1) 실수 $a$와 자연수 $n$을 다음과 같이 경우를 나누어 계산한다.
(1) $a > 0$이고 $n$이 홀수일 때, $(-a)^n < 0$, $(-a)^{n+1} > 0$, $a^n > 0$이므로 $f_n((-a)^n) = 1$, $f_{n+1}((-a)^{n+1}) = 2$, $f_{n+2}(a^n) = 1$이다. 따라서
$f_n((-a)^n) + (-1)^n \times f_{n+1}((-a)^{n+1}) + f_{n+1}(f_{n+2}(a^n)) = 1$이다.
(2) $a > 0$이고 $n$이 짝수일 때, $(-a)^n > 0$, $(-a)^{n+1} < 0$, $a^n > 0$이므로 $f_n((-a)^n) = 2$, $f_{n+1}((-a)^{n+1}) = 1$, $f_{n+2}(a^n) = 2$이다. 따라서
$f_n((-a)^n) + (-1)^n \times f_{n+1}((-a)^{n+1}) + f_{n+1}(f_{n+2}(a^n)) = 4$이다.
(3) $a = 0$이고 $n$이 홀수일 때, $f_n(0) = f_{n+1}(0) = f_{n+2}(0) = 1$이므로
$f_n((-a)^n) + (-1)^n \times f_{n+1}((-a)^{n+1}) + f_{n+1}(f_{n+2}(a^n)) = 2$이다.
(4) $a = 0$이고 $n$이 짝수일 때, $f_n(0) = f_{n+1}(0) = f_{n+2}(0) = 1$이므로
$f_n((-a)^n) + (-1)^n \times f_{n+1}((-a)^{n+1}) + f_{n+1}(f_{n+2}(a^n)) = 2$이다.
(5) $a < 0$이고 $n$이 홀수일 때, $(-a)^n > 0$, $(-a)^{n+1} > 0$, $a^n < 0$이므로 $f_n((-a)^n) = 1$, $f_{n+1}((-a)^{n+1}) = 2$, $f_{n+2}(a^n) = 1$이다. 따라서
$f_n((-a)^n) + (-1)^n \times f_{n+1}((-a)^{n+1}) + f_{n+1}(f_{n+2}(a^n)) = 1$이다.
(6) $a < 0$이고 $n$이 짝수일 때, $(-a)^n > 0$, $(-a)^{n+1} < 0$, $a^n > 0$이므로 $f_n((-a)^n) = 2$, $f_{n+1}((-a)^{n+1}) = 1$, $f_{n+2}(a^n) = 2$이다. 따라서
$f_n((-a)^n) + (-1)^n \times f_{n+1}((-a)^{n+1}) + f_{n+1}(f_{n+2}(a^n)) = 4$이다.
따라서 가능한 최댓값 $M = 4$, 최솟값 $m = 1$이다. 2) 정삼각형의 기하적 성질을 활용합니다.
두 함수 $y = \log_4(x+k)+1$, $y = \log_4(-x+k)+1$ 의 그래프의 교점 $A$는 두 식을 연립하여 $x=0$ 일 때이므로
$A(0, 1+\log_4 k)$ 입니다.
삼각형 $ABC$가 정삼각형이고 두 점 $B, C$가 $x$축 위에 있으므로, 점 $A$에서 $x$축에 이르는 거리가 정삼각형의 높이 $h$가 됩니다.
$h = 1 + \log_4 k$ 이고 한 변의 길이는 $\overline{BC} = \frac{2}{\sqrt{3}}h = \frac{2(1+\log_4 k)}{\sqrt{3}}$ 입니다.
주어진 조건인 $\sqrt{3} < \overline{BC} < 2\sqrt{3}$ 에 적용하면: $\sqrt{3} < \frac{2(1+\log_4 k)}{\sqrt{3}} < 2\sqrt{3}$ 에서 양변에 $\sqrt{3}$ 을 곱하면
$3 < 2(1+\log_4 k) < 6$ 입니다.
$\frac{3}{2} < 1+\log_4 k < 3 \implies \frac{1}{2} < \log_4 k < 2$ 입니다.
이를 풀면 $4^{1/2} < k < 4^2 \implies 2 < k < 16$ 입니다.
따라서 이를 만족하는 $2$ 이상의 자연수 $k$는 $3, 4, \dots, 15$ 로 총 $13$개 입니다.

1) 수열 $\{a_n\}$의 일반항을 도출합니다.
삼각함수의 덧셈정리에 의하여: $\tan(a_1 - a_2) = \frac{\tan a_1 - \tan a_2}{1 + \tan a_1 \tan a_2} = \frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{3}}{1 + \frac{3}{4} \times \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{12}}{\frac{5}{4}} = \frac{1}{3} = \tan a_2$ 입니다.
$-\frac{\pi}{2} < a_1 - a_2 < \frac{\pi}{2}$ 이고 $0 < a_2 < \frac{\pi}{2}$ 이므로, 탄젠트 함수의 성질에 의해 $a_1 - a_2 = a_2 \implies a_1 = 2a_2$ 입니다.
수열 $\{a_n\}$이 등비수열이므로
공비는 $r = \frac{1}{2}$ 이며, 일반항은 $a_n = a_1 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ 입니다.
2) 수열 $\{b_n\}$의 점화관계를 유도합니다.
조건 (다)에 의해 $\tan b_{n+1} = \frac{\tan a_n + \tan b_n}{1 - \tan a_n \tan b_n} = \tan(a_n + b_n)$ 입니다.
$-\frac{\pi}{2} < b_{n+1} - b_n < \frac{\pi}{2}$ 이므로
$b_{n+1} - b_n = a_n$ 이 성립합니다.
따라서 $b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} a_k$ 입니다.
3) 극한을 취해 $b$와 $b_1, a_1$의 관계를 유도합니다.
$b = \lim_{n \to \infty} b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k = b_1 + \frac{a_1}{1 - 1/2} = b_1 + 2a_1$ 입니다.
4) 삼각함수 덧셈정리를 적용하여 $\tan b$의 값을 구합니다.
배각공식에 의해 $\tan 2a_1 = \frac{2 \tan a_1}{1 - \tan^2 a_1} = \frac{2 \times 3/4}{1 - 9/16} = \frac{24}{7}$ 입니다.
$\tan b = \tan(b_1 + 2a_1) = \frac{\tan b_1 + \tan 2a_1}{1 - \tan b_1 \tan 2a_1} = \frac{1/4 + 24/7}{1 - 1/4 \times 24/7} = \frac{103/28}{1/7} = \frac{103}{4}$ 입니다.

1) 대칭성을 파악해 삼차함수 식을 설정합니다.
조건 (가) $f(x) + f(2a-x) = 2a^2$ 에 의해 곡선 $y=f(x)$는 점 $(a, a^2)$에 대하여 점대칭입니다.
이 곡선을 $x$축으로 $-a$만큼, $y$축으로 $-a^2$만큼 평행이동한 $g(x) = f(x+a) - a^2$ 는 원점 대칭인 기함수가 됩니다.
$f(x)$의 최고차항 계수가 $1$이므로
$g(x) = x^3 + bx$ 이며, $f(x) = (x-a)^3 + b(x-a) + a^2$ 입니다.
2) 조건 (나)에 치환적분을 대입하여 $a$의 값을 구합니다.
$\int_{0}^{2a} f(x) dx$ 에서 $t = x-a$ 로 치환하면: $\int_{0}^{2a} f(x) dx = \int_{-a}^{a} (t^3 + bt + a^2) dt = \int_{-a}^{a} a^2 dt = 2a^3$ 입니다.
(기함수 항은 대칭 구간에서 소거됨) 조건 (나)에 의해: $\int_{0}^{2a} \{f(x) - x\} dx = 2a^3 - \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{2a} = 2a^3 - 2a^2 = 36 \implies a^3 - a^2 - 18 = 0$ 입니다.
$(a-3)(a^2+2a+6) = 0$ 이므로
$a > 1$ 인 실근은 $a = 3$ 입니다.
따라서 $\int_{0}^{2a} f(x) dx = 2(3)^3 = 54$ 입니다.
3) 조건 (다)를 이용해 미지수 $b$를 구합니다.
$a=3$ 이므로
$f(x+3) = x^3 + bx + 9$ 입니다.
이를 조건 (다)에 대입하면: $\int_{-1}^{1} (x+5)^2 f(x+3) dx = \int_{-1}^{1} (x^2 + 10x + 25)(x^3 + bx + 9) dx = 440$ 입니다.
구간 $[-1, 1]$의 대칭성을 이용해 기함수 곱 항들을 지우고 정리하면: $\int_{-1}^{1} 10x(x^3+bx) dx + 9 \int_{-1}^{1} (x^2+25) dx = 440$ $20 \int_{0}^{1} (x^4 + bx^2) dx + 18 \int_{0}^{1} (x^2+25) dx = 440$ 이 됩니다.
$20 \left( \frac{1}{5} + \frac{b}{3} \right) + 18 \left( \frac{1}{3} + 25 \right) = 4 + \frac{20}{3}b + 6 + 450 = 460 + \frac{20}{3}b = 440$ $\frac{20}{3}b = -20 \implies b = -3$ 입니다.
따라서 $f'(x) = 3(x-3)^2 + b$ 이므로
$f'(a) = f'(3) = b = -3$ 입니다.

1) 실수 $a, b$의 범위를 구합니다.
$g(x) = x + \frac{2}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)$ 라 하면 $g'(x) = 1 + \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) \ge 0$ 입니다.
$g'(x) = 0$ 이 되는 점은 실수 전체 중 $x = 4k+2$ (단, $k$는 정수) 뿐이므로
$g(x)$는 실수 전체에서 증가하고 역함수가 존재합니다.
$h(x) = \frac{a e^x - b}{e^x + 1}$ 라 정의하면 주어진 조건은 $g(f(x)) = h(x)$ 이며, 양변을 미분하면 $g'(f(x)) f'(x) = h'(x)$ 입니다.
- $a+b \neq 0$ 일 때 $h'(x) = \frac{(a+b)e^x}{(e^x+1)^2} > 0$ 이므로
모든 실수 $x$에 대해 $g'(f(x)) \neq 0$ 이어야 합니다.
따라서 모든 실수 $x$와 정수 $k$에 대하여 $f(x) \neq 4k+2$ 입니다.
$f(x) = g^{-1}(h(x))$ 이므로
모든 실수 $x$와 정수 $k$에 대하여 $h(x) \neq g(4k+2) = 4k+2$ 입니다.
$\lim_{x \to -\infty} h(x) = -b$, $\lim_{x \to \infty} h(x) = a$ 이므로
$h(x)$의 치역은 $(-b, a)$ 이며, 연속성에 따라 이 구간 내에 $4k+2$ 가 포함되지 않아야 합니다.
따라서 $-2 < h(x) < 2$ 이어야 하므로
$a \le 2$, $b \le 2$ 가 성립합니다.
- $a=0, b=0$ 인 경우에는 $f(x)=0$ 으로 실수 전체에서 미분가능합니다.
따라서 $0 \le a \le 2$ 이고 $0 \le b \le 2$ 입니다.
2) 첫째항과 공비의 최댓값을 구합니다.
- 첫째항 함수 $T(a) = 4a^3 - 13a^2 + 12a - 2$ 은 닫힌구간 $[0, 2]$ 에서 극대, 극소를 비교할 때 $a=2$ 에서 최댓값 $T(2) = 2$ 를 가집니다.
- 공비 함수 $R(b) = \frac{1}{3}b^3 - \frac{3}{2}b^2 + 2b$ 는 닫힌구간 $[0, 2]$ 에서 $b=1$ 에서 극댓값 $\frac{5}{6}$, $b=2$ 에서 극솟값 $\frac{2}{3}$를 가지므로 최댓값은 $\frac{5}{6}$ 입니다.
3) 급수의 최댓값을 도출합니다.
등비급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{T}{1-R}$ 은 첫째항이 최대이고 공비가 최대일 때 최대가 되므로: 최댓값은 $\frac{2}{1 - 5/6} = 12$ 입니다.

1) 수열 $\{a_n\}$의 각 항의 변화 규칙을 탐색합니다.
주어진 점화식에 $n=1, 2, 3, 4, \dots$ 를 대입하여 대수적으로 나열하면, - 임의의 자연수 $n$에 대하여 홀수 항과 짝수 항의 일반식은 다음 과 같습니다.
$a_{2n} = n^2$ $a_{2n+1} = -n(n+1)
2) 연속하는 두 항의 관계와 부분합 식을 수립합니다.
$a_{2n} + a_{2n+1} = n^2 - n(n+1) = -n$ 입니다.
$a_1 = 0$ 이므로
홀수 번째 부분합 $S_{2n-1}$ 과 짝수 번째 부분합 $S_{2n}$ 을 구합니다.
$S_{2n} = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{2k} + a_{2k+1}) + a_{2n} = \sum_{k=1}^{n-1} (-k) + n^2 = -\frac{(n-1)n}{2} + n^2 = \frac{n(n+1)}{2} > 0$ $S_{2n-1} = S_{2n} - a_{2n} = \frac{n(n+1)}{2} - n^2 = \frac{n(1-n)}{2} \le 0$ 입니다.
3) 음 수 합 조건을 만족시키는 자연수 $m$을 구합니다.
합이 $-78 < 0$ 이므로
$m$은 홀수입니다.
$m = 2n-1$ 이라 할 때, $S_{2n-1} = \frac{n(1-n)}{2} = -78$ 이고 이를 정리하면
$n(n-1) = 156 = 13 \times 12$ 입니다.
따라서 자연수 $n = 13$ 입니다.
구하고자 하는 자연수 $m = 2(13) - 1 = 25$ 입니다.

1) 조건 (가)와 (나)에 부합하는 상수 $a, b$를 결정합니다.
함수 $g(x) = |t - f(x)|$가 미분가능하지 않은 개수 $h(t)$는 함수 $y=f(x)$와 $y=t$가 만나는 지점 중 극대, 극소 및 점근선을 통과할 때 불연속이 될 수 있습니다.
$f'(x) = \frac{-x^3 + (3-a)x^2 + (2a-b)x + b}{e^x}$ 입니다.
- $f'(x) = 0$의 서로 다른 실근이 3개인 경우, 불연속점이 2개이려면 극댓값이 같고 극솟값이 0이어야 하는데, 이 경우 $t \to 0$ 의 극한 식의 합은 $6$이 되어 조건 (나)에 어긋납니다.
- $f'(x) = 0$의 서로 다른 실근이 2개(하나는 중근)인 경우, $x=0$에서 극대 혹은 극소를 가질 때 조건 (가)와 (나)를 모두 충족하게 됩니다.
따라서 $f'(x) = 0$의 중근이 $x=0$ 이므로
$a = b = 0$ 이 도출되며 $f(x) = \frac{x^3}{e^x}$ 입니다.
2) 이계도함수를 구해 변곡점의 $x$좌표를 구합니다.
$f'(x) = \frac{3x^2 - x^3}{e^x}$ 이고, 한번 더 미분하면: $f''(x) = \frac{x(x^2 - 6x + 6)}{e^x}$ 입니다.
따라서 변곡점의 $x$좌표 집합 $A$의 원소는 $x=0$ 또는 $x^2-6x+6=0$의 두 실근 $\alpha, \beta$ 입니다.
3) $f'(\alpha) f'(\beta)$의 최솟값을 도출합니다.
서로 다른 두 변곡점의 좌표 $\alpha, \beta$는 이차방정식 $x^2-6x+6=0$의 두 근이므로
$\alpha+\beta=6$, $\alpha\beta=6$ 이 성립합니다.
$f'(\alpha) f'(\beta) = \frac{\alpha^2(3-\alpha)}{e^\alpha} \cdot \frac{\beta^2(3-\beta)}{e^\beta} = \frac{\alpha^2\beta^2 (9 - 3(\alpha+\beta) + \alpha\beta)}{e^{\alpha+\beta}}$ $= \frac{6^2 (9 - 3(6) + 6)}{e^6} = \frac{36 \times (-3)}{e^6} = -\frac{108}{e^6}$ 입니다.
(원소 중 하나가 $0$인 경우 곱은 $0$ 이 되므로 최솟값은 $-\frac{108}{e^6}$ 입니다.
)

1) 수열 $\{b_n\}$의 거듭제곱 점화관계를 수립합니다.
$b_{n+1} = \frac{a_{n+1}-\sqrt{2}}{a_{n+1}+\sqrt{2}}$ 에 $a_{n+1} = \frac{a_n^2+2}{2a_n}$ 를 대입하면: $b_{n+1} = \frac{\frac{a_n^2+2}{2a_n}-\sqrt{2}}{\frac{a_n^2+2}{2a_n}+\sqrt{2}} = \frac{a_n^2 - 2\sqrt{2}a_n + 2}{a_n^2 + 2\sqrt{2}a_n + 2} = \left( \frac{a_n-\sqrt{2}}{a_n+\sqrt{2}} \right)^2 = (b_n)^2$ 입니다.
모든 자연수 $n$에 대하여 $b_{n+1} = (b_n)^2$ 이 성립하므로: $b_8 = (b_7)^2 = (b_6)^4 = \dots = (b_1)^{128}$ 입니다.
따라서 $p = 128$ 입니다.
2) 수열 $\{d_n\}$의 등비수열 점화관계를 수립합니다.
$d_{n+1} = \frac{c_{n+1}-\sqrt{2}}{c_{n+1}+\sqrt{2}}$ 에 $c_{n+1} = \frac{c_n+2}{c_n+1}$ 를 대입하면: $d_{n+1} = \frac{\frac{c_n+2}{c_n+1}-\sqrt{2}}{\frac{c_n+2}{c_n+1}+\sqrt{2}} = \frac{(1-\sqrt{2})c_n + (2-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})c_n + (2+\sqrt{2})} = \frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} \left( \frac{c_n-\sqrt{2}}{c_n+\sqrt{2}} \right) = d_1 d_n$ 입니다.
모든 자연수 $n$에 대하여 $d_{n+1} = d_1 d_n$ 이 성립하므로
${d_n}$은 공비가 $d_1$ 인 등비수열입니다.
$d_8 = (d_1)^7 d_1 = (d_1)^8$ 이며, 따라서 $q = 8$ 입니다.
3) $a_8 = c_m$을 만족하는 $m$을 도출합니다.
초기조건 $a_1 = c_1 = 1$ 에 의해 $b_1 = d_1 = \frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$ 입니다.
따라서 $b_8 = (b_1)^{128} = (d_1)^{128} = d_{128}$ 이 성립합니다.
두 수열의 정의를 대입하면: $\frac{a_8-\sqrt{2}}{a_8+\sqrt{2}} = \frac{c_{128}-\sqrt{2}}{c_{128}+\sqrt{2}} \implies a_8 = c_{128}$ 입니다.
따라서 $m = 128$ 입니다.

1) 조건 (가)와 (나)를 이용해 계수 $a$를 구하고 $b$의 범위를 설정합니다.
실수전체에서 $f(x)$가 단조증가하므로
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b = 0$의 판별식 $D/4 = a^2 - 3b \le 0$ 이어야 합니다.
조건 (나)에서 이차함수 $f'(x)$가 $x=-1$ 에서 최솟값을 가지므로 대칭축 $x = -\frac{a}{3} = -1 \implies a = 3$ 입니다.
범위에 대입하면
$9 - 3b \le 0 \implies b \ge 3$ 입니다.
2) 조건 (다)의 접선 공식을 수립하여 $b$의 값을 이끌어냅니다.
곡선 위의 점 $(-2, -3)$에서의 접선의 기울기는 $f'(-2) = 12 - 4a + b = b$ 입니다.
따라서 접선식 $g(x) = f'(-2)(x+2) + f(-2) = b(x+2) - 3 = bx + 2b - 3$ 입니다.
$f'(2) = 12 + 4(3) + b = b + 24$ 이므로
이를 $g(x)$에 대입하면: $g(f'(2)) = b(b+24) + 2b - 3 = 117 \implies b^2 + 26b - 120 = 0$ 입니다.
$(b+30)(b-4) = 0$ 에서 $b \ge 3$ 조건을 만족하는 실수는 $b = 4$ 입니다.
3) 상수 $c$를 구하여 함수를 정한 뒤 함숫값을 계산합니다.
점 $(-2, -3)$ 이 $y=f(x)$ 의 점이므로: $f(-2) = -8 + 4a - 2b + c = -8 + 12 - 8 + c = c - 4 = -3 \implies c = 1$ 입니다.
따라서 함수는 $f(x) = x^3 + 3x^2 + 4x + 1$ 이며, 구하고자 하는 함숫값 $f(3) = 27 + 27 + 12 + 1 = 67$ 입니다.

1) 첫째항 $T_0$의 넓이를 구한다.
규칙 (가)에 의해 직각삼각형 $AB_0C_0$의 세 변의 길이는 다음과 같다.
$BC_0 = 6$, $AB_0 = \frac{6}{\cos\frac{5\pi}{12}}$, $AC_0 = 6\tan\frac{5\pi}{12}
선분 $B_0C_0$를 지름으로 하는 반원 $G_0$의 반지름은 $3$이므로 호 $B_0B_1$에 대응하는 중심각은 $\frac{\pi}{6}$이다.
따라서 첫 번째 넓이 $T_0$는 부채꼴 $OB_0B_1$의 넓이에서 삼각형 $OB_0B_1$의 넓이를 뺀 활꼴의 넓이가 된다.
$T_0 = \frac{1}{2} \times 3^2 \times \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \times 3^2 \times \sin\frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4} - \frac{9}{4} = \frac{9}{4}\left(\frac{\pi}{3} - 1\right)$이다.

2) 닮음비와 공비를 구한다.
선분 $B_0B_1$의 길이는 현의 길이에 의해 $B_0B_1 = 6\cos\frac{5\pi}{12}$이다.
직각삼각형 $AB_1C_1$과 $AB_0C_0$의 닮음비에서:
$AB_1 = AB_0 - B_0B_1 = \frac{6}{\cos\frac{5\pi}{12}} - 6\cos\frac{5\pi}{12}
닮음비 $r_{닮음} = \frac{AB_1}{AB_0} = 1 - \cos^2\frac{5\pi}{12} = \sin^2\frac{5\pi}{12}$이다.
넓이의 공비는 닮음비의 제곱이므로 $R = \left(\sin^2\frac{5\pi}{12}\right)^2 = \sin^4\frac{5\pi}{12}$이다.

3) 급수의 합을 계산한다.
$\sin^2\frac{5\pi}{12} = \frac{1 - \cos\frac{5\pi}{6}}{2} = \frac{2+\sqrt{3}}{4}$이므로,
공비 $R = \left(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{7+4\sqrt{3}}{16}$이다.
따라서 등비급수의 합은 다음과 같다.
$\sum_{n=0}^{\infty} T_n = \frac{T_0}{1-R} = \frac{\frac{9}{4}(\frac{\pi}{3}-1)}{1 - \frac{7+4\sqrt{3}}{16}} = \frac{\frac{9}{4}(\frac{\pi}{3}-1)}{\frac{9-4\sqrt{3}}{16}} = \frac{36}{9-4\sqrt{3}}\left(\frac{\pi}{3}-1\right)
= \frac{36(9+4\sqrt{3})}{81-48}\left(\frac{\pi}{3}-1\right) = \frac{12(9+4\sqrt{3})}{11}\left(\frac{\pi}{3}-1\right) = \left(\frac{108}{11} + \frac{48}{11}\sqrt{3}\right)\left(\frac{\pi}{3}-1\right)
따라서 $p = \frac{108}{11}$, $q = \frac{48}{11}$이다.

1) 주어진 식을 구분구적법 형태로 변형한다.
구하고자 하는 극한값은 다음과 같이 표현할 수 있다.
$L = \lim_{n\to\infty} \left\{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^2 \ln n - \frac{4}{n^4} \sum_{k=1}^n k^3 \ln(k+n) \right\}
이때 $\sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$임을 이용하면,
$\left(1+\frac{1}{n}\right)^2 \ln n = \frac{(n+1)^2}{n^2} \ln n = \frac{4}{n^4} \left( \frac{n^2(n+1)^2}{4} \right) \ln n = \frac{4}{n^4} \left( \sum_{k=1}^n k^3 \right) \ln n$이다.
따라서 식을 합치면 다음과 같이 정리된다.
$L = \lim_{n\to\infty} \frac{4}{n^4} \sum_{k=1}^n k^3 \left\{ \ln n - \ln(k+n) \right\} = \lim_{n\to\infty} \frac{4}{n^4} \sum_{k=1}^n k^3 \ln\left(\frac{n}{k+n}\right)
= -4 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^3 \ln\left(\frac{k+n}{n}\right) \frac{1}{n} = -4 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^3 \ln\left(\frac{k}{n}+1\right) \frac{1}{n}$이다.

2) 정적분으로 변환하여 계산한다.
정적분의 정의에 의해 다음과 같이 적분식으로 바뀐다.
$L = -4 \int_{0}^{1} x^3 \ln(x+1) dx$이다.
부분적분법을 적용하기 위해 $u(x) = \ln(x+1)$, $v'(x) = x^3$으로 설정하면,
$u'(x) = \frac{1}{x+1}$, $v(x) = \frac{1}{4}x^4$이므로
$\int_{0}^{1} x^3 \ln(x+1) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 \ln(x+1) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{4}\frac{x^4}{x+1} dx = \frac{1}{4}\ln 2 - \frac{1}{4} \int_{0}^{1} \left( x^3 - x^2 + x - 1 + \frac{1}{x+1} \right) dx
= \frac{1}{4}\ln 2 - \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x + \ln(x+1) \right]_{0}^{1}
= \frac{1}{4}\ln 2 - \frac{1}{4} \left( -\frac{7}{12} + \ln 2 \right) = \frac{7}{48}$이다.
따라서 최종 극한값은 다음과 같다.
$L = -4 \times \frac{7}{48} = -\frac{7}{12}$이다.

1) 공통접선 조건을 이용해 미지수를 구한다.
두 곡선 $y = \ln(ax)$와 $y = b^2 x^2 - bx + 1$이 한 점 $P(\alpha, \beta)$에서 만나고 접하므로 접선의 기울기가 같다.
$f(x) = \ln(ax) \implies f'(x) = \frac{1}{x}
g(x) = b^2 x^2 - bx + 1 \implies g'(x) = 2b^2 x - b
f'(\alpha) = g'(\alpha)$에서 $\frac{1}{\alpha} = 2b^2 \alpha - b \implies 2b^2 \alpha^2 - b\alpha - 1 = 0 \implies (2b\alpha+1)(b\alpha-1) = 0$이다.
$a, b$가 양수이고 로그의 진수 조건에 의해 $x > 0$이므로 $\alpha > 0$이므로
따라서 $\alpha = \frac{1}{b}$이다.
이때 두 곡선의 $y$좌표가 같으므로 $f(\alpha) = g(\alpha)$에서 $\ln(a\alpha) = \ln\frac{a}{b} = b^2 \left(\frac{1}{b}\right)^2 - b\left(\frac{1}{b}\right) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$이다.
따라서 $\frac{a}{b} = e \implies a = eb$이며, 접점 $P$의 좌표는 $P\left(\frac{1}{b}, 1\right)$이다.

2) 선분 $AB$의 길이 식을 유도하고 최솟값을 찾는다.
점 $P$를 지나는 직선의 기울기를 $-m$ ($m > 0$)이라 하면 접선식은 $y - 1 = -m\left(x - \frac{1}{b}\right)$이다.
이 직선의 축 절편을 구하면 $A\left(\frac{1}{b} + \frac{1}{m}, 0\right)$, $B\left(0, 1 + \frac{m}{b}\right)$이다.
선분 $AB$의 길이의 제곱을 $F(m)$이라 하면:
$F(m) = \left(\frac{1}{b} + \frac{1}{m}\right)^2 + \left(1 + \frac{m}{b}\right)^2$이다.
$F(m)$을 미분하여 임계점을 구하면:
$F'(m) = 2\left(\frac{1}{b} + \frac{1}{m}\right)\left(-\frac{1}{m^2}\right) + 2\left(1 + \frac{m}{b}\right)\left(\frac{1}{b}\right) = \frac{2}{b^2 m^3}(m+b)(m^3-b) = 0$에서
$m > 0$이므로 $m = b^{1/3}$일 때 $F(m)$이 최소가 된다.

3) 최솟값을 이용해 $ab$의 값을 구한다.
최소 거리 $AB = 8$이므로 $F(b^{1/3}) = 64$이다.
$F(b^{1/3}) = \left(\frac{1}{b} + b^{-1/3}\right)^2 + \left(1 + b^{1/3}/b\right)^2 = \left(b^{-1/3}(b^{-2/3}+1)\right)^2 + \left(1+b^{-2/3}\right)^2 = \left(b^{-2/3}+1\right)^3 = 64$이다.
따라서 $b^{-2/3} + 1 = 4 \implies b^{-2/3} = 3 \implies b = 3^{-3/2} = \frac{1}{3\sqrt{3}}$이다.
그에 따라 $a = eb = \frac{e}{3\sqrt{3}}$이 되므로,
$ab = e b^2 = e \times \frac{1}{27} = \frac{e}{27}$이다.

1) 불연속점의 분포와 개수 규칙을 파악한다.
함수 $f(x)$가 닫힌구간 $(0, n]$에서 불연속이 되는 $x$좌표는 로그의 진수 조건 경계에 해당하므로,
$\log_7(3x+1) = k \implies 3x+1 = 7^k \implies x = \frac{7^k-1}{3}$ (단, $k$는 정수)이다.
각 $k$값에 따른 $x$좌표는 다음과 같다.
$x_1 = 2$, $x_2 = 16$, $x_3 = 114$, $x_4 = 800$, $x_5 = 5602$, $\dots
구간 $(0, 2025)$ 내에서 $f(x)$의 불연속인 점의 개수는 주기 $n$의 범위에 따라 다음과 같이 결정된다.
- $n=2$일 때: $0$개
- $2 < n \le 16$일 때: $1$개
- $16 < n \le 114$일 때: $2$개
- $114 < n \le 800$일 때: $3$개
- $800 < n \le 2025$일 때: $4$개

2) 각 불연속 개수에 따른 자연수 $n$의 최댓값을 구한다.
- **불연속 개수 7개 ($a_7$)**: $n$이 최대이려면 $800 < n \le 2025$에 속해야 하며, 구간 $(0, n)$의 불연속점 $4$개가 한 번 반복되고 나머지 구간 $(n, 2025)$에서 불연속점이 2개($x=2010, 2024$) 존재해야 하므로 $2025 - n \ge 16 + 1 \implies n \le 2008$이다. 따라서 $a_7 = 2008$이다.
- **불연속 개수 13개 ($a_{13}$)**: 구간 $(0, n)$의 불연속점 4개가 두 번 반복(8개)되고 나머지 구간 $(2n, 2025)$에서 불연속점이 3개($x=1912, 1926, 2024$) 존재해야 하므로 $2025 - 2n \ge 114 \implies 2n \le 1911 \implies n \le 955.5$이다. 따라서 $a_{13} = 955$이다.
- **불연속 개수 19개 ($a_{19}$)**: $114 < n \le 800$ 범위에서 불연속점 3개가 네 번 반복(12개)되고 나머지 구간 $(4n, 2025)$에서 불연속점이 3개($x=1910, 1924, 2022$) 존재해야 하므로 $2025 - 4n \ge 114 \implies 4n \le 1911 \implies n \le 477.75$이다. 따라서 $a_{19} = 477$이다.
- **불연속 개수 25개 ($a_{25}$)**: $114 < n \le 800$ 범위에서 불연속점 3개가 여섯 번 반복(18개)되고 나머지 구간 $(6n, 2025)$에서 불연속점이 1개($x=2024$) 존재해야 하므로 $2025 - 6n \ge 2 \implies 6n \le 2023 \implies n le 337.16$이다. 따라서 $a_{25} = 337$이다.

1) 사잇값 정리를 이용해 근 $b_n$의 존재를 증명한다.
조건 (가), (나)에 의해 $f(x)$는 연속이고 증가하므로, 사잇값 정리에 의해 자연수 $n$에 대하여 $f(b_n) = 2n\pi - \frac{\pi}{2}$를 만족하는 양수 $b_n$이 유일하게 존재한다.

2) 정적분을 적절히 변형하여 부등식을 도출한다.
주어진 $g(x) = 1 - \int_0^x g(t)\cos f(t) dt$의 양변을 미분하면 $g'(x) = -g(x)\cos f(x) \implies \frac{g'(x)}{g(x)} = -\cos f(x)$이다.
이를 적분하여 정리하면 $$ \begin{aligned} $\ln\frac{g(a_n)}{g(b_n)} = \int_{b_n}^{a_n} \frac{g'(t)}{g(t)} dt \\ $= -\int_{b_n}^{a_n} \cos f(t) dt$\end{aligned} $$이다.
역함수 $y = f^{-1}(x) = h(x)$를 이용하여 $t = h(u)$로 치환적분하면:
$$-\int_{b_n}^{a_n} \cos f(t) dt = -\int_{f(b_n)}^{f(a_n)} h'(u)\cos u du = \int_{2n\pi - \frac{\pi}{2}}^{2n\pi + \frac{\pi}{2}} \frac{-\cos u}{f'(h(u))} du$$이다.

3) $g(a_n)$의 극한값을 계산한다.
조건 (다)에 의해 각 구간에서 피적분함수의 크기를 비교하면 다음과 같은 부등식이 성립한다.
$$\ln\frac{g(a_n)}{g(b_n)} \le -4 - \frac{\pi}{2}$$이므로 $$g(a_n) \le e^{-4 - \pi/2} g(b_n)$$이다.
유사하게 다음 구간에서도 부등식을 도출하면 $$g(b_n) \le e^{4 - \pi/2} g(a_{n-1})$$이 성립한다.
두 식을 연립하면 $$0 < g(a_n) \le e^{-\pi} g(a_{n-1})$$가 되므로,
수열의 극한의 성질에 의하여 $$0 < g(a_n) \le e^{-n\pi} g(a_0)$$이다.
따라서 샌드위치 정리에 의해 $$\lim_{n\to\infty} g(a_n) = 0$$이다.

1) 구간별로 함수 $f(x)$를 정의하고 개형을 파악한다.
- $x \le 0$일 때: $f(x) = x^2+4x+3$ ( vertex $(-2, -1)$, 절편 $x=-3, -1$)
- $x > 0$일 때: $f(x) = -(x+1)^2 e^{-x} + a
x > 0$에서 $f(x)$의 증감을 파악하기 위해 미분하면 $f'(x) = (x^2-1)e^{-x}$이므로,
$x=1$에서 극소이자 최솟값 $f(1) = -4e^{-1} + a$를 갖는다. 또한 $$\lim_{x\to 0+} f(x) = a-1$$이고 $$\lim_{x\to\infty} f(x) = a$$이다.

2) 불연속 조건으로부터 $a$의 값을 구한다.
$g(t)$의 좌우극한 차이가 $2$보다 큰 불연속점이 존재하려면 $|f(x)|$의 극대, 극소 및 경계값이 일치해야 한다.
- **경우 1**: $x > 0$에서 $f(x) > 0$인 경우
$$\lim_{x\to 0+} |f(x)| = |a-1| = 1 \implies a=2$$ (이때 $k=1$에서 불연속 발생)
- **경우 2**: $x > 0$에서 $f(x) \le 0$인 부분이 존재하는 경우
$$ \begin{aligned} $\lim_{x\to 0+} |f(x)| = |f(1)| \implies a-1 \\ $= 4e^{-1}-a \implies a = 2e^{-1} + \frac{1}{2}$\end{aligned}
$\lim_{x\to\infty} |f(x)| = a = 1 \implies a=1$$ (이때 $k=1$에서 불연속 발생)
따라서 양수 $a$의 값은 크기 순으로 $a_1 = 4e^{-1}-1$, $a_2 = 1$, $a_3 = 2$, $$a_4 = 2e^{-1}+\frac{1}{2}$$이며 개수 $n=4$이다.

3) $a = a_1$일 때 최댓값 $M$과 수열의 합을 구한다.
$a = a_1 = 4e^{-1}-1$일 때 $|f(x)|$의 그래프 개형 분석에 의해 $g(t)$의 좌우극한 합의 최댓값 $M = 12$가 된다.
수열의 합은 $$ \begin{aligned} $\sum_{k=1}^4 a_k \\ $= (4e^{-1}-1) + 1 + 2 + (2e^{-1}+0.5) = \frac{5}{2} + 8e^{-1}$\end{aligned} $$이다.

1) 좌표축을 설정하고 점 $P, Q$의 좌표를 구한다.
직각삼각형 $ABC$에 대하여 $B(0,0)$, $C(4,0)$, $A(0,3)$으로 좌표평면을 설정한다.
점 $P$는 선분 $BC$를 $1:a$로 내분하므로 $P\left(\frac{4}{1+a}, 0\right)$이다.
점 $Q$는 선분 $CA$를 $1:a$로 내분하므로 $Q\left(\frac{4a}{1+a}, \frac{3}{1+a}\right)$이다.

2) $AP = PQ$ 조건을 통해 $a$의 값을 도출한다.
$AP^2 = \left(\frac{4}{1+a}\right)^2 + 3^2 = \frac{16 + 9(1+a)^2}{(1+a)^2}
PQ^2 = \left(\frac{4a-4}{1+a}\right)^2 + \left(\frac{3}{1+a}\right)^2 = \frac{16(a-1)^2 + 9}{(1+a)^2}
AP^2 = PQ^2$에서 분모를 소거하고 전개하여 정리하면:
$9(1+a)^2 + 16 = 16(a-1)^2 + 9 \implies 7a^2 - 50a = 0$이 된다.
$a > 0$이므로 $a = \frac{50}{7}$이다.

3) 코사인값과 삼각형의 넓이를 계산한다.
$a = \frac{50}{7}$일 때 $1+a = \frac{57}{7}$이므로 각 좌표를 대입하여 계산하면,
$QA^2 = \frac{25a^2}{(1+a)^2} = \frac{62500}{3249}$ 이고, $AP^2 = PQ^2 = \frac{30025}{3249}$ 이다.
삼각형 $APQ$에서 $\angle APQ = \theta$라 하면 제이코사인법칙에 의해:
$\cos\theta = \frac{AP^2 + PQ^2 - QA^2}{2 \times AP \times PQ} = 1 - \frac{QA^2}{2AP^2} = 1 - \frac{62500}{2 \times 30025} = 1 - \frac{1250}{1201} = -\frac{49}{1201}$이다.
삼각형 $APQ$의 넓이 $S$는 다음과 같다.
$\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \frac{1200}{1201}$이므로,
$S = \frac{1}{2} AP^2 \sin\theta = \frac{1}{2} \times \frac{30025}{3249} \times \frac{1200}{1201} = \frac{15000}{3249} = \frac{5000}{1083}$이다.

1) 두 곡선의 교점 및 함수 $h(x)$를 정의한다.
두 곡선 $y = \sqrt{e^x \cos x}$와 $y = \sqrt{e^x \sin 2x}$의 교점의 $x$좌표는 $$\cos x = \sin 2x = 2\sin x\cos x$$에서
$$\cos x(1-2\sin x) = 0$$이므로 $x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$이다.
$$0 \le x \le \frac{\pi}{6}$$에서 $f(x) \ge g(x)$이고, $\frac{\pi}{6} < x \le \frac{\pi}{2}$에서 $$f(x) < g(x)$$이므로
$h(x) = \begin{cases} \sqrt{e^x\cos x} & (0 \le x \le \frac{\pi}{6}) \\ \sqrt{e^x\sin 2x} & (\frac{\pi}{6} < x \le \frac{\pi}{2}) \end{cases}$ 이다.

2) 입체도형의 부피 적분식을 세운다.
$x=t$일 때 자른 단면이 한 변의 길이가 $h(t)$인 정삼각형이므로 단면의 넓이 $S(t) = \frac{\sqrt{3}}{4} h(t)^2$이다.
따라서 입체도형의 부피 $V$는 다음과 같다.
$V = \int_{0}^{\pi/2} S(t) dt = \int_{0}^{\pi/6} \frac{\sqrt{3}}{4} e^t \cos t dt + \int_{\pi/6}^{\pi/2} \frac{\sqrt{3}}{4} e^t \sin 2t dt
부분적분법을 통해 각 정적분을 계산하면:
$\int_{0}^{\pi/6} e^t \cos t dt = \left[ \frac{e^t(\sin t+\cos t)}{2} \right]_{0}^{\pi/6} = \frac{e^{\pi/6}(1+\sqrt{3})}{4} - \frac{1}{2}
\int_{\pi/6}^{\pi/2} e^t \sin 2t dt = \left[ \frac{e^t(\sin 2t - 2\cos 2t)}{5} \right]_{\pi/6}^{\pi/2} = \frac{2e^{\pi/2}}{5} - \frac{e^{\pi/6}(\sqrt{3}-2)}{10}$이다.

3) 부피 $V$를 구하고 최댓값을 구한다.
두 정적분을 대입하여 부피 $V$를 계산하고 정리하면:
$80V + 10\sqrt{3} = 9(1+\sqrt{3})e^{\pi/6} + 8\sqrt{3}e^{\pi/2}$이다.
따라서 비교하면 $a = 9(1+\sqrt{3})$, $b = \frac{\pi}{6}$, $c = 8\sqrt{3}$이다.