연세대학교 미래캠퍼스 2027학년도 모의논술과 동일한 난이도로, 교과 기본 개념의 정확한 수식화와 정적분, 미분, 로그, 수열, 실생활 모델링의 표준적 풀이 능력을 평가하는 회차입니다.
문제 1 [수학Ⅱ: 정적분과 넓이 및 매개변수 방정식]
배점: 10점
양의 실수 $k$에 대하여 두 이차함수 $f_1(x) = 3kx(1-x)$와 $f_2(x) = x(2k-x)$를 정의한다. 동전을 던져서 앞면이 나오면 $f_1(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S_1$을 계산하고, 뒷면이 나오면 $f_2(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S_2$를 계산한다.
**[문제 1-1]** $S_1$과 $S_2$의 값을 구하여라. (5점)
**[문제 1-2]** 동전 던지기의 결과와 관계없이 $S_1$과 $S_2$의 값이 같기 위한 양의 실수 $k$의 값을 구하고 이때의 넓이를 구하여라. (5점)
문제 2 [수학Ⅱ·수학Ⅰ: 다항곡선 정적분과 조화수열 정수쌍]
배점: 10점
자연수 $n \ge 1$에 대하여 곡선 \[ y = 2 - 2x^n \quad (0 \le x \le 1) \] 과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $D_n$이라고 하자.
**[문제 2-1]** 영역 $D_n$의 넓이를 $n$에 대한 식으로 나타내시오. (4점)
**[문제 2-2]** 6보다 같거나 작은 세 자연수 $a \lt b \lt c$에 대하여, $D_a$와 $D_b$로 둘러싸인 영역의 넓이와 $D_b$와 $D_c$로 둘러싸인 영역의 넓이가 서로 같도록 하는 모든 순서쌍 $(a, b, c)$를 구하시오. (6점)
문제 3 [수학Ⅰ: 로그방정식과 두 근의 곱]
배점: 10점
방정식 \[ \left( \log_3 x^2 \right) \left( \log_3 9x \right) = 16 \] 의 두 근을 $\alpha, \beta$라고 할 때, 두 근의 곱 $\alpha\beta$의 값을 구하시오.
문제 4 [수학Ⅱ: 구간 극값과 최솟값 함수의 정의]
배점: 10점
$a < 2$인 실수 $a$에 대하여 닫힌구간 $[a, 2]$에서 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$의 최솟값을 $m(a)$라 할 때 다음 물음에 답하시오.
첫째항이 $4$인 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S_n$이라고 하자. \[ S_8 = S_4 + 82 \] 일 때, $a_{16}$의 값을 구하시오.
문제 7 [수학Ⅱ: 구간별 조각함수의 주기성과 연속 조건]
배점: 10점
함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[1, 4]$에서 \[ f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 5 & (1 \le x \le 2) \\ a(x-2)^3 + b & (2 < x \le 4) \end{cases} \] 로 정의된다. 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = f(x-3)$을 만족시키는 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $f(2027)$의 값을 구하시오. (단, $a, b$는 상수)
문제 8 [수학Ⅰ·수학Ⅱ: 대칭 직사각형 넓이 함수의 정적분]
배점: 10점
실수 $x \in [-\pi/2, \pi/2]$에 대하여 점 $\text{A}$를 $\text{A}(x, 0)$이라 하자. 점 $\text{A}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y = \cos x$와 만나는 점을 $\text{D}$라 하자. 또 점 $\text{A}$와 $\text{D}$를 각각 $y$축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 $\text{B}, \text{C}$라 할 때 사각형 $\text{ABCD}$는 직사각형이 된다. 이 직사각형 $\text{ABCD}$의 넓이를 $S(x)$라 할 때, 다음 정적분의 값을 구하시오. \[ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} S(x) \, dx \]
문제 9 [수학Ⅰ: 세포 분열 주기와 지수 증식 모델링]
배점: 10점
미래생명공학연구소에서 세포의 분화를 연구하기 위해 동물세포주를 배양하는 프로젝트를 진행 중이다. 3일에 1회씩 세포분열이 이루어지는 A type 세포와 1일에 1회씩 세포분열이 이루어지는 B type 세포가 각각 $80\%$와 $20\%$씩 섞여 있는 $800{,}000$개의 세포 군집을 획득하였다. (단, 한 번 분열할 때마다 세포 수는 정확히 2배가 되며 자연 사멸은 없다고 가정한다.)
이 세포들을 배양하여 A type 세포가 $20\%$, B type 세포가 $80\%$가 될 때까지 배양하기 위해서는 며칠이 걸리고, 이때 각각 몇 개의 세포들이 얻어질 수 있을지 설명하시오.
문제 10 [수학Ⅱ: 속도 정적분 변위와 가속도 그래프 정성 분석]
배점: 10점
도심 항공 모빌리티(UAM) 기체가 이륙 후 착륙할 때까지 수평 비행 속도를 조절하며 이동한다. 연구팀은 기체의 속도가 시간에 따라 다음과 같은 함수로 표현된다는 것을 알아냈다. \[ f(t) = -t^2 + 8t \quad (0 \le t \le 8) \] 여기서 $t$는 시간(초), $f(t)$는 기체의 수평 속도($\text{m/s}$)이다. 이 속도 모델을 이용하여 기체의 이동을 분석하려 한다.
**[문제 10-1]** 기체가 $t=0$초부터 $t=8$초까지 이동한 변위를 정적분을 이용하여 구하여라. (2점)
**[문제 10-2]** 함수 $f(t)$의 그래프를 바탕으로 다음을 설명하시오. 1) 시간이 증가함에 따라 기체의 속도가 어떻게 변화하는지 설명하시오. (2점) 2) 기체가 어느 시간 구간에서 더 많은 거리를 이동하는지 그래프의 면적을 이용하여 설명하시오. (3점) 3) 그래프의 기울기를 이용하여 기체의 속도 변화가 급격한지 또는 완만한지 설명하시오. (3점)
제2회 실전 모의고사 (어려운 문제 1 / Hard 1)
제2회 (어려운 문제 1 / Hard)
원형 기출보다 한 단계 심화된 계산력과 다단계 수식 변형을 요구하는 회차입니다. 밑이 다른 로그 치환, 절댓값 함수의 미분가능성 증명, 등차수열의 합 대칭성, 3차 속도곡선의 변곡점(최대 가속도) 정성 분석 등이 포함되어 있습니다.
문제 1 [수학Ⅱ: 이차곡선 적분 넓이와 다항방정식]
배점: 10점
양의 실수 $k$에 대하여 두 이차함수 \[ f_1(x) = k(x-1)(3-x), \quad f_2(x) = x(k^2 - x) \] 를 정의한다. 동전을 던져서 앞면이 나오면 $f_1(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S_1$을 계산하고, 뒷면이 나오면 $f_2(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S_2$를 계산한다.
**[문제 1-1]** $S_1$과 $S_2$를 각각 $k$에 대한 식으로 나타내시오. (5점)
**[문제 1-2]** 동전 던지기의 결과와 관계없이 $S_1$과 $S_2$의 값이 같기 위한 양의 실수 $k$의 값을 구하고 이때의 넓이를 구하여라. (5점)
문제 2 [수학Ⅱ·수학Ⅰ: 멱함수 여영역과 조화수열 정수쌍]
배점: 10점
자연수 $n \ge 1$에 대하여 곡선 $y = 1 - x^n \; (0 \le x \le 1)$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $D_n$이라 하자. 영역의 여분 넓이를 $E_n = 1 - D_n$이라고 정의한다.
**[문제 2-1]** $E_n$을 $n$에 대한 식으로 나타내시오. (4점)
**[문제 2-2]** 8보다 같거나 작은 세 자연수 $a \lt b \lt c$에 대하여, 세 수 $E_a, E_b, E_c$가 순서대로 등차수열을 이루도록 하는 모든 순서쌍 $(a, b, c)$를 구하시오. (6점)
문제 3 [수학Ⅰ: 밑이 다른 로그방정식과 두 근의 곱]
배점: 10점
방정식 \[ \left( \log_2 x \right) \left( \log_4 8x \right) = 5 \] 의 두 근을 $\alpha, \beta$라고 할 때, 다음 물음에 답하시오.
**[문제 3-1]** 두 근의 곱 $\alpha\beta$의 값을 구하시오. (6점)
**[문제 3-2]** 두 근의 합 $\alpha + \beta$의 값을 구하시오. (4점)
문제 4 [수학Ⅱ: 구간 극값과 다단계 최솟값 함수]
배점: 10점
$a < 1$인 실수 $a$에 대하여 닫힌구간 $[a, 1]$에서 함수 \[ f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \] 의 최솟값을 $m(a)$라 할 때 다음 물음에 답하시오.
**[문제 6-2]** 제15항 $a_{15}$의 값을 구하고, $a_n < 0$을 만족하는 최소의 자연수 $n$을 구하시오. (5점)
문제 7 [수학Ⅱ: 구간 조각함수의 주기성과 미분가능성]
배점: 10점
함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[0, 4]$에서 \[ f(x) = \begin{cases} -x^2 + 4x & (0 \le x \le 2) \\ a(x-2)^2 + b & (2 < x \le 4) \end{cases} \] 로 정의된다. 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = f(x-4)$를 만족시키는 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때 다음 물음에 답하시오. (단, $a, b$는 상수)
**[문제 7-1]** $f(x)$가 실수 전체에서 연속이 되기 위한 $a, b$ 사이의 관계식을 구하고, $f(x)$가 실수 전체에서 미분가능하도록 하는 상수 $a, b$의 값을 구하시오. (6점)
**[문제 7-2]** 위에서 구한 $a, b$에 대하여 $f(2027)$의 값을 구하시오. (4점)
문제 8 [수학Ⅱ: 무리함수 대칭 직사각형 넓이의 정적분]
배점: 10점
실수 $x \in [-2, 2]$에 대하여 점 $\text{A}$를 $\text{A}(x, 0)$이라 하자. 점 $\text{A}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 반원 곡선 $y = \sqrt{4-x^2}$과 만나는 점을 $\text{D}$라 하자. 또 점 $\text{A}$와 $\text{D}$를 각각 $y$축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 $\text{B}, \text{C}$라 할 때 사각형 $\text{ABCD}$는 직사각형이 된다. 이 직사각형 $\text{ABCD}$의 넓이를 $S(x)$라 할 때, 다음 정적분의 값을 구하시오. \[ \int_{-2}^{2} S(x) \, dx \]
문제 9 [수학Ⅰ: 항생제 사멸률이 결합된 세포 증식 모델]
배점: 10점
미래의과학연구소에서 감염성 박테리아 퇴치를 위한 배양 실험을 진행하고 있다. 초기에 A 박테리아와 B 박테리아가 각각 $90\%$와 $10\%$씩 섞여 있는 총 $1{,}000{,}000$개의 균주가 있다. - A 박테리아는 24시간마다 1회 분열하여 2배가 된다. - B 박테리아는 12시간마다 1회 분열하여 2배가 되지만, 배양액 내 항생제 성분으로 인해 매 분열 직후 개체의 $25\%$가 사멸한다. (즉, 분열 주기마다 생존하여 남는 개체 수는 분열 직전의 $2 \times 0.75 = 1.5$배가 된다.)
두 박테리아의 비율이 역전되어 A 박테리아가 $10\%$, B 박테리아가 $90\%$가 되는 시점은 몇 시간 후인지 구하시오. (단, $\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771$로 계산하며, 시간은 소수점 첫째 자리에서 반올림하여 정수로 답하시오.)
문제 10 [수학Ⅱ: 3차 속도곡선의 변위와 최대 가속도 분석]
배점: 10점
차세대 고속 자기부상열차가 출발역을 떠나 다음 정차역까지 주행할 때, 속도가 다음과 같은 3차 함수 모델로 측정되었다. \[ v(t) = -t^3 + 6t^2 \quad (0 \le t \le 6) \] 여기서 $t$는 주행 시간(분), $v(t)$는 열차의 속도($\text{km/min}$)이다.
**[문제 10-1]** 출발 후 $t=0$분부터 $t=6$분까지 열차가 이동한 총 변위(주행 거리)를 정적분을 이용하여 구하시오. (3점)
**[문제 10-2]** 함수 $v(t)$의 그래프를 바탕으로 다음을 설명하시오. 1) 열차의 속도가 최대가 되는 시각과 그때의 최대 속도를 구하시오. (2점) 2) 가속도 $a(t) = v'(t)$를 구하고, 열차의 가속도가 최대가 되는 시각(변곡점)을 찾고 이때의 물리적 의미를 서술하시오. (3점) 3) $0 \le t \le 6$ 구간에서 속도 곡선의 오목과 볼록 상태가 어떻게 바뀌는지 이계도함수를 이용하여 설명하시오. (2점)
제3회 실전 모의고사 (어려운 문제 2 / Hard 2)
제3회 (어려운 문제 2 / Hard)
두 근의 대칭식과 로그의 연계, 이동 구간 최솟값 함수, 조각 함수의 미분가능성 증명, 방향 전환이 포함된 속도 적분(변위 vs 이동거리 분리) 등 복합 논리력이 요구되는 고난도 회차입니다.
문제 1 [수학Ⅱ: 삼차곡선·이차곡선 정적분 넓이와 매개변수]
배점: 10점
양의 실수 $k$에 대하여 두 함수 \[ f_1(x) = 2kx(2-x), \quad f_2(x) = x^2(3k - x) \] 를 정의한다. 동전을 던져서 앞면이 나오면 $f_1(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S_1$을 계산하고, 뒷면이 나오면 $f_2(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S_2$를 계산한다.
**[문제 1-1]** $S_1$과 $S_2$를 각각 $k$에 대한 식으로 나타내시오. (5점)
**[문제 1-2]** 동전 던지기의 결과와 관계없이 $S_1$과 $S_2$의 값이 같기 위한 양의 실수 $k$의 값을 구하고 이때의 넓이를 구하여라. (5점)
문제 2 [수학Ⅱ·수학Ⅰ: 멱함수 정적분과 조화수열 부정방정식]
배점: 10점
자연수 $n \ge 1$에 대하여 곡선 $y = 1 - x^{n+1} \; (0 \le x \le 1)$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $D_n$이라 하자.
**[문제 2-1]** 영역 $D_n$의 넓이를 $n$에 대한 식으로 나타내시오. (4점)
**[문제 2-2]** 8보다 같거나 작은 세 자연수 $a \lt b \lt c$에 대하여, $D_a$와 $D_b$로 둘러싸인 영역의 넓이와 $D_b$와 $D_c$로 둘러싸인 영역의 넓이가 서로 같도록 하는 모든 순서쌍 $(a, b, c)$를 구하시오. (6점)
문제 3 [수학Ⅰ: 로그방정식과 대칭식의 값 계산]
배점: 10점
방정식 \[ \left( \log_2 \frac{x}{4} \right) \left( \log_2 2x \right) = 14 \] 의 두 근을 $\alpha, \beta$라고 할 때 다음 물음에 답하시오.
**[문제 3-1]** 두 근의 곱 $\alpha\beta$의 값을 구하시오. (5점)
**[문제 3-2]** $\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha$의 값을 구하시오. (5점)
문제 4 [수학Ⅱ: 이동 구간에서의 최댓값 함수]
배점: 10점
실수 $a$에 대하여 닫힌구간 $[a, a+2]$에서 함수 \[ f(x) = x^3 - 3x \] 의 최댓값을 $M(a)$라 할 때 다음 물음에 답하시오.
함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[-2, 2]$에서 \[ f(x) = \begin{cases} x^3 + ax & (-2 \le x \le 0) \\ bx^2 + c & (0 < x \le 2) \end{cases} \] 로 정의된다. 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = f(x-4)$를 만족시키는 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때 다음 물음에 답하시오. (단, $a, b, c$는 상수)
**[문제 7-1]** 상수 $a, b, c$의 값을 구하시오. (6점)
**[문제 7-2]** $f(2027)$의 값을 구하시오. (4점)
문제 8 [수학Ⅱ: 4차 대칭 곡선과 직사각형 넓이의 정적분]
배점: 10점
실수 $x \in [-1, 1]$에 대하여 점 $\text{A}$를 $\text{A}(x, 0)$이라 하자. 점 $\text{A}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y = 1 - x^4$과 만나는 점을 $\text{D}$라 하자. 또 점 $\text{A}$와 $\text{D}$를 각각 $y$축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 $\text{B}, \text{C}$라 할 때 사각형 $\text{ABCD}$는 직사각형이 된다. 이 직사각형 $\text{ABCD}$의 넓이를 $S(x)$라 할 때, 다음 정적분의 값을 구하시오. \[ \int_{-1}^{1} S(x) \, dx \]
문제 9 [수학Ⅰ: 3종 미생물의 다원 지수 증식 경쟁 모델]
배점: 10점
미래합성생물학연구소에서 세 종류의 변이 미생물 A, B, C를 동일한 배양기에서 혼합 배양하고 있다. - A 균주는 6시간마다 1회 분열하여 2배가 된다. - B 균주는 4시간마다 1회 분열하여 2배가 된다. - C 균주는 2시간마다 1회 분열하여 2배가 된다.
배양 초기($t=0$)에 세 균주의 개체수 비는 다음과 같다. \[ A : B : C = 8 : 4 : 1 \] 시간이 흐름에 따라 가장 빠르게 증식하는 C 균주의 개체수가 전체 배양기 내 총 미생물 수의 $50\%$를 처음으로 초과하게 되는 시점은 배양을 시작한 지 몇 시간 후인지 구하시오. (단, 배양 시간 $t$는 정수 시간 단위로 측정한다.)
문제 10 [수학Ⅱ: 방향 전환 속도 모델과 변위 vs 이동거리]
배점: 10점
자율주행 셔틀버스가 직선 시험 도로를 운행할 때의 속도 함수가 다음과 같이 측정되었다. \[ v(t) = 3t^2 - 12t + 9 \quad (0 \le t \le 4) \] 여기서 $t$는 시간(초), $v(t)$는 셔틀버스의 속도($\text{m/s}$)이다.
**[문제 10-1]** $t=0$부터 $t=4$까지 셔틀버스의 위치의 변화량(변위)과 실제로 이동한 거리(총 이동거리)를 각각 정적분을 이용하여 구하시오. (4점)
**[문제 10-2]** 함수 $v(t)$의 그래프를 바탕으로 다음을 설명하시오. 1) 셔틀버스의 운동 방향이 바뀌는 시각을 모두 구하고, 그때의 가속도를 구하시오. (3점) 2) 구간 $[0, 4]$에서 셔틀버스의 속도가 최소가 되는 시각과 그때의 가속도의 물리적 의미를 서술하시오. (3점)
제4회 실전 모의고사 (더 어려운 문제 1 / Very Hard)
제4회 (더 어려운 문제 1 / Very Hard)
사차함수 구간 최솟값 다중 분기, 삼차 로그방정식 근과 계수, 수직 접선의 미분불가능성 극한 증명, 두 등차수열 합의 비를 통한 일반항의 비 유도, 방사성 반감기-세균 증식 복합 모델 등 최고 수준의 수리논술 사고력을 검증하는 심화 회차입니다.
문제 1 [수학Ⅱ: 삼차함수 삼중 분할 넓이와 매개변수]
배점: 10점
양의 실수 $k$에 대하여 두 함수 \[ f_1(x) = kx(4-x), \quad f_2(x) = x(x-k)(x-3k) \] 를 정의한다. 동전을 던져서 앞면이 나오면 $f_1(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S_1$을 계산하고, 뒷면이 나오면 $f_2(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이의 합 $S_2$를 계산한다.
**[문제 1-1]** $S_1$과 $S_2$를 각각 $k$에 대한 식으로 나타내시오. (5점)
**[문제 1-2]** 동전 던지기의 결과와 관계없이 $S_1$과 $S_2$의 값이 같기 위한 양의 실수 $k$의 값을 구하고 이때의 넓이를 구하여라. (5점)
문제 2 [수학Ⅱ·수학Ⅰ: 멱함수 정적분과 조화수열 심화]
배점: 10점
자연수 $n \ge 1$에 대하여 곡선 $y = 1 - x^n \; (0 \le x \le 1)$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $D_n$이라 하자.
**[문제 2-1]** $D_n$을 구하고, 연속한 두 넓이의 차 $\Delta_n = D_{n+1} - D_n$을 $n$에 대한 식으로 나타내시오. (4점)
**[문제 2-2]** 12보다 같거나 작은 세 자연수 $a \lt b \lt c$에 대하여, 세 수 $\frac{1}{1-D_a}, \frac{1}{1-D_b}, \frac{1}{1-D_c}$가 순서대로 등차수열을 이룰 때, 가능한 모든 순서쌍 $(a, b, c)$의 개수를 구하고 그 순서쌍들을 모두 구하시오. (6점)
문제 3 [수학Ⅰ: 삼차 로그방정식과 세 근의 곱]
배점: 10점
방정식 \[ \left( \log_3 x \right)^3 - 4\left( \log_3 x \right)^2 - 11\log_3 x + 30 = 0 \] 의 세 실근을 $\alpha, \beta, \gamma$라고 할 때 다음 물음에 답하시오.
**[문제 3-1]** 세 실근의 곱 $\alpha\beta\gamma$의 값을 구하시오. (5점)
함수 $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.
**[문제 5-1]** 도함수의 정의를 이용하여 $x=0$에서의 평균변화율의 극한 $\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$를 구하고, 함수 $f(x)$가 $x=0$에서 미분가능한지 판정하시오. (5점)
**[문제 5-2]** "곡선 $y = \sqrt[3]{x}$의 그래프는 $x=0$에서 끊어지지 않고 매끄럽게 연결되며 접선 $x=0$($y$축)을 가지므로 $x=0$에서 미분가능하다"는 주장의 수학적 오류를 설명하시오. (5점)
문제 6 [수학Ⅰ: 두 등차수열 합의 비와 일반항의 비]
배점: 10점
두 등차수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 각각 $S_n$과 $T_n$이라 하자. 모든 자연수 $n$에 대하여 \[ \frac{S_n}{T_n} = \frac{7n + 1}{4n + 27} \] 이 성립할 때, 제11항의 비 \[ \frac{a_{11}}{b_{11}} \] 의 값을 구하시오.
문제 7 [수학Ⅱ: 절댓값 조각함수의 주기성과 정적분]
배점: 10점
함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[0, 3]$에서 \[ f(x) = |x(x-2)| + ax + b \] 로 정의된다. 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = f(x-3)$을 만족시키는 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이고, $f(0) = 2$일 때 다음 물음에 답하시오. (단, $a, b$는 상수)
**[문제 7-1]** 상수 $a, b$의 값을 구하시오. (5점)
**[문제 7-2]** 다음 정적분의 값을 구하시오. (5점) \[ \int_0^9 f(x) \, dx \]
문제 8 [수학Ⅱ: 3차 곡선 위의 점과 대칭 직사각형 정적분]
배점: 10점
실수 $x \in [-2, 2]$에 대하여 점 $\text{A}$를 $\text{A}(x, 0)$이라 하자. 점 $\text{A}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y = |4x - x^3|$과 만나는 점을 $\text{D}$라 하자. 또 점 $\text{A}$와 $\text{D}$를 각각 $y$축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 $\text{B}, \text{C}$라 할 때 사각형 $\text{ABCD}$는 직사각형이 된다. 이 직사각형 $\text{ABCD}$의 넓이를 $S(x)$라 할 때, 다음 정적분의 값을 구하시오. \[ \int_{-2}^{2} S(x) \, dx \]
문제 9 [수학Ⅰ: 방사성 반감기-세균 증식 복합 지수 모델링]
배점: 10점
미래원자력바이오연구소에서 방사성 오염수를 정화하기 위해 내방사성 변이 세균을 투입하였다. - 오염수 내의 방사성 물질은 6일의 반감기를 가지고 자연 붕괴한다. 즉, 6일마다 총 방사능 수치는 정확히 절반($\frac{1}{2}$)으로 감소한다. - 투입된 내방사성 세균은 2일마다 1회 분열하여 개체수가 2배로 증가한다.
실험 초기($t=0$)의 총 방사능 수치를 $R_0$, 세균 수를 $B_0$라 할 때, 세균 1마리당 방사능 부하량을 다음과 같이 정의한다. \[ L(t) = \frac{R(t)}{B(t)} \] 초기 부하량 $L(0) = \frac{R_0}{B_0}$에 대하여, $t$일 후의 부하량 $L(t)$가 초기 부하량의 $\frac{1}{1024}$ 이하가 되는 최소의 일수 $t$를 구하시오. (단, $t$는 자연수이다.)
문제 10 [수학Ⅱ: 3차 속도곡선의 비대칭 주행과 저크(Jerk) 분석]
배점: 10점
차세대 초고속 하이퍼루프 캡슐의 시험 주행 시 속도가 다음과 같은 3차 함수로 제어되었다. \[ v(t) = t^2(6-t) = -t^3 + 6t^2 \quad (0 \le t \le 6) \] 여기서 $t$는 주행 시간(초), $v(t)$는 캡슐의 속도($\text{m/s}$)이다.
**[문제 10-2]** 함수 $v(t)$의 그래프를 바탕으로 다음을 설명하시오. 1) 캡슐의 속도가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 도함수를 이용하여 구하고, 최대 속도를 구하시오. (2점) 2) 가속도 $a(t) = v'(t)$와 가속도의 변화율(저크, Jerk) $j(t) = a'(t)$를 구하고, 가속도가 최대가 되는 순간의 시각과 그때의 저크의 값을 구하시오. (3점) 3) 승객이 느끼는 승차감의 급격한 변화를 방지하기 위해 속도 곡선의 변곡점이 왜 중요한지 정성적으로 서술하시오. (2점)
제5회 실전 모의고사 (더 어려운 문제 2 / Killer Master)
제5회 (더 어려운 문제 2 / Killer Master)
역함수와 멱곡선 사이의 넓이, 도함수의 극한 비존재와 미분계수의 차이(샌드위치 정리 증명), 매개변수 삼차함수 구간 최솟값 정적분, 등차수열 절댓값 30개 항의 합, 2단계 추진체 조각별 속도-고도 정적분 등 연세대학교 미래캠퍼스 수리논술 수석 합격을 겨냥한 최고난도 마스터피스 회차입니다.
문제 1 [수학Ⅱ: 사차곡선과 이차곡선 적분 넓이 및 매개변수]
배점: 10점
양의 실수 $k$에 대하여 두 함수 \[ f_1(x) = kx(3-x), \quad f_2(x) = x(k-x)^3 \] 를 정의한다. 동전을 던져서 앞면이 나오면 $f_1(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S_1$을 계산하고, 뒷면이 나오면 $f_2(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S_2$를 계산한다.
**[문제 1-1]** $S_1$과 $S_2$를 각각 $k$에 대한 식으로 나타내시오. (5점)
**[문제 1-2]** 동전 던지기의 결과와 관계없이 $S_1$과 $S_2$의 값이 같기 위한 양의 실수 $k$의 값을 구하고 이때의 넓이를 구하여라. (5점)
문제 2 [수학Ⅱ·수학Ⅰ: 역함수 대칭 영역 넓이와 조화수열]
배점: 10점
자연수 $n \ge 1$에 대하여 곡선 $y = 1 - x^n \; (0 \le x \le 1)$과 그 역함수 $y = g(x)$로 둘러싸인 영역의 넓이를 $D_n$이라 하자.
**[문제 2-1]** 영역 $D_n$의 넓이를 $n$에 대한 식으로 나타내시오. (4점)
**[문제 2-2]** 15보다 같거나 작은 세 자연수 $a \lt b \lt c$에 대하여, 세 수 $1 - D_a, 1 - D_b, 1 - D_c$가 순서대로 등비수열 또는 조화수열을 이루도록 하는 관계식을 세우고, 조화수열을 이루는 모든 순서쌍 $(a, b, c)$를 구하시오. (6점)
문제 3 [수학Ⅰ: 매개변수 로그방정식과 두 실근의 비]
배점: 10점
실수 $m$에 대하여 $x$에 대한 방정식 \[ \left( \log_2 x \right)^2 - (m+2)\log_2 x + 2m = 0 \] 의 두 실근을 $\alpha, \beta$라고 하자.
**[문제 3-1]** 두 근의 곱 $\alpha\beta$를 $m$에 대한 식으로 나타내시오. (4점)
**[문제 3-2]** 두 실근의 비가 $\frac{\beta}{\alpha} = 8$ 또는 $\frac{\alpha}{\beta} = 8$이 되도록 하는 모든 실수 $m$의 값을 구하고, 이때 두 근의 곱 $\alpha\beta$의 최댓값을 구하시오. (6점)
문제 4 [수학Ⅱ: 매개변수 삼차함수의 구간 최솟값 정적분]
배점: 10점
양의 상수 $k$에 대하여 함수 $f(x) = x^3 - 3k^2 x$가 있다. $a < k$인 실수 $a$에 대하여 닫힌구간 $[a, k]$에서 함수 $f(x)$의 최솟값을 $m(a)$라 하자.
**[문제 4-1]** 함수 $m(a)$를 $a$의 구간별로 구하시오. (6점)
**[문제 4-2]** $k = 1$일 때, 다음 정적분의 값을 구하시오. (4점) \[ \int_{-2}^0 m(a) \, da \]
문제 5 [수학Ⅱ: 샌드위치 정리 미분계수 증명과 극한 비존재]
배점: 10점
함수 $f(x)$가 다음과 같이 정의된다. \[ f(x) = \begin{cases} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) & (x \ne 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases} \]
**[문제 5-1]** 미분계수의 정의와 함수의 극한의 대소 관계(조임정리, 샌드위치 정리)를 이용하여 $f'(0) = 0$임을 증명하시오. (5점)
**[문제 5-2]** $x \ne 0$일 때 도함수 $f'(x)$를 구하고, $\lim_{x \to 0} f'(x)$가 존재하지 않음을 보임으로써 "도함수의 극한 $\lim_{x \to 0} f'(x)$가 존재하지 않으면 $x=0$에서의 미분계수 $f'(0)$도 존재하지 않는다"는 명제의 반례가 됨을 논증하시오. (5점)
문제 6 [수학Ⅰ: 등차수열의 최대합과 절댓값 30개 항의 합]
배점: 10점
첫째항이 자연수인 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_n$이 $n = 15$에서 유일한 최댓값 $225$를 가질 때, 다음 물음에 답하시오.
**[문제 6-2]** $\sum_{k=1}^{30} |a_k|$의 값을 구하시오. (5점)
문제 7 [수학Ⅱ: 주기함수의 연속성과 복합 삼각 다항식 적분]
배점: 10점
실수 전체에서 정의된 연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x+2) = f(x)$를 만족시키고, 닫힌구간 $[-1, 1]$에서 다음과 같이 정의된다. \[ f(x) = a|x| + b\cos(\pi x) + c \] $f(0) = 3$이고 $f(1) = 1$일 때 다음 물음에 답하시오. (단, $a, b, c$는 상수)
**[문제 7-1]** 상수 $b, c$의 값을 구하고, $f(x)$가 실수 전체에서 연속이 되기 위한 $a$의 조건을 설명하시오. (5점)
**[문제 7-2]** $a = 2$일 때, 다음 정적분의 값을 구하시오. (5점) \[ \int_0^6 f(x) \, dx \]
문제 8 [수학Ⅰ·수학Ⅱ: 삼각 절댓값 곡선과 직사각형 정적분]
배점: 10점
실수 $x \in [-\pi/2, \pi/2]$에 대하여 점 $\text{A}$를 $\text{A}(x, 0)$이라 하자. 점 $\text{A}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y = |\sin 2x|$와 만나는 점을 $\text{D}$라 하자. 또 점 $\text{A}$와 $\text{D}$를 각각 $y$축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 $\text{B}, \text{C}$라 할 때 사각형 $\text{ABCD}$는 직사각형이 된다. 이 직사각형 $\text{ABCD}$의 넓이를 $S(x)$라 할 때, 다음 정적분의 값을 구하시오. \[ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} S(x) \, dx \]
문제 9 [수학Ⅰ: 환경수용력 포화 한계 지수 증식 모델링]
배점: 10점
미래해양바이오연구소에서 미세조류를 바이오 연료로 전환하기 위해 대형 배양조에서 세포를 배양하고 있다. 배양조의 최대 환경 수용 한계는 $10^8$개($1$억 개)이다. - 초기($t=0$)에 우수한 지질 생산 능력을 가진 A조류와 성장 속도가 빠른 B조류가 각각 $90\%$와 $10\%$씩 섞여 있는 총 $10^5$개($100{,}000$개)의 종균을 접종하였다. - A조류는 2일마다 1회 분열하여 2배가 된다. - B조류는 1일마다 1회 분열하여 2배가 된다.
연구팀은 배양조 내 총 세포 수가 환경 수용 한계($10^8$개)에 도달하기 전에 배양을 종료하고 세포를 수확해야 한다. 총 세포 수가 처음으로 $10^8$개를 초과하지 않는 최대의 정수 일수 $N$을 구하고, 그 시점에서의 B조류의 점유 비율($\%$)을 구하시오. (단, $\log_{10} 2 = 0.3010$으로 계산한다.)
문제 10 [수학Ⅱ: 2단계 우주 발사체 다단 속도-고도 정적분]
배점: 10점
달 탐사용 2단계 우주 발사체의 수직 발사 시험에서 시간에 따른 속도가 다음과 같은 조각별 연속함수로 모델링되었다. \[ v(t) = \begin{cases} 4t & (0 \le t \le 10) \\ -2(t-10)^2 + 40 & (10 < t \le 15) \\ -10t + 140 & (15 < t \le 20) \end{cases} \] 여기서 $t$는 발사 후 경과 시간(초), $v(t)$는 로켓의 수직 상승 속도($\text{m/s}$)이다.
**[문제 10-1]** 로켓이 최고 고도에 도달하는 시각 $t$를 구하고, 발사 후 최고 고도까지 도달했을 때의 고도($\text{m}$)를 정적분을 이용하여 구하시오. (4점)
**[문제 10-2]** 함수 $v(t)$의 그래프를 바탕으로 다음을 설명하시오. 1) $t=10$초와 $t=15$초에서 속도 함수 $v(t)$의 연속성과 미분가능성을 판정하시오. (3점) 2) 가속도 $a(t) = v'(t)$의 변화를 구간별로 분석하고, 1단 엔진 정지($t=10$) 및 2단 엔진 연소 종료($t=15$)의 물리적 의미를 서술하시오. (3점)
2027학년도 대비 연세대학교(미래) 자연·의예 창의수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (문제집)120분 / 100점 만점 · 논술100% · 제시문 기반 수리논증
[대문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)
대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.6 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 2^{x - 304} + 304\)와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 \(y - x = 0\cdot 612\)에 대하여 서로 대칭이다. <제시문 (나)> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 612\)은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 612)\)도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.
직선 \(y = -x + 612\)이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 612)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
<제시문 (가)> 미분가능한 함수의 도함수는 정의에 의하여 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\;\left(f'(0) = 308\right)\)로 정의된다. <제시문 (나)> 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 성립하는 항등식 \(f(x+y) = f(x) + f(y) + 9xy(x+y) - 304\)이 주어지면 원점 대입으로 \(f(0) = 304\)를 먼저 결정한다.
미분가능한 다항함수가 모든 실수에 대하여 등식 \(f(x + y) = f(x) + f(y) + 9xy(x + y) - 304\)을 만족시키고 \(f'(0) = 308\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 원점 대입으로 \(f(0) = 304\)를 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 \(f'(x) = 9x^2 + 308\)임을 유도하시오.
[문항 3-2] (7점) 부정적분으로 함수 \(f(x) = 3x^3 + 308x + 304\)를 결정하고, 곡선 위의 점 \((1, 615)\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한값 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}\;\left(f'(2) = 344\right)\)의 값을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
2027학년도 대비 연세대학교(미래) 자연·의예 창의수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (문제집)120분 / 100점 만점 · 논술100% · 제시문 기반 수리논증
<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 \(t\;(0 \le t \le 900)\)에서의 위치 차 함수를 \(h(t) = t(t - 900)^2\)라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 \(h'(t)\)이다. <제시문 (나)> 닫힌구간 \([0, 900]\)에서 두 점 사이의 거리 \(D(t) = |t(t - 900)^2|\)는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.
수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치 차 함수가 \(h(t) = t^3 - 1800t^2 + 810000t = t(t - 900)^2\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 \(t_1 = 900\)를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 \(h'(900) = 0\)의 값을 구하시오.
<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 301)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (301, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{301} (-6x^2 + 1806x)\,dx = 27270901\)이다. <제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{301}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(27270901\)를 정확히 이등분한다.
포물선 \(C : y = -6x^2 + 1806x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 903x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 1806x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 27270901\)를 유도하시오.
2027학년도 대비 연세대학교(미래) 자연·의예 창의수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (문제집)120분 / 100점 만점 · 논술100% · 제시문 기반 수리논증
[대문항 1] 베이즈 정리 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 (20점)
확률과 통계 (조건부확률과 모비율의 추정) | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.8 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
<제시문 (가)> 표본공간의 분할 \(A_1, A_2\)에서 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{299},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{299}\)일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다. <제시문 (나)> 크기 \(n = 1430416\)인 표본에서 표본비율이 \(\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36\)일 때, 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{1430416}}\)이다.
두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{299},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{299}\)이며, 크기 \(n = 1430416\)인 표본의 표본비율이 \(\hat{p} = 0.36\)일 때 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{299}\)과 조건부확률 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 299)\)를 각각 구하시오.
<제시문 (가)> 포물선 \(y^2 = 1192x\) 위의 임의의 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\)에서 초점 \(\mathrm{F}(298, 0)\)까지의 거리는 준선 \(x = -298\)까지의 거리 \(x_1 + 298\)와 같다. <제시문 (나)> 포물선 \(y^2 = 1192x\) 위의 점 \(\mathrm{P}(1192, 1192)\)에서의 접선의 방정식은 \(y = \dfrac{1}{2}x + 596\)이다.
초점이 \(\mathrm{F}(298, 0)\)인 포물선 \(y^2 = 1192x\) 위의 제1사분면의 점 \(\mathrm{P}(1192, 1192)\)에서의 접선이 가로축과 만나는 점을 Q라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)의 포물선 정의를 이용하여 준선의 방정식 \(x = -298\)와 선분 \(\overline{\mathrm{PF}} = 1490\)의 길이를 구하시오.
<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 \(\mathrm{A}(894, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 894, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 894)\)을 지나는 평면의 방정식은 \(x + y + z = 894\)이고 법선벡터는 \(\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 894)\)이다. <제시문 (나)> 평면 \(x + y + z = 894\)와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 \(S' = S\cos\theta = \dfrac{799236}{2}\)가 성립한다.
좌표공간에서 세 점 \(\mathrm{A}(894, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 894, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 894)\)을 지나는 평면 \(x + y + z = 894\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 \(x + y + z - 894 = 0\)까지의 수선의 길이 \(d = 298\sqrt{3}\)를 구하시오.
2027학년도 대비 연세대학교(미래) 자연·의예 창의수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (문제집)120분 / 100점 만점 · 논술100% · 제시문 기반 수리논증
[대문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)
대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.9 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 2^{x - 307} + 307\)와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 \(y - x = 0\cdot 618\)에 대하여 서로 대칭이다. <제시문 (나)> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 618\)은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 618)\)도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.
직선 \(y = -x + 618\)이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 618)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 \(t\;(0 \le t \le 909)\)에서의 위치 차 함수를 \(h(t) = t(t - 909)^2\)라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 \(h'(t)\)이다. <제시문 (나)> 닫힌구간 \([0, 909]\)에서 두 점 사이의 거리 \(D(t) = |t(t - 909)^2|\)는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.
수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치 차 함수가 \(h(t) = t^3 - 1818t^2 + 826281t = t(t - 909)^2\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 \(t_1 = 909\)를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 \(h'(909) = 0\)의 값을 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 \(h''(t) = 6t - 3636 = 0\)이 되는 시각 \(t_2 = 606\)와 그때 두 점 사이의 거리 \(D(606) = 55636254\)를 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
2027학년도 대비 연세대학교(미래) 자연·의예 창의수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (문제집)120분 / 100점 만점 · 논술100% · 제시문 기반 수리논증
[대문항 5] 베이즈 정리 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 (20점)
확률과 통계 (조건부확률과 모비율의 추정) | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 확률과 통계 · 기출 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통03-06]
<제시문 (가)> 표본공간의 분할 \(A_1, A_2\)에서 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{300},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{300}\)일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다. <제시문 (나)> 크기 \(n = 1440000\)인 표본에서 표본비율이 \(\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36\)일 때, 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{1440000}}\)이다.
두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{300},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{300}\)이며, 크기 \(n = 1440000\)인 표본의 표본비율이 \(\hat{p} = 0.36\)일 때 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{300}\)과 조건부확률 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 300)\)를 각각 구하시오.
<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 305)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (305, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{305} (-6x^2 + 1830x)\,dx = 28372625\)이다. <제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{305}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(28372625\)를 정확히 이등분한다.
포물선 \(C : y = -6x^2 + 1830x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 915x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 1830x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 28372625\)를 유도하시오.
<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 \(\mathrm{A}(900, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 900, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 900)\)을 지나는 평면의 방정식은 \(x + y + z = 900\)이고 법선벡터는 \(\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 900)\)이다. <제시문 (나)> 평면 \(x + y + z = 900\)와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 \(S' = S\cos\theta = \dfrac{810000}{2}\)가 성립한다.
좌표공간에서 세 점 \(\mathrm{A}(900, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 900, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 900)\)을 지나는 평면 \(x + y + z = 900\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 \(x + y + z - 900 = 0\)까지의 수선의 길이 \(d = 300\sqrt{3}\)를 구하시오.