[1-1] 수학적 귀납법 증명:
(i) \(n = 1\)일 때: 좌변 \(= 1\), 우변 \(= 2(\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{2}-2 \approx 2(1.414)-2 = 0.828\).
\(1 > 2\sqrt{2}-2\)이므로 \(n=1\)일 때 성립한다.
(ii) \(n = m\)일 때 성립한다고 가정: \(\sum_{k=1}^m \frac{1}{\sqrt{k}} > 2(\sqrt{m+1}-1)\).
\(n = m+1\)일 때: 양변에 \(\frac{1}{\sqrt{m+1}}\)을 더하면
\(\sum_{k=1}^{m+1} \frac{1}{\sqrt{k}} > 2\sqrt{m+1} - 2 + \frac{1}{\sqrt{m+1}}\).
우리가 보이고자 하는 우변은 \(2\sqrt{m+2}-2\)이다.
\(\left(2\sqrt{m+1} - 2 + \frac{1}{\sqrt{m+1}}\right) - (2\sqrt{m+2}-2) = 2\sqrt{m+1} + \frac{1}{\sqrt{m+1}} - 2\sqrt{m+2}\)
\(= \frac{2(m+1)+1 - 2\sqrt{(m+1)(m+2)}}{\sqrt{m+1}} = \frac{(2m+3) - \sqrt{4(m^2+3m+2)}}{\sqrt{m+1}} = \frac{\sqrt{4m^2+12m+9} - \sqrt{4m^2+12m+8}}{\sqrt{m+1}} > 0\).
따라서 \(\sum_{k=1}^{m+1} \frac{1}{\sqrt{k}} > 2(\sqrt{m+2}-1)\)이 성립한다.
(i), (ii)에 의해 모든 자연수 \(n\)에 대하여 부등식이 성립한다. (증명 완료)

[1-2] 급수의 발산 증명:
부분합 \(S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} > 2(\sqrt{n+1}-1)\).
\(n \to \infty\)일 때 \(\lim_{n\to\infty} 2(\sqrt{n+1}-1) = \infty\)이다.
따라서 비교 판정법에 의해 \(\lim_{n\to\infty} S_n = \infty\)로 무한급수는 양의 무한대로 발산한다. (증명 완료)

[정답] 증명 완료

[2-1] 부분적분 계산:
\(u = x \implies u' = 1\), \(v' = e^{-2x} \implies v = -\frac{1}{2}e^{-2x}\).
\(\int x e^{-2x}\,dx = -\frac{1}{2}x e^{-2x} - \int \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right)dx = -\frac{1}{2}x e^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C = -\frac{2x+1}{4}e^{-2x} + C\).

[2-2] 회전체의 부피 계산:
\(V = \pi \int_0^1 (\sqrt{x} e^{-x})^2\,dx = \pi \int_0^1 x e^{-2x}\,dx\).
앞서 구한 부정적분을 적용하면:
\(V = \pi \left[ -\frac{2x+1}{4}e^{-2x} \right]_0^1 = \pi \left( -\frac{3}{4}e^{-2} - \left(-\frac{1}{4}e^0\right) \right) = \pi \left( \frac{1}{4} - \frac{3}{4e^2} \right) = \frac{\pi(e^2 - 3)}{4e^2}\) (또는 \(\frac{\pi}{4}(1 - 3e^{-2})\)).

[정답] [2-1] \(-\frac{2x+1}{4}e^{-2x} + C\), [2-2] \(\frac{\pi(e^2-3)}{4e^2}\)

[3-1] 접선 기울기 2차 방정식 유도:
점 \(P(x_0, y_0)\)을 지나는 접선: \(y_0 - m x_0 = \pm \sqrt{a^2 m^2 + b^2}\).
양변을 제곱하면: \((y_0 - m x_0)^2 = a^2 m^2 + b^2\).
\(y_0^2 - 2x_0 y_0 m + x_0^2 m^2 = a^2 m^2 + b^2\).
\(m\)에 대하여 내림차순으로 정리하면:
\((x_0^2 - a^2)m^2 - 2x_0 y_0 m + (y_0^2 - b^2) = 0\).

[3-2] 직교 조건 및 자취(준원) 도출:
두 접선이 서로 수직이므로 기울기 \(m_1, m_2\)의 곱은 \(m_1 m_2 = -1\)이다.
근과 계수의 관계에 의해: \(m_1 m_2 = \frac{y_0^2 - b^2}{x_0^2 - a^2} = -1\).
\(y_0^2 - b^2 = -(x_0^2 - a^2) = -x_0^2 + a^2\).
정리하면: \(x_0^2 + y_0^2 = a^2 + b^2\).
[기하학적 의미]: 타원에 그은 두 접선이 서로 수직이 되는 점들의 자취는 중심이 원점이고 반지름이 \(\sqrt{a^2+b^2}\)인 원이며, 이를 타원의 준원(Director Circle)이라 부른다.

[정답] [3-1] \((x_0^2-a^2)m^2 - 2x_0 y_0 m + (y_0^2-b^2) = 0\), [3-2] \(x^2 + y^2 = a^2 + b^2\) (준원)

[4-1] 음함수 도함수 유도:
\(x^2 - xy + y^2 = 3\)의 양변을 \(x\)에 대해 미분하면:
\(2x - \left( y + x \frac{dy}{dx} \right) + 2y \frac{dy}{dx} = 0\).
\((2y - x)\frac{dy}{dx} = y - 2x \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y - 2x}{2y - x}\) (\(2y \ne x\)).

[4-2] \(y\)좌표의 최댓값 및 최솟값:
\(y\)의 극값은 접선의 기울기가 0일 때 발생하므로 \(\frac{dy}{dx} = 0 \iff y - 2x = 0 \iff y = 2x\).
이를 곡선 방정식에 대입: \(x^2 - x(2x) + (2x)^2 = 3 \implies x^2 - 2x^2 + 4x^2 = 3 \implies 3x^2 = 3 \implies x = \pm 1\).
• \(x = 1\)일 때: \(y = 2(1) = 2\)
• \(x = -1\)일 때: \(y = 2(-1) = -2\)
폐곡선이므로 \(y\)의 최댓값은 \(2\), 최솟값은 \(-2\)이다.

[4-3] \(x\)좌표의 최댓값 및 최솟값:
곡선 방정식 \(x^2 - yx + (y^2-3) = 0\)은 대칭적이므로, \(x\)에 관한 2차 방정식의 판별식 \(D \ge 0\):
\(D = (-y)^2 - 4(1)(y^2-3) = y^2 - 4y^2 + 12 = 12 - 3y^2 \ge 0 \implies 3y^2 \le 12 \implies y^2 \le 4 \implies -2 \le y \le 2\).
마찬가지로 \(y\)에 관한 2차 방정식 \(y^2 - xy + (x^2-3) = 0\)의 판별식 \(D_x \ge 0\):
\(D_x = x^2 - 4(x^2-3) = 12 - 3x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies -2 \le x \le 2\).
따라서 \(x\)의 최댓값은 \(2\), 최솟값은 \(-2\)이다.

[정답] [4-1] \(\frac{dy}{dx} = \frac{y-2x}{2y-x}\), [4-2] \(y\)의 최댓값 \(2\), 최솟값 \(-2\), [4-3] \(x\)의 최댓값 \(2\), 최솟값 \(-2\)