[제시문 가] 모든 자연수 \(n \ge 1\)에 대하여 \(\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} > 2(\sqrt{n+1} - 1)\)이 성립한다.
[제시문 나] 수열 \(\{a_n\}\)의 무한급수 발산 판정에 부등식을 활용할 수 있다.

[1-1] 수학적 귀납법을 이용하여 모든 자연수 \(n \ge 1\)에 대하여 \(\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} > 2(\sqrt{n+1} - 1)\)임을 증명하시오. (12점)
[1-2] 위 부등식을 이용하여 무한급수 \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}\)이 양의 무한대로 발산함을 증명하시오. (8점)

[제시문 가] 곡선 \(y = f(x)\) \((a \le x \le b)\)를 \(x\)축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는 \(V = \pi \int_a^b (f(x))^2\,dx\)이다.
[제시문 나] 함수 \(f(x) = \sqrt{x} e^{-x}\) \((0 \le x \le 1)\)을 생각하자.

[2-1] 부분적분법을 이용하여 부정적분 \(\int x e^{-2x}\,dx\)를 구하시오. (10점)
[2-2] 곡선 \(y = \sqrt{x} e^{-x}\)와 \(x\)축 및 직선 \(x = 1\)로 둘러싸인 도형을 \(x\)축의 둘레로 회전시킨 입체의 부피 \(V\)를 구하시오. (15점)

[제시문 가] 타원 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)의 기울기 \(m\)인 접선의 방정식은 \(y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 + b^2}\)이다.
[제시문 나] 타원 밖의 점 \(P(x_0, y_0)\)에서 타원에 그은 두 접선이 서로 수직이다.

[3-1] 점 \(P(x_0, y_0)\)을 지나는 접선의 기울기 \(m\)에 관한 2차 방정식을 세우시오. (10점)
[3-2] 두 접선이 서로 수직일 때, 점 \(P\)의 자취의 방정식을 구하고 그 기하학적 의미를 서술하시오. (15점)

[제시문 가] 방정식 \(x^2 - xy + y^2 = 3\)으로 정의된 폐곡선 \(C\)가 있다.
[제시문 나] 곡선 \(C\) 위의 점 \((x, y)\)에서 \(y\)의 극값은 음함수 미분법으로 \(\frac{dy}{dx} = 0\)인 점에서 발생한다.

[4-1] 음함수 미분법을 이용하여 \(\frac{dy}{dx}\)를 \(x, y\)로 나타내시오. (10점)
[4-2] 곡선 \(C\) 위의 점 중 \(y\)좌표의 최댓값과 최솟값을 구하시오. (10점)
[4-3] 곡선 \(C\) 위의 점 중 \(x\)좌표의 최댓값과 최솟값을 구하시오. (10점)