[1-1] 이항계수 가중합 항등식 증명:
이항정리식: \((1+x)^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1}x + \binom{n}{2}x^2 + \cdots + \binom{n}{n}x^n\).
양변을 \(x\)에 대하여 미분하면:
\(n(1+x)^{n-1} = \binom{n}{1} + 2\binom{n}{2}x + 3\binom{n}{3}x^2 + \cdots + n\binom{n}{n}x^{n-1} = \sum_{k=1}^n k \binom{n}{k} x^{k-1}\).
양변에 \(x = 1\)을 대입하면:
\(n(1+1)^{n-1} = \sum_{k=1}^n k \binom{n}{k} \implies \sum_{k=1}^n k \binom{n}{k} = n 2^{n-1}\). (증명 완료)

[1-2] 표준정규분포 확률 계산:
\(m = 50, \sigma = 10\)이므로 \(Z = \frac{X - 50}{10}\).
\(X = 40 \implies Z = \frac{40 - 50}{10} = -1\), \(X = 70 \implies Z = \frac{70 - 50}{10} = 2\).
\(P(40 \le X \le 70) = P(-1 \le Z \le 2) = P(-1 \le Z \le 0) + P(0 \le Z \le 2)\)
\(= P(0 \le Z \le 1) + P(0 \le Z \le 2) = 0.3413 + 0.4772 = 0.8185\).

[정답] [1-1] 증명 완료, [1-2] \(0.8185\)

[2-1] 평균값 정리를 이용한 로그 부등식 증명:
함수 \(g(t) = \ln t\)는 닫힌구간 \([1, 1+x]\)에서 연속이고 열린구간 \((1, 1+x)\)에서 미분가능하다.
평균값 정리에 의해 \(\frac{\ln(1+x) - \ln 1}{(1+x) - 1} = \frac{\ln(1+x)}{x} = g'(c) = \frac{1}{c}\)인 \(c \in (1, 1+x)\)가 존재한다.
\(1 < c < 1+x \implies \frac{1}{1+x} < \frac{1}{c} < 1\).
\(\frac{1}{1+x} < \frac{\ln(1+x)}{x} < 1\). 양변에 \(x > 0\)을 곱하면
\(\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x\)가 성립한다. (증명 완료)

[2-2] 3차 테일러 오차 한계 증명:
함수 \(h(t) = \ln(1+t)\)에 대하여 테일러 정리(라그랑주 잉여항):
\(\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + R_2(x)\), 여기서 \(R_2(x) = \frac{h'''(\xi)}{3!} x^3 = \frac{2}{(1+\xi)^3 \cdot 6} x^3 = \frac{x^3}{3(1+\xi)^3}\) (\(0 < \xi < x\)).
\(\xi > 0 \implies 1+\xi > 1 \implies (1+\xi)^3 > 1 \implies \frac{1}{(1+\xi)^3} < 1\).
따라서 \(R_2(x) = \ln(1+x) - \left(x - \frac{x^2}{2}\right) = \frac{x^3}{3(1+\xi)^3} < \frac{x^3}{3}\)이다. (증명 완료)

[정답] 증명 완료

[3-1] 점과 점근선 거리의 곱 증명:
쌍곡선 \(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1\)의 점근선은 \(y = \pm x \iff x - y = 0\) 및 \(x + y = 0\).
점 \(P(x_1, y_1)\)에서 두 직선까지의 거리 \(d_1, d_2\)는
\(d_1 = \frac{|x_1 - y_1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|x_1 - y_1|}{\sqrt{2}}\), \(d_2 = \frac{|x_1 + y_1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|x_1 + y_1|}{\sqrt{2}}\).
거리의 곱: \(d_1 \cdot d_2 = \frac{|x_1 - y_1||x_1 + y_1|}{2} = \frac{|x_1^2 - y_1^2|}{2}\).
점 \(P\)가 쌍곡선 위의 점이므로 \(x_1^2 - y_1^2 = 4\).
따라서 \(d_1 \cdot d_2 = \frac{4}{2} = 2\) (항상 일정한 상수 2). (증명 완료)

[3-2] 꼬인 두 직선 사이의 최단거리:
\(l_1\)의 방향벡터 \(\vec{u} = (1, 1, 1)\), 지나는 점 \(A(0, 0, 0)\).
\(l_2\)의 방향벡터 \(\vec{v} = (1, 2, 2)\), 지나는 점 \(B(1, 0, 1)\).
두 직선에 동시에 수직인 공통법선벡터 \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\):
\(\vec{n} = (1(2)-1(2), 1(1)-1(2), 1(2)-1(1)) = (0, -1, 1)\).
\(\vec{AB} = (1, 0, 1)\). 최단거리는 \(\vec{AB}\)의 \(\vec{n}\) 방향 정사영 길이이다.
\(d = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|1(0) + 0(-1) + 1(1)|}{\sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

[정답] [3-1] 증명 완료 (거리의 곱은 항상 \(2\)), [3-2] \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)