2027 연세대학교(미래) 자연계열 약술형 수리논술 모의고사 1회 문제집

2027 연세대학교(미래) 자연계열 약술형 수리논술 1회[문제 1] 지수·로그함수와 역함수 | 1/3 Page

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 풀이 과정과 정답을 약술하시오. (30점)

[제시문 가] 지수함수 \(y=a^{x-m}+n\)과 로그함수 \(y=\log_a(x-n)+m\)은 서로 역함수 관계이며, 두 곡선은 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이다.

[제시문 나] 두 점 \(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\) 사이의 거리는 \(\overline{AB} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)이다.

두 곡선 \(f(x) = 2^{x-1} + 1\)과 \(g(x) = \log_2(x-1) + 1\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[1-1] 두 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 서로 역함수 관계임을 보이고, 두 곡선의 대칭축 방정식을 구하시오. [10점]

[1-2] 직선 \(y = -x + k\)가 두 곡선 \(y=f(x), y=g(x)\)와 만나는 점을 각각 \(P, Q\)라 할 때, 선분 \(\overline{PQ}\)의 길이가 \(2\sqrt{2}\)가 되는 상수 \(k\)의 값을 구하시오. [10점]

[1-3] 부등식 \(4^x - (a+2)2^x + 2a \le 0\)을 만족하는 정수 \(x\)가 오직 2개 존재하기 위한 양수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오. [10점]

2027 연세대학교(미래) 자연계열 약술형 수리논술 1회[문제 2] 삼각함수와 코사인법칙 | 2/3 Page

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 풀이 과정과 정답을 약술하시오. (35점)

[제시문 가] 함수 \(y = A\sin(Bx + C) + D\)의 최댓값은 \(|A|+D\), 최솟값은 \(-|A|+D\), 주기는 \(\frac{2\pi}{|B|}\)이다.

[제시문 나] 삼각형 \(ABC\)에서 사인법칙 \(\frac{a}{\sin A} = 2R\) 및 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)가 성립한다.

[2-1] 함수 \(f(x) = 2\sin(2x - \pi/3) + 1\)의 주기와 최댓값을 구하고, 구간 \([0, \pi]\)에서 \(f(x)=2\)인 실근의 합을 구하시오. [10점]

[2-2] 방정식 \(2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0\)의 구간 \([0, 2\pi]\)에서의 모든 실근의 합을 구하시오. [12점]

[2-3] 삼각형 \(ABC\)에서 \(\overline{AB}=4, \overline{AC}=5, \cos A=\frac{1}{8}\)일 때, 선분 \(\overline{BC}\)의 길이와 외접원의 반지름 \(R\)을 구하시오. [13점]

2027 연세대학교(미래) 자연계열 약술형 수리논술 1회[문제 3] 다항함수 접선 및 정적분 넓이 | 3/3 Page

[문제 3] 다음 제시문을 읽고 풀이 과정과 정답을 약술하시오. (35점)

[제시문 가] 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선의 방정식은 \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\)이다.

[제시문 나] 두 곡선 \(y=f(x), y=g(x)\)로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx\)이다.

삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[3-1] 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 구하고, 방정식 \(f(x)=1\)이 열린구간 \((0, 2)\)에서 실근을 가짐을 사잇값 정리로 설명하시오. [10점]

[3-2] 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \(P(1, -2)\)에서의 접선의 방정식과, 이 접선이 곡선과 다시 만나는 점 \(Q\)의 좌표를 구하시오. [12점]

[3-3] 점 \(P(1, -2)\)에서의 접선과 곡선 \(y=f(x)\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 정적분으로 계산하시오. [13점]

🛡️ QUESTIO 자율 점검 및 자동 교정 엔진 가동 중...