2027학년도 대비 연세대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 10회 문제집  |  10회 : 비선형 분수 점화식의 · 무한대 극한과 영인자 · 평균값 정리를 이용한 · 포물선과 직선으로 둘러 · 벡터를 이용한 공간 평
2027학년도 대비 연세대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (문제집) 120분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 없음 · 창의 수리추론

[대문항 1] 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.4 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{305}\right)\)을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 6\)가 되어 역수 수열은 공차가 \(6\)인 등차수열을 이룬다.
<제시문 (나)> 자연수 \(n\)에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 \(n = 1\;(a_1 = 1/305)\)일 때 성립함을 보이고, \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하여 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 연역한다.
첫째항이 \(a_1 = \dfrac{1}{305}\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}\)을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 305\right)\)을 이용하여 \(b_n = 6n + 299\)와 \(a_n\)의 일반항을 각각 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{6n + 299}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.
[문항 1-3] (7점) 부분분수 항등식 \(6a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)을 이용하여 급수 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{111325}\)의 값을 유도하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 2] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
<제시문 (가)> 다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 3x^3}{x^2} = -2103\)을 만족시키면 최고차항 계수가 \(3\)인 삼차함수이다.
<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 300} \dfrac{f(x)}{(x - 300)^2} = 597\)이 수렴하면 인수정리에 의해 \(f(x) = (x - 300)^2(3x + r)\) 꼴로 인수분해된다.
삼차다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 3x^3}{x^2} = -2103\)과 \(\lim_{x \to 300} \dfrac{f(x)}{(x - 300)^2} = 597\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 300)^2(3x + r)\)로 놓고 상수 \(r = -303\)을 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 구한 함수 \(f(x) = (x - 300)^2(3x + -303)\)이 무한대 극한 조건 \(-2103\)을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.
[문항 2-3] (7점) 함숫값 \(f(302) = 2412\)의 값과 \(x = 300\)에서의 미분계수 \(f'(300) = 0\)의 값을 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 3] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
<제시문 (가)> 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x) = x^3 + 876x + 2\)에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 \(f'(c) = 3c^2 + 876\)인 \(c\)가 존재한다.
<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 \(f'(x) = 3x^2 + 876 \gt 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)가 존재하며 \(g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 876}\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 \(f(x) = x^3 + 876x + 2\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 부등식 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 876(x_2 - x_1)\)이 성립함을 증명하시오.
[문항 3-2] (7점) \(f(0) = 2,\; f(1) = 879\)임을 이용하여 역함수의 미분계수 \(g'(2) = \dfrac{1}{876}\)와 \(g'(879) = \dfrac{1}{879}\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 \((879, 1)\)에서의 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{879}x\)를 구하고, \(\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(879)} = 1755\)의 값을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 4] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 299)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (299, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{299} (-6x^2 + 1794x)\,dx = 26730899\)이다.
<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{299}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(26730899\)를 정확히 이등분한다.
포물선 \(C : y = -6x^2 + 1794x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 897x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 1794x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 26730899\)를 유도하시오.
[문항 4-2] (7점) 직선 \(x = k\)가 넓이 \(S = 26730899\)를 이등분하는 상수 \(k = \dfrac{299}{2}\)를 구하고, \(\int_0^{299/2} (-6x^2 + 1794x)\,dx = \dfrac{26730899}{2}\)임을 확인하시오.
[문항 4-3] (7점) 포물선 \(y = -6x^2 + 1794x\)와 직선 \(y = 897x\)의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1 = \dfrac{26730899}{8}\)을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 5] 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피 (20점)

기하 Ⅲ-3. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 \(\mathrm{A}(882, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 882, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 882)\)을 지나는 평면의 방정식은 \(x + y + z = 882\)이고 법선벡터는 \(\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 882)\)이다.
<제시문 (나)> 평면 \(x + y + z = 882\)와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 \(S' = S\cos\theta = \dfrac{777924}{2}\)가 성립한다.
좌표공간에서 세 점 \(\mathrm{A}(882, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 882, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 882)\)을 지나는 평면 \(x + y + z = 882\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 \(x + y + z - 882 = 0\)까지의 수선의 길이 \(d = 294\sqrt{3}\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 \(S' = \dfrac{777924}{2}\)와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 \(S = \dfrac{777924\sqrt{3}}{2}\)를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 \(V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 114354828\)를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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