수학 I
삼각함수가 포함된 방정식
$5\cos^2\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+4\cos x+a-1=0$
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$\overline{\text{CA}} = 8$
3점
$\overline{\text{AB}} = 6$
3점
$\sin B = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$
4점
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수학Ⅰ
수열의 귀납적 정의
1) 주어진 수열의 귀납적 관계식에서 일반항을 구하기 위해 항들을 정리합니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
부분분수 분해 $\frac{2n+1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}$을 이용하여 소거형태로 변형
4점
축차대입법과 교대합의 소거 원리를 통해 $a_{2025} = a_1 - 1 + \frac{1}{2025}$ 유도
4점
서로소인 두 자연수 $p=2025, q=91$을 규명하여 최종값 $\sqrt{p}+q = 136$ 도출
2점
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수학Ⅱ
접선의 방정식, 정적분의 활용
1) $f(x) = ax^3$ 에서 도함수는 $f'(x) = 3ax^2$ 입니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
점 $(5, f(5))$에서의 접선의 방정식을 $a$를 이용해 세우고, $(4,2)$를 대입하여 $a = \frac{1}{25}$ 도출
4점
함수 $f(x)$와 역함수 $g(x)$의 교점의 $x$좌표가 $-5, 0, 5$ 임을 구하고 대칭성 분석
3점
정적분 $\int_0^5 (x - f(x)) dx$을 계산하고, 대칭성을 고려해 최종 넓이 $25$ 도출
3점
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수학Ⅰ
로그의 성질
1) 주어진 로그 값을 단순화합니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
밑변환공식을 사용하여 $ab = \frac{3}{2} \log_2 5$ 임을 유도
4점
$\log_5 10 = 1 + \log_5 2$ 와 비교하여 $pab = \log_2 5$ 임을 밝혀 $p = \frac{2}{3}$ 도출
3점
$\log_6 10$의 밑변환 성질을 사용하여 $qa = \log_2 3$ 임을 밝혀 $q = \frac{2}{3}$ 도출
3점
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수학Ⅰ
로그함수와 수열
1) 직선 $y=n$ 과 두 로그함수 $y=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)$, $y=\log_{\frac{1}{9}}(3-x)$ 의 교점 $P_n, Q_n$의 $x$좌표를 구합니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
점 $P_n, Q_n, R_n$의 좌표를 구하여 삼각형의 넓이 일반항 $a_n = 1 - \frac{1}{2 \times 3^n} - \frac{1}{2 \times 9^n}$ 도출
4점
주어진 식에 $a_n$을 대입하여 등비수열 $b_n = \frac{1}{2 \times 9^n}$ 의 일반항 규명
3점
$S_3 = b_1 + b_2 + b_3$를 연산하고 $1458 S_3 = 91$ 최종 도출
3점
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수학Ⅱ
정적분과 미분의 관계
1) 정적분 상수항 $\int_2^3 t f'(t) dt$ 를 상수 $K$로 치환합니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
정적분부분을 상수 $K$로 치환하고 $x=1$ 대입을 통해 $a+K = -53$ 수립
4점
양변 미분 및 정적분 정의를 활용하여 상수 $a = \frac{1}{2}, K = -\frac{107}{2}$ 결정
4점
다항함수 $f(x)$를 완성하고 최종 함숫값 $f(2) = -124$ 연산
2점
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수학Ⅱ
함수의 극한에 대한 성질
1) 주어진 조건 식의 분모와 분자의 위치를 역수로 취하여 정리합니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
관계식을 변형하여 극한값 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 3$ 도출
2점
구하고자 하는 극한 식의 분모와 분자를 $x^2$으로 나누어 $\frac{f(x)}{x}$ 형태로 변형
2점
극한 성질을 이용해 최종 값 $6$ 도출
6점
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수학Ⅰ
로그함수의 그래프, 수열의 합
1) 두 함수 $f(x) = -\log_2 \left((k+1)x\right)$ 와 $g(x) = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{k+1}{kx}\right) = -\log_2\left(\frac{k+1}{kx}\right)$ 의 교점의 $x$좌표를 구합니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
두 함수 $f(x), g(x)$의 교점의 $x$좌표 $a = \frac{1}{\sqrt{k}}$를 기준으로 구별하고 점 A의 $x$좌표 $x_A = \frac{1}{k(k+1)}$ 유도
3점
점 B의 $x$좌표 $x_B = k+1$을 유도하여 두 점 사이의 거리 $l(k) = k+1 - \frac{1}{k(k+1)}$ 수립
3점
수열의 합과 부분분수 소거 연산을 적용하여 최종값 $177$ 연산
4점
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수학Ⅰ, 수학Ⅱ
수열의 합, 도함수
1) 조건 (나)의 좌변 극한 부분을 미분계수로 변형합니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
미분계수의 정의를 이용해 조건 (나)의 극한값을 $\frac{3}{5}f'(k+1)$로 나타내고 시그마 합을 계산하여 $a = -8$ 유도
5점
조건 (가)에 $a=-8$과 함수식을 대입하여 $b = 8$ 도출
3점
구하고자 하는 함숫값 $f(a+b) = f(0) = 8$ 최종 연산
2점
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수학 I
삼각함수의 성질
$$
\begin{aligned}
\cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) = -\sin\theta \\
= \frac{1}{\sqrt{6}}
\end{aligned}
$$
$$\sin\theta < 0, \cos\theta < 0\text{이므로 }\theta\text{는 제3사분면 위의 각이고,}$$
$$\tan^2(\pi+\theta) + \sqrt{5}\tan\theta + 3\sin^2\left(\frac{3}{2}\pi+\theta\right) = \tan^2\theta + \sqrt{5}\tan\theta + 3\cos^2\theta\text{이다.}$$
각 $\theta$의 동경과 원점을 중심으로 하고 반지름이 $\sqrt{6}$인 원의 교점을 $A$라 하자.
$A(-\sqrt{5}, -1)$이다. 삼각함수의 정의에 의해
$$
\begin{aligned}
\cos\theta = -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}, \quad \tan\theta \\
= \frac{1}{\sqrt{5}}\text{이다.}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\therefore \tan^2\theta + \sqrt{5}\tan\theta + 3\cos^2\theta = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 + \sqrt{5}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) + 3\times\left(-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\right)^2 \\
= \frac{1}{5} + 1 + \frac{5}{2} = \frac{37}{10}
\end{aligned}
$$
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$, $\cos\theta = -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$를 구함
4점
주어진 식의 값 $\frac{37}{10}$을 정확히 계산함
3점
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수학 I
지수와 로그
$$
\begin{aligned}
f(1) = \frac{1}{3}, \quad f(f(1)) \\
= f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{3}\right)^{-4} = 27, \quad f(f(f(1))) = f(27) = 3
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
f(2) = \frac{1}{3}\times 2^{-4}, \quad f(f(2)) \\
= \frac{1}{3}\times\left(\frac{1}{3\times 16}\right)^{-4} = 3^3 \times 2^{16}, \quad f(f(f(2))) = 3 + 16\log_3 2
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
f(3) = 1, \quad f(f(3)) \\
= \frac{1}{3}, \quad f(f(f(3))) = f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}\times\left(\frac{1}{3}\right)^{-4} = 27\text{ 이므로}
\end{aligned}
$$
$$\sum_{n=1}^{3} f(f(f(n))) = 3 + 3 + 16\log_3 2 + 27 = 33 + 16\log_3 2$$
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$f(f(f(2))) = 3 + 16\log_3 2$를 구함
4점
$\sum_{n=1}^{3} f(f(f(n))) = 33 + 16\log_3 2$를 정확히 계산함
3점
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수학 II
정적분
$f(x)$가 상수함수이면 성립하지 않는다.
$f(x) = b x^n + \cdots + c$로 놓았을 때, $n$의 값은 $1$이다. $f(x) = bx + c$
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{x} t f(t) dt = f(x) + ax^3 + x^2 + x - 2\text{에서 } x\text{에 } 0\text{을 대입하면 } 0 \\
= f(0) - 2 = c - 2
\end{aligned}
$$
따라서 $c = 2$이다.
$$\int_{0}^{x} t f(t) dt = f(x) + ax^3 + x^2 + x - 2\text{에서}$$
$$\frac{1}{3}b x^3 + x^2 = bx + 2 + ax^3 + x^2 + x - 2\text{이므로}$$
$$\frac{1}{3}b x^3 + x^2 = ax^3 + x^2 + (b+1)x$$
$$
\begin{aligned}
a = \frac{1}{3}b, \quad b + 1 \\
= 0\text{이므로 } b = -1, \quad a = -\frac{1}{3}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
f(x) = -x + 2, \quad f(a) \\
= f\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}
\end{aligned}
$$
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
양변 비교를 통해 $a = -\frac{1}{3}$, $b = -1$을 구함
4점
$f(a) = \frac{7}{3}$을 정확히 구함
3점
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수학 I
거듭제곱근
$$\sqrt[n]{(2^k)^7}\text{의 값이 } 8\text{의 배수가 되기 위해서는 } 2^{\frac{7k}{n}}\text{에서 } \frac{7k}{n} = m\text{이 } 3\text{ 이상의 자연수이어야 한다.}$$
$k=1$일 때, $2^{\frac{7\times 1}{n}} = 2^m$을 만족하는 $2$이상의 자연수 $n$은 없다. $f(k)=0$
$k=2$일 때, $n=2$, $f(k)=1$
$k=3$일 때, $n=3, 7$, $f(k)=2$
$k=4$일 때, $n=2, 4, 7$, $f(k)=3$
$k=5$일 때, $n=5, 7$, $f(k)=2$
$k=6$일 때, $n=2, 3, 6, 7, 14$, $f(k)=5$
$k=7$일 때, $n=7$, $f(k)=1$
$k=8$일 때, $n=2, 4, 7, 8, 14$, $f(k)=5$
$k=9$일 때, $n=3, 7, 9, 21$, $f(k)=4$
$k=10$일 때, $n=2, 5, 7, 10, 14$, $f(k)=5$
따라서 $k=6, 8, 10$이므로 합은 $24$이다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$f(k)=5$가 되는 $k$의 값들이 $6, 8, 10$임을 구함
3점
$k$의 합 $24$를 정확히 계산함
3점
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수학 II
함수의 극한
조건 (가)에서 $0$이 아닌 극한값이 존재하고, 분모가 이차함수이므로, 함수 $f(x)$도 이차함수이다. 따라서 $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$로 두면
$$
\begin{aligned}
\text{(가) }\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{9x^2 - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\alpha x^2 + \beta x + \gamma}{9x^2 - 1} \\
= \frac{\alpha}{9} = \frac{1}{3}\text{이므로 }\alpha = 3\text{이다.}
\end{aligned}
$$
조건 (나)에서 $f(x) = 3\left(x - \frac{1}{3}\right)(x + k)$로 놓을 수 있다.
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{9x^2 - 1}{f(x)} = \lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{9\left(x - \frac{1}{3}\right)\left(x + \frac{1}{3}\right)}{3\left(x - \frac{1}{3}\right)(x+k)} \\
= \lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3\left(x + \frac{1}{3}\right)}{x+k} = \frac{2}{k + \frac{1}{3}} = \frac{1}{4}
\end{aligned}
$$
따라서 $k = \frac{23}{3}$, $f(x) = 3\left(x - \frac{1}{3}\right)\left(x + \frac{23}{3}\right)$이다.
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to \frac{1}{3}-} \frac{\left|x - \frac{1}{3}\right|(x^2+ax+5)}{f(x)} = \lim_{x \to \frac{1}{3}-} \frac{-\left(x - \frac{1}{3}\right)(x^2+ax+5)}{3\left(x - \frac{1}{3}\right)\left(x + \frac{23}{3}\right)} \\
= -\frac{\frac{1}{9} + \frac{a}{3} + 5}{24}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to \frac{1}{3}+} \frac{\left|x - \frac{1}{3}\right|(x^2+ax+5)}{f(x)} = \lim_{x \to \frac{1}{3}+} \frac{\left(x - \frac{1}{3}\right)(x^2+ax+5)}{3\left(x - \frac{1}{3}\right)\left(x + \frac{23}{3}\right)} \\
= \frac{\frac{1}{9} + \frac{a}{3} + 5}{24}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{\left|x - \frac{1}{3}\right|(x^2+ax+5)}{f(x)}\text{의 값이 존재하므로 }-\frac{\frac{1}{9} + \frac{a}{3} + 5}{24} = \frac{\frac{1}{9} + \frac{a}{3} + 5}{24} \\
= b = 0\text{이다.}
\end{aligned}
$$
따라서 $a = -\frac{46}{3}$, $b = 0$이다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
좌극한과 우극한이 같아야 하므로 극한값 $b = 0$임을 구함
3점
$\frac{1}{9} + \frac{a}{3} + 5 = 0$으로부터 $a = -\frac{46}{3}$을 정확히 구함
3점
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수학 II
다항함수의 미분
조건 (가) $f'(\alpha) = f'(\beta) = 0$에서 $x=\alpha$와 $x=\beta$에서 극값을 갖구, 조건 (나)에서 $f(\alpha)f(\beta) < 0$에서 함솟값의 부호는 다르므로 다음 두 가지 경우로 나눌 수 있다.
1) 최고차항의 계수가 양수일 때, 즉 $f(\alpha) > 0$일 때, 방정식 $|f(x)| = |f(t)|$의 실근의 개수가 홀수가 되도록 하는 실수 $t$는 $y=|f(x)|$의 그래프가 직선 $y=0$, $y=|f(\alpha)|$, $y=|f(\beta)|$와 만나는 점들의 $x$좌표이므로 $m = 11$이고,
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{|f(\alpha)|} \sum_{i=1}^{m} f(t_i) \\
= \frac{-|f(\beta)| - |f(\alpha)|}{|f(\alpha)|} = -3\text{이다.}
\end{aligned}
$$
2) 최고차항의 계수가 음수일 때, 즉 $f(\alpha) < 0$일 때, 방정식 $|f(x)| = |f(t)|$의 실근의 개수가 홀수가 되도록 하는 실수 $t$는 $y=|f(x)|$의 그래프가 직선 $y=0$, $y=|f(\alpha)|$, $y=|f(\beta)|$와 만나는 점들의 $x$좌표이므로 $m = 11$이고,
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{|f(\alpha)|} \sum_{i=1}^{m} f(t_i) \\
= \frac{|f(\beta)| + |f(\alpha)|}{|f(\alpha)|} = 3\text{이다.}
\end{aligned}
$$
따라서 $\pm 3$이다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
최고차항의 계수가 양수일 때 값 $-3$을 구함
3점
최고차항의 계수가 음수일 때 값 $3$을 구하여 최종 답 $\pm 3$을 제시함
4점
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수학 II
정적분
$$
\begin{aligned}
f(1) = f(0) + 1 \\
= \frac{a}{16} - \frac{9}{16} + 1 = \frac{a}{16} + \frac{7}{16}\text{이고}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to 1-} f(x) = \lim_{x \to 1-} a\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{9}{16} \\
= \frac{9a - 9}{16}
\end{aligned}
$$
$f(x)$는 $x=1$에서 연속이므로 $a = 2$이다. 따라서
$$
\begin{aligned}
f(x) = 2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{9}{16}, \quad f(0) \\
= -\frac{7}{16}, \quad f(1) = \frac{9}{16}
\end{aligned}
$$
구간 $[0,1]$에서 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y = -\frac{9}{16}$ 사이의 부분의 넓이를 $A$라 하면
$$
\begin{aligned}
A = \int_{0}^{1} f(x) - \left(-\frac{9}{16}\right) dx \\
= \int_{0}^{1} 2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 dx = \frac{7}{24}\text{이다.}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
p_1 = \int_{0}^{1} f(x) dx \\
= A - \frac{9}{16} = -\frac{13}{48}\text{이다.}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
p_2 = \int_{0}^{1} f(x) dx + 1, \quad p_n \\
= \int_{n-1}^{n} f(x) dx = (n-1) + \int_{0}^{1} f(x) dx\text{이므로}
\end{aligned}
$$
수열 $\{p_n\}$은 첫째 항이 $-\frac{13}{48}$이고, 공차가 $1$인 등차수열이다.
$$
\begin{aligned}
g(x) = \sum_{n \\
=1}^{100} (x - p_n)^2 = 100 x^2 - 2(p_1 + p_2 + \cdots + p_{100})x + (p_1^2 + p_2^2 + \cdots + p_{100}^2)\text{이므로}
\end{aligned}
$$
$$x = \frac{p_1 + p_2 + \cdots + p_{100}}{100}\text{에서 최솟값을 갖는다. 따라서}$$
$$
\begin{aligned}
\alpha = \frac{1}{100}\left(\sum_{n \\
=1}^{100} p_n\right) = \frac{1}{2}(2p_1 + 99) = p_1 + \frac{99}{2} = \frac{2363}{48}
\end{aligned}
$$
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
수열 $\{p_n\}$이 첫째항 $-\frac{13}{48}$, 공차 $1$인 등차수열임을 파악함
3점
이차함수 최소 조건으로부터 $\alpha = \frac{2363}{48}$을 정확히 계산함
3점
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수학 II
다항함수의 적분
$$\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(-2)}{x - 2} = 1\text{에서 } x \to 2\text{일 때, (분모)}\to 0\text{이고 극한값이 존재하므로 (분자)}\to 0\text{이다.}$$
따라서 $f(2) = f(-2)$
$f(x)$는 삼차함수이므로 $f(x) = a(x-2)(x+2)(x-k) + b$라 하자.
$$
\begin{aligned}
\text{(나)에서 }\lim_{x \to 0} \frac{f(x+2)}{f(x-2)} = \lim_{x \to 0} \frac{a x (x+4)(x+2-k) + b}{a (x-4) x (x-2-k) + b} \\
= 3\text{에서 } b \ne 0\text{이면 극한값이 } 1\text{로 수렴하므로 조건에 모순이다. 따라서 } b = 0
\end{aligned}
$$
또한 $f(2) = f(-2) \ne 0$이면 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x+2)}{f(x-2)} = \lim_{x \to 0} \frac{f(2)}{f(-2)} = 1$이 되므로 모순이다.
따라서 $f(2) = f(-2) = 0$이다.
$$f(x) = a(x-2)(x+2)(x-k) \quad (a\text{는 } 0\text{이 아닌 실수}, k\text{는 실수})$$
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to 0} \frac{f(x+2)}{f(x-2)} = \lim_{x \to 0} \frac{a x (x+4)(x+2-k)}{a(x-4)x(x-2-k)} \\
= \lim_{x \to 0} \frac{(x+4)(x+2-k)}{(x-4)(x-2-k)} = \frac{4(2-k)}{-4(-2-k)} = 3\text{에서 } k = -1
\end{aligned}
$$
따라서 $f(x) = a(x-2)(x+2)(x+1)$
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(-2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{a(x+2)(x-2)(x+1)}{x-2} \\
= 12a = 1 \implies a = \frac{1}{12}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
f(x) = \frac{1}{12}(x-2)(x+2)(x+1), \quad \int_{0}^{3} f(x) dx \\
= -\frac{1}{16}
\end{aligned}
$$
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = 1$로부터 $a = \frac{1}{12}$을 구하여 $f(x)$를 완성함
3점
$\int_{0}^{3} f(x) dx = -\frac{1}{16}$을 정확히 구함
3점
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수학 I
삼각함수의 활용
$$\frac{30}{n}\text{이 } 2\text{의 배수가 되어야 하므로 가능한 } n\text{은 } 1, 3, 5, 15\text{이고 } m = 24\text{이다.}$$
$$
\begin{aligned}
\overline{OD} : \overline{OE} : \overline{OF} = 12 : 24 : 6(3\sqrt{5}-1) \\
= 2 : 4 : 3\sqrt{5}-1\text{이므로 양수 } h\text{에 대하여}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\overline{OD} = 2h, \quad \overline{OE} \\
= 4h, \quad \overline{OF} = (3\sqrt{5}-1)h\text{라 하자.}
\end{aligned}
$$
반지름의 길이가 $4$이므로 사인법칙에 의해
$$
\begin{aligned}
\frac{\overline{BC}}{\sin A} = 2 \times 4 \implies \sin A \\
= \frac{\overline{BC}}{8}, \quad \sin B = \frac{\overline{AC}}{8}, \quad \sin C = \frac{\overline{AB}}{8}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\sin^2 A = \frac{\overline{BC}^2}{64} \\
= \frac{4\overline{BE}^2}{64} = \frac{16 - \overline{OE}^2}{16} = 1 - h^2
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\sin^2 B = \frac{16 - (3\sqrt{5}-1)^2 h^2}{16}, \quad \sin^2 C \\
= \frac{4 - h^2}{4}\text{이다.}
\end{aligned}
$$
$$5 - 5h^2 = 4 - h^2\text{이므로 }, h = \frac{1}{2}\text{이고}$$
$$
\begin{aligned}
\text{따라서 }\overline{OE} = 2, \quad \sin^2 B \\
= \frac{9 + 3\sqrt{5}}{32}\text{이다.}
\end{aligned}
$$
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
사인법칙을 이용하여 $\sin^2 A, \sin^2 B, \sin^2 C$를 $h$로 나타냄
4점
$h=\frac{1}{2}$ 및 $\overline{OE}=2, \sin^2 B = \frac{9+3\sqrt{5}}{32}$를 정확히 구함
3점
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수학Ⅰ
삼각함수
$\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}$ 의 양변을 제곱하면
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$2\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{4}$ 또는 $|\sin\theta - \cos\theta|^2 = \dfrac{7}{4}$
2점
$|\sin\theta - \cos\theta| = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$
8점
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수학Ⅱ
함수의 극한과 연속
$x eq -1, x eq 2$일 때, $f(x) = \frac{x^3 + ax + b}{x + 1}$이다. 함수 $f(x)$는 $x = 2$에서 연속이므로 $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$이다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
[①] $2a+b+5$ 구하기 (또는 $2a+b=-5$ 도출)
3점
[②] $a-b+1$ 구하기 (또는 $a-b=-1$ 도출)
3점
[③] $a = -2, b = -1$ 구하기
1점
[④] $1$ 구하기
3점
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수학Ⅱ
다항함수의 적분법
$2(x+1)f(x)$의 한 부정적분이 $G(x)$이므로, $G'(x) = 2(x+1)f(x)$이다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$G'(x) = 2(x+1)f(x)$ 임을 알고 식을 미분하기
3점
$f'(x) = 4(x+1)$ 도출하기
4점
$f(x) = 2x^2 + 4x - 2$ 구하기
2점
$f(1) = 4$ 구하기
1점
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수학Ⅱ
다항함수의 미분법
$f(x) = x^4 + \frac{8}{3}kx^3 - 6k^2x^2 + 3$ 에서 $f'(x) = 4x^3 + 8kx^2 - 12k^2x = 4x(x+3k)(x-k)$ 이다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
도함수 $f'(x) = 4x^3 + 8kx^2 - 12k^2x = 4x(x+3k)(x-k)$ 구하기
2점
함수 $f(x)$가 $x = -3k$와 $x = k$에서 극소이고 $x = 0$에서 극대임을 제시하기
2점
[가 조건] $a > 3$ 또는 $-45k^4 + 3 < a < -\frac{7}{3}k^4 + 3$ 도출하기
3점
[나 조건] $b = 3$ 또는 $b = -\frac{7}{3}k^4 + 3$ 도출하기
3점
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수학Ⅱ
다항함수의 적분법
모범 답안을 작성 중입니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$[①]$
1점
$[②]$
8점
$[③] \frac{62}{3}$
3점
$[④] \frac{98}{3}$
3점
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수학Ⅰ
수열
$
f(0)>f(\frac{3\pi)\text{$ 은 $}|-q|>|-p-q|\text{$ 이고 $}p>0\text{$ 이므로 $}q<0\text{$ 이다 $}. }{2} g(x)=p\sin x-q$ 라 할 때, $g(x)$ 의 최솟값은 $-p-q$ 이다.
$
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$q<0 2 -p-q<0 3 p=6 ($ 또는 $q=-3) 4 15$
1점
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수학Ⅱ
함수의 극한과 연속
$
\frac{9}{2x} -\frac{2\le f(x)\le (3- / x}{x^2} 2) 2$ 으로부터 $\frac{9x-2\le x^2f(x)\le (3x-2)^2.\text{$ 따라서 $}}{2} \lim x \to \frac{4}{3}\frac{9x-2=\lim }{2} x \to \frac{4}{3} (3x-2)^2=4$ 이므로 $\lim x \to \frac{4}{3} x^2f(x)=4$ . 따라서 $a=\frac{4}{3}$ . 또한, $
$
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$\lim x \to \frac{4}{3}\frac{9x-2=\lim }{2} x \to \frac{4}{3} (3x-2)^2=4 2 a=\frac{4}{3} 3 \lim x \to ∞\frac{f(x)=0}{x} 2 \lim x \to ∞\frac{ax-f(x)}{2f(x)+3x} =\frac{4}{9}$
3점
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수학Ⅰ
지수함수와 로그함수
$
512x=144y=k(k>0)$ 이라 하자. $512x=k$ 에서 $29x=k, 2=k\frac{1}{9x} . 144y=k$ 에서 $122y=k, 12=k\frac{1}{2y} . \frac{1+ / }{9x} 2y 1=\frac{1}{2}$ 이고 $k\frac{1+ / }{9x} 2y 1 =k\frac{1}{9x} ×k\frac{1}{2y} =2×12=24, k \frac{1}{2} =24$ 이므로 $k=2$42=576. 512x=576$ 에서 $x=\log512576=\frac{2}{9}\frac{\log24= / 9}{\log2} 2\log224,∴p=\frac{2}{9} , 144y=576$ 에서 $y=\log144576=\frac{2}{2}\frac{\log24= / }{\log12} \log12 \log24=\log1224,∴q=1.
$
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$p=\frac{2 }{9} 4 q=1 4 9x\log 242+y\log 2412=3$
2점
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수학Ⅰ
삼각함수
$
$ 선분 AP 를 포함하는 부채꼴 AOP 에서 ∠ $AOP =\alpha$ 라 하자. 조건 (가)에서 부채꼴 AOP 의 넓이가 $\frac{3}{2}\pi$ 이므로,
$
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$\theta=\frac{5}{4}\pi 5 \sin 2\theta=1 2 \tan3\theta=-1$
3점
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수학Ⅱ
다항함수의 적분법
$F'(x) = f(x)$ 이고, $F(x) = f(x) + 2x^3 - 5x^2 - 5x$ 의 양변을 미분하면 $f(x) = f'(x) + 6x^2 - 10x - 5$ (이하 (1)식)이다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
피적분함수 설정 및 정적분 식 세우기
3점
치환/부분적분 또는 기본 정적분 계산 과정
3점
최종 넓이 또는 적분값 도출
4점
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수학Ⅱ
다항함수의 미분법
$f(x) = -x^3+3x^2+9x+k$ 에서 $f'(x) = -3x^2+6x+9 = -3(x+1)(x-3)$
$f'(x)=0$ 에서 $x=-1$ 또는 $x=3$ 에서 극값을 갖는다.
함수 $f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
$x$
$\cdots$
$-1$
$\cdots$
$3$
$\cdots$
$f'(x)$
$+$
$0$
$-$
$0$
$+$
$f(x)$
$\nearrow$
극대
$\searrow$
극소
$\nearrow$
그러므로 $a=3$, $b=-1$ 이며 $x=-1$ 일 때 $x$축과 접하려면 극솟값이 $0$이어야 하므로
$f(-1) = 1+3-9+k=0$ 에서 $k=5$ 이다.
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수학Ⅰ
지수함수와 로그함수
함수 $y = \frac{3^x \times a^{\frac{1}{2}x}}{10^x}$ 의 그래프와 원 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ 이 만나기 위해서는 $y = \left(\frac{3 a^{\frac{1}{2}}}{10}\right)^x$ 에서 밑이 1 이하여야 한다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
지수/로그의 밑 조건 및 방정식/부등식 조건 분석
3점
밑 변환 및 로그 성질을 이용한 식 전개
3점
연립 방정식 해 구하기 및 최종 결론
4점
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수학Ⅱ
함수의 극한과 연속
$$\lim_{x \to 1} \frac{g(x)+1}{f(x)} = 1$$ 이므로 $g(1) + 1 = 0$. 즉, $g(1) = -1$ 이고, $g(1) = 1 + p$ 이므로 $p = -2$ 이다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
제시문의 조건에 맞는 식 세우기 및 상황 분석
3점
조건을 만족하는 미지수 구하기 및 유도 과정
3점
정답 계산 및 최종 답안 서술
4점
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수학Ⅰ
지수함수와 로그함수
곡선 $y = 4 + \log_a(x+2)$ 와 $y = a^{x+2} + 4$ 는 곡선 $y = \log_a x$ 와 $y = a^x$ 을 $x$축으로 $-2$만큼, $y$축으로 $4$만큼 평행 이동한 곡선으로, 직선 $y = x+6$ 에 대하여 대칭이다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
지수/로그의 밑 조건 및 방정식/부등식 조건 분석
3점
밑 변환 및 로그 성질을 이용한 식 전개
3점
연립 방정식 해 구하기 및 최종 결론
4점
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수학Ⅰ
삼각함수
$\cos^2 x + 4\sin x + k \le 0$ 에 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ 를 대입하여 사인의 식으로 바꾸면,
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
삼각함수의 성질 및 항등식 적용하기
3점
삼각방정식 풀이 및 미지수 조건 분석
3점
최종 각도 또는 삼각비의 값 도출
4점
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수학Ⅱ
함수의 극한과 연속
$\lim_{x \to 2} (x-2)f(x) = 0$ 이므로, 우변의 극한값도 0이어야 한다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
제시문의 조건에 맞는 식 세우기 및 상황 분석
3점
조건을 만족하는 미지수 구하기 및 유도 과정
3점
정답 계산 및 최종 답안 서술
4점
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수학Ⅱ
다항함수의 적분법
$g(x) = x \int_0^x (tf(t)-11)dt - \int_0^x t^2 f(t) dt$ 에서 양변을 미분하면
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
피적분함수 설정 및 정적분 식 세우기
3점
치환/부분적분 또는 기본 정적분 계산 과정
3점
최종 넓이 또는 적분값 도출
4점
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수학Ⅰ
수열
직선 $l_n$의 방정식은 $y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3^n}\sqrt{1+\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2}$ 이다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
수열의 일반항 식 세우기 및 초기 조건 도출
3점
수열의 합 또는 점화식의 규칙성 추론
3점
최종 항 또는 합의 값 도출
4점
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수학Ⅱ
극한
$x < 1$일 때 $f(x) = x - \frac{x}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}$, $x > 1$일 때 $f(x) = 1 - \frac{x}{1+x} = \frac{1}{1+x}$. $f(1) = \frac{1}{2}$이므로
\end{aligned}
$$\lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = $$\lim_{x \to 1-} \frac{\frac{x^2}{1+x} - \frac{1}{2}}{x-1} = $$\lim_{x \to 1-} \frac{(2x+1)(x-1)}{2(1+x)(x-1)} = $\frac{3}{4}$, $$\lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = $$\lim_{x \to 1+} \frac{\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2}}{x-1} = $$
\begin{aligned}
\lim_{x \to 1+} \frac{1-x}{2(1+x)(x-1)} = -$\frac{1}{4}$
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$f(x) = \frac{x^2}{1+x}$ 또는 $f(x) = x - \frac{x}{1+x}$
2점
$f(x) = \frac{1}{1+x}$ 또는 $f(x) = 1 - \frac{x}{1+x}$
2점
\end{aligned}
$$\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = $\frac{3}{4}$
3점
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = -$\frac{1}{4}$
3점
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수학Ⅱ
미분
접선의 기울기를 $m$이라 하면 점 $\left(\frac{1}{2a}, 0\right)$을 지나는 접선의 방정식은 $y = m\left(x - \frac{1}{2a}\right)$이다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
접선의 방정식은 $y - ak^2 = 2ak(x - k)$ 또는 $y = 2akx - ak^2$
4점
$ak = 1$ 또는 $k = \frac{1}{a}$
4점
접선의 기울기는 $2$
2점
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수학Ⅱ
지수와 지수방정식
$f(x) = 3^{|x|} + a$의 그래프는 $x=0$에서 최솟값 $1+a$를 갖는다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$2^{f(x)} = t$, $t^2 - 10t + 24 = 0$, $t = 4, 6$
3점
$f(x) = 3^{|x|} + a$ 는 $x = 0$에서 최솟값 $1 + a$를 갖는다.
2점
오직 하나의 실근을 갖기 위해서는 $2^{f(x)}$의 최솟값이 $6$만 가능하다.
3점
$2^{1+a} = 6$ 즉, $a$의 값은 $\log_2 6 - 1$ 또는 $\log_2 3$
2점
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수학Ⅱ
삼각함수의 정의
$3\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \times \frac{b}{a} = 3$, $\frac{3a+b}{\sqrt{a^2+b^2}} = 3$, $(3a+b)^2 = 9(a^2+b^2)$ $9a^2+6ab+b^2 = 9a^2+9b^2$, $6ab = 8b^2$, $\therefore \frac{a}{b} = \frac{4}{3}$
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$3\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \times \frac{b}{a} = 3$ 또는 $3\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} = 3$
3점
$(3a+b)^2 = 9(a^2+b^2)$ 또는 $9a^2+6ab+b^2 = 9a^2+9b^2$
2점
$\therefore \frac{a}{b} = \frac{4}{3}$
5점
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수학Ⅱ
수열의 합과 일반항과의 관계
$a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{1}{9} \left\{ n^2(n+2)^2 - (n-1)^2(n+1)^2 \right\}$ $= \frac{1}{9} ( n^4 + 4n^3 + 4n^2 - n^4 + 2n^2 - 1 ) = \frac{1}{9} ( 4n^3 + 6n^2 - 1 )$ $\therefore a_1 = S_1 = 1$ $\therefore a_{100} = \frac{1}{9} ( 4000000 + 60000 - 1 ) = 451111$ $\therefore a_1 + a_{100} = 451112$
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$a_1 = S_1 = 1$
3점
$a_{100} = 451111$
6점
$a_1 + a_{100} = 451112$
1점
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수학Ⅱ
극한
\end{aligned}
$$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{x^2} = -9$$이므로 $f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + b$이다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + b$
3점
$b = 0$, 또는 상수항은 $0$
2점
$a = 14$, 또는 일차항의 계수는 $14$
3점
$$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = -10$$.
2점
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수학Ⅱ
지수와 로그
$0 < |a+1| < 1$일 때, 함수 $f(x) = \log_{|a+1|} x$는 감소 함수 따라서, $f(x) = \log_{|a+1|} x$는 $x = \frac{1}{9}$에서 최댓값 2를 갖는다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$0 < |a+1| < 1$일 때, $f(x) = \log_{|a+1|} x$는 $x = \frac{1}{9}$에서 최댓값 $2$를 갖는다.
2점
$\therefore |a+1| = \frac{1}{3}, \Rightarrow a = -\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}$
3점
$1 < |a+1|$일 때, $f(x) = \log_{|a+1|} x$는 $x = 16$에서 최댓값 $2$를 갖는다.
2점
$\therefore |a+1| = 4, \Rightarrow a = 3, -5$
3점
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수학Ⅱ
적분
시각 $t(t \ge 0)$에서의 두 점 A, B의 위치는 각각 $s_1(t) = \int_0^t v_1(\tau) d\tau = \int_0^t (2\tau^3 - 12\tau^2 + 24\tau) d\tau = \frac{1}{2}t^4 - 4t^3 + 12t^2$, $s_2(t) = \int_0^t v_2(\tau) d\tau = \int_0^t \left(\frac{3}{2}\tau^2 + 9a\right) d\tau = \frac{1}{2}t^3 + 9at$이다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
두 점 $A, B$의 위치는 각각
3점
출발 후 두 점이 만나는 횟수는 $\frac{1}{18}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{4}{3}t = a$ 의 실근의 개수와 같
2점
$t=2, 4$에서 직선 $y=a$와의 교점이 2개이다.
3점
$f(2) = \frac{10}{9}$, $f(4) = \frac{8}{9}$
2점
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수학Ⅱ
적분
곡선 $y = -x^2+6x-9 = -(x-3)^2$ 위의 점 $(a, f(a))$ ($0 < a < 3$)에서의 접선의 방정식은 $f'(x) = -2x+6$ 이므로 $y = -2(a-3)(x-a) - (a-3)^2$ 이다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
접선의 방정식은 $y = -2(a-3)(x-a)-(a-3)^2$ 또는 $y = (-2a+6)x+a^2-9$
2
부분의 넓이 $S = \frac{1}{4}a^3+\frac{3}{4}a^2-\frac{9}{4}a+\frac{9}{4}$이다.
6
넓이 $S$의 ($0 < a < 3$)에서의 최솟값: $a=1$에서 $S=1$
2
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