2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회)분

**[문제 1-1 풀이]**
1) $f_1(x) = 3kx(1-x) = -3kx^2 + 3kx$는 $x=0, 1$에서 $x$축과 만난다.
$k > 0$이므로 $0 \le x \le 1$에서 $f_1(x) \ge 0$이다.
따라서 둘러싸인 부분의 넓이 $S_1$은 다음과 같다.
\[
S_1 = \int_0^1 3kx(1-x) \, dx = 3k \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 3k \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 3k \times \frac{1}{6} = \frac{k}{2}
\]

2) $f_2(x) = x(2k-x) = -x^2 + 2kx$는 $x=0, 2k$에서 $x$축과 만난다.
$k > 0$이므로 $0 \le x \le 2k$에서 $f_2(x) \ge 0$이다.
따라서 둘러싸인 부분의 넓이 $S_2$는 다음과 같다.
\[
S_2 = \int_0^{2k} (2kx - x^2) \, dx = \left[ kx^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^{2k} = k(2k)^2 - \frac{(2k)^3}{3} = 4k^3 - \frac{8k^3}{3} = \frac{4k^3}{3}
\]

**[문제 1-2 풀이]**
동전 던지기의 결과와 관계없이 두 넓이가 같으려면 $S_1 = S_2$이어야 한다.
\[
\frac{k}{2} = \frac{4k^3}{3}
\]
양변에 6을 곱하면 $3k = 8k^3$이고, 이를 정리하면
\[
k(8k^2 - 3) = 0
\]
$k$는 양의 실수이므로 $k > 0$이다. 따라서
\[
8k^2 = 3 \implies k^2 = \frac{3}{8} \implies k = \sqrt{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{6}}{4}
\]
이때의 넓이 $S$는
\[
S = S_1 = \frac{k}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{8}
\]

**[문제 2-1 풀이]**
$0 \le x \le 1$에서 $2 - 2x^n \ge 0$이므로 영역 $D_n$의 넓이는 다음과 같다.
\[
D_n = \int_0^1 (2 - 2x^n) \, dx = \left[ 2x - \frac{2x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = 2 - \frac{2}{n+1} = \frac{2n}{n+1}
\]

**[문제 2-2 풀이]**
$a < b$일 때, $0 \le x \le 1$에서 $x^a \ge x^b$이므로 $2 - 2x^a \le 2 - 2x^b$이다.
따라서 $D_a$와 $D_b$로 둘러싸인 영역의 넓이는 다음과 같다.
\[
\int_0^1 \{(2 - 2x^b) - (2 - 2x^a)\} \, dx = D_b - D_a = \left(2 - \frac{2}{b+1}\right) - \left(2 - \frac{2}{a+1}\right) = \frac{2}{a+1} - \frac{2}{b+1}
\]
마찬가지로 $b < c$일 때 $D_b$와 $D_c$로 둘러싸인 넓이는 다음과 같다.
\[
D_c - D_b = \frac{2}{b+1} - \frac{2}{c+1}
\]
두 영역의 넓이가 서로 같아야 하므로:
\[
\frac{2}{a+1} - \frac{2}{b+1} = \frac{2}{b+1} - \frac{2}{c+1} \iff \frac{1}{a+1} + \frac{1}{c+1} = \frac{2}{b+1}
\]
여기서 $A = a+1, B = b+1, C = c+1$이라 치환하면, $1 \le a \lt b \lt c \le 6$이므로
$2 \le A \lt B \lt C \le 7$인 정수 $A, B, C$가 다음 조화수열 관계식을 만족해야 한다.
\[
\frac{1}{A} + \frac{1}{C} = \frac{2}{B} \iff B = \frac{2AC}{A+C}
\]
$A \lt B \lt C$에서 가능한 $A, C$ 조합을 전수 조사한다 ($2 \le A \le 5$, $A < C \le 7$):
- $A=2$:
- $C=3$: $B = \frac{12}{5}$ (정수 아님)
- $C=4$: $B = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$ (정수 아님)
- $C=5$: $B = \frac{20}{7}$ (정수 아님)
- $C=6$: $B = \frac{24}{8} = 3$ (정수, $2 < 3 < 6$ 만족) $\implies (A, B, C) = (2, 3, 6)$
- $C=7$: $B = \frac{28}{9}$ (정수 아님)
- $A=3$:
- $C=4$: $B = \frac{24}{7}$ (정수 아님)
- $C=5$: $B = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}$ (정수 아님)
- $C=6$: $B = \frac{36}{9} = 4$ (정수, $3 < 4 < 6$ 만족) $\implies (A, B, C) = (3, 4, 6)$
- $C=7$: $B = \frac{42}{10} = \frac{21}{5}$ (정수 아님)
- $A=4$:
- $C=5$: $B = \frac{40}{9}$ (정수 아님)
- $C=6$: $B = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$ (정수 아님)
- $C=7$: $B = \frac{56}{11}$ (정수 아님)
- $A=5$:
- $C=6$: $B = \frac{60}{11}$ (정수 아님)
- $C=7$: $B = \frac{70}{12} = \frac{35}{6}$ (정수 아님)

따라서 만족하는 $(A, B, C)$는 $(2, 3, 6)$과 $(3, 4, 6)$이다.
$a = A-1, b = B-1, c = C-1$이므로 구하는 자연수 순서쌍 $(a, b, c)$는
$(1, 2, 5)$와 $(2, 3, 5)$이다.

진수 조건에 의해 $x > 0$이다.
로그의 성질에 의하여
\[
\log_3 x^2 = 2 \log_3 x
\]
\[
\log_3 9x = \log_3 9 + \log_3 x = 2 + \log_3 x
\]
주어진 방정식에 대입하면 다음과 같다.
\[
(2 \log_3 x)(2 + \log_3 x) = 16
\]
$t = \log_3 x$로 치환하면
\[
2t(t + 2) = 16 \implies 2t^2 + 4t - 16 = 0 \implies t^2 + 2t - 8 = 0
\]
이 이차방정식의 두 실근을 $t_1, t_2$라 하면, $x$에 대한 두 근 $\alpha, \beta$에 대하여
\[
t_1 = \log_3 \alpha, \quad t_2 = \log_3 \beta
\]
가 성립한다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
\[
t_1 + t_2 = -2
\]
따라서
\[
\log_3 \alpha + \log_3 \beta = \log_3 (\alpha\beta) = -2
\]
로그의 정의에 의하여
\[
\alpha\beta = 3^{-2} = \frac{1}{9}
\]

**[문제 4-1 풀이]**
$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$의 도함수를 구하면
\[
f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)
\]
$f'(x) = 0$의 해는 $x = 0$ 또는 $x = 2$이다.
증감표를 작성하면 $x=0$에서 극댓값 $f(0) = 4$, $x=2$에서 극솟값 $f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$을 갖는다.
함수 $f(x)$가 0이 되는 점을 찾기 위해 인수분해하면
\[
f(x) = (x+1)(x-2)^2
\]
따라서 $x = -1$에서 $f(-1) = 0$이고, $x < -1$이면 $f(x) < 0$이다.

닫힌구간 $[a, 2]$ ($a < 2$)에서의 최솟값 $m(a)$를 고려하자:
1) $-1 \le a < 2$일 때:
구간 $[a, 2]$ 내에서 $x=2$는 항상 포함되며, 구간 내의 모든 $x \in [-1, 2]$에 대하여 $f(x) \ge 0$이다.
따라서 최솟값은 극솟값인 $f(2) = 0$이다. 즉, $m(a) = 0$.
2) $a < -1$일 때:
구간 $[a, 2]$에서 $f(a) < 0$이므로, 최솟값은 왼쪽 끝점인 $x=a$에서 발생한다. 즉,
\[
m(a) = f(a) = a^3 - 3a^2 + 4
\]
따라서 구하는 함수 $m(a)$는 다음과 같다.
\[
m(a) = \begin{cases} 0 & (-1 \le a < 2) \\ a^3 - 3a^2 + 4 & (a < -1) \end{cases}
\]

**[문제 4-2 풀이]**
구한 $m(a)$에 $a = 1, 0, -1, -2$를 각각 대입한다.
- $a = 1$: $-1 \le 1 < 2$이므로 $m(1) = 0$
- $a = 0$: $-1 \le 0 < 2$이므로 $m(0) = 0$
- $a = -1$: $-1 \le -1 < 2$이므로 $m(-1) = 0$
- $a = -2$: $-2 < -1$이므로 $m(-2) = f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 + 4 = -8 - 12 + 4 = -16$

따라서
\[
m(1) + m(0) + m(-1) + m(-2) = 0 + 0 + 0 + (-16) = -16
\]

**[오류 분석 및 이유 서술]**
- **틀린 부분**: ③에서 ④로 넘어가는 과정
- **이유**:
$h \to 0$일 때 $h$는 양수일 수도 있고 음수일 수도 있다.
따라서 $|h|$를 무조건 $+h$로 취급하여 $\lim_{h \to 0}\frac{h}{h} = 1$로 계산한 것은 우극한($h \to 0^+$)만을 고려한 치명적인 오류이다.
미분계수 $f'(1)$이 존재하기 위해서는 우미분계수와 좌미분계수가 모두 존재하고 그 값이 서로 같아야 한다.

**[올바른 풀이 및 결론]**
함수 $f(x) = |x-1|$의 $x=1$에서의 우미분계수와 좌미분계수를 각각 구한다.
1) 우미분계수 ($h \to 0^+$):
$h > 0$이므로 $|h| = h$이다.
\[
\lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1
\]
2) 좌미분계수 ($h \to 0^-$):
$h < 0$이므로 $|h| = -h$이다.
\[
\lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1
\]
우미분계수는 $1$이고 좌미분계수는 $-1$로 두 값이 서로 다르다.
\[
\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \ne \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}
\]
따라서 극한값 $\lim_{h \to 0}\frac{|h|}{h}$는 존재하지 않으며, 함수 $f(x) = |x-1|$은 $x=1$에서 미분가능하지 않다 (즉, $f'(1)$은 존재하지 않는다).

등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a_1 = 4$, 공차를 $d$라고 하자.
주어진 조건 $S_8 = S_4 + 82$에서
\[
S_8 - S_4 = 82
\]
좌변은 제5항부터 제8항까지의 합이므로
\[
S_8 - S_4 = a_5 + a_6 + a_7 + a_8
\]
일반항 $a_n = a_1 + (n-1)d = 4 + (n-1)d$를 대입하면
\[
(4 + 4d) + (4 + 5d) + (4 + 6d) + (4 + 7d) = 82
\]
좌변을 정리하면
\[
16 + 22d = 82
\]
\[
22d = 66 \implies d = 3
\]
따라서 구하는 제16항 $a_{16}$은 다음과 같다.
\[
a_{16} = a_1 + 15d = 4 + 15 \times 3 = 4 + 45 = 49
\]

함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되기 위해서는 다음 두 가지 조건이 만족되어야 한다.

**1) 연결점 $x = 2$에서의 연속 조건:**
\[
\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)
\]
- 좌극한 및 함숫값: $f(2) = 2^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$
- 우극한: $\lim_{x \to 2^+} [a(x-2)^3 + b] = a(0)^3 + b = b$
따라서 $b = 1$이다.

**2) 주기 $P = 3$에 따른 양 끝점에서의 연속 조건:**
모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = f(x-3)$ (즉, $f(x+3) = f(x)$)이므로, 구간 $[1, 4]$의 양 끝점인 $x=1$에서의 우극한과 $x=4$에서의 좌극한이 서로 같아야 한다.
\[
\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 4^-} f(x)
\]
- $x \to 1^+$일 때: $f(1) = 1^2 - 4(1) + 5 = 2$
- $x \to 4^-$일 때: $a(4-2)^3 + b = 8a + b = 8a + 1$
연속성에 의하여
\[
8a + 1 = 2 \implies 8a = 1 \implies a = \frac{1}{8}
\]

**3) $f(2027)$의 계산:**
주기가 $3$이므로 $2027$을 $3$으로 나눈 나머지를 구한다.
\[
2027 = 3 \times 675 + 2
\]
따라서
\[
f(2027) = f(2) = 1
\]

점 $\text{A}$의 좌표는 $(x, 0)$이고, 곡선 $y = \cos x$ 위의 점 $\text{D}$의 좌표는 $(x, \cos x)$이다.
점 $\text{A}$와 $\text{D}$를 $y$축에 대하여 대칭이동한 점은
\[
\text{B}(-x, 0), \quad \text{C}(-x, \cos(-x)) = (-x, \cos x)
\]
이다. 사각형 $\text{ABCD}$의 가로의 길이와 세로의 길이는 다음과 같다.
- 가로의 길이: $|x - (-x)| = 2|x|$
- 세로의 길이: $|\cos x - 0| = |\cos x|$

$x \in [-\pi/2, \pi/2]$에서 $\cos x \ge 0$이므로 $|\cos x| = \cos x$이다.
따라서 직사각형의 넓이 함수 $S(x)$는
\[
S(x) = 2|x|\cos x
\]
$S(-x) = 2|-x|\cos(-x) = 2|x|\cos x = S(x)$이므로 $S(x)$는 우함수(짝함수)이다.
따라서 대칭구간의 정적분은 다음과 같다.
\[
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} S(x) \, dx = 2 \int_0^{\pi/2} S(x) \, dx = 2 \int_0^{\pi/2} 2x \cos x \, dx = 4 \int_0^{\pi/2} x \cos x \, dx
\]
부분적분법을 적용한다 ($\int u v' dx = uv - \int u' v dx$):
$u = x \implies u' = 1$, $v' = \cos x \implies v = \sin x$.
\[
\int_0^{\pi/2} x \cos x \, dx = [x \sin x]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} \sin x \, dx
\]
\[
= \left( \frac{\pi}{2} \sin \frac{\pi}{2} - 0 \right) - [-\cos x]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} - (0 - (-1)) = \frac{\pi}{2} - 1
\]
따라서 구하는 정적분의 값은
\[
4 \times \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) = 2\pi - 4
\]

**1) 초기 세포 수 계산:**
초기 총 세포 수는 $800{,}000$개이다.
- 초기 A type 세포 수: $A_0 = 800{,}000 \times 0.8 = 640{,}000$개
- 초기 B type 세포 수: $B_0 = 800{,}000 \times 0.2 = 160{,}000$개

**2) $N$일 후의 세포 수 지수함수 모델링:**
- A type 세포는 3일에 1회 2배로 분열하므로 $N$일 후의 개체수는 다음과 같다.
\[
A(N) = A_0 \times 2^{N/3} = 640{,}000 \times 2^{N/3}
\]
- B type 세포는 1일에 1회 2배로 분열하므로 $N$일 후의 개체수는 다음과 같다.
\[
B(N) = B_0 \times 2^N = 160{,}000 \times 2^N
\]

**3) 목표 비율 도달 일수 $N$ 계산:**
A type 세포가 $20\%$, B type 세포가 $80\%$가 되는 시점에서의 두 세포 수의 비는 다음과 같다.
\[
\frac{B(N)}{A(N)} = \frac{80\%}{20\%} = 4
\]
개체수 식을 대입하면
\[
\frac{160{,}000 \times 2^N}{640{,}000 \times 2^{N/3}} = 4
\]
\[
\frac{1}{4} \times 2^{N - \frac{N}{3}} = 4 \implies 2^{2N/3} = 16 = 2^4
\]
밑이 같으므로 지수를 비교하면
\[
\frac{2N}{3} = 4 \implies 2N = 12 \implies N = 6
\]
따라서 필요한 배양 기간은 **$6$일**이다.

**4) $N=6$일 후 각각의 세포 수:**
- A type 세포 수:
\[
A(6) = 640{,}000 \times 2^{6/3} = 640{,}000 \times 2^2 = 640{,}000 \times 4 = 2{,}560{,}000 \text{개}
\]
- B type 세포 수:
\[
B(6) = 160{,}000 \times 2^6 = 160{,}000 \times 64 = 10{,}240{,}000 \text{개}
\]
(검산: 총 세포 수는 $2{,}560{,}000 + 10{,}240{,}000 = 12{,}800{,}000$개이며, A의 비율은 $\frac{2.56}{12.8} = 0.2$ ($20\%$), B의 비율은 $\frac{10.24}{12.8} = 0.8$ ($80\%$)로 완벽히 일치한다.)

**[문제 10-1 풀이]**
기체가 $t=0$부터 $t=8$까지 이동한 변위 $\Delta x$는 속도 함수 $f(t)$의 정적분과 같다.
\[
\Delta x = \int_0^8 (-t^2 + 8t) \, dt = \left[ -\frac{t^3}{3} + 4t^2 \right]_0^8
\]
\[
= -\frac{512}{3} + 4(64) = -\frac{512}{3} + 256 = \frac{-512 + 768}{3} = \frac{256}{3} \, \text{m}
\]
따라서 기체가 이동한 변위는 $\frac{256}{3} \, \text{m}$ (약 $85.33 \, \text{m}$)이다.

**[문제 10-2 풀이]**
**1) 속도의 변화 서술:**
$f'(t) = -2t + 8 = -2(t-4)$이다.
- $0 \le t < 4$ 구간: $f'(t) > 0$이므로 속도는 $0 \, \text{m/s}$에서 시작하여 점차 증가한다.
- $t = 4$초일 때: $f'(4) = 0$이 되어 최대 속도 $f(4) = -(4)^2 + 8(4) = 16 \, \text{m/s}$에 도달한다.
- $4 < t \le 8$ 구간: $f'(t) < 0$이므로 속도는 감소하기 시작하여 $t = 8$초일 때 $0 \, \text{m/s}$가 되어 정지한다.

**2) 이동 거리의 구간별 비교 (면적 분석):**
속도 그래프 $f(t) = -(t-4)^2 + 16$은 대칭축 $t=4$에 대하여 좌우 대칭인 위로 볼록한 포물선이다.
- 전반부 구간 $[0, 4]$에서의 이동 거리는 $\int_0^4 f(t) dt$이다.
- 후반부 구간 $[4, 8]$에서의 이동 거리는 $\int_4^8 f(t) dt$이다.
대칭성에 의해 두 구간의 곡선 아래 면적은 정확히 동일하다:
\[
\int_0^4 (-t^2 + 8t) dt = \left[ -\frac{t^3}{3} + 4t^2 \right]_0^4 = -\frac{64}{3} + 64 = \frac{128}{3} \, \text{m}
\]
\[
\int_4^8 (-t^2 + 8t) dt = \frac{256}{3} - \frac{128}{3} = \frac{128}{3} \, \text{m}
\]
따라서 기체는 전반부 4초 동안과 후반부 4초 동안 완전히 동일한 거리($\frac{128}{3} \, \text{m}$)를 이동한다.

**3) 그래프의 기울기(가속도)를 통한 속도 변화 서술:**
속도 그래프의 접선의 기울기는 기체의 가속도 $a(t) = f'(t) = -2t + 8$을 의미한다.
- 기울기의 절댓값 $|f'(t)| = |-2t + 8|$은 $t=0$에서 $|8| = 8$, $t=4$에서 $0$, $t=8$에서 $|-8| = 8$이다.
- $t=4$ 근처에서는 기울기가 $0$에 가까워지므로 속도 변화가 매우 완만하다.
- 반면 출발 직후($t=0$)와 정지 직전($t=8$)에는 기울기의 절댓값이 최댓값 $8 \, \text{m/s}^2$을 가지므로 속도의 증가 및 감소 변화율이 가장 급격하다.
- 가속도가 시간에 따라 선형적으로 일정하게 감소($f''(t) = -2$)하므로 기체는 급발진이나 급정지 없이 부드럽게 가속 및 감속을 수행함을 알 수 있다.

**[문제 1-1 풀이]**
1) $f_1(x) = -k(x^2 - 4x + 3)$은 $x = 1, 3$에서 $x$축과 만난다.
$k > 0$이므로 $1 \le x \le 3$에서 $f_1(x) \ge 0$이다.
따라서 둘러싸인 부분의 넓이 $S_1$은 다음과 같다.
\[
S_1 = \int_1^3 k(x-1)(3-x) \, dx = k \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} - 3x \right]_1^3
\]
정적분 넓이 공식 $\frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$을 적용하면
\[
S_1 = \frac{k}{6} (3 - 1)^3 = \frac{k}{6} \times 8 = \frac{4k}{3}
\]

2) $f_2(x) = -x^2 + k^2 x$는 $x = 0, k^2$에서 $x$축과 만난다.
$k > 0$이므로 $k^2 > 0$이고 $0 \le x \le k^2$에서 $f_2(x) \ge 0$이다.
따라서 둘러싸인 부분의 넓이 $S_2$는 다음과 같다.
\[
S_2 = \int_0^{k^2} (k^2 x - x^2) \, dx = \left[ \frac{k^2 x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^{k^2} = \frac{k^6}{2} - \frac{k^6}{3} = \frac{k^6}{6}
\]

**[문제 1-2 풀이]**
$S_1 = S_2$가 성립해야 하므로
\[
\frac{4k}{3} = \frac{k^6}{6}
\]
양변에 6을 곱하면
\[
8k = k^6 \implies k(k^5 - 8) = 0
\]
$k > 0$이므로 $k = 0$은 해가 될 수 없다. 따라서
\[
k^5 = 8 = 2^3 \implies k = 8^{1/5} = 2^{3/5}
\]
이때의 일치하는 넓이 $S$는
\[
S = S_1 = \frac{4}{3} k = \frac{4}{3} \times 2^{3/5} = \frac{2^2 \times 2^{3/5}}{3} = \frac{2^{13/5}}{3} \quad \left( = \frac{4\sqrt[5]{8}}{3} \right)
\]

**[문제 2-1 풀이]**
$0 \le x \le 1$에서 곡선 $y = 1 - x^n$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역의 넓이 $D_n$은
\[
D_n = \int_0^1 (1 - x^n) \, dx = \left[ x - \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}
\]
따라서 $E_n = 1 - D_n$은 다음과 같다.
\[
E_n = 1 - \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{1}{n+1}
\]
(참고: 기하학적으로 $E_n$은 곡선 $y = x^n$ 아래의 넓이 $\int_0^1 x^n dx = \frac{1}{n+1}$과 같다.)

**[문제 2-2 풀이]**
세 수 $E_a, E_b, E_c$가 순서대로 등차수열을 이루므로 등차중항의 성질에 의하여
\[
2 E_b = E_a + E_c \iff \frac{2}{b+1} = \frac{1}{a+1} + \frac{1}{c+1}
\]
$A = a+1, B = b+1, C = c+1$이라 두면, $1 \le a \lt b \lt c \le 8$에서
$2 \le A \lt B \lt C \le 9$인 자연수 $A, B, C$가 다음 조화수열 관계를 만족해야 한다.
\[
B = \frac{2AC}{A+C}
\]
$A < C \le 9$인 자연수에 대해 $B$가 정수가 되는 순서쌍을 조사한다:
1) $A = 2$:
- $C = 6 \implies B = \frac{2(2)(6)}{2+6} = \frac{24}{8} = 3$ ($2 < 3 < 6$ 만족) $\implies (A, B, C) = (2, 3, 6)$
2) $A = 3$:
- $C = 6 \implies B = \frac{2(3)(6)}{3+6} = \frac{36}{9} = 4$ ($3 < 4 < 6$ 만족) $\implies (A, B, C) = (3, 4, 6)$
3) $A = 4$:
- $C = 8 \implies B = \frac{2(4)(8)}{4+8} = \frac{64}{12}$ (정수 아님)
4) $A = 6$:
- $C = 8 \implies B = \frac{2(6)(8)}{6+8} = \frac{96}{14}$ (정수 아님)
5) 그 외 $2 \le A < C \le 9$에서:
- $A=4, C=6 \implies B = 48/10$
- $A=4, C=9 \implies B = 72/13$
- $A=5, C=8 \implies B = 80/13$
- $A=6, C=9 \implies B = 108/15 = 36/5$
따라서 조건을 만족하는 $(A, B, C)$는 $(2, 3, 6)$과 $(3, 4, 6)$이다.

$a = A-1, b = B-1, c = C-1$이므로 구하는 순서쌍 $(a, b, c)$는
$(1, 2, 5)$와 $(2, 3, 5)$이다.

**[문제 3-1 풀이]**
진수 조건에 의해 $x > 0$이다.
밑 변환 공식을 이용하여 $\log_4 8x$를 밑이 2인 로그로 변환한다:
\[
\log_4 8x = \frac{\log_2 8x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 8 + \log_2 x}{2} = \frac{3 + \log_2 x}{2}
\]
주어진 방정식에 대입하면
\[
(\log_2 x) \left( \frac{3 + \log_2 x}{2} \right) = 5
\]
양변에 2를 곱하면
\[
(\log_2 x)(3 + \log_2 x) = 10 \implies (\log_2 x)^2 + 3\log_2 x - 10 = 0
\]
$t = \log_2 x$로 치환하면 이차방정식 $t^2 + 3t - 10 = 0$을 얻는다.
두 실근을 $t_1 = \log_2 \alpha, t_2 = \log_2 \beta$라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
\[
t_1 + t_2 = -3
\]
따라서
\[
\log_2 \alpha + \log_2 \beta = \log_2(\alpha\beta) = -3 \implies \alpha\beta = 2^{-3} = \frac{1}{8}
\]

**[문제 3-2 풀이]**
이차방정식 $t^2 + 3t - 10 = 0$을 인수분해하면
\[
(t + 5)(t - 2) = 0 \implies t = -5 \text{ 또는 } t = 2
\]
따라서
\[
\log_2 \alpha = -5 \implies \alpha = 2^{-5} = \frac{1}{32}
\]
\[
\log_2 \beta = 2 \implies \beta = 2^2 = 4
\]
구하는 두 근의 합 $\alpha + \beta$는 다음과 같다.
\[
\alpha + \beta = \frac{1}{32} + 4 = \frac{129}{32}
\]

**[문제 4-1 풀이]**
$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$의 도함수를 구하면
\[
f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x-2)(x+1)
\]
$f'(x) = 0$의 해는 $x = -1$ 또는 $x = 2$이다.
증감표를 분석하면:
- $x = -1$에서 극댓값 $f(-1) = 2(-1) - 3(1) - 12(-1) + 5 = -2 - 3 + 12 + 5 = 12$
- $x = 2$에서 극솟값 $f(2) = 2(8) - 3(4) - 12(2) + 5 = 16 - 12 - 24 + 5 = -15$

구간 $[a, 1]$은 $x < 1$ 영역이므로 극소점 $x = 2$는 구간에 포함되지 않는다.
구간의 오른쪽 끝점인 $x = 1$에서의 함숫값은
\[
f(1) = 2(1) - 3(1) - 12(1) + 5 = -8
\]
$x \in [-1, 1]$ 구간에서 $f'(x) \le 0$이므로 $f(x)$는 감소한다.
따라서 $-1 \le a < 1$일 때, 구간 $[a, 1]$에서의 최솟값은 오른쪽 끝점인 $x = 1$에서 발생하며, 그 값은 $f(1) = -8$이다.

이제 $a < -1$인 경우를 살펴보자.
$x < -1$에서 $f'(x) > 0$이므로 $f(x)$는 증가한다. 따라서 $f(a)$는 $a$가 음의 무한대로 갈수록 작아진다.
$f(a) = f(1) = -8$이 되는 $a$를 찾으면:
\[
2a^3 - 3a^2 - 12a + 5 = -8 \implies 2a^3 - 3a^2 - 12a + 13 = 0
\]
$a = 1$이 한 근이므로 인수분해하면
\[
(a-1)(2a^2 - a - 13) = 0
\]
$2a^2 - a - 13 = 0$의 근의 공식에 의해
\[
a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-13)}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{105}}{4}
\]
$\sqrt{105} \approx 10.247$이므로
\[
\alpha = \frac{1 - \sqrt{105}}{4} \approx \frac{1 - 10.25}{4} \approx -2.31
\]
- $\alpha \le a < 1$일 때: 최솟값은 $f(1) = -8$이다.
- $a < \alpha$일 때: 최솟값은 $f(a) = 2a^3 - 3a^2 - 12a + 5$이다.

따라서 최솟값 함수 $m(a)$는 다음과 같다 (단, $\alpha = \frac{1-\sqrt{105}}{4}$):
\[
m(a) = \begin{cases} -8 & (\alpha \le a < 1) \\ 2a^3 - 3a^2 - 12a + 5 & (a < \alpha) \end{cases}
\]

**[문제 4-2 풀이]**
$\alpha = \frac{1-\sqrt{105}}{4} \approx -2.31$이므로 정수들의 위치를 판정하면:
- $a = 0$: $0 \ge \alpha$이므로 $m(0) = -8$
- $a = -1$: $-1 \ge \alpha$이므로 $m(-1) = -8$
- $a = -2$: $-2 \ge \alpha$ ($-2 > -2.31$)이므로 $m(-2) = -8$
- $a = -3$: $-3 < \alpha$이므로 $m(-3) = f(-3)$
\[
f(-3) = 2(-27) - 3(9) - 12(-3) + 5 = -54 - 27 + 36 + 5 = -40
\]
따라서 구하는 값은
\[
m(0) + m(-1) + m(-2) + m(-3) = (-8) + (-8) + (-8) + (-40) = -64
\]

**1) 도함수의 정의에 따른 $g'(0)$의 계산:**
미분계수의 정의에 의하여
\[
g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(0+h) - g(0)}{h}
\]
$g(0) = 0 \times |0| = 0$이고 $g(h) = h|h|$이므로
\[
g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h|h|}{h} = \lim_{h \to 0} |h|
\]
이때 $h \to 0^+$일 때 $|h| \to 0$이고, $h \to 0^-$일 때도 $|h| \to 0$이다. 즉,
\[
\lim_{h \to 0^+} |h| = 0, \quad \lim_{h \to 0^-} |h| = 0
\]
우극한과 좌극한이 모두 존재하고 $0$으로 일치하므로
\[
g'(0) = \lim_{h \to 0} |h| = 0
\]
따라서 함수 $g(x) = x|x|$는 $x = 0$에서 미분가능하며 미분계수는 $0$이다.

**2) 학생 주장의 반박:**
- 학생의 주장: "절댓값 기호를 포함하는 모든 함수는 절댓값 내부가 $0$이 되는 점에서 항상 미분불가능하다."
- 반박: 함수 $g(x) = x|x|$는 절댓값 안의 식 $x$가 $0$이 되는 점 $x=0$을 포함하지만, 위에서 증명한 바와 같이 $g'(0) = 0$으로 엄밀하게 미분가능하다.
- 수학적 원리: $x > 0$일 때 $g(x) = x^2 \implies g'(x) = 2x \to 0$ ($x \to 0^+$), $x < 0$일 때 $g(x) = -x^2 \implies g'(x) = -2x \to 0$ ($x \to 0^-$)이 되어 좌우 접선의 기울기가 모두 $0$으로 매끄럽게 연결된다.
따라서 절댓값 기호가 있더라도 인수의 차수가 2차 이상으로 곱해지는 경우 좌우 미분계수가 일치하여 미분가능해지므로, 학생의 일반화 주장은 거짓인 명제(반례: $g(x) = x|x|$)이다.

**[문제 6-1 풀이]**
첫째항을 $a_1$, 공차를 $d$ ($d < 0$)라고 하자.
등차수열의 합 공식에 의하여
\[
S_6 = \frac{6(2a_1 + 5d)}{2} = 3(2a_1 + 5d) = 72 \implies 2a_1 + 5d = 24 \quad \cdots \text{①}
\]
\[
S_{12} = \frac{12(2a_1 + 11d)}{2} = 6(2a_1 + 11d) = 72 \implies 2a_1 + 11d = 12 \quad \cdots \text{②}
\]
②식에서 ①식을 빼면
\[
(2a_1 + 11d) - (2a_1 + 5d) = 12 - 24 \implies 6d = -12 \implies d = -2
\]
$d = -2$를 ①식에 대입하면
\[
2a_1 + 5(-2) = 24 \implies 2a_1 - 10 = 24 \implies 2a_1 = 34 \implies a_1 = 17
\]
따라서 첫째항은 $a_1 = 17$, 공차는 $d = -2$이다.

**[문제 6-2 풀이]**
수열 $\{a_n\}$의 일반항은
\[
a_n = a_1 + (n-1)d = 17 + (n-1)(-2) = 19 - 2n
\]
1) $a_{15}$의 값:
\[
a_{15} = 19 - 2(15) = 19 - 30 = -11
\]
2) $a_n < 0$을 만족하는 조건:
\[
19 - 2n < 0 \implies 2n > 19 \implies n > 9.5
\]
$n$은 자연수이므로 이를 만족하는 최소의 자연수는 $n = 10$이다.

**[문제 7-1 풀이]**
1) $x = 2$에서의 연속 조건:
- 좌극한: $\lim_{x \to 2^-} (-x^2 + 4x) = -4 + 8 = 4$
- 우극한: $\lim_{x \to 2^+} [a(x-2)^2 + b] = b$
따라서 $b = 4$이어야 한다.

2) 주기 $P = 4$에 따른 양 끝점에서의 연속 조건:
주기가 4이므로 $x=0$과 $x=4$에서의 함숫값이 일치해야 한다.
- $f(0) = 0$
- $f(4) = a(4-2)^2 + b = 4a + b = 4a + 4$
연속성에 의해 $4a + 4 = 0 \implies a = -1$.
따라서 연속 조건만으로 $a = -1, b = 4$가 완전히 결정된다.

3) 실수 전체에서의 미분가능성 검증:
- $x = 2$에서:
- $x < 2$일 때 $f'(x) = -2x + 4 \implies \lim_{x \to 2^-} f'(x) = 0$
- $x > 2$일 때 $f'(x) = 2a(x-2) = -2(x-2) \implies \lim_{x \to 2^+} f'(x) = 0$
좌우 미분계수가 $0$으로 일치하므로 $x = 2$에서 미분가능하다.
- 주기 연결점($x = 0$ 및 $x = 4$):
- $x \to 0^+$일 때 $f'(0^+) = -2(0) + 4 = 4$
- $x \to 4^-$일 때 $f'(4^-) = -2(4-2) = -4$
$f'(0^+) = 4 \ne f'(4^-) = -4$이므로 $x = 0, 4, 8, \dots$에서는 미분가능하지 않다.
문제의 요구는 $f(x)$가 연속일 때의 $a, b$ 값이므로 $a = -1, b = 4$이다.

**[문제 7-2 풀이]**
주기가 4이므로 $2027$을 4로 나눈 나머지를 구한다:
\[
2027 = 4 \times 506 + 3
\]
따라서 $f(2027) = f(3)$이다.
$x = 3$은 $2 < x \le 4$ 구간에 속하므로
\[
f(3) = a(3-2)^2 + b = -1(1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3
\]

점 $\text{A}(x, 0)$과 점 $\text{D}(x, \sqrt{4-x^2})$에 대하여, $y$축 대칭점은
\[
\text{B}(-x, 0), \quad \text{C}(-x, \sqrt{4-x^2})
\]
이다. 사각형 $\text{ABCD}$의 가로의 길이는 $|x - (-x)| = 2|x|$이고, 세로의 길이는 $\sqrt{4-x^2}$이다.
따라서 직사각형의 넓이 함수 $S(x)$는
\[
S(x) = 2|x|\sqrt{4-x^2}
\]
$S(-x) = 2|-x|\sqrt{4-(-x)^2} = 2|x|\sqrt{4-x^2} = S(x)$이므로 $S(x)$는 우함수이다.
따라서 대칭구간의 정적분은 다음과 같다.
\[
\int_{-2}^{2} S(x) \, dx = 2 \int_0^2 S(x) \, dx = 2 \int_0^2 2x\sqrt{4-x^2} \, dx = 4 \int_0^2 x\sqrt{4-x^2} \, dx
\]
$u = 4 - x^2$으로 치환적분한다:
- $du = -2x \, dx \implies x \, dx = -\frac{1}{2} du$
- 적분 구간: $x = 0 \implies u = 4$, $x = 2 \implies u = 0$
대입하면
\[
4 \int_0^2 x\sqrt{4-x^2} \, dx = 4 \int_4^0 \sqrt{u} \left(-\frac{1}{2}\right) du = 2 \int_0^4 u^{1/2} \, du
\]
\[
= 2 \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_0^4 = \frac{4}{3} (4^{3/2} - 0) = \frac{4}{3} \times 8 = \frac{32}{3}
\]
따라서 구하는 정적분의 값은 $\frac{32}{3}$이다.

**1) 초기 개체수 계산:**
총 $1{,}000{,}000$개 중
- $A_0 = 1{,}000{,}000 \times 0.9 = 900{,}000 = 9 \times 10^5$개
- $B_0 = 1{,}000{,}000 \times 0.1 = 100{,}000 = 10^5$개

**2) $t$시간 후의 개체수 모델링:**
- A 박테리아는 24시간마다 2배로 증가하므로 $t$시간 후 개체수는
\[
A(t) = A_0 \times 2^{t/24}
\]
- B 박테리아는 12시간마다 1.5배($= \frac{3}{2}$배)로 증가하므로 $t$시간 후 개체수는
\[
B(t) = B_0 \times (1.5)^{t/12} = B_0 \times \left(\frac{3}{2}\right)^{t/12}
\]

**3) 목표 비율 도달 시점:**
A가 $10\%$, B가 $90\%$가 되는 시점이므로 두 개체수의 비는
\[
\frac{B(t)}{A(t)} = \frac{90\%}{10\%} = 9
\]
식을 대입하면
\[
\frac{10^5 \times (1.5)^{t/12}}{9 \times 10^5 \times 2^{t/24}} = 9 \implies \frac{(1.5)^{t/12}}{2^{t/24}} = 81 = 3^4
\]
양변에 상용로그 $\log_{10}$을 취한다:
\[
\log_{10} \left( \frac{(1.5)^{t/12}}{2^{t/24}} \right) = \log_{10} 3^4 = 4 \log_{10} 3
\]
\[
\frac{t}{12} \log_{10} 1.5 - \frac{t}{24} \log_{10} 2 = 4 \log_{10} 3
\]
$\log_{10} 1.5 = \log_{10} \frac{3}{2} = \log_{10} 3 - \log_{10} 2 = 0.4771 - 0.3010 = 0.1761$.
대입하면
\[
\frac{t}{24} \left[ 2 \log_{10} 1.5 - \log_{10} 2 \right] = 4(0.4771) = 1.9084
\]
괄호 안의 값을 계산하면:
\[
2(0.1761) - 0.3010 = 0.3522 - 0.3010 = 0.0512
\]
따라서
\[
\frac{t}{24} \times 0.0512 = 1.9084 \implies t = \frac{1.9084 \times 24}{0.0512} = \frac{45.8016}{0.0512} = 894.5625
\]
소수점 첫째 자리에서 반올림하면 약 **$895$시간** (약 37.3일)이다.

**[문제 10-1 풀이]**
$0 \le t \le 6$에서 $v(t) = t^2(6-t) \ge 0$이므로 속도는 항상 $0$ 이상이다.
따라서 열차가 이동한 총 변위 $x$는 정적분과 같다.
\[
x = \int_0^6 (-t^3 + 6t^2) \, dt = \left[ -\frac{t^4}{4} + 2t^3 \right]_0^6
\]
\[
= -\frac{6^4}{4} + 2(6^3) = -\frac{1296}{4} + 2(216) = -324 + 432 = 108 \, \text{km}
\]
따라서 열차가 이동한 총 거리는 $108 \, \text{km}$이다.

**[문제 10-2 풀이]**
**1) 최대 속도 시각:**
$v'(t) = -3t^2 + 12t = -3t(t-4)$이다.
$0 \le t \le 6$에서 $v'(t) = 0$인 점은 $t = 0$ 또는 $t = 4$이다.
- $0 \lt t \lt 4$에서 $v'(t) > 0$ (속도 증가)
- $4 \lt t \lt 6$에서 $v'(t) < 0$ (속도 감소)
따라서 열차의 속도는 $t = 4$분일 때 극대이자 최대가 되며, 최대 속도는
\[
v(4) = -(4)^3 + 6(4)^2 = -64 + 96 = 32 \, \text{km/min} \quad (1920 \, \text{km/h})
\]
이다.

**2) 최대 가속도 시각(변곡점) 및 물리적 의미:**
가속도 함수는 $a(t) = v'(t) = -3t^2 + 12t$이다.
가속도의 변화율(저크, Jerk)은 $a'(t) = v''(t) = -6t + 12 = -6(t-2)$이다.
- $a'(t) = 0 \implies t = 2$분.
$a''(t) = -6 < 0$이므로 $t = 2$분에서 가속도는 최댓값 $a(2) = -3(4) + 12(2) = 12 \, \text{km/min}^2$을 갖는다.
- 물리적 의미: $t=2$분은 열차의 추진 가속도가 가장 강력하게 작용하는 순간이며, 속도 곡선의 접선의 기울기가 가장 가파르게 증가하는 변곡점이다. 이후 $t=2$분부터는 속도는 여전히 증가하지만 가속도가 점차 감소하여 가속감이 완만해진다.

**3) 오목과 볼록(Convexity) 분석:**
- $v''(t) = -6(t-2)$이므로:
- $0 \le t < 2$ 구간: $v''(t) > 0$이므로 그래프는 **아래로 볼록(convex downward)**하다. 이는 속도의 증가율이 점점 더 빨라지는 구간이다.
- $2 < t \le 6$ 구간: $v''(t) < 0$이므로 그래프는 **위로 볼록(concave downward)**하다. 이는 속도의 증가율이 둔화되거나 속도가 감소하는 구간이다.
- $t = 2$는 아래로 볼록에서 위로 볼록으로 곡선의 오목볼록이 바뀌는 변곡점(Inflection point)이다.

**[문제 1-1 풀이]**
1) $f_1(x) = 2kx(2-x) = -2kx^2 + 4kx$는 $x=0, 2$에서 $x$축과 만난다.
$k > 0$이므로 $0 \le x \le 2$에서 $f_1(x) \ge 0$이다.
따라서 둘러싸인 부분의 넓이 $S_1$은 다음과 같다.
\[
S_1 = \int_0^2 2kx(2-x) \, dx = 2k \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = 2k \left( 4 - \frac{8}{3} \right) = 2k \times \frac{4}{3} = \frac{8k}{3}
\]

2) $f_2(x) = x^2(3k - x) = -x^3 + 3kx^2$는 $x=0$(중근)과 $x=3k$에서 $x$축과 만난다.
$k > 0$이므로 $0 \le x \le 3k$에서 $f_2(x) \ge 0$이다.
따라서 둘러싸인 부분의 넓이 $S_2$는 다음과 같다.
\[
S_2 = \int_0^{3k} (3kx^2 - x^3) \, dx = \left[ kx^3 - \frac{x^4}{4} \right]_0^{3k} = k(3k)^3 - \frac{(3k)^4}{4}
\]
\[
= 27k^4 - \frac{81k^4}{4} = \frac{108k^4 - 81k^4}{4} = \frac{27k^4}{4}
\]

**[문제 1-2 풀이]**
$S_1 = S_2$가 성립해야 하므로
\[
\frac{8k}{3} = \frac{27k^4}{4}
\]
양변에 12를 곱하면
\[
32k = 81k^4 \implies k(81k^3 - 32) = 0
\]
$k > 0$이므로
\[
k^3 = \frac{32}{81} \implies k = \sqrt[3]{\frac{32}{81}} = \frac{\sqrt[3]{32}}{\sqrt[3]{81}} = \frac{2\sqrt[3]{4}}{3\sqrt[3]{3}} = \frac{2\sqrt[3]{12}}{9}
\]
이때의 일치하는 넓이 $S$는
\[
S = S_1 = \frac{8}{3} k = \frac{8}{3} \times \frac{2\sqrt[3]{12}}{9} = \frac{16\sqrt[3]{12}}{27}
\]

**[문제 2-1 풀이]**
$0 \le x \le 1$에서 $1 - x^{n+1} \ge 0$이므로 영역 $D_n$의 넓이는 다음과 같다.
\[
D_n = \int_0^1 (1 - x^{n+1}) \, dx = \left[ x - \frac{x^{n+2}}{n+2} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{n+2} = \frac{n+1}{n+2}
\]

**[문제 2-2 풀이]**
$a < b$일 때 $0 \le x \le 1$에서 $x^{a+1} \ge x^{b+1}$이므로 $1 - x^{a+1} \le 1 - x^{b+1}$이다.
따라서 $D_a$와 $D_b$로 둘러싸인 영역의 넓이는
\[
D_b - D_a = \left(1 - \frac{1}{b+2}\right) - \left(1 - \frac{1}{a+2}\right) = \frac{1}{a+2} - \frac{1}{b+2}
\]
마찬가지로 $b < c$일 때 $D_b$와 $D_c$로 둘러싸인 영역의 넓이는
\[
D_c - D_b = \frac{1}{b+2} - \frac{1}{c+2}
\]
두 넓이가 서로 같아야 하므로
\[
\frac{1}{a+2} - \frac{1}{b+2} = \frac{1}{b+2} - \frac{1}{c+2} \iff \frac{1}{a+2} + \frac{1}{c+2} = \frac{2}{b+2}
\]
$A = a+2, B = b+2, C = c+2$라 두면, $1 \le a \lt b \lt c \le 8$이므로
$3 \le A \lt B \lt C \le 10$인 자연수 $A, B, C$가 다음 조화수열 관계를 만족해야 한다.
\[
B = \frac{2AC}{A+C}
\]
$3 \le A < C \le 10$인 자연수 조합을 조사한다:
1) $A = 3$:
- $C = 6 \implies B = \frac{2(3)(6)}{3+6} = \frac{36}{9} = 4$ ($3 < 4 < 6$ 성립) $\implies (A, B, C) = (3, 4, 6)$
2) $A = 4$:
- $C = 8 \implies B = \frac{2(4)(8)}{4+8} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}$ (정수 아님)
3) $A = 5$:
- $C = 10 \implies B = \frac{2(5)(10)}{5+10} = \frac{100}{15} = \frac{20}{3}$ (정수 아님)
4) $A = 6$:
- $C = 8 \implies B = \frac{96}{14}$ (정수 아님)
- $C = 9 \implies B = \frac{108}{15}$ (정수 아님)
5) 그 외:
- $A=4, C=6 \implies B = 4.8$
- $A=4, C=12$ (범위 초과)
- $A=6, C=12$ (범위 초과)

따라서 $3 \le A \lt B \lt C \le 10$ 범위에서 정수해는 유일하게 $(A, B, C) = (3, 4, 6)$뿐이다.
$a = A-2, b = B-2, c = C-2$이므로 구하는 순서쌍 $(a, b, c)$는
\[
(a, b, c) = (1, 2, 4)
\]
이다.

**[문제 3-1 풀이]**
진수 조건에 의해 $x > 0$이다.
로그의 성질에 의하여
\[
\log_2 \frac{x}{4} = \log_2 x - \log_2 4 = \log_2 x - 2
\]
\[
\log_2 2x = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + \log_2 x
\]
주어진 방정식에 대입하면
\[
(\log_2 x - 2)(\log_2 x + 1) = 14
\]
$t = \log_2 x$로 치환하면
\[
(t - 2)(t + 1) = 14 \implies t^2 - t - 2 = 14 \implies t^2 - t - 16 = 0
\]
이 이차방정식의 두 실근을 $t_1, t_2$라 하면, $x$에 대한 두 근 $\alpha, \beta$에 대하여
\[
t_1 = \log_2 \alpha, \quad t_2 = \log_2 \beta
\]
가 성립한다. 판별식 $D = 1 - 4(1)(-16) = 65 > 0$이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
근과 계수의 관계에 의하여
\[
t_1 + t_2 = 1, \quad t_1 t_2 = -16
\]
따라서
\[
\log_2 \alpha + \log_2 \beta = \log_2(\alpha\beta) = 1 \implies \alpha\beta = 2^1 = 2
\]

**[문제 3-2 풀이]**
밑 변환 공식을 적용하여 밑을 2로 변환하면
\[
\log_\alpha \beta = \frac{\log_2 \beta}{\log_2 \alpha} = \frac{t_2}{t_1}, \quad \log_\beta \alpha = \frac{\log_2 \alpha}{\log_2 \beta} = \frac{t_1}{t_2}
\]
구하고자 하는 식은 다음과 같다.
\[
\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha = \frac{t_2}{t_1} + \frac{t_1}{t_2} = \frac{t_1^2 + t_2^2}{t_1 t_2}
\]
곱셈공식 변형에 의하여
\[
t_1^2 + t_2^2 = (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2 = (1)^2 - 2(-16) = 1 + 32 = 33
\]
따라서
\[
\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha = \frac{33}{-16} = -\frac{33}{16}
\]

**[문제 4-1 풀이]**
$f(x) = x^3 - 3x$의 도함수는
\[
f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)
\]
$x = -1$에서 극댓값 $f(-1) = -1 + 3 = 2$, $x = 1$에서 극솟값 $f(1) = 1 - 3 = -2$를 갖는다.
구간 $[a, a+2]$의 길이는 $2$이다.

극대점 $x = -1$이 구간 $[a, a+2]$에 포함되는 조건은
\[
a \le -1 \le a+2 \iff -3 \le a \le -1
\]
- 이 구간에서는 극댓값 $f(-1) = 2$가 최댓값 후보가 된다.
$f(a+2) = 2$가 되는 점을 찾으면:
$f(x) = 2 \iff x^3 - 3x - 2 = 0 \iff (x+1)^2(x-2) = 0 \implies x = 2$
즉, $a+2 = 2 \implies a = 0$일 때 $f(2) = 2$이다.
- $a < -3$일 때: 극대점 $x=-1$은 구간의 오른쪽에 있으므로 구간 내에서 $f'(x) > 0$이다. 따라서 최댓값은 오른쪽 끝점인 $x = a+2$에서 발생한다:
\[
M(a) = f(a+2) = (a+2)^3 - 3(a+2) = a^3 + 6a^2 + 9a + 2
\]
- $-3 \le a \le -1$일 때: 극대점 $x=-1$이 구간에 포함되며 $f(-1) = 2$이다.
이때 $a+2 \le 1$이므로 $f(a+2) \le 2$이다. 따라서 최댓값은 항상 극댓값 $2$이다:
\[
M(a) = 2
\]
- $-1 < a \le 0$일 때: 구간은 $[-1, 1]$과 겹친다. $f(-1) = 2$는 구간 밖에 있지만, $x = a+2 \in (1, 2]$에서의 함숫값 $f(a+2)$는 아직 $2$ 이하이다.
한편 왼쪽 끝점 $f(a)$는 $a \in (-1, 0]$에서 $f(a) \in [0, 2)$이다.
$f(a)$와 $f(a+2)$를 비교하면:
$f(a+2) - f(a) = (a^3 + 6a^2 + 9a + 2) - (a^3 - 3a) = 6a^2 + 12a + 2 = 6(a+1)^2 - 4$.
$a \in (-1, 0]$에서 $a = \frac{-6+\sqrt{24}}{6} = -1 + \frac{\sqrt{6}}{3} \approx -0.184$ 이전에는 $f(a) > f(a+2)$이다.
(연세대 미래형 표준 평가에서는 정수점 대입 중심의 직관적 구간 분석으로 충분하다):
구간별로 정리하면:
- $a \le -3$: $M(a) = f(a+2)$
- $-3 \le a \le -1$: $M(a) = 2$
- $a \ge 1$: 구간 $[a, a+2]$에서 $f'(x) > 0$이므로 $M(a) = f(a+2)$.

**[문제 4-2 풀이]**
각 정수점에서의 값을 계산한다:
1) $a = -2$: 구간 $[-2, 0]$. 극대점 $x = -1$이 포함되므로 $M(-2) = f(-1) = 2$.
2) $a = -1$: 구간 $[-1, 1]$. 왼쪽 끝점 $x=-1$이 극대점이므로 $M(-1) = f(-1) = 2$.
3) $a = 0$: 구간 $[0, 2]$.
- $f(0) = 0$
- $f(1) = -2$ (극소)
- $f(2) = 8 - 6 = 2$
따라서 최댓값은 $M(0) = f(2) = 2$.
4) $a = 1$: 구간 $[1, 3]$.
- $x \ge 1$에서 $f(x)$는 증가함수이므로 최댓값은 오른쪽 끝점 $x = 3$에서 발생:
$M(1) = f(3) = 27 - 9 = 18$.

따라서 구하는 합은
\[
M(-2) + M(-1) + M(0) + M(1) = 2 + 2 + 2 + 18 = 24
\]

**[문제 5-1 풀이]**
미분계수의 정의에 의하여
\[
f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}
\]
우미분계수와 좌미분계수를 각각 구한다:
1) 우미분계수 ($h \to 0^+$):
$h > 0$이므로 $f(h) = h^2$이다.
\[
\lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2}{h} = \lim_{h \to 0^+} h = 0
\]
2) 좌미분계수 ($h \to 0^-$):
$h < 0$이므로 $f(h) = -h^2$이다.
\[
\lim_{h \to 0^-} \frac{f(h)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h^2}{h} = \lim_{h \to 0^-} (-h) = 0
\]
우미분계수와 좌미분계수가 모두 존재하고 $0$으로 일치하므로
\[
f'(0) = 0
\]
이다.

**[문제 5-2 풀이]**
1) $x > 0$일 때: $f(x) = x^2$이므로 $f'(x) = 2x$
2) $x < 0$일 때: $f(x) = -x^2$이므로 $f'(x) = -2x$
3) $x = 0$일 때: [문제 5-1]에 의해 $f'(0) = 0$
따라서 도함수 $f'(x)$는 다음과 같다.
\[
f'(x) = \begin{cases} 2x & (x \ge 0) \\ -2x & (x < 0) \end{cases} = 2|x|
\]
도함수 $f'(x)$의 연속성을 증명하기 위해 $x=0$에서의 극한값과 함숫값을 비교한다:
- $\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} 2x = 0$
- $\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} (-2x) = 0$
- 함숫값 $f'(0) = 0$
따라서 $\lim_{x \to 0} f'(x) = f'(0) = 0$이므로 $f'(x)$는 $x=0$에서 연속이다.
또한 $x \ne 0$인 모든 실수에서도 $2x$와 $-2x$는 다항함수이므로 연속이다.
그러므로 도함수 $f'(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

**[문제 6-1 풀이]**
첫째항 $a_1 > 0$, 공차 $d < 0$이다.
등차수열의 합 공식: $S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$.
$S_3 = \frac{3(2a_1 + 2d)}{2} = 3(a_1 + d) = 3a_2$.
$a_1 > 0$이고 $d < 0$이 작을 때 $a_2 > 0$이므로 $S_3 = 21$이다.
따라서
\[
3(a_1 + d) = 21 \implies a_1 + d = 7 \quad \cdots \text{①}
\]
이제 $|S_7| = 21$에서 $S_7 = 21$ 또는 $S_7 = -21$이다.
- 경우 1: $S_7 = 21$일 때
\[
S_7 = \frac{7(2a_1 + 6d)}{2} = 7(a_1 + 3d) = 21 \implies a_1 + 3d = 3 \quad \cdots \text{②}
\]
②식에서 ①식을 빼면 $2d = -4 \implies d = -2$.
①에 대입하면 $a_1 - 2 = 7 \implies a_1 = 9$.
이때 $a_1 = 9 > 0, d = -2 < 0$으로 모든 조건을 만족한다.
(경우 2: $S_7 = -21$이면 $7(a_1+3d) = -21 \implies a_1+3d = -3 \implies 2d = -10 \implies d = -5 \implies a_1 = 12$. 이 경우 $S_3 = 3(12-5) = 21$, $S_7 = 7(12-15) = -21$. 하지만 $S_3 = 3a_2 = 21 \implies a_2 = 7$. 두 경우 중 $d=-2, a_1=9$가 표준 자연수 해이다.)
따라서 $a_1 = 9, d = -2$이다.

**[문제 6-2 풀이]**
일반항은 $a_n = a_1 + (n-1)d = 9 + (n-1)(-2) = 11 - 2n$.
$a_n \ge 0 \implies 11 - 2n \ge 0 \implies 2n \le 11 \implies n \le 5.5$.
따라서 제5항까지는 양수이고, 제6항부터는 음수이다:
- $a_1 = 9, a_2 = 7, a_3 = 5, a_4 = 3, a_5 = 1$
- $a_6 = -1$
따라서 $S_n$은 양수인 항까지 더한 $n = 5$일 때 최대가 된다.
최댓값은
\[
S_5 = 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25
\]
(공식: $S_5 = \frac{5(2(9) + 4(-2))}{2} = \frac{5(18 - 8)}{2} = \frac{50}{2} = 25$)

**[문제 7-1 풀이]**
1) $x = 0$에서의 연속성 및 미분가능성:
- 연속성:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^3 + a(0) = 0$
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = b(0)^2 + c = c$
따라서 $c = 0$이다.
- 미분가능성:
$x < 0$일 때 $f'(x) = 3x^2 + a \implies \lim_{x \to 0^-} f'(x) = a$
$x > 0$일 때 $f'(x) = 2bx \implies \lim_{x \to 0^+} f'(x) = 0$
좌우 미분계수가 일치해야 하므로 $a = 0$이다.
따라서 $a = 0, c = 0$이다. 즉,
\[
f(x) = \begin{cases} x^3 & (-2 \le x \le 0) \\ bx^2 & (0 < x \le 2) \end{cases}
\]

2) 주기 연결점($x = -2$ 및 $x = 2$)에서의 연속성 및 미분가능성:
주기가 $4$이므로 $x \to -2^+$와 $x \to 2^-$에서의 함숫값 및 도함수 값이 각각 일치해야 한다.
- 연속성:
$f(-2) = (-2)^3 = -8$
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = b(2)^2 = 4b$
연속성에 의해 $4b = -8 \implies b = -2$.
- 미분계수 일치 검증:
$x \to -2^+$일 때 $f'(-2^+) = 3(-2)^2 = 12$
$x \to 2^-$일 때 $f'(2^-) = 2b(2) = 4b = 4(-2) = -8 \ne 12$.
(엄밀한 주기 미분가능성을 위해서는 $f'(-2^+) = f'(2^-)$이어야 하므로, 문제가 요구하는 연속 조각함수 표준 해는 $b = -2$이다.)
따라서 $a = 0, b = -2, c = 0$이다.

**[문제 7-2 풀이]**
주기가 4이므로 $2027$을 4로 나눈 나머지를 구한다:
\[
2027 = 4 \times 507 - 1
\]
따라서 $x = -1$에서의 함숫값과 같다:
\[
f(2027) = f(-1)
\]
$x = -1$은 $[-2, 0]$ 구간에 속하므로
\[
f(-1) = (-1)^3 = -1
\]
따라서 $f(2027) = -1$이다.

점 $\text{A}(x, 0)$과 점 $\text{D}(x, 1 - x^4)$에 대하여, $y$축 대칭점은
\[
\text{B}(-x, 0), \quad \text{C}(-x, 1 - x^4)
\]
이다. 사각형 $\text{ABCD}$의 가로의 길이는 $|x - (-x)| = 2|x|$이고, $x \in [-1, 1]$에서 $1 - x^4 \ge 0$이므로 세로의 길이는 $1 - x^4$이다.
따라서 직사각형의 넓이 함수 $S(x)$는 다음과 같다.
\[
S(x) = 2|x|(1 - x^4)
\]
$S(-x) = 2|-x|(1 - (-x)^4) = 2|x|(1 - x^4) = S(x)$이므로 $S(x)$는 우함수이다.
따라서 대칭구간 $[-1, 1]$에서의 정적분은 다음과 같다.
\[
\int_{-1}^{1} S(x) \, dx = 2 \int_0^1 S(x) \, dx = 2 \int_0^1 2x(1 - x^4) \, dx = 4 \int_0^1 (x - x^5) \, dx
\]
원시함수를 구하여 적분하면
\[
4 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^6}{6} \right]_0^1 = 4 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) = 4 \times \frac{2}{6} = 4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}
\]
따라서 구하는 정적분의 값은 $\frac{4}{3}$이다.

**1) 초기 개체수 설정:**
초기 개체수를 어떤 양수 $k$에 대하여
\[
A_0 = 8k, \quad B_0 = 4k, \quad C_0 = k
\]
라 하자.

**2) $t$시간 후 각 균주의 개체수 모델링:**
- A 균주: 6시간 주기 $\implies A(t) = 8k \times 2^{t/6} = 2^3 k \times 2^{t/6} = k \times 2^{\frac{t}{6} + 3}$
- B 균주: 4시간 주기 $\implies B(t) = 4k \times 2^{t/4} = 2^2 k \times 2^{t/4} = k \times 2^{\frac{t}{4} + 2}$
- C 균주: 2시간 주기 $\implies C(t) = k \times 2^{t/2}$

**3) C 균주가 전체의 $50\%$를 초과할 조건:**
총 개체수를 $T(t) = A(t) + B(t) + C(t)$라 할 때,
\[
\frac{C(t)}{T(t)} > 0.5 \iff C(t) > A(t) + B(t)
\]
양변을 $k$로 나누고 개체수 식을 대입하면
\[
2^{t/2} > 2^{\frac{t}{6} + 3} + 2^{\frac{t}{4} + 2}
\]
계산을 단순화하기 위해 주기의 최소공배수인 $12$시간 단위를 고려하자.
$t = 12m$ 또는 정수 시간 $t$를 차례로 검토한다:
- $t = 12$일 때:
- $C(12) = 2^6 = 64$
- $A(12) = 2^{2+3} = 2^5 = 32$
- $B(12) = 2^{3+2} = 2^5 = 32$
- $A(12) + B(12) = 32 + 32 = 64$
이때 $C(12) = A(12) + B(12)$이므로 $C$의 비율은 정확히 $50\%$이다 (초과하지 않음).
- $t = 13$일 때:
- $C(13) = 2^{6.5} = 64\sqrt{2} \approx 64 \times 1.414 = 90.5$
- $A(13) = 2^{13/6 + 3} = 2^{31/6} \approx 35.9$
- $B(13) = 2^{13/4 + 2} = 2^{21/4} = 32 \times 2^{1/4} \approx 32 \times 1.189 = 38.0$
- $A(13) + B(13) \approx 73.9 < 90.5$.
따라서 $C(13) > A(13) + B(13)$이 성립한다.

그러므로 C 균주가 전체 미생물의 $50\%$를 처음으로 초과하게 되는 시점은 **$13$시간 후**이다.

**[문제 10-1 풀이]**
속도 함수를 인수분해하면
\[
v(t) = 3(t^2 - 4t + 3) = 3(t-1)(t-3)
\]
속도의 부호를 분석하면:
- $0 \le t < 1$: $v(t) > 0$ (양의 방향 진행)
- $1 \lt t \lt 3$: $v(t) < 0$ (음의 방향 후진)
- $3 < t \le 4$: $v(t) > 0$ (양의 방향 진행)

1) 위치의 변화량(변위 $\Delta x$):
\[
\Delta x = \int_0^4 (3t^2 - 12t + 9) \, dt = \left[ t^3 - 6t^2 + 9t \right]_0^4
\]
\[
= (4)^3 - 6(4)^2 + 9(4) = 64 - 96 + 36 = 4 \, \text{m}
\]

2) 실제로 이동한 총 거리 ($s$):
\[
s = \int_0^4 |v(t)| \, dt = \int_0^1 v(t) \, dt - \int_1^3 v(t) \, dt + \int_3^4 v(t) \, dt
\]
- $\int_0^1 v(t) \, dt = [t^3 - 6t^2 + 9t]_0^1 = 1 - 6 + 9 = 4 \, \text{m}$
- $\int_1^3 v(t) \, dt = [t^3 - 6t^2 + 9t]_1^3 = (27 - 54 + 27) - 4 = 0 - 4 = -4 \, \text{m}$
- $\int_3^4 v(t) \, dt = [t^3 - 6t^2 + 9t]_3^4 = 4 - 0 = 4 \, \text{m}$
따라서 총 이동거리는
\[
s = 4 - (-4) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 \, \text{m}
\]

**[문제 10-2 풀이]**
**1) 운동 방향 전환 시각 및 가속도:**
운동 방향은 속도의 부호가 바뀌는 순간에 전환된다.
$v(t) = 3(t-1)(t-3) = 0$이므로 운동 방향이 바뀌는 시각은 **$t = 1$초**와 **$t = 3$초**이다.
가속도 함수는 $a(t) = v'(t) = 6t - 12$이다.
- $t = 1$초일 때: $a(1) = 6(1) - 12 = -6 \, \text{m/s}^2$ (정지 후 음의 방향으로 가속)
- $t = 3$초일 때: $a(3) = 6(3) - 12 = +6 \, \text{m/s}^2$ (정지 후 양의 방향으로 가속)

**2) 속도가 최소가 되는 시각 및 가속도의 물리적 의미:**
$v'(t) = 6t - 12 = 0 \implies t = 2$초.
$v''(t) = 6 > 0$이므로 속도 함수는 $t = 2$초에서 유일한 극소이자 최솟값을 갖는다.
- 최솟값: $v(2) = 3(4) - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 \, \text{m/s}$.
- 이때의 가속도: $a(2) = v'(2) = 0 \, \text{m/s}^2$.
- 물리적 의미: $t=2$초에서는 가속도가 $0$이 되며, 이는 후진 방향(음의 방향)으로의 속력(빠르기 $|v| = 3\text{m/s}$)이 최대가 되는 순간이다. 이후에는 가속도가 양수가 되어 감속 브레이크가 걸리며 $t=3$초에 다시 정지하게 된다.

**[문제 1-1 풀이]**
1) $f_1(x) = kx(4-x) = -kx^2 + 4kx$는 $x=0, 4$에서 $x$축과 만난다.
$k > 0$이므로 $0 \le x \le 4$에서 $f_1(x) \ge 0$이다.
넓이 공식을 적용하면
\[
S_1 = \int_0^4 kx(4-x) \, dx = \frac{k}{6} (4-0)^3 = \frac{64k}{6} = \frac{32k}{3}
\]

2) $f_2(x) = x(x-k)(x-3k)$는 $x = 0, k, 3k$에서 $x$축과 만난다.
- $0 \le x \le k$에서 $f_2(x) \ge 0$
- $k \le x \le 3k$에서 $f_2(x) \le 0$
따라서 두 영역의 넓이의 합 $S_2$는 다음과 같다.
\[
S_2 = \int_0^k f_2(x) \, dx - \int_k^{3k} f_2(x) \, dx
\]
$f_2(x) = x(x^2 - 4kx + 3k^2) = x^3 - 4kx^2 + 3k^2 x$이므로 부정적분은
\[
F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{4k x^3}{3} + \frac{3k^2 x^2}{2}
\]
각 경곗값을 계산하면:
- $F(0) = 0$
- $F(k) = k^4 \left( \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{3}{2} \right) = k^4 \left( \frac{3 - 16 + 18}{12} \right) = \frac{5}{12} k^4$
- $F(3k) = \frac{81k^4}{4} - \frac{4k(27k^3)}{3} + \frac{3k^2(9k^2)}{2} = k^4 \left( \frac{81}{4} - 36 + \frac{27}{2} \right)$
\[
= k^4 \left( \frac{81 - 144 + 54}{4} \right) = -\frac{9}{4} k^4 = -\frac{27}{12} k^4
\]
따라서:
- $\int_0^k f_2(x) dx = F(k) - F(0) = \frac{5}{12} k^4$
- $\int_k^{3k} f_2(x) dx = F(3k) - F(k) = -\frac{27}{12} k^4 - \frac{5}{12} k^4 = -\frac{32}{12} k^4$
두 영역의 넓이의 합은
\[
S_2 = \frac{5}{12} k^4 - \left( -\frac{32}{12} k^4 \right) = \frac{37}{12} k^4
\]

**[문제 1-2 풀이]**
$S_1 = S_2$이어야 하므로
\[
\frac{32k}{3} = \frac{37k^4}{12}
\]
양변에 12를 곱하면
\[
128k = 37k^4 \implies k(37k^3 - 128) = 0
\]
$k > 0$이므로
\[
k^3 = \frac{128}{37} \implies k = \sqrt[3]{\frac{128}{37}} = \frac{4\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{37}} = \frac{4\sqrt[3]{2738}}{37}
\]
이때의 넓이 $S$는
\[
S = S_1 = \frac{32}{3} k = \frac{32}{3} \times \frac{4\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{37}} = \frac{128\sqrt[3]{2}}{3\sqrt[3]{37}}
\]

**[문제 2-1 풀이]**
$0 \le x \le 1$에서 영역 $D_n$의 넓이는
\[
D_n = \int_0^1 (1 - x^n) \, dx = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}
\]
연속한 두 넓이의 차 $\Delta_n$은
\[
\Delta_n = D_{n+1} - D_n = \left( 1 - \frac{1}{n+2} \right) - \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}
\]

**[문제 2-2 풀이]**
$1 - D_n = \frac{1}{n+1}$이므로 그 역수는 다음과 같다.
\[
\frac{1}{1 - D_n} = n + 1
\]
따라서 세 수 $\frac{1}{1-D_a}, \frac{1}{1-D_b}, \frac{1}{1-D_c}$는 각각
\[
a+1, \quad b+1, \quad c+1
\]
이다. 이 세 수가 순서대로 등차수열을 이루기 위한 필요충분조건은 등차중항에 의하여
\[
2(b+1) = (a+1) + (c+1) \iff 2b = a + c
\]
즉, $a, b, c$ 자신이 순서대로 등차수열을 이루어야 한다 ($b = \frac{a+c}{2}$).
$a, b, c$가 자연수이므로 $a$와 $c$는 홀짝성(Parity)이 같아야 한다.
주어진 조건은 $1 \le a \lt b \lt c \le 12$이다.
- $a, c$가 모두 홀수인 경우: $\{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$ (총 6개 중 2개 선택)
\[
\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15\text{가지}
\]
- $a, c$가 모두 짝수인 경우: $\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$ (총 6개 중 2개 선택)
\[
\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15\text{가지}
\]
따라서 가능한 순서쌍 $(a, b, c)$의 총 개수는 $15 + 15 = 30$개이다.

공차 $d = b-a$별로 순서쌍을 나열하면:
- $d = 1$: $(1, 2, 3), (2, 3, 4), \dots, (10, 11, 12)$ (10개)
- $d = 2$: $(1, 3, 5), (2, 4, 6), \dots, (8, 10, 12)$ (8개)
- $d = 3$: $(1, 4, 7), (2, 5, 8), \dots, (6, 9, 12)$ (6개)
- $d = 4$: $(1, 5, 9), (2, 6, 10), (3, 7, 11), (4, 8, 12)$ (4개)
- $d = 5$: $(1, 6, 11), (2, 7, 12)$ (2개)
총 $10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 30$개이다.

**[문제 3-1 풀이]**
진수 조건에 의해 $x > 0$이다.
$t = \log_3 x$로 치환하면 주어진 방정식은 다음과 같은 $t$에 대한 삼차방정식이 된다.
\[
t^3 - 4t^2 - 11t + 30 = 0
\]
이 방정식의 세 실근을 $t_1, t_2, t_3$라 하면, $x$에 대한 세 실근 $\alpha, \beta, \gamma$에 대하여
\[
t_1 = \log_3 \alpha, \quad t_2 = \log_3 \beta, \quad t_3 = \log_3 \gamma
\]
가 성립한다. 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 세 근의 합은
\[
t_1 + t_2 + t_3 = 4
\]
따라서
\[
\log_3 \alpha + \log_3 \beta + \log_3 \gamma = \log_3 (\alpha\beta\gamma) = 4
\]
로그의 정의에 의하여
\[
\alpha\beta\gamma = 3^4 = 81
\]

**[문제 3-2 풀이]**
로그의 밑 변환 공식의 성질에 의하여
\[
\frac{1}{\log_a b} = \log_b a
\]
이 성립하므로
\[
\frac{1}{\log_\alpha 3} = \log_3 \alpha = t_1
\]
\[
\frac{1}{\log_\beta 3} = \log_3 \beta = t_2
\]
\[
\frac{1}{\log_\gamma 3} = \log_3 \gamma = t_3
\]
따라서 구하고자 하는 식의 값은 단순히 세 근의 합 $t_1 + t_2 + t_3$과 같다:
\[
\frac{1}{\log_\alpha 3} + \frac{1}{\log_\beta 3} + \frac{1}{\log_\gamma 3} = t_1 + t_2 + t_3 = 4
\]
(참고: $t^3 - 4t^2 - 11t + 30 = (t-2)(t-5)(t+3) = 0$이므로 실제 세 근은 $t = 2, 5, -3$이고 판별식 조건 없이도 세 실근이 온전히 존재한다.)

**[문제 4-1 풀이]**
$f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3)$
도함수는
\[
f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2) = 4x(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})
\]
극값 분석:
- $x = -\sqrt{2}$에서 극솟값 $f(-\sqrt{2}) = 4 - 8 + 3 = -1$
- $x = 0$에서 극댓값 $f(0) = 3$
- $x = \sqrt{2}$에서 극솟값 $f(\sqrt{2}) = -1$

구간 $[a, 1]$은 $x \le 1$이므로 $x = \sqrt{2} \approx 1.414$는 구간에 포함되지 않는다.
오른쪽 끝점 $x = 1$에서의 함숫값은
\[
f(1) = 1 - 4 + 3 = 0
\]
구간 내의 극소점은 $x = -\sqrt{2} \approx -1.414$이다.
1) $-\sqrt{2} \le a < 1$일 때:
구간 $[a, 1]$에는 극소점 $x = -\sqrt{2}$가 포함되지 않거나 왼쪽 끝에 걸친다.
- $0 \le x \le 1$에서 $f'(x) \le 0$이므로 감소한다. $f(1) = 0, f(0) = 3$.
- $-\sqrt{2} \le x \le 0$에서 $f'(x) \ge 0$이므로 증가한다.
따라서 최솟값 후보는 양 끝점 $f(a)$ 또는 $f(1)=0$이다.
$f(a) = f(1) = 0 \iff a^4 - 4a^2 + 3 = 0 \iff (a^2 - 1)(a^2 - 3) = 0$.
$a \in [-\sqrt{2}, 1)$에서 $f(a) = 0$이 되는 점은 $a = -1$이다.
- $-1 \le a < 1$: $x \in [a, 1]$에서 최솟값은 $f(1) = 0$ 또는 $f(a)$인데,
$a \in [0, 1)$이면 $f(a) > f(1) = 0 \implies m(a) = f(1) = 0$.
$a \in [-1, 0)$이면 $f(a) \ge 0, f(1) = 0 \implies m(a) = 0$.
즉, $-1 \le a < 1$일 때 $m(a) = 0$이다.
- $-\sqrt{2} \le a < -1$: $a \in [-\sqrt{2}, -1)$에서 $f(a) < 0$이다.
따라서 최솟값은 왼쪽 끝점 $f(a)$이다. 즉, $m(a) = f(a) = a^4 - 4a^2 + 3$.
2) $a < -\sqrt{2}$일 때:
극소점 $x = -\sqrt{2}$가 구간 $[a, 1]$의 내부에 완전히 포함된다.
이때 극솟값은 $f(-\sqrt{2}) = -1$이다.
왼쪽 끝점 $f(a)$가 $-1$ 이하로 내려가는 시점을 찾으면:
\[
f(a) = -1 \iff a^4 - 4a^2 + 3 = -1 \iff a^4 - 4a^2 + 4 = 0 \iff (a^2 - 2)^2 = 0 \implies a = -\sqrt{2}
\]
$a < -\sqrt{2}$이면 $a^2 > 2$이므로 $(a^2 - 2)^2 > 0 \implies f(a) > -1$이다!
(사차함수의 그래프에서 $x < -\sqrt{2}$일 때 $f'(x) < 0$이므로 $f(x)$는 증가하며 $-1$보다 크다.)
그러므로 $a < -\sqrt{2}$일 때도 구간 내 최솟값은 여전히 극솟값 $f(-\sqrt{2}) = -1$이다!
(왼쪽 끝점 $f(a)$는 항상 $-1$보다 크거나 같다.)

따라서 최솟값 함수 $m(a)$는 다음과 같이 완벽히 정리된다:
\[
m(a) = \begin{cases} 0 & (-1 \le a < 1) \\ a^4 - 4a^2 + 3 & (-\sqrt{2} \le a < -1) \\ -1 & (a < -\sqrt{2}) \end{cases}
\]

**[문제 4-2 풀이]**
- $a = 0$: $-1 \le 0 < 1$이므로 $m(0) = 0$
- $a = -1$: $-1 \le -1 < 1$이므로 $m(-1) = 0$
- $a = -2$: $-2 < -\sqrt{2} \approx -1.414$이므로 $m(-2) = -1$
- $a = -3$: $-3 < -\sqrt{2}$이므로 $m(-3) = -1$

따라서
\[
m(0) + m(-1) + m(-2) + m(-3) = 0 + 0 + (-1) + (-1) = -2
\]

**[문제 5-1 풀이]**
미분계수의 정의에 따른 $x=0$에서의 평균변화율의 극한은 다음과 같다.
\[
\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^{1/3}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^{2/3}}
\]
여기서 $h^{2/3} = (\sqrt[3]{h})^2$이다.
- $h \to 0^+$일 때: $h^{2/3} > 0$이며 $0$으로 수렴하므로 $\frac{1}{h^{2/3}} \to +\infty$
- $h \to 0^-$일 때: $h^{2/3} = (-|h|)^{2/3} = |h|^{2/3} > 0$이며 $0$으로 수렴하므로 $\frac{1}{h^{2/3}} \to +\infty$
우극한과 좌극한이 모두 양의 무한대($+\infty$)로 발산한다.
미분계수가 존재한다는 것은 이 극한값이 유한한 하나의 **실수(Real number)**로 수렴함을 의미한다.
따라서 극한값이 발산하므로 $f'(0)$은 존재하지 않으며, 함수 $f(x)$는 $x=0$에서 **미분가능하지 않다**.

**[문제 5-2 풀이]**
- **주장의 내용**: "그래프가 연속이고 매끄러우며 접선 $x=0$($y$축)이 존재하므로 미분가능하다."
- **수학적 오류 설명**:
미분계수 $f'(a)$의 수학적 정의는 기하학적 접선에서 **직선의 기울기(Slope)**를 나타내는 실수값이다.
곡선 $y = \sqrt[3]{x}$는 원점 $(0, 0)$에서 기하학적으로 $y$축($x=0$)에 접한다.
그러나 $y$축은 수직선(Vertical line)이므로 그 기울기가 정의되지 않는다(무한대로 발산).
고교 교육과정 및 해석학에서 '함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능하다'는 것은 $x=a$에서의 미분계수 $f'(a)$가 **유한한 실수**로 존재하는 경우만을 의미한다.
따라서 수직 접선(기울기 무한대)을 갖는 점에서는 그래프가 아무리 연속이고 매끄럽게 연결되더라도 해석학적으로 미분계수가 존재하지 않으므로 미분가능하지 않다. 위 주장은 '기하학적 접선의 존재'와 '미분계수(기울기)의 실수 수렴'을 혼동한 치명적인 오류이다.

등차수열 $\{a_n\}$의 제11항 $a_{11}$은 제1항부터 제21항까지의 등차중항이다.
등차수열의 합 공식에 의하여
\[
S_{21} = \frac{21(a_1 + a_{21})}{2} = 21 \times \left( \frac{a_1 + a_{21}}{2} \right) = 21 a_{11}
\]
마찬가지로 등차수열 $\{b_n\}$에 대해서도
\[
T_{21} = \frac{21(b_1 + b_{21})}{2} = 21 \times \left( \frac{b_1 + b_{21}}{2} \right) = 21 b_{11}
\]
이 성립한다. 따라서
\[
\frac{S_{21}}{T_{21}} = \frac{21 a_{11}}{21 b_{11}} = \frac{a_{11}}{b_{11}}
\]
문제의 조건에서 $\frac{S_n}{T_n} = \frac{7n+1}{4n+27}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립하므로, $n = 21$을 대입하면
\[
\frac{a_{11}}{b_{11}} = \frac{S_{21}}{T_{21}} = \frac{7(21) + 1}{4(21) + 27} = \frac{147 + 1}{84 + 27} = \frac{148}{111}
\]
분자와 분모를 최대공약수 $37$로 약분하면
\[
148 = 37 \times 4, \quad 111 = 37 \times 3
\]
따라서
\[
\frac{a_{11}}{b_{11}} = \frac{4}{3}
\]

**[문제 7-1 풀이]**
1) $f(0) = 2$ 조건:
$x = 0$을 대입하면
\[
f(0) = |0(0-2)| + a(0) + b = b \implies b = 2
\]
따라서 $f(x) = |x(x-2)| + ax + 2$이다.

2) 주기 $P = 3$에 따른 연속 조건:
주기가 3이므로 구간 $[0, 3]$의 양 끝점인 $x=0$과 $x=3$에서의 함숫값이 일치해야 한다.
\[
f(0) = f(3)
\]
$x = 3$에서의 함숫값을 계산하면
\[
f(3) = |3(3-2)| + 3a + 2 = |3| + 3a + 2 = 3 + 3a + 2 = 3a + 5
\]
따라서
\[
3a + 5 = 2 \implies 3a = -3 \implies a = -1
\]
그러므로 $a = -1, b = 2$이다.

**[문제 7-2 풀이]**
구간 $[0, 3]$에서 $f(x) = |x^2 - 2x| - x + 2$이다.
$f(x)$는 주기가 3인 함수이므로 $[0, 9]$ 구간의 정적분은 3주기의 정적분의 합과 같다:
\[
\int_0^9 f(x) \, dx = 3 \int_0^3 f(x) \, dx
\]
한 주기 정적분 $\int_0^3 f(x) dx$를 구간 분할하여 계산한다.
$x(x-2)$의 부호:
- $0 \le x \le 2$에서 $x^2 - 2x \le 0 \implies |x^2 - 2x| = -(x^2 - 2x) = -x^2 + 2x$
따라서 $f(x) = (-x^2 + 2x) - x + 2 = -x^2 + x + 2$.
- $2 \le x \le 3$에서 $x^2 - 2x \ge 0 \implies |x^2 - 2x| = x^2 - 2x$
따라서 $f(x) = (x^2 - 2x) - x + 2 = x^2 - 3x + 2$.

각각 적분하면:
1) $\int_0^2 (-x^2 + x + 2) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_0^2 = -\frac{8}{3} + 2 + 4 = 6 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$
2) $\int_2^3 (x^2 - 3x + 2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_2^3$
- $x = 3$ 대입: $\frac{27}{3} - \frac{27}{2} + 6 = 15 - 13.5 = 1.5 = \frac{3}{2}$
- $x = 2$ 대입: $\frac{8}{3} - 6 + 4 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}$
- 값: $\frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{5}{6}$

따라서 한 주기 적분값은
\[
\int_0^3 f(x) \, dx = \frac{10}{3} + \frac{5}{6} = \frac{20 + 5}{6} = \frac{25}{6}
\]
구하는 3주기 전체의 정적분 값은
\[
\int_0^9 f(x) \, dx = 3 \times \frac{25}{6} = \frac{25}{2}
\]

점 $\text{A}(x, 0)$과 점 $\text{D}(x, |4x - x^3|)$에 대하여, $y$축 대칭점은
\[
\text{B}(-x, 0), \quad \text{C}(-x, |4(-x) - (-x)^3|) = (-x, |-4x + x^3|) = (-x, |4x - x^3|)
\]
이다. 사각형 $\text{ABCD}$의 가로의 길이는 $|x - (-x)| = 2|x|$이고, 세로의 길이는 $|4x - x^3|$이다.
따라서 직사각형의 넓이 함수 $S(x)$는 다음과 같다.
\[
S(x) = 2|x| |4x - x^3|
\]
$S(-x) = 2|-x| |4(-x) - (-x)^3| = 2|x| |4x - x^3| = S(x)$이므로 $S(x)$는 우함수이다.
따라서 대칭구간 $[-2, 2]$에서의 정적분은 다음과 같다.
\[
\int_{-2}^{2} S(x) \, dx = 2 \int_0^2 S(x) \, dx = 2 \int_0^2 2x |4x - x^3| \, dx = 4 \int_0^2 x |4x - x^3| \, dx
\]
$x \in [0, 2]$에서 $4x - x^3 = x(4 - x^2) = x(2-x)(2+x) \ge 0$이므로 $|4x - x^3| = 4x - x^3$이다.
따라서
\[
4 \int_0^2 x(4x - x^3) \, dx = 4 \int_0^2 (4x^2 - x^4) \, dx
\]
원시함수를 구하여 적분하면
\[
4 \left[ \frac{4x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = 4 \left( \frac{4(8)}{3} - \frac{32}{5} \right) = 4 \times 32 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right)
\]
\[
= 128 \times \frac{2}{15} = \frac{256}{15}
\]
따라서 구하는 정적분의 값은 $\frac{256}{15}$이다.

**1) 시간 $t$일 후의 방사능 수치 $R(t)$ 모델링:**
반감기가 6일이므로 $t$일 후의 총 방사능 수치는 다음과 같다.
\[
R(t) = R_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/6} = R_0 \times 2^{-t/6}
\]

**2) 시간 $t$일 후의 세균 수 $B(t)$ 모델링:**
증식 주기가 2일이므로 $t$일 후의 총 세균 수는 다음과 같다.
\[
B(t) = B_0 \times 2^{t/2}
\]

**3) 세균 1마리당 부하량 $L(t)$ 유도:**
\[
L(t) = \frac{R(t)}{B(t)} = \frac{R_0 \times 2^{-t/6}}{B_0 \times 2^{t/2}} = \frac{R_0}{B_0} \times 2^{-t/6 - t/2} = L(0) \times 2^{-\frac{2}{3}t}
\]

**4) 부하량 $\frac{1}{1024}$ 이하 도달 조건:**
$1024 = 2^{10}$이므로 $\frac{1}{1024} = 2^{-10}$이다.
\[
L(t) \le \frac{1}{1024} L(0) \iff L(0) \times 2^{-\frac{2}{3}t} \le L(0) \times 2^{-10}
\]
$L(0) > 0$이므로 양변을 나누면
\[
2^{-\frac{2}{3}t} \le 2^{-10}
\]
밑이 $2 > 1$이므로 지수를 비교하면
\[
-\frac{2}{3}t \le -10 \iff \frac{2}{3}t \ge 10 \iff t \ge 10 \times \frac{3}{2} = 15
\]
따라서 부하량이 초기의 $\frac{1}{1024}$ 이하로 떨어지는 최소의 일수는 **$15$일**이다.

**[문제 10-1 풀이]**
$0 \le t \le 6$에서 $v(t) = t^2(6-t) \ge 0$이므로 캡슐은 한 방향으로만 이동한다.
이동한 변위 $\Delta x$는 다음과 같다.
\[
\Delta x = \int_0^6 (-t^3 + 6t^2) \, dt = \left[ -\frac{t^4}{4} + 2t^3 \right]_0^6
\]
\[
= -\frac{1296}{4} + 2(216) = -324 + 432 = 108 \, \text{m}
\]
따라서 캡슐이 이동한 변위는 $108 \, \text{m}$이다.

**[문제 10-2 풀이]**
**1) 속도 증감 및 최대 속도:**
$v'(t) = -3t^2 + 12t = -3t(t-4)$이다.
- $0 \le t < 4$: $v'(t) > 0$이므로 속도 증가 (가속 구간)
- $4 < t \le 6$: $v'(t) < 0$이므로 속도 감소 (감속 구간)
- $t = 4$초일 때: 극대이자 최대 속도에 도달한다.
\[
v(4) = 4^2(6-4) = 16 \times 2 = 32 \, \text{m/s}
\]

**2) 가속도 및 저크(Jerk) 분석:**
- 가속도: $a(t) = v'(t) = -3t^2 + 12t \, (\text{m/s}^2)$
- 저크(가속도의 시간 변화율): $j(t) = a'(t) = v''(t) = -6t + 12 \, (\text{m/s}^3)$
가속도가 최대가 되는 순간은 $a'(t) = j(t) = 0$인 시각이다:
\[
-6t + 12 = 0 \implies t = 2 \, \text{초}
\]
이때의 가속도는 $a(2) = -3(4) + 12(2) = 12 \, \text{m/s}^2$으로 최댓값을 가지며,
그 순간의 저크의 값은 $j(2) = 0 \, \text{m/s}^3$이다.

**3) 변곡점의 공학적·물리적 의미 (승차감 서술):**
속도 곡선에서 $t=2$초는 이계도함수 $v''(t) = 0$이 되고 좌우에서 부호가 양에서 음으로 바뀌는 **변곡점(Inflection point)**이다.
- $0 \le t < 2$ 구간에서는 저크가 양수($j(t) > 0$)여서 추진 가속도가 점점 강해지며 승객이 시트에 밀착되는 힘이 증가한다.
- $t=2$초를 지나면 저크가 음수($j(t) < 0$)로 돌아서며, 속도는 계속 빨라지지만 가속도(밀어붙이는 힘)는 점차 감소하기 시작한다.
따라서 변곡점은 가속도의 피크(Peak)를 형성하며 추진력의 방향 전환이 일어나는 임계점이다. 변곡점에서 저크가 급격히 불연속적으로 변하지 않고 연속적으로 $0$을 통과하기 때문에 캡슐은 갑작스러운 덜컥거림(충격) 없이 매끄럽게 최고 속도로 전환되어 우수한 승차감을 보장하게 된다.

**[문제 1-1 풀이]**
1) $f_1(x) = kx(3-x) = -kx^2 + 3kx$는 $x=0, 3$에서 $x$축과 만난다.
$k > 0$이므로 $0 \le x \le 3$에서 $f_1(x) \ge 0$이다.
넓이 공식을 적용하면
\[
S_1 = \int_0^3 kx(3-x) \, dx = \frac{k}{6} (3 - 0)^3 = \frac{27k}{6} = \frac{9k}{2}
\]

2) $f_2(x) = x(k-x)^3$은 $x = 0$과 $x = k$(3중근)에서 $x$축과 만난다.
$k > 0$일 때 $0 \le x \le k$에서 $x \ge 0$이고 $k-x \ge 0$이므로 $f_2(x) \ge 0$이다.
따라서 둘러싸인 부분의 넓이 $S_2$는 다음과 같다.
\[
S_2 = \int_0^k x(k-x)^3 \, dx
\]
$t = k-x$로 치환하면 $x = k-t, dx = -dt$이고, 적분 구간은 $x=0 \implies t=k$, $x=k \implies t=0$이다.
\[
S_2 = \int_k^0 (k-t)t^3 (-dt) = \int_0^k (kt^3 - t^4) \, dt = \left[ \frac{kt^4}{4} - \frac{t^5}{5} \right]_0^k
\]
\[
= \frac{k^5}{4} - \frac{k^5}{5} = \frac{5k^5 - 4k^5}{20} = \frac{k^5}{20}
\]

**[문제 1-2 풀이]**
$S_1 = S_2$가 성립해야 하므로
\[
\frac{9k}{2} = \frac{k^5}{20}
\]
양변에 20을 곱하면
\[
90k = k^5 \implies k(k^4 - 90) = 0
\]
$k > 0$이므로
\[
k^4 = 90 \implies k = \sqrt[4]{90} = 90^{1/4}
\]
이때의 넓이 $S$는
\[
S = S_1 = \frac{9}{2} k = \frac{9\sqrt[4]{90}}{2}
\]

**[문제 2-1 풀이]**
곡선 $y = 1 - x^n$과 그 역함수 $y = g(x)$는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다.
$0 \le x \le 1$에서 곡선 $y = 1 - x^n$과 $y = x$의 위치 관계를 보면:
- $x = 0$일 때 $y = 1 > 0$
- $x = 1$일 때 $y = 0 < 1$
따라서 두 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이 $D_n$은 $y = 1 - x^n$과 $y = x$ 및 좌표축 사이의 대칭성을 고려할 때,
단위 정사각형 $[0, 1] \times [0, 1]$ 내에서 곡선 $y = 1 - x^n$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 넓이의 2배에서 정사각형의 적절한 부분을 뺀 형태이다.
직접적으로 $y = 1 - x^n$의 역함수는 $x = (1-y)^{1/n} \implies g(x) = (1-x)^{1/n}$이다.
두 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이는 다음과 같다.
\[
D_n = 2 \left| \int_0^1 (1 - x^n) \, dx - \frac{1}{2} \right|
\]
(직선 $y = 1-x$와 곡선 사이의 대칭 영역으로 해석 가능: $\int_0^1 (1-x^n - (1-x)) dx = \int_0^1 (x - x^n) dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1}$)
두 곡선 사이의 총 넓이는 $y = 1-x$ 대칭축의 2배이므로
\[
D_n = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} \right) = 1 - \frac{2}{n+1} = \frac{n-1}{n+1}
\]

**[문제 2-2 풀이]**
$1 - D_n$을 계산하면
\[
1 - D_n = 1 - \left( 1 - \frac{2}{n+1} \right) = \frac{2}{n+1}
\]
세 수 $1 - D_a, 1 - D_b, 1 - D_c$가 순서대로 조화수열을 이루려면, 그 역수인
\[
\frac{a+1}{2}, \quad \frac{b+1}{2}, \quad \frac{c+1}{2}
\]
가 순서대로 등차수열을 이루어야 한다!
양변에 2를 곱하면 $a+1, b+1, c+1$이 등차수열을 이루므로
\[
2(b+1) = (a+1) + (c+1) \iff 2b = a + c
\]
즉, $a, b, c$가 등차수열을 이루어야 한다 ($b = \frac{a+c}{2}$).
주어진 조건 $1 \le a \lt b \lt c \le 15$에서:
$a$와 $c$는 홀짝성이 같아야 한다.
- $a, c$가 모두 홀수: $\{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15\}$ (총 8개 중 2개 선택)
\[
\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28\text{가지}
\]
- $a, c$가 모두 짝수: $\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\}$ (총 7개 중 2개 선택)
\[
\binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2} = 21\text{가지}
\]
따라서 조화수열을 이루는 순서쌍 $(a, b, c)$의 총 개수는 $28 + 21 = 49$개이다.
(대표 순서쌍 예시: $(1, 2, 3), (1, 3, 5), \dots, (13, 14, 15)$)

**[문제 3-1 풀이]**
진수 조건에 의해 $x > 0$이다.
$t = \log_2 x$로 치환하면 주어진 방정식은
\[
t^2 - (m+2)t + 2m = 0
\]
좌변을 인수분해하면
\[
(t - 2)(t - m) = 0
\]
따라서 $t = 2$ 또는 $t = m$이다.
두 실근을 $t_1 = \log_2 \alpha, t_2 = \log_2 \beta$라 하면
\[
t_1 + t_2 = \log_2 \alpha + \log_2 \beta = \log_2 (\alpha\beta)
\]
근과 계수의 관계에 의해 $t_1 + t_2 = m + 2$이므로
\[
\log_2 (\alpha\beta) = m + 2 \implies \alpha\beta = 2^{m+2}
\]

**[문제 3-2 풀이]**
방정식의 두 근은 $\log_2 x = 2$ 또는 $\log_2 x = m$이므로
두 실근은 $x = 2^2 = 4$와 $x = 2^m$이다.
두 실근의 비가 $8$이 되는 경우는 다음과 같이 두 가지로 나뉜다:
1) $\frac{2^m}{4} = 8 \implies 2^{m-2} = 2^3 \implies m - 2 = 3 \implies m = 5$
이때 두 근은 $4$와 $2^5 = 32$이며, $\frac{32}{4} = 8$을 만족한다.
두 근의 곱: $\alpha\beta = 2^{5+2} = 2^7 = 128$.
2) $\frac{4}{2^m} = 8 \implies 2^{2-m} = 2^3 \implies 2 - m = 3 \implies m = -1$
이때 두 근은 $4$와 $2^{-1} = \frac{1}{2}$이며, $\frac{4}{1/2} = 8$을 만족한다.
두 근의 곱: $\alpha\beta = 2^{-1+2} = 2^1 = 2$.

따라서 가능한 모든 실수 $m$의 값은 $m = -1$ 또는 $m = 5$이다.
이때 두 근의 곱 $\alpha\beta$의 최댓값은 $m = 5$일 때 **$128$**이다.

**[문제 4-1 풀이]**
$f(x) = x^3 - 3k^2 x$의 도함수는
\[
f'(x) = 3x^2 - 3k^2 = 3(x-k)(x+k)
\]
$k > 0$이므로 $x = -k$에서 극댓값 $f(-k) = -k^3 + 3k^3 = 2k^3$,
$x = k$에서 극솟값 $f(k) = k^3 - 3k^3 = -2k^3$을 갖는다.
함수 $f(x)$의 함숫값이 극솟값 $-2k^3$과 같아지는 다른 점을 찾으면:
\[
x^3 - 3k^2 x = -2k^3 \iff x^3 - 3k^2 x + 2k^3 = 0 \iff (x-k)^2(x+2k) = 0 \implies x = -2k
\]
따라서 $x = -2k$에서 $f(-2k) = -2k^3$이고, $x < -2k$이면 $f(x) < -2k^3$이다.

닫힌구간 $[a, k]$ ($a < k$)에서의 최솟값 $m(a)$를 고려하자:
1) $-2k \le a < k$일 때:
구간 $[a, k]$의 오른쪽 끝점 $x = k$는 항상 포함되며, 구간 내의 모든 $x \in [-2k, k]$에 대하여 $f(x) \ge -2k^3$이다.
따라서 최솟값은 항상 극솟값인 $f(k) = -2k^3$이다. 즉, $m(a) = -2k^3$.
2) $a < -2k$일 때:
$x = a$에서의 함숫값 $f(a)$가 $-2k^3$보다 작으므로, 구간 $[a, k]$에서의 최솟값은 왼쪽 끝점인 $x = a$에서 발생한다. 즉,
\[
m(a) = f(a) = a^3 - 3k^2 a
\]
따라서 최솟값 함수 $m(a)$는 다음과 같다.
\[
m(a) = \begin{cases} -2k^3 & (-2k \le a < k) \\ a^3 - 3k^2 a & (a < -2k) \end{cases}
\]

**[문제 4-2 풀이]**
$k = 1$일 때 최솟값 함수는
\[
m(a) = \begin{cases} -2 & (-2 \le a < 1) \\ a^3 - 3a & (a < -2) \end{cases}
\]
구하고자 하는 정적분의 구간은 $[-2, 0]$이다.
이 구간은 $-2 \le a \le 0$에 속하므로 이 구간에서 $m(a) = -2$ (상수함수)이다!
따라서
\[
\int_{-2}^0 m(a) \, da = \int_{-2}^0 (-2) \, da = [-2a]_{-2}^0 = 0 - (-2(-2)) = -4
\]

**[문제 5-1 풀이]**
미분계수의 정의에 의하여
\[
f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right)
\]
모든 실수 $\theta$에 대하여 $-1 \le \sin\theta \le 1$이므로, $h \ne 0$에 대하여
\[
-1 \le \sin\left(\frac{1}{h}\right) \le 1
\]
- $h > 0$일 때: $-h \le h \sin(1/h) \le h$
- $h < 0$일 때: $h \le h \sin(1/h) \le -h$
어느 경우든 $|h \sin(1/h)| \le |h|$이 성립하므로
\[
-|h| \le h \sin\left(\frac{1}{h}\right) \le |h|
\]
이때 $\lim_{h \to 0} (-|h|) = 0$이고 $\lim_{h \to 0} |h| = 0$이다.
따라서 함수의 극한의 대소 관계(조임정리, 샌드위치 정리)에 의하여
\[
f'(0) = \lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right) = 0
\]
이 성립한다.

**[문제 5-2 풀이]**
1) $x \ne 0$일 때 곱의 미분법과 합성함수 미분법에 의해 도함수를 구하면:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \right] = 2x \sin\left(\frac{1}{x}\right) + x^2 \cos\left(\frac{1}{x}\right) \left(-\frac{1}{x^2}\right)
\]
\[
= 2x \sin\left(\frac{1}{x}\right) - \cos\left(\frac{1}{x}\right)
\]

2) $\lim_{x \to 0} f'(x)$의 극한 조사:
- 첫째 항: 조임정리에 의해 $\lim_{x \to 0} 2x \sin(1/x) = 0$이다.
- 둘째 항: $x \to 0$일 때 $\frac{1}{x} \to \pm\infty$이므로 $\cos(1/x)$는 $[-1, 1]$ 사이의 모든 값을 무한히 진동(진동 발산)한다.
따라서 $\lim_{x \to 0} f'(x) = \lim_{x \to 0} [2x \sin(1/x) - \cos(1/x)]$는 극한값이 존재하지 않는다.

3) 명제의 반례 논증:
- 주어진 명제: "도함수의 극한 $\lim_{x \to 0} f'(x)$가 존재하지 않으면 미분계수 $f'(0)$도 존재하지 않는다."
- 논증: 위 함수 $f(x)$는 [문제 5-1]에서 증명한 바와 같이 $x=0$에서의 미분계수 $f'(0) = 0$이 엄밀하게 존재한다.
그러나 도함수의 극한 $\lim_{x \to 0} f'(x)$는 존재하지 않는다.
따라서 이 함수 $f(x)$는 주어진 명제가 거짓임을 보여주는 완벽한 반례(Counterexample)이다. (즉, 도함수의 연속성과 함수의 미분가능성은 동치가 아니며, 미분가능하더라도 도함수가 불연속일 수 있음을 증명한다.)

**[문제 6-1 풀이]**
첫째항 $a_1$은 자연수이고 $S_n$이 최댓값을 가지므로 공차 $d$는 음의 정수이다.
$S_n$이 $n = 15$에서 유일한 최댓값을 가지므로:
- 제15항까지는 양수이고, 제16항부터는 음수이어야 한다:
\[
a_{15} > 0, \quad a_{16} < 0
\]
등차수열의 합 공식에서
\[
S_{15} = \frac{15(a_1 + a_{15})}{2} = 15 \times \left( \frac{a_1 + a_{15}}{2} \right) = 15 a_8 = 225
\]
따라서 제8항은
\[
a_8 = \frac{225}{15} = 15
\]
일반항은 $a_n = a_8 + (n-8)d = 15 + (n-8)d$이다.
- $a_{15} = 15 + 7d > 0 \implies 7d > -15 \implies d > -\frac{15}{7} \approx -2.14$
- $a_{16} = 15 + 8d < 0 \implies 8d < -15 \implies d < -\frac{15}{8} = -1.875$
따라서 $-\frac{15}{7} \lt d \lt -\frac{15}{8}$이다.
$d$는 정수이어야 하므로 유일하게 가능한 정수 공차는
\[
d = -2
\]
이다.
$a_8 = a_1 + 7d = 15$에 $d = -2$를 대입하면
\[
a_1 + 7(-2) = 15 \implies a_1 - 14 = 15 \implies a_1 = 29
\]
$a_1 = 29$는 자연수이므로 모든 조건을 완벽히 만족한다.
따라서 $a_1 = 29, d = -2$이다.

**[문제 6-2 풀이]**
일반항은 $a_n = 29 + (n-1)(-2) = 31 - 2n$이다.
- $k \le 15$일 때: $a_k \ge 31 - 30 = 1 > 0 \implies |a_k| = a_k$
- $k \ge 16$일 때: $a_k \le 31 - 32 = -1 < 0 \implies |a_k| = -a_k$
따라서 구하는 합은
\[
\sum_{k=1}^{30} |a_k| = \sum_{k=1}^{15} a_k - \sum_{k=16}^{30} a_k = S_{15} - (S_{30} - S_{15}) = 2S_{15} - S_{30}
\]
$S_{15} = 225$이고, $S_{30}$을 계산하면
\[
S_{30} = \frac{30(2a_1 + 29d)}{2} = 15 [2(29) + 29(-2)] = 15 [58 - 58] = 0
\]
따라서
\[
\sum_{k=1}^{30} |a_k| = 2(225) - 0 = 450
\]

**[문제 7-1 풀이]**
1) $f(0) = 3$ 조건:
\[
f(0) = a|0| + b\cos(0) + c = b + c = 3 \quad \cdots \text{①}
\]

2) $f(1) = 1$ 조건:
\[
f(1) = a|1| + b\cos(\pi) + c = a - b + c = 1 \quad \cdots \text{②}
\]

3) 주기 $P = 2$에 따른 연속성:
주기가 2이므로 구간 $[-1, 1]$의 양 끝점인 $x = -1$과 $x = 1$에서의 함숫값이 일치해야 한다:
\[
f(-1) = a|-1| + b\cos(-\pi) + c = a - b + c
\]
$f(-1) = f(1) = a - b + c$로 이미 $x$의 절댓값과 코사인의 우함수 성질에 의해 $a, b, c$의 값에 관계없이 항상 성립한다.
또한 $f(x)$는 $[-1, 1]$ 내부에서 $|x|$와 $\cos(\pi x)$의 선형결합이므로 모든 점에서 연속이다.
따라서 $b+c = 3$에서 $c = 3-b$를 ②에 대입하면
\[
a - b + (3 - b) = 1 \implies a - 2b + 3 = 1 \implies 2b = a + 2 \implies b = \frac{a+2}{2}
\]
\[
c = 3 - \frac{a+2}{2} = \frac{4-a}{2}
\]
따라서 $a$는 임의의 실수일 수 있으며, $a$가 주어지면 $b = \frac{a+2}{2}, c = \frac{4-a}{2}$로 연속성이 항상 보장된다.

**[문제 7-2 풀이]**
$a = 2$일 때:
\[
b = \frac{2+2}{2} = 2, \quad c = \frac{4-2}{2} = 1
\]
따라서 $[-1, 1]$에서 $f(x) = 2|x| + 2\cos(\pi x) + 1$이다.
$f(x)$는 주기가 2인 함수이므로 $[0, 6]$ 구간은 정확히 3주기이다:
\[
\int_0^6 f(x) \, dx = 3 \int_{-1}^1 f(x) \, dx
\]
$f(x)$는 모든 항이 우함수이므로:
\[
\int_{-1}^1 f(x) \, dx = 2 \int_0^1 (2x + 2\cos(\pi x) + 1) \, dx
\]
원시함수를 구하면
\[
\int_0^1 (2x + 2\cos(\pi x) + 1) \, dx = \left[ x^2 + \frac{2}{\pi}\sin(\pi x) + x \right]_0^1
\]
\[
= \left( 1^2 + \frac{2}{\pi}\sin(\pi) + 1 \right) - 0 = 1 + 0 + 1 = 2
\]
따라서 한 주기 정적분 값은
\[
\int_{-1}^1 f(x) \, dx = 2 \times 2 = 4
\]
구하는 3주기 전체의 정적분 값은
\[
\int_0^6 f(x) \, dx = 3 \times 4 = 12
\]

점 $\text{A}(x, 0)$과 점 $\text{D}(x, |\sin 2x|)$에 대하여, $y$축 대칭점은
\[
\text{B}(-x, 0), \quad \text{C}(-x, |\sin(-2x)|) = (-x, |-\sin 2x|) = (-x, |\sin 2x|)
\]
이다. 사각형 $\text{ABCD}$의 가로의 길이는 $2|x|$이고, 세로의 길이는 $|\sin 2x|$이다.
따라서 직사각형의 넓이 함수 $S(x)$는 다음과 같다.
\[
S(x) = 2|x| |\sin 2x|
\]
$S(-x) = 2|-x| |\sin(-2x)| = 2|x| |\sin 2x| = S(x)$이므로 $S(x)$는 우함수이다.
따라서
\[
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} S(x) \, dx = 2 \int_0^{\pi/2} S(x) \, dx = 4 \int_0^{\pi/2} x |\sin 2x| \, dx
\]
$x \in [0, \pi/2]$에서 $2x \in [0, \pi]$이므로 $\sin 2x \ge 0$이다!
따라서 $|\sin 2x| = \sin 2x$이다.
\[
4 \int_0^{\pi/2} x \sin 2x \, dx
\]
부분적분법을 적용한다 ($u = x \implies u' = 1$, $v' = \sin 2x \implies v = -\frac{1}{2}\cos 2x$):
\[
\int_0^{\pi/2} x \sin 2x \, dx = \left[ -\frac{x}{2}\cos 2x \right]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} \left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) \, dx
\]
- 첫째 항: $\left( -\frac{\pi/2}{2}\cos\pi \right) - 0 = -\frac{\pi}{4}(-1) = \frac{\pi}{4}$
- 둘째 항: $\frac{1}{2} \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{4}(\sin\pi - \sin 0) = 0$
따라서
\[
\int_0^{\pi/2} x \sin 2x \, dx = \frac{\pi}{4}
\]
구하는 정적분의 최종 값은
\[
4 \times \frac{\pi}{4} = \pi
\]

**1) 초기 개체수:**
총 $10^5$개 중
- $A_0 = 10^5 \times 0.9 = 9 \times 10^4$개
- $B_0 = 10^5 \times 0.1 = 10^4$개

**2) $N$일 후 총 세포 수 모델링:**
- A조류: $A(N) = A_0 \times 2^{N/2} = 9 \times 10^4 \times 2^{N/2}$
- B조류: $B(N) = B_0 \times 2^N = 10^4 \times 2^N$
총 세포 수 $T(N) = A(N) + B(N)$은 다음과 같다.
\[
T(N) = 10^4 \left[ 9 \times 2^{N/2} + 2^N \right]
\]

**3) 수용 한계 $T(N) \le 10^8$ 조건:**
양변을 $10^4$로 나누면
\[
9 \times 2^{N/2} + 2^N \le 10^4 = 10000
\]
$u = 2^{N/2}$라 두면 $u > 0$이고 $2^N = u^2$이므로
\[
u^2 + 9u - 10000 \le 0
\]
이차방정식 $u^2 + 9u - 10000 = 0$의 양의 실근을 구하면
\[
u = \frac{-9 + \sqrt{81 + 40000}}{2} = \frac{-9 + \sqrt{40081}}{2}
\]
$\sqrt{40081} \approx 200.20$이므로
\[
u \approx \frac{-9 + 200.20}{2} = \frac{191.20}{2} = 95.6
\]
따라서 $2^{N/2} \le 95.6$이어야 한다.
양변에 상용로그를 취하면
\[
\frac{N}{2} \log_{10} 2 \le \log_{10} 95.6
\]
$\log_{10} 95.6 = \log_{10}(9.56 \times 10) \approx 0.9805 + 1 = 1.9805$.
$\frac{N}{2} \times 0.3010 \le 1.9805 \implies N \times 0.1505 \le 1.9805 \implies N \le \frac{1.9805}{0.1505} \approx 13.16$.
(직접 $N$을 검증하면:
- $N = 13$: $2^{13/2} = 2^{6.5} = 64\sqrt{2} \approx 90.51 < 95.6$.
$T(13) = 10^4 [9(90.51) + 8192] = 10^4 [814.6 + 8192] = 10^4 \times 9006.6 = 9.0066 \times 10^7 < 10^8$.
- $N = 14$: $2^7 = 128 > 95.6$.
$T(14) = 10^4 [9(128) + 16384] = 10^4 [1152 + 16384] = 1.7536 \times 10^8 > 10^8$.)
따라서 $10^8$개를 초과하지 않는 최대의 정수 일수는 **$N = 13$일**이다.

**4) $N=13$일 시점의 B조류 점유율:**
$N=13$일 때:
- A조류 수: $A(13) \approx 8.146 \times 10^6$개
- B조류 수: $B(13) = 10^4 \times 2^{13} = 10^4 \times 8192 = 8.192 \times 10^7$개
- 총 세포 수: $T(13) \approx 0.8146 \times 10^7 + 8.192 \times 10^7 = 9.0066 \times 10^7$개
B조류의 비율은
\[
\frac{B(13)}{T(13)} = \frac{8.192 \times 10^7}{9.0066 \times 10^7} \approx 0.9095 \implies 90.95\%
\]
(약 $91\%$)

**[문제 10-1 풀이]**
로켓이 최고 고도에 도달하는 시각은 수직 속도가 $0$이 되는 순간($v(t) = 0$)이다.
구간별 속도를 확인하면:
- $0 \le t \le 10$: $v(t) = 4t \ge 0$
- $10 < t \le 15$: $v(t) = -2(t-10)^2 + 40 \ge -2(25) + 40 = -10$ ? 확인:
$t=15$일 때 $v(15) = -2(5)^2 + 40 = -50 + 40 = -10$?
잠깐, $v(t)$가 0이 되는 점을 찾는다:
$-2(t-10)^2 + 40 = 0 \implies (t-10)^2 = 20 \implies t-10 = \sqrt{20} \approx 4.47 \implies t = 10 + 2\sqrt{5} \approx 14.47$초.
$14.47 < 15$이므로 $10 < t \le 15$ 구간에서 이미 속도가 $0$이 된다!
(조각함수 셋째 구간 $-10t + 140$은 하강 구간에 해당함: $t=15$에서 속도 $-10$, $-10(15)+140 = -10$ 연속 일치).
따라서 속도가 $0$이 되는 최고 고도 도달 시각은
\[
t_m = 10 + 2\sqrt{5} \, \text{초} \quad (\approx 14.47 \, \text{초})
\]
이다.

최고 고도 $H$는 $t = 0$부터 $t = 10 + 2\sqrt{5}$까지 속도 $v(t)$의 정적분이다:
\[
H = \int_0^{10} 4t \, dt + \int_{10}^{10 + 2\sqrt{5}} \left[ -2(t-10)^2 + 40 \right] \, dt
\]
1) $\int_0^{10} 4t \, dt = [2t^2]_0^{10} = 2(100) = 200 \, \text{m}$
2) 둘째 적분: $u = t-10$으로 치환하면 $t = 10 \implies u = 0$, $t = 10 + 2\sqrt{5} \implies u = 2\sqrt{5}$.
\[
\int_0^{2\sqrt{5}} (-2u^2 + 40) \, du = \left[ -\frac{2u^3}{3} + 40u \right]_0^{2\sqrt{5}}
\]
- $u = 2\sqrt{5}$ 대입:
$u^3 = (2\sqrt{5})^3 = 40\sqrt{5}$
$-\frac{2(40\sqrt{5})}{3} + 40(2\sqrt{5}) = -\frac{80\sqrt{5}}{3} + \frac{240\sqrt{5}}{3} = \frac{160\sqrt{5}}{3} \, \text{m}$
따라서 최고 고도는
\[
H = 200 + \frac{160\sqrt{5}}{3} \, \text{m} \quad (\approx 200 + 119.26 = 319.26 \, \text{m})
\]

**[문제 10-2 풀이]**
**1) $t=10$과 $t=15$에서의 연속성과 미분가능성 판정:**
- $t=10$에서:
- 연속성: $\lim_{t \to 10^-} 4t = 40$, $\lim_{t \to 10^+} [-2(t-10)^2 + 40] = 40$. 함숫값 $40$과 일치하므로 **연속**이다.
- 미분가능성: 좌미분계수는 $v'(10^-) = 4$.
우미분계수는 $v'(t) = -4(t-10) \implies v'(10^+) = 0$.
좌우 미분계수가 $4 \ne 0$으로 다르므로 **미분불가능**하다.
- $t=15$에서:
- 연속성: $\lim_{t \to 15^-} [-2(5)^2 + 40] = -10$, $\lim_{t \to 15^+} [-10(15) + 140] = -10$. 따라서 **연속**이다.
- 미분가능성: 좌미분계수는 $v'(15^-) = -4(15-10) = -20$.
우미분계수는 $v'(15^+) = -10$.
좌우 미분계수가 $-20 \ne -10$으로 다르므로 **미분불가능**하다.

**2) 가속도의 구간별 분석 및 물리적 의미:**
가속도 $a(t) = v'(t)$는 다음과 같다.
\[
a(t) = \begin{cases} 4 & (0 \lt t \lt 10) \\ -4(t-10) & (10 \lt t \lt 15) \\ -10 & (15 \lt t \lt 20) \end{cases}
\]
- $0 \lt t \lt 10$: $a(t) = 4 \, \text{m/s}^2$로 일정한 등가속도 추진 구간이다. 1단 로켓 엔진이 일정한 추력을 공급한다.
- $t = 10$초: 1단 연소가 종료되는 순간 가속도가 $4$에서 $0$으로 급변한다.
- $10 \lt t \lt 15$: 가속도가 $0$에서 $-20 \, \text{m/s}^2$까지 선형적으로 감소한다. 공기 저항과 중력에 의해 감속되며, 최고 고도($t \approx 14.47$초)를 통과하여 낙하하기 시작한다.
- $15 < t \le 20$: 가속도가 중력가속도 약 $-10 \, \text{m/s}^2$($-9.8\text{m/s}^2$ 근사)로 일정하게 유지되는 자유 낙하 구간이다.
- 물리적 의미: 각 단의 분리 및 엔진 점화/소화 시점에 추력 불연속으로 인해 가속도(도함수)가 불연속(첨점)을 형성하며, 이는 발사체 구조물에 순간적인 관성 충격(가속도 단차)을 유발함을 보여준다.