[1-1] 전이확률 점화식 유도:
전확률 공식에 의해 \(n+1\)회에 상태 \(A\)에 있을 확률은
\(p_{n+1} = P(A_{n+1}|A_n)P(A_n) + P(A_{n+1}|B_n)P(B_n) = \frac{1}{6}p_n + \frac{1}{3}(1 - p_n)\).
정리하면: \(p_{n+1} = \frac{1}{6}p_n + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}p_n = -\frac{1}{6}p_n + \frac{1}{3}\).

[1-2] 일반항 및 극한값 계산:
특성방정식: \(\alpha = -\frac{1}{6}\alpha + \frac{1}{3} \implies \frac{7}{6}\alpha = \frac{1}{3} \implies \alpha = \frac{2}{7}\).
점화식 변형: \(p_{n+1} - \frac{2}{7} = -\frac{1}{6}\left(p_n - \frac{2}{7}\right)\).
수열 \(\{p_n - \frac{2}{7}\}\)은 첫째항이 \(p_0 - \frac{2}{7} = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}\), 공비가 \(-\frac{1}{6}\)인 등비수열이다.
일반항: \(p_n = \frac{2}{7} + \frac{5}{7}\left(-\frac{1}{6}\right)^n\).
\(\lim_{n\to\infty} \left(-\frac{1}{6}\right)^n = 0\)이므로 \(\lim_{n\to\infty} p_n = \frac{2}{7}\)이다.

[정답] [1-1] \(p_{n+1} = -\frac{1}{6}p_n + \frac{1}{3}\), [1-2] \(p_n = \frac{2}{7} + \frac{5}{7}\left(-\frac{1}{6}\right)^n\), 극한값 \(\frac{2}{7}\)

[2-1] 피적분함수 유도:
\(y = \ln(\cos x) \implies y' = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x\).
\(1 + (y')^2 = 1 + (-\tan x)^2 = 1 + \tan^2 x = \sec^2 x\).
구간 \(\left[0, \frac{\pi}{4}\right]\)에서 \(\cos x > 0 \implies \sec x > 0\)이므로
\(\sqrt{1 + (y')^2} = \sqrt{\sec^2 x} = \sec x\)이다. (증명 완료)

[2-2] 곡선의 길이 계산:
곡선의 길이 \(L = \int_0^{\pi/4} \sec x\,dx\).
제시문 나에 의해:
\(L = \left[ \ln(\sec x + \tan x) \right]_0^{\pi/4}\).
• \(x = \frac{\pi}{4}\)일 때: \(\sec\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}\), \(\tan\frac{\pi}{4} = 1 \implies \ln(\sqrt{2} + 1)\).
• \(x = 0\)일 때: \(\sec 0 = 1\), \(\tan 0 = 0 \implies \ln(1 + 0) = \ln 1 = 0\).
따라서 \(L = \ln(\sqrt{2} + 1) - 0 = \ln(\sqrt{2} + 1)\)이다.

[정답] [2-1] 증명 완료, [2-2] \(\ln(\sqrt{2} + 1)\)

[3-1] 원 \(C\)의 중심 및 반지름:
원점 \(O(0,0,0)\)에서 평면 \(\alpha: x+2y+2z-6=0\)까지의 거리 \(d\)는
\(d = \frac{|0 + 2(0) + 2(0) - 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{6}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{6}{3} = 2\).
구의 반지름 \(R = 3\)이므로 원 \(C\)의 반지름 \(r\)은
\(r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}\).
평면 \(\alpha\)의 단위법선벡터 \(\vec{n}_0 = \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)\)이므로
중심 \(H = O + d \vec{n}_0 = 2 \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right)\)이다.

[3-2] 정사영 타원 \(E\)의 넓이:
원 \(C\)의 넓이 \(S_C = \pi r^2 = \pi (\sqrt{5})^2 = 5\pi\).
평면 \(\alpha\)의 법선벡터 \(\vec{n}_1 = (1, 2, 2)\), \(xy\)평면의 법선벡터 \(\vec{n}_2 = (0, 0, 1)\).
두 평면이 이루는 각 \(\theta\)의 코사인 값:
\(\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} = \frac{|1(0) + 2(0) + 2(1)|}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}\).
정사영 넓이 공식: \(S_E = S_C \cos\theta = 5\pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{10\pi}{3}\).

[정답] [3-1] 중심 \(\left(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right)\), 반지름 \(\sqrt{5}\), [3-2] \(\frac{10\pi}{3}\)

[4-1] 역함수 1·2계 미분계수:
\(f(1) = 1^3 + 1 + 1 = 3 \implies g(3) = 1\).
\(f'(x) = 3x^2 + 1 \implies f'(1) = 3(1)^2 + 1 = 4\).
\(f''(x) = 6x \implies f''(1) = 6\).
• 1계 미분: \(g'(3) = \frac{1}{f'(g(3))} = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{4}\).
• 2계 미분: \(g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))} = (f'(g(x)))^{-1}\)을 \(x\)에 대해 미분하면
\(g''(x) = -(f'(g(x)))^{-2} \cdot f''(g(x)) \cdot g'(x) = -\frac{f''(g(x))}{(f'(g(x)))^3}\).
\(x = 3\) 대입: \(g''(3) = -\frac{f''(1)}{(f'(1))^3} = -\frac{6}{4^3} = -\frac{6}{64} = -\frac{3}{32}\).

[4-2] 역함수 정적분 계산:
\(f(0) = 1 \implies g(1) = 0\), \(f(1) = 3 \implies g(3) = 1\).
역함수 정적분의 기하학적 성질(또는 치환적분 \(x = f(y)\)):
\(\int_1^3 g(x)\,dx = [x g(x)]_1^3 - \int_{g(1)}^{g(3)} f(y)\,dy\)
\(= [3 \cdot g(3) - 1 \cdot g(1)] - \int_0^1 (y^3 + y + 1)\,dy\)
\(= [3(1) - 1(0)] - \left[ \frac{y^4}{4} + \frac{y^2}{2} + y \right]_0^1\)
\(= 3 - \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 \right) = 3 - \frac{7}{4} = \frac{5}{4}\).

[정답] [4-1] \(g(3)=1, g'(3)=\frac{1}{4}, g''(3)=-\frac{3}{32}\), [4-2] \(\frac{5}{4}\)