[1-1] \(\theta_n = \alpha_n - \beta_n\)의 증명:
탄젠트 덧셈정리에 의해:
\(\tan(\alpha_n - \beta_n) = \frac{\tan\alpha_n - \tan\beta_n}{1 + \tan\alpha_n \tan\beta_n} = \frac{(n+1) - n}{1 + (n+1)n} = \frac{1}{n^2 + n + 1}\).
\(\tan\theta_n = \frac{1}{n^2+n+1}\)이고 \(\theta_n\)과 \(\alpha_n - \beta_n\) 모두 예각 범위에 있으므로 \(\theta_n = \alpha_n - \beta_n\)이다. (증명 완료)

[1-2] 망원급수 합 계산:
부분합 \(S_k = \sum_{n=1}^k \theta_n = \sum_{n=1}^k (\alpha_n - \beta_n)\).
\(\tan\alpha_n = n+1 \implies \alpha_n = \arctan(n+1)\), \(\tan\beta_n = n \implies \beta_n = \arctan(n)\).
\(S_k = [\arctan(2) - \arctan(1)] + [\arctan(3) - \arctan(2)] + \cdots + [\arctan(k+1) - \arctan(k)]\)
\(= \arctan(k+1) - \arctan(1)\).
\(k \to \infty\)일 때 \(\lim_{k \to \infty} \arctan(k+1) = \frac{\pi}{2}\), \(\arctan(1) = \frac{\pi}{4}\).
따라서 \(\sum_{n=1}^\infty \theta_n = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\)이다.

[정답] [1-1] 증명 완료, [1-2] \(\frac{\pi}{4}\)

[2-1] 접선의 방정식 유도:
\(x = 2\cos t \implies \frac{dx}{dt} = -2\sin t\), \(y = 2\sin t \implies \frac{dy}{dt} = 2\cos t\).
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2\cos t}{-2\sin t} = -\cot t\).
\(t = \frac{\pi}{3}\)일 때: 점의 좌표는 \((2\cos \frac{\pi}{3}, 2\sin \frac{\pi}{3}) = (1, \sqrt{3})\).
기울기 \(m = -\cot \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\).
접선의 방정식: \(y - \sqrt{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 1) \implies x + \sqrt{3}y - 4 = 0\).

[2-2] 로그 나선 곡선의 길이 계산:
\(\frac{dx}{dt} = e^t \cos t - e^t \sin t = e^t(\cos t - \sin t)\).
\(\frac{dy}{dt} = e^t \sin t + e^t \cos t = e^t(\sin t + \cos t)\).
\(\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = e^{2t}[(\cos t - \sin t)^2 + (\sin t + \cos t)^2] = e^{2t}[1 - 2\sin t\cos t + 1 + 2\sin t\cos t] = 2e^{2t}\).
\(L = \int_0^\pi \sqrt{2e^{2t}}\,dt = \sqrt{2} \int_0^\pi e^t\,dt = \sqrt{2}[e^t]_0^\pi = \sqrt{2}(e^\pi - 1)\).\n

[정답] [2-1] \(x + \sqrt{3}y - 4 = 0\), [2-2] \(\sqrt{2}(e^\pi - 1)\)

[3-1] 단면 타원의 장축 및 단축:
원기둥을 자를 때 단축은 원기둥의 지름과 같으므로 \(2b = 2R = 4 \implies b = 2\).
장축은 밑면 지름이 정사영된 관계에 의해 \(2a \cos 60^\circ = 2R \implies 2a \cdot \frac{1}{2} = 4 \implies 2a = 8 \implies a = 4\).

[3-2] 타원의 넓이 및 두 초점 거리:
밑면 원의 넓이 \(S_{\text{base}} = \pi R^2 = 4\pi\).
정사영 관계에 의해: \(S_{\text{base}} = S_{\text{ellipse}} \cos 60^\circ \implies 4\pi = S_{\text{ellipse}} \cdot \frac{1}{2} \implies S_{\text{ellipse}} = 8\pi\).
(타원 공식 검산: \(S = \pi a b = \pi \cdot 4 \cdot 2 = 8\pi\) 일치)
타원의 초점 위치 \(c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).
두 초점 사이의 거리 \(2c = 4\sqrt{3}\).

[정답] [3-1] 장축 \(8\), 단축 \(4\), [3-2] 넓이 \(8\pi\), 초점 거리 \(4\sqrt{3}\)