[1-1] 일반항 \(a_n\)의 유도:
점화식 \(a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{1}{2^{n+1}}\)의 양변에 \(2^{n+1}\)을 곱하면
\(2^{n+1}a_{n+1} = 2^n a_n + 1\)이다. \(c_n = 2^n a_n\)으로 두면 \(c_{n+1} = c_n + 1\)이다.
\(c_1 = 2^1 a_1 = 2\)이므로 수열 \(\{c_n\}\)은 첫째항이 2, 공차가 1인 등차수열이다.
\(c_n = 2 + (n-1) = n + 1\). 따라서 \(a_n = \frac{n+1}{2^n}\)이다.

[1-2] 무한급수의 합 계산:
\(S_k = \sum_{n=1}^k \frac{n+1}{2^n} = \frac{2}{2^1} + \frac{3}{2^2} + \cdots + \frac{k+1}{2^k}\).
\(\frac{1}{2}S_k = \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k+1}{2^{k+1}}\).
변변 빼면: \(\frac{1}{2}S_k = 1 + \left( \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{2^k} \right) - \frac{k+1}{2^{k+1}}\)
\(= 1 + \frac{1/4(1 - (1/2)^{k-1})}{1 - 1/2} - \frac{k+1}{2^{k+1}} = 1 + \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2^{k-1}}\right) - \frac{k+1}{2^{k+1}}\).
\(k \to \infty\)일 때 \(\frac{1}{2}S = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \implies S = 3\).

[정답] [1-1] \(a_n = \frac{n+1}{2^n}\), [1-2] \(3\)

[2-1] \(f(x)\)의 극값:
\(f'(x) = 1 \cdot e^{-x^2} + x \cdot (-2x e^{-x^2}) = (1 - 2x^2)e^{-x^2} = 0\).
\(x > 0\)에서 극댓값은 \(x = \frac{1}{\sqrt{2}}\)일 때 가지며,
극댓값은 \(f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2e}}\)이다.

[2-2] 정적분 점화식 및 \(I_3\) 계산:
\(I_{n+2} = \int_0^1 x^{n+1} \cdot (x e^{-x^2})\,dx\).
\(u = x^{n+1} \implies u' = (n+1)x^n\), \(v' = x e^{-x^2} \implies v = -\frac{1}{2}e^{-x^2}\).
부분적분법에 의해:
\(I_{n+2} = \left[ -\frac{1}{2}x^{n+1}e^{-x^2} \right]_0^1 + \frac{n+1}{2} \int_0^1 x^n e^{-x^2}\,dx = -\frac{1}{2e} + \frac{n+1}{2}I_n\).
\(I_1 = \int_0^1 x e^{-x^2}\,dx = \left[ -\frac{1}{2}e^{-x^2} \right]_0^1 = -\frac{1}{2e} + \frac{1}{2} = \frac{e-1}{2e}\).
\(n=1\) 대입: \(I_3 = -\frac{1}{2e} + \frac{2}{2}I_1 = -\frac{1}{2e} + \frac{e-1}{2e} = \frac{e-2}{2e}\).

[정답] [2-1] \(x = \frac{1}{\sqrt{2}}\)에서 극댓값 \(\frac{1}{\sqrt{2e}}\), [2-2] \(I_{n+2} = \frac{n+1}{2}I_n - \frac{1}{2e}\), \(I_3 = \frac{e-2}{2e}\)

[3-1] 원 \(C\)의 중심과 반지름:
원점 \(O(0,0,0)\)에서 평면 \(\alpha: x+y+z-2=0\)까지의 거리 \(d\)는
\(d = \frac{|0+0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}\).
구의 반지름 \(R = 2\)이므로 원 \(C\)의 반지름 \(r\)은
\(r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{4 - \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\).
원 \(C\)의 중심 \(H\)는 평면의 법선벡터 방향이므로 \(H\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)\)이다.

[3-2] 정사영 도형 \(E\)의 넓이:
원 \(C\)의 넓이 \(S_C = \pi r^2 = \pi \left(\frac{8}{3}\right) = \frac{8\pi}{3}\).
평면 \(\alpha\)의 법선벡터 \(\vec{n}_1 = (1, 1, 1)\), \(xy\)평면의 법선벡터 \(\vec{n}_2 = (0, 0, 1)\).
두 평면이 이루는 각 \(\theta\)의 코사인 값은 \(\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
정사영 넓이 공식에 의해 \(S_E = S_C \cos\theta = \frac{8\pi}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}\pi}{9}\).

[정답] [3-1] 중심 \(\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)\), 반지름 \(\frac{2\sqrt{6}}{3}\), [3-2] \(\frac{8\sqrt{3}\pi}{9}\)