[1-1] 수학적 귀납법 증명:
(i) \(n = 2\)일 때: 좌변 \(= (1+h)^2 = 1 + 2h + h^2\), 우변 \(= 1 + 2h\). \(h > 0 \implies h^2 > 0\)이므로 좌변 \(>\) 우변 성립.
(ii) \(n = k\) (\(k \ge 2\))일 때 성립한다고 가정: \((1+h)^k > 1 + kh\).
\(n = k+1\)일 때: 양변에 \(1+h > 0\)을 곱하면
\((1+h)^{k+1} > (1+kh)(1+h) = 1 + (k+1)h + kh^2\).
\(k \ge 2, h > 0 \implies kh^2 > 0\)이므로 \((1+kh)(1+h) > 1 + (k+1)h\).
따라서 \((1+h)^{k+1} > 1 + (k+1)h\)가 성립한다.
(i), (ii)에 의해 모든 자연수 \(n \ge 2\)에 대하여 부등식이 성립한다. (증명 완료)

[1-2] 수열 \(\{a_n\}\)의 증가성 및 유계성 증명:
이항정리에 의해: \(a_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = 1 + 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k!} \left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right)\cdots\left(1 - \frac{k-1}{n}\right)\).
\(n\)이 증가하면 각 항의 \(\left(1 - \frac{j}{n}\right)\)가 증가하고 항의 개수도 늘어나므로 \(a_n < a_{n+1}\) (증가수열).
또한 \(k! \ge 2^{k-1}\)이므로
\(a_n < 1 + 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k!} < 1 + 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{2^{k-1}} = 2 + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}}\right) < 2 + 1 = 3\).
따라서 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n < 3\)이다. (증명 완료)

[정답] 증명 완료

[2-1] 음함수 미분:
\(x^3 + y^3 - 3axy = 0\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면
\(3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} - 3a\left(y + x\frac{dy}{dx}\right) = 0\).
\(3(y^2 - ax)\frac{dy}{dx} = 3(ay - x^2) \implies \frac{dy}{dx} = \frac{ay - x^2}{y^2 - ax}\).

[2-2] 극대점 좌표 및 원점 접선:
접선의 기울기 \(\frac{dy}{dx} = 0 \iff ay - x^2 = 0 \iff y = \frac{x^2}{a}\).
이를 원래 곡선에 대입: \(x^3 + \left(\frac{x^2}{a}\right)^3 - 3ax\left(\frac{x^2}{a}\right) = 0\)
\(x^3 + \frac{x^6}{a^3} - 3x^3 = 0 \implies \frac{x^6}{a^3} = 2x^3\).
제1사분면(\(x > 0\))이므로 \(x^3 = 2a^3 \implies x = 2^{1/3}a = a\sqrt[3]{2}\).
\(y = \frac{(a\sqrt[3]{2})^2}{a} = a \sqrt[3]{4} = a 2^{2/3}\).
극대점 좌표는 \((a\sqrt[3]{2}, a\sqrt[3]{4})\)이다.
원점 \((0,0)\) 근방에서 \(y = mx\) 대입 시 \(x^3(1+m^3) - 3amx^2 = 0 \implies x \to 0\)일 때 접선은 \(x\)축(\(y=0\))과 \(y\)축(\(x=0\))이다.

[정답] [2-1] \(\frac{dy}{dx} = \frac{ay - x^2}{y^2 - ax}\), [2-2] 극대점 \((a\sqrt[3]{2}, a\sqrt[3]{4})\), 원점 접선 \(x=0, y=0\)

[3-1] 포물선 접선 및 이등변삼각형 증명:
포물선 \(y^2 = 8x \implies p = 2\). 초점은 \(F(2, 0)\)이다.
점 \(P(2, 4)\)에서의 접선: \(4y = 4(x + 2) \implies y = x + 2\).
\(y = 0\)일 때 \(x = -2\). 따라서 \(x\)절편 \(T(-2, 0)\)이다.
선분의 길이 계산:
• \(\overline{TF} = |2 - (-2)| = 4\)
• \(\overline{PF} = \sqrt{(2-2)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{16} = 4\)
\(\overline{TF} = \overline{PF} = 4\)이므로 삼각형 \(PTF\)는 \(\overline{TF} = \overline{PF}\)인 이등변삼각형이다. (증명 완료)

[3-2] 타원의 정의 및 접선:
타원 \(\frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1\)에서 장축 반지름 \(a = 5\).
타원의 정의에 의해 두 초점으로부터의 거리의 합은 장축의 길이와 같으므로
\(\overline{PF} + \overline{PF'} = 2a = 2 \times 5 = 10\).
점 \((x_1, y_1) = (0, 4)\)에서의 접선 공식: \(\frac{0 \cdot x}{25} + \frac{4 \cdot y}{16} = 1 \implies \frac{y}{4} = 1 \implies y = 4\).

[정답] [3-1] 증명 완료 (\(\overline{TF}=\overline{PF}=4\)), [3-2] 거리 합 \(10\), 접선 \(y = 4\)