2027학년도 대비 연세대학교(미래) 자연·의예 창의수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 9회 문제집  |  9회 : 지수·로그함수의 역함수 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 정적분으로 정의된 함수 · 수직선 위를 움직이는 · 베이즈 정리 사후확률과
2027학년도 대비 연세대학교(미래) 자연·의예 창의수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (문제집) 120분 / 100점 만점 · 논술100% · 제시문 기반 수리논증

[대문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.9 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 2^{x - 307} + 307\)와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 \(y - x = 0\cdot 618\)에 대하여 서로 대칭이다.
<제시문 (나)> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 618\)은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 618)\)도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.
직선 \(y = -x + 618\)이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 618)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 618\)임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 \(\mathrm{M}(309, 309)\)의 좌표를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 309)\)일 때, \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 618)\)를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 \(x + y - 618 = 0\)까지의 거리 \(h = \dfrac{618}{\sqrt{2}}\)를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]
<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=906,\; c=1510\right)\)와 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=2114\right)\)이 성립한다.
<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 \(S\)와 둘레의 길이 \(a + b + c = 4530\), 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{4530}{2}r\)가 성립한다.
삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 \(b = 906,\; c = 1510\)이고 끼인각이 \(A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=906\right)\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 \(a = 2114\)의 길이를 유도하시오.
[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 \(R = \dfrac{2114\sqrt{3}}{3}\)과 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{1368060\sqrt{3}}{4}\)를 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r = \dfrac{302\sqrt{3}}{2}\)를 구하고 반지름의 곱 \(R\cdot r\)을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 3] 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
<제시문 (가)> 일차함수 \(f(t) = 6t - 1806\)에 대하여 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1806)\,dt\)는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.
<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 1806)\,dt = 3x^2 - 1806x\)이고 \(F''(x) = 6x - 1806\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1806)\,dt\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 \(F'(x) = 3x^2 - 1806x\)와 이계도함수 \(F''(x) = 6x - 1806\)를 유도하시오.
[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 \(F(0) - F(602) = 109083604\)를 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 \(x = 301\)에서의 함숫값 \(F(301) = -54541802\)과 접선의 기울기 \(F'(301) = -271803\)을 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 \(t\;(0 \le t \le 909)\)에서의 위치 차 함수를 \(h(t) = t(t - 909)^2\)라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 \(h'(t)\)이다.
<제시문 (나)> 닫힌구간 \([0, 909]\)에서 두 점 사이의 거리 \(D(t) = |t(t - 909)^2|\)는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.
수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치 차 함수가 \(h(t) = t^3 - 1818t^2 + 826281t = t(t - 909)^2\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 \(t_1 = 909\)를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 \(h'(909) = 0\)의 값을 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 909]\)에서 도함수 \(h'(t) = 3(t - 303)(t - 909)\)의 부호를 조사하여 거리 최댓값 \(D(303) = 111272508\)를 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 \(h''(t) = 6t - 3636 = 0\)이 되는 시각 \(t_2 = 606\)와 그때 두 점 사이의 거리 \(D(606) = 55636254\)를 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
연세대학교(미래) 2027 자연·의예 창의수리논술 대비 · 9회 : 지수·로그함수의 역함수 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 정적분으로 정의된 함수 · 수직선 위를 움직이는 · 베이즈 정리 사후확률과 Page 4 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
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[대문항 5] 베이즈 정리 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 (20점)

확률과 통계 (조건부확률과 모비율의 추정) | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 확률과 통계 · 기출 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통03-06]
<제시문 (가)> 표본공간의 분할 \(A_1, A_2\)에서 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{300},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{300}\)일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다.
<제시문 (나)> 크기 \(n = 1440000\)인 표본에서 표본비율이 \(\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36\)일 때, 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{1440000}}\)이다.
두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{300},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{300}\)이며, 크기 \(n = 1440000\)인 표본의 표본비율이 \(\hat{p} = 0.36\)일 때 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{300}\)과 조건부확률 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 300)\)를 각각 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 표본의 크기 \(n = 1440000\)을 대입하여 표본비율의 표준오차 \(\dfrac{12/25}{1200} = \dfrac{3}{7500}\)를 유도하시오.
[문항 5-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간 \([a, b]\)의 길이 \(b - a = \dfrac{294}{187500}\)를 기약분수로 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
연세대학교(미래) 2027 자연·의예 창의수리논술 대비 · 9회 : 지수·로그함수의 역함수 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 정적분으로 정의된 함수 · 수직선 위를 움직이는 · 베이즈 정리 사후확률과 Page 5 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본