2027학년도 대비 연세대학교(미래) 자연·의예 창의수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회)

2027학년도 대비 연세대학교(미래) 자연·의예 창의수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (해설집) 120분 / 100점 만점 · 논술100% · 제시문 기반 수리논증

[대문항 1] 베이즈 정리 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 (20점)

확률과 통계 (조건부확률과 모비율의 추정) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.8 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 표본공간의 분할 \(A_1, A_2\)에서 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{299},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{299}\)일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다.
<제시문 (나)> 크기 \(n = 1430416\)인 표본에서 표본비율이 \(\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36\)일 때, 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{1430416}}\)이다.

두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{299},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{299}\)이며, 크기 \(n = 1430416\)인 표본의 표본비율이 \(\hat{p} = 0.36\)일 때 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{299}\)과 조건부확률 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 299)\)를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 표본의 크기 \(n = 1430416\)을 대입하여 표본비율의 표준오차 \(\dfrac{12/25}{1196} = \dfrac{3}{7475}\)를 유도하시오.

[문항 1-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간 \([a, b]\)의 길이 \(b - a = \dfrac{294}{186875}\)를 기약분수로 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(P(B) = \dfrac{2}{299},\; P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\) | [1-2] 표준오차 \(\dfrac{3}{7475}\) | [1-3] \(L = \dfrac{294}{186875}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 전확률 공식에서 \(P(B) = \dfrac{1}{598} + \dfrac{3}{598} = \dfrac{2}{299}\)이고, 베이즈 정리에 의해 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3/(2\times 299)}{2/299} = \dfrac{3}{4}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 표준오차는 \(\sqrt{\dfrac{9\times 16}{25^2 \times 1430416}} = \dfrac{12}{25 \times 1196} = \dfrac{3}{7475}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times \dfrac{49}{25} \times \dfrac{3}{7475} = \dfrac{294}{186875}\)이다.

평가 소문항	연세대학교(미래) 자연·의예 창의수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{299}\) 계산 +3점 / 사후확률 \(P(A_2\|B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{분모 } 299)\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• \(\sqrt{n} = 1196\) 계산 +4점 / 표준오차 \(\dfrac{3}{7475}\) 유도 +3점
소문항 [1-3]	• 신뢰구간 길이 공식 적용 +4점 / \(\dfrac{294}{186875}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2022 개정 교육과정 확률과 통계(`12확통03-06`)에서 재도입된 모비율 신뢰구간 공식과 표준오차 \(\dfrac{3}{7475}\) 계산 과정을 명확히 서술해야 합니다.

[대문항 2] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x) = x^3 + 888x + 2\)에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 \(f'(c) = 3c^2 + 888\)인 \(c\)가 존재한다.
<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 \(f'(x) = 3x^2 + 888 \gt 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)가 존재하며 \(g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 888}\)이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 \(f(x) = x^3 + 888x + 2\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 부등식 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 888(x_2 - x_1)\)이 성립함을 증명하시오.

[문항 2-2] (7점) \(f(0) = 2,\; f(1) = 891\)임을 이용하여 역함수의 미분계수 \(g'(2) = \dfrac{1}{888}\)와 \(g'(891) = \dfrac{1}{891}\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 \((891, 1)\)에서의 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{891}x\)를 구하고, \(\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(891)} = 1779\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(f'(c) = 3c^2 + 888 \ge 888\) 증명 완료 | [2-2] \(g'(2) = \dfrac{1}{888},\; g'(891) = \dfrac{1}{891}\) | [2-3] 접선 \(y = \dfrac{1}{891}x,\; \text{합 } 1779\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 평균값 정리에 의해 \(\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = 3c^2 + 888 \ge 888\)이고 \(x_2 - x_1 \gt 0\)이므로 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 888(x_2 - x_1)\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 역함수 미분법에 의해 \(g'(2) = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{888}\)이고 \(g'(891) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{891}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 점 \((891, 1)\)에서의 접선은 \(y - 1 = \dfrac{1}{891}(x - 891) \implies y = \dfrac{1}{891}x\)이고, 역수의 합은 \(888 + 891 = 1779\)이다.

평가 소문항	연세대학교(미래) 자연·의예 창의수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 평균값 정리 선언 및 \(f'(c) = 3c^2 + 888 \ge 888\) 서술 +6점
소문항 [2-2]	• \(g'(2) = \dfrac{1}{888}\) 산출 +3점 / \(g'(891) = \dfrac{1}{891}\) 산출 +4점
소문항 [2-3]	• 접선 \(y = \dfrac{1}{891}x\) 유도 +4점 / 역수 합 \(1779\) 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 역함수의 미분계수 \(g'(891)\)를 구할 때는 \(f(a) = 891\)를 만족시키는 원함수 위의 점 \(a = 1\)을 먼저 찾아야 합니다.

[대문항 3] 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 일차함수 \(f(t) = 6t - 1800\)에 대하여 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1800)\,dt\)는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.
<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 1800)\,dt = 3x^2 - 1800x\)이고 \(F''(x) = 6x - 1800\)이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1800)\,dt\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 \(F'(x) = 3x^2 - 1800x\)와 이계도함수 \(F''(x) = 6x - 1800\)를 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 \(F(0) - F(600) = 108000000\)를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 \(x = 300\)에서의 함숫값 \(F(300) = -54000000\)과 접선의 기울기 \(F'(300) = -270000\)을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(F'(x) = 3x(x - 600),\; F''(x) = 6x - 1800\) | [3-2] 극대 \(x=0\), 극소 \(x=600\), 차 \(108000000\) | [3-3] \(F(300) = -54000000,\; F'(300) = -270000\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 적분변수를 분리하여 미분하면 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 1800)\,dt = 3x^2 - 1800x\)이고 \(F''(x) = 6x - 1800\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(F'(x) = 3x(x - 600) = 0\)에서 극댓값 \(F(0) = 0\), 극솟값 \(F(600) = -108000000\)이므로 극값의 차는 \(108000000\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 원시함수 \(F(x) = x^3 - 900x^2\)에 \(x = 300\)을 대입하면 \(F(300) = -54000000\)이고 \(F'(300) = -270000\)이다.

평가 소문항	연세대학교(미래) 자연·의예 창의수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 변수 분리 후 곱의 미분법 적용 +3점 / \(F'(x) = 3x^2 - 1800x\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 극점 \(x = 0, 600\) 판정 +3점 / 극값의 차 \(108000000\) 산출 +4점
소문항 [3-3]	• \(F(300) = -54000000\) 계산 +4점 / \(F'(300) = -270000\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 피적분함수 \((x - t)(6t - 1800)\) 안에 적분변수가 아닌 \(x\)가 들어 있으므로 미분하기 전에 반드시 \(x\)를 적분 기호 밖으로 묶어내야 합니다.

[대문항 4] 포물선의 초점·준선 정의와 접선이 이루는 이등변삼각형의 넓이 (20점)

기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (포물선의 정의와 접선) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 포물선 \(y^2 = 1192x\) 위의 임의의 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\)에서 초점 \(\mathrm{F}(298, 0)\)까지의 거리는 준선 \(x = -298\)까지의 거리 \(x_1 + 298\)와 같다.
<제시문 (나)> 포물선 \(y^2 = 1192x\) 위의 점 \(\mathrm{P}(1192, 1192)\)에서의 접선의 방정식은 \(y = \dfrac{1}{2}x + 596\)이다.

초점이 \(\mathrm{F}(298, 0)\)인 포물선 \(y^2 = 1192x\) 위의 제1사분면의 점 \(\mathrm{P}(1192, 1192)\)에서의 접선이 가로축과 만나는 점을 Q라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)의 포물선 정의를 이용하여 준선의 방정식 \(x = -298\)와 선분 \(\overline{\mathrm{PF}} = 1490\)의 길이를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 점 \(\mathrm{P}(1192, 1192)\)에서의 접선의 방정식과 가로축 절편 \(\mathrm{Q}(-1192, 0)\)을 구하여 \(\overline{\mathrm{FQ}} = \overline{\mathrm{FP}} = 1490\)임을 증명하시오.

[문항 4-3] (7점) 이등변삼각형 FPQ의 밑변 \(1490\)와 높이 \(1192\)로부터 삼각형의 넓이 \(S = 888040\)를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] 준선 \(x = -298,\; \overline{\mathrm{PF}} = 1490\) | [4-2] 접선 \(y = \dfrac{1}{2}x + 596,\; \mathrm{Q}(-1192, 0),\; \overline{\mathrm{FQ}} = 1490\) | [4-3] 넓이 \(S = 888040\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 포물선 \(y^2 = 1192x\)의 준선은 \(x = -298\)이므로 정의에 의해 \(\overline{\mathrm{PF}} = 1192 + 298 = 1490\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{2}x + 596\)의 가로축 절편은 \(\mathrm{Q}(-1192, 0)\)이므로 \(\overline{\mathrm{FQ}} = 298 - (-1192) = 1490\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 삼각형 FPQ의 밑변은 \(1490\), 높이는 \(1192\)이므로 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}\times 1490\times 1192 = 888040\)이다.

평가 소문항	연세대학교(미래) 자연·의예 창의수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 준선 \(x = -298\) 명시 +2점 / 포물선 정의로 \(\overline{\mathrm{PF}} = 1490\) 도출 +4점
소문항 [4-2]	• 접선 \(y = \dfrac{1}{2}x + 596\) 유도 +4점 / \(\mathrm{Q}(-1192, 0)\) 및 \(\overline{\mathrm{FQ}} = 1490\) 증명 +3점
소문항 [4-3]	• 밑변 \(1490\) 및 높이 \(1192\) 설정 +3점 / 넓이 \(S = 888040\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 포물선 위의 점 \((1192, 1192)\)에서의 접선의 가로축 절편은 항상 \(-1192\)가 되어 초점 F를 중심으로 이등변삼각형이 형성됩니다.

[대문항 5] 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피 (20점)

기하 Ⅲ-3. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 \(\mathrm{A}(894, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 894, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 894)\)을 지나는 평면의 방정식은 \(x + y + z = 894\)이고 법선벡터는 \(\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 894)\)이다.
<제시문 (나)> 평면 \(x + y + z = 894\)와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 \(S' = S\cos\theta = \dfrac{799236}{2}\)가 성립한다.

좌표공간에서 세 점 \(\mathrm{A}(894, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 894, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 894)\)을 지나는 평면 \(x + y + z = 894\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 \(x + y + z - 894 = 0\)까지의 수선의 길이 \(d = 298\sqrt{3}\)를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 \(S' = \dfrac{799236}{2}\)와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 \(S = \dfrac{799236\sqrt{3}}{2}\)를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 \(V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 119086164\)를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(d = \dfrac{894}{\sqrt{3}} = 298\sqrt{3}\) | [5-2] \(S' = \dfrac{799236}{2},\; S = \dfrac{799236\sqrt{3}}{2}\) | [5-3] \(V = 119086164\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 점과 평면 사이의 거리 공식에서 \(d = \dfrac{894}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = 298\sqrt{3}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 정사영 넓이는 \(S' = \dfrac{799236}{2}\)이므로 \(S = \sqrt{3}S' = \dfrac{799236\sqrt{3}}{2}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 사면체 부피는 \(V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{799236\sqrt{3}}{2} \times 298\sqrt{3} = 119086164\)로 정확히 일치한다.

평가 소문항	연세대학교(미래) 자연·의예 창의수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 평면 \(x+y+z=894\) 및 법선벡터 확인 +3점 / 원점 거리 \(d = 298\sqrt{3}\) 산출 +3점
소문항 [5-2]	• 정사영 넓이 \(S' = \dfrac{799236}{2}\) 계산 +3점 / \(S = \dfrac{799236\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점
소문항 [5-3]	• 사면체 부피 대입 검증 +4점 / 부피 \(V = 119086164\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2022 개정 교육과정 기하(`12기하03-05`)에서 강화된 벡터를 이용한 평면의 방정식 \(x + y + z = 894\)과 정사영 넓이 공식을 결합한 핵심 문항입니다.

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