[1단계]: \(y = 2^{x-1} + 1 \iff x = \log_2(y-1) + 1\)에서 \(x, y\)를 바꾸면 \(y = \log_2(x-1) + 1\)이므로 서로 역함수이다.

[2단계]: 두 곡선은 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이다.

기울기 -1인 직선 위의 두 교점은 \(y=x\) 대칭이므로 \(P(t, 2^{t-1}+1), Q(2^{t-1}+1, t)\)이다.

\(\overline{PQ} = \sqrt{2}|2^{t-1}+1-t| = 2\sqrt{2} \implies 2^{t-1} = t+1 \implies t=3\).

점 \(P(3, 5)\)가 \(y = -x + k\) 위의 점이므로 \(k = 8\)이다.

\(X = 2^x > 0\) 치환: \((X-2)(X-a) \le 0\).

• \(a > 2\)일 때 \(1 \le x \le \log_2 a \implies 2 \le \log_2 a < 3 \implies 4 \le a < 8\).

• \(a < 2\)일 때 \(\log_2 a \le x \le 1 \implies -1 < \log_2 a \le 0 \implies 1/2 < a \le 1\).

주기: \(\pi\), 최댓값: \(3\). \(\sin(2x-\pi/3) = 1/2 \implies 2x-\pi/3 = \pi/6, 5\pi/6\).

\(x = \pi/4, 7\pi/12 \implies \text{실근 합} = 5\pi/6\).

\(2(1-\sin^2 x) - \sin x - 1 = 0 \iff (2\sin x-1)(\sin x+1)=0\).

\(\sin x = 1/2 \implies x = \pi/6, 5\pi/6\), \(\sin x = -1 \implies x = 3\pi/2\). 합: \(5\pi/2\).

코사인법칙: \(\overline{BC}^2 = 4^2 + 5^2 - 2(4)(5)(1/8) = 36 \implies \overline{BC} = 6\).

\(\sin A = \frac{3\sqrt{7}}{8}\). 사인법칙: \(2R = \frac{6}{\frac{3\sqrt{7}}{8}} = \frac{16}{\sqrt{7}} \implies R = \frac{8\sqrt{7}}{7}\).

\(f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \implies x = \pm 1\). 극댓값 \(f(-1)=2\), 극솟값 \(f(1)=-2\).

\(f(x)\)는 닫힌구간 \([0, 2]\)에서 연속이고 \(f(0)=0 < 1 < f(2)=2\)이므로 사잇값 정리에 의해 실근 존재.

점 \(P(1, -2)\)에서 접선의 방정식: \(y = -2\). 곡선 연립: \((x-1)^2(x+2)=0 \implies Q(-2, -2)\).

\(S = \int_{-2}^1 (x^3 - 3x + 2) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^1 = \frac{3}{4} - (-6) = \frac{27}{4}\).