[1-1] 4회 시행 후 좌표 \(+2\)의 확률:
앞면이 \(k\)회 나오면 뒷면은 \(4-k\)회 나온다. 점 \(P\)의 좌표는 \(X = k - (4-k) = 2k - 4\).
\(2k - 4 = 2 \implies 2k = 6 \implies k = 3\) (앞면 3회, 뒷면 1회).
독립시행의 확률에 의해:
\(P(X=2) = \binom{4}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^1 = 4 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{32}{81}\).

[1-2] 조건부확률 계산:
좌표가 양수(\(X > 0\))일 조건은 \(2k - 4 > 0 \implies k > 2 \implies k = 3\) 또는 \(k = 4\).
• \(P(k=3) = \frac{32}{81}\)
• \(P(k=4) = \binom{4}{4} \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81}\)
따라서 \(P(X > 0) = \frac{32 + 16}{81} = \frac{48}{81}\).
'첫 번째 앞면 AND \(X > 0\)'인 경우:
1회차 앞면(\(\frac{2}{3}\)) 후 남은 3회에서 앞면이 2회 또는 3회 나와야 함.
\(= \frac{2}{3} \left[ \binom{3}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right) + \binom{3}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^3 \right] = \frac{2}{3} \left[ 3 \cdot \frac{4}{27} \cdot \frac{1}{3} + \frac{8}{27} \right] = \frac{2}{3} \left[ \frac{12+8}{27} \right] = \frac{40}{81}\).
따라서 구하는 조건부확률은 \(\frac{40/81}{48/81} = \frac{40}{48} = \frac{5}{6}\)이다.

[정답] [1-1] \(\frac{32}{81}\), [1-2] \(\frac{5}{6}\)

[2-1] 역함수 미분계수 \(g'(e+1)\):
\(f(1) = 1 \cdot e^1 + 1 = e+1 \implies g(e+1) = 1\).
\(f'(x) = 1 \cdot e^x + x e^x = (x+1)e^x \implies f'(1) = (1+1)e^1 = 2e\).
역함수 미분법에 의해: \(g'(e+1) = \frac{1}{f'(g(e+1))} = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{2e}\).

[2-2] 역함수 정적분 넓이 계산:
구하는 넓이 \(S = \int_1^{e+1} g(x)\,dx\).
\(y = g(x) \iff x = f(y) = y e^y + 1\). 치환적분법: \(x: 1 \to e+1 \iff y: 0 \to 1\), \(dx = f'(y)dy = (y+1)e^y dy\).
\(S = \int_0^1 y (y+1)e^y\,dy = \int_0^1 (y^2 + y)e^y\,dy\).
부분적분법: \(\int (y^2+y)e^y dy = (y^2+y)e^y - \int (2y+1)e^y dy = (y^2+y)e^y - [(2y+1)e^y - \int 2e^y dy] = (y^2-y+1)e^y\).
\(S = \left[ (y^2 - y + 1)e^y \right]_0^1 = (1 - 1 + 1)e^1 - (0 - 0 + 1)e^0 = e - 1\).

[정답] [2-1] \(\frac{1}{2e}\), [2-2] \(e - 1\)

[3-1] 정사면체 꼬인 두 모서리 벡터의 내적:
\(\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC}\)로 분해하면
\(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = \vec{AB} \cdot (\vec{AD} - \vec{AC}) = \vec{AB} \cdot \vec{AD} - \vec{AB} \cdot \vec{AC}\).
정사면체의 모든 면은 한 변의 길이가 \(a\)인 정삼각형이므로 이루는 각은 \(60^\circ\)이다.
\(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2}a^2\), \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2}a^2\).
따라서 \(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}a^2 = 0\).
[기하학적 의미]: 정사면체에서 마주 보는 두 모서리 \(AB\)와 \(CD\)는 공간에서 서로 수직이다.

[3-2] 구와 평면의 교선 원 반지름 및 \(r\) 계산:
구의 중심 \(C(1, -2, 1)\)에서 평면 \(\alpha: 2x - y + 2z - 6 = 0\)까지의 거리 \(d\)는
\(d = \frac{|2(1) - (-2) + 2(1) - 6|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 2 + 2 - 6|}{3} = \frac{0}{3} = 0\).
(구의 중심이 평면 \(\alpha\) 위에 존재한다!)
따라서 평면 \(\alpha\)가 구의 대원을 지나므로 교선 원의 반지름은 구의 반지름 \(r\)과 같다.
원의 넓이 \(\pi r^2 = 16\pi \implies r^2 = 16 \implies r = 4\).

[정답] [3-1] \(0\) (두 모서리는 서로 수직), [3-2] \(r = 4\)