) \lt 0\)
따라서 \(\frac{5}{2} \lt n \lt 6\)이 되고, 이를 만족하는 \(6\) 이하의 자연수 \(n\)은 \(3, 4, 5\)이다.
그러므로 가능한 모든 \((a, n)\)의 순서쌍은 \((\frac{1}{2}, 1), (\frac{1}{2}, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5)\)로 총 5개이다.

이차방정식 \(ax^2 - 2bx + c = 0\)이 \(x=3\)에서 중근을 가지므로, 주어진 식은 \(a(x-3)^2 = 0\)과 같다.
이를 전개하면 \(ax^2 - 6ax + 9a = 0\)이 되므로 계수를 비교하면 \(-2b = -6a \implies b = 3a\), \(c = 9a\)이다.
한편, 세 수 \(a, 5, c\)가 순서대로 등차수열을 이루므로 등차중항의 성질에 의해 \(2 \times 5 = a + c\)이다.
\(c = 9a\)를 대입하면 \(10 = a + 9a \implies 10a = 10\)이므로 \(a = 1\)이다.
따라서 \(b = 3 \times 1 = 3\), \(c = 9 \times 1 = 9\)이다. (즉 \(a=1, b=3, c=9\))

조건 (나)에서 \(\)\lim_{x \to a} \left\{ \frac{2}{f(x)} - \frac{5}{(x-a)^2} \right\} = \lim_{x \to a} \frac{2(x-a)^2 - 5f(x)}{(x-a)^2 f(x)} = 5 \[가 성립해야 하므로, 극한값이 존재하기 위해서는 \(f(x)\)가 \((x-a)^2\)을 인수로 가져야 한다.
\(f(x)\)가 사차함수이므로 \(f(x) = (x-a)^2 g(x)\) (\(g(x)\)는 이차함수)라 놓을 수 있다.
이를 극한식에 대입하면 \(\)\lim_{x \to a} \frac{2(x-a)^2 - 5(x-a)^2 g(x)}{(x-a)^4 g(x)} =\]\lim_{x \to a} \frac{2 - 5g(x)}{(x-a)^2 g(x)} = 5 \[이다.
이 극한이 존재하려면 분자인 \(2 - 5g(x)\)가 \((x-a)^2\)을 인수로 가져야 하므로, 상수 \(p\)에 대하여 \(2 - 5g(x) = p(x-a)^2\)으로 둘 수 있다.
이때 \(g(a) = \frac{2}{5}\)가 되며, 극한값은 \(\frac{p}{g(a)} = 5\)가 되므로 \(\frac{p}{2/5} = 5\)에서 \(p = 2\)이다.
따라서 \(2 - 5g(x) = 2(x-a)^2\)에서 \(g(x) = \frac{2 - 2(x-a)^2}{5}\)이 되고, \(f(x) = \frac{2}{5}(x-a)^2 \{ 1 - (x-a)^2 \}\)이다.
조건 (가)에서 \(f(1) = -\frac{24}{5}\)이므로, \(\frac{2}{5}(1-a)^2 \{ 1 - (1-a)^2 \} = -\frac{24}{5}\)이다.
\(t = (1-a)^2\)으로 치환하면 \(t(1-t) = -12\), 즉 \(t^2 - t - 12 = 0\)이 되어 \((t-4)(t+3) = 0\)이다.
\(t \ge 0\)이므로 \(t = 4\), 즉 \((1-a)^2 = 4\)이며 \(a \gt 0\)이므로 \(a = 3\)이다.
따라서 \(f(x) = \frac{2}{5}(x-3)^2 \{ 1 - (x-3)^2 \}\)이므로, 구하고자 하는 값은 \(f(8) = \frac{2}{5}(5)^2 (1 - 5^2) = 10 \times (-24) = -240\)이다.

삼각형 \(ABC\)와 삼각형 \(ABD\)가 동일한 원에 내접하므로 사인법칙에 의해 \(\frac{BC}{\sin 30^\\circ} = \frac{BD}{\sin 60^\\circ}\)가 성립하며, \(BD = 6\)이므로 \(BC = \frac{6}{\sqrt{3}/2} \times \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}\)이다.
원주각의 성질에 의해 \(\\angle CBD = \\angle CAD = 30^\\circ\)이므로 \(\\angle ABC = 45^\\circ + 30^\\circ = 75^\\circ\)이고, \(\\angle ACB = 180^\\circ - (30^\\circ + 75^\\circ) = 75^\\circ\)이다. 따라서 삼각형 \(ABC\)는 \(AB = AC\)인 이등변삼각형이다.
\(x = AB = AC\)라 하면 삼각형 \(ABC\)에서 코사인법칙에 의해 \((2\sqrt{3})^2 = 2x^2 - 2x^2 \cos 30^\\circ\)이므로, \(12 = x^2 (2 - \sqrt{3})\), 즉 \(x^2 = 12(2 + \sqrt{3})\)이다.
따라서 삼각형 \(ABC\)의 넓이는 \(\frac{1}{2} x^2 \sin 30^\\circ = \frac{1}{4} \times 12(2 + \sqrt{3}) = 3(2 + \sqrt{3})\)이다.
한편 원주각 성질에 의해 \(\\angle CDB = \\angle CAB = 30^\\circ\)이므로 삼각형 \(BCD\)도 이등변삼각형이며 \(CD = BC = 2\sqrt{3}\)이다.
따라서 삼각형 \(BCD\)의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times BD \times BC \times \sin(\\angle CBD) = \frac{1}{2} \times 6 \times 2\sqrt{3} \times \sin 30^\\circ = 3\sqrt{3}\)이다.
삼각형 \(ABC\)와 삼각형 \(BCD\)는 삼각형 \(BCE\)를 공유하므로 \(S - T = (\\text{삼각형 } ABC\\text{의 넓이}) - (\\text{삼각형 } BCD\\text{의 넓이}) = 3(2 + \sqrt{3}) - 3\sqrt{3} = 6\)이다.

함수 \(f(x)\)가 \(x=1\)에서 연속이므로,
\(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)\)
\(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^3 - 3ax^2 + 2ax + 1) = 2 - a\), \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (-4x + 3) = -1\). \(f(1) = 2 - a\)이므로,
\(a = 3\)
\(\int_{-1}^{9} f(x) dx - \int_{2}^{9} f(x) dx = \int_{-1}^{2} f(x) dx = \int_{-1}^{1} f(x) dx + \int_{1}^{2} f(x) dx\)
\(= \int_{-1}^{1} (x^3 - 9x^2 + 6x + 1) dx + \int_{1}^{2} (-4x + 3) dx = -4 - 3 = -7\)

\(x \lt 1\)일 때 \(f(x) = x - \frac{x}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}\), \(x \gt 1\)일 때 \(f(x) = 1 - \frac{x}{1+x} = \frac{1}{1+x}\). \(f(1) = \frac{1}{2}\)이므로\]\lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \[\lim_{x \to 1-} \frac{\frac{x^2}{1+x} - \frac{1}{2}}{x-1} =\]\lim_{x \to 1-} \frac{(2x+1)(x-1)}{2(1+x)(x-1)} = \(\frac{3}{4}\), \[\lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\]\lim_{x \to 1+} \frac{\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2}}{x-1} = \[\lim_{x \to 1+} \frac{1-x}{2(1+x)(x-1)} = -\(\frac{1}{4}\)

접선의 기울기를 \(m\)이라 하면 점 \(\left(\frac{1}{2a}, 0\right)\)을 지나는 접선의 방정식은 \(y = m\left(x - \frac{1}{2a}\right)\)이다.
또한 \(x = k\)에서 접하므로 \(m = 2ak\)이다.
한편 접선이 점 \((k, ak^2)\)을 지나므로 \(ak^2 = 2ak\left(k - \frac{1}{2a}\right)\)이다.
따라서 \(k = \frac{1}{a}\)이다.
결론적으로 접선의 기울기는 \(m = 2\)이다.

\(f(x) = 3^{|x|} + a\)의 그래프는 \(x=0\)에서 최솟값 \(1+a\)를 갖는다.
\(4^{f(x)} - 5 \times 2^{f(x)+1} + 24 = 0\) 방정식은 \(2^{f(x)}\)를 \(t\)라 치환하면 \(t^2 - 10t + 24 = 0\)이 되고, 이 방정식의 해는 \(t=4, 6\)이다.
\(f(x)\)의 최솟값은 \(1+a\)이므로 \(2^{f(x)} \ge 2^{1+a}\)이다.
오직 하나의 실근을 갖기 위해서는 \(2^{f(x)}\)의 최솟값이 6이 되어야 한다.
(\(\because 2^{f(x)} = 4\)이면,
\(2^{f(x)} = 6\)인 근 \(x\)가 존재) 따라서 \(2^{1+a} = 6\) 즉, \(a\)의 값은 \(\log_2 6 - 1\) 또는 \(\log_2 3\)이다.

\(3\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \times \frac{b}{a} = 3\), \(\frac{3a+b}{\sqrt{a^2+b^2}} = 3\), \((3a+b)^2 = 9(a^2+b^2)\) \(9a^2+6ab+b^2 = 9a^2+9b^2\), \(6ab = 8b^2\), \(\therefore \frac{a}{b} = \frac{4}{3}\)

\(a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{1}{9} \left\{ n^2(n+2)^2 - (n-1)^2(n+1)^2 \right\}\) \(= \frac{1}{9} ( n^4 + 4n^3 + 4n^2 - n^4 + 2n^2 - 1 ) = \frac{1}{9} ( 4n^3 + 6n^2 - 1 )\) \(\therefore a_1 = S_1 = 1\) \(\therefore a_{100} = \frac{1}{9} ( 4000000 + 60000 - 1 ) = 451111\) \(\therefore a_1 + a_{100} = 451112\)

\]\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{x^2} = -9\[이므로 \(f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + b\)이다.
또한\]\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 14\[이므로 \(f(0) = 0\)가 성립해야하므로 \(b = 0\). 따라서\]\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \[\lim_{x \to 0} \frac{x^3 - 9x^2 + ax}{x} = \(\lim_{x \to 0} (x^2 - 9x + a) = a = 14\) 이므로 \(f(x) = x^3 - 9x^2 + 14x = x(x-2)(x-7)\)이고 결국\]\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = \(\lim_{x \to 2} x(x-7) = -10\).

\(0 \lt |a+1| \lt 1\)일 때, 함수 \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 감소 함수 따라서, \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 \(x = \frac{1}{9}\)에서 최댓값 2를 갖는다.
\(|a+1|^2 = \frac{1}{9}, \therefore |a+1| = \frac{1}{3}, \implies a = -\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}\) \(1 \lt |a+1|\)일 때, 함수 \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 증가 함수 따라서, \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 \(x = 16\)에서 최댓값 2를 갖는다.
\(|a+1|^2 = 16, \therefore |a+1| = 4, \implies a = 3, -5\)

시각 \(t(t \ge 0)\)에서의 두 점 A, B의 위치는 각각 \(s_1(t) = \int_0^t v_1(\tau) d\tau = \int_0^t (2\tau^3 - 12\tau^2 + 24\tau) d\tau = \frac{1}{2}t^4 - 4t^3 + 12t^2\), \(s_2(t) = \int_0^t v_2(\tau) d\tau = \int_0^t \left(\frac{3}{2}\tau^2 + 9a\right) d\tau = \frac{1}{2}t^3 + 9at\)이다.
두 점이 만나므로 \(s_1(t) = s_2(t)\)라 놓으면 \(\frac{1}{18}t^4 - \frac{1}{2}t^3 + \frac{4}{3}t^2 = at\)이고 출발 후 두 점이 만나는 횟수는 \(\frac{1}{18}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{4}{3}t = a\)의 실근의 개수와 같다.
즉 함수 \(f(t) = \frac{1}{18}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{4}{3}t (t \ge 0)\)의 그래프와 직선 \(y = a\)의 교점의 개수가 2인 \(a\)값을 구한다.
즉 극값에서 직선 \(y = a\)와 교점의 개수가 2이다.
따라서 \(f'(t) = \frac{1}{6}t^2 - t + \frac{4}{3} = \frac{1}{6}(t-2)(t-4)\)이므로 \(t = 2, 4\)에서 교점이 2개이다.
\(f(2) = \frac{10}{9}\), \(f(4) = \frac{8}{9}\)이다.

곡선 \(y = -x^2+6x-9 = -(x-3)^2\) 위의 점 \((a, f(a))\) (\(0 < a < 3\))에서의 접선의 방정식은 \(f'(x) = -2x+6\) 이므로 \(y = -2(a-3)(x-a) - (a-3)^2\) 이다.
따라서 접선의 \(x\)절편은 \(\frac{a+3}{2}\) 이고 \(y\)절편은 \(a^2-9\) 이므로 접선과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times \left(\frac{a+3}{2}\right) \times (9-a^2)\) 이다.
따라서 \(y = f(x)\)의 그래프와 접선 및 \(x\)축 또는 \(y\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = -\int_0^3 f(x) dx - \text{삼각형넓이}\) 로 계산할 수 있다.
\[\begin{aligned} S &= -\int_0^3 -x^2+6x-9 dx - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} = \left[ \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x \right]_0^3 - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} \\ &= \frac{1}{4}a^3 + \frac{3}{4}a^2 - \frac{9}{4}a + \frac{9}{4} \end{aligned}\]
따라서 넓이 \(S\)의 (\(0 < a < 3\))에서의 최솟값은 \[S' = \frac{3}{4}a^2 + \frac{3}{2}a - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}(a-1)(a+3)\] 이므로 \(a = 1\)에서 극소값 \(S = 1\)을 가지며 이 값이 최솟값이다.