[제시문 가] 상태 \(A\)와 상태 \(B\) 사이를 매 시행마다 이동하는 시스템이 있다.
\(n\)회 시행 후 상태 \(A\)에 있을 확률을 \(p_n\)이라 할 때, 상태 \(A\)에서 상태 \(A\)로 유지될 확률은 \(\frac{1}{6}\), 상태 \(B\)에서 상태 \(A\)로 전이될 확률은 \(\frac{1}{3}\)이다.
[제시문 나] 초기 상태는 \(A\)이다. (\(p_0 = 1\))

[1-1] \(p_{n+1}\)을 \(p_n\)에 대한 점화식으로 나타내시오. (8점)
[1-2] 일반항 \(p_n\)을 구하고, 극한값 \(\lim_{n\to\infty} p_n\)을 구하시오. (12점)

[제시문 가] 곡선 \(y = f(x)\) \((a \le x \le b)\)의 길이는 \(L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx\)이다.
[제시문 나] \(\int \sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + C\)이다.

[2-1] 곡선 \(y = \ln(\cos x)\) \(\left(0 \le x \le \frac{\pi}{4}\right)\)에 대하여 \(\sqrt{1 + (y')^2} = \sec x\)임을 증명하시오. (10점)
[2-2] 곡선 \(y = \ln(\cos x)\) \(\left(0 \le x \le \frac{\pi}{4}\right)\)의 길이를 구하시오. (15점)

[제시문 가] 좌표공간에서 구 \(S: x^2 + y^2 + z^2 = 9\)와 평면 \(\alpha: x + 2y + 2z = 6\)이 만나는 원을 \(C\)라 하자.
[제시문 나] 원 \(C\)를 \(xy\)평면 위로 정사영시킨 도형을 \(E\)라 한다.

[3-1] 원 \(C\)의 중심 좌표와 반지름의 길이를 구하시오. (12점)
[3-2] 정사영 도형 \(E\)의 넓이를 구하시오. (13점)

[제시문 가] 함수 \(f(x) = x^3 + x + 1\)은 구간 \((-\infty, \infty)\)에서 증가하므로 역함수 \(g(x) = f^{-1}(x)\)가 존재한다.
[제시문 나] \(f(g(x)) = x\)의 양변을 미분하여 역함수의 도함수를 구한다.

[4-1] \(g(3)\), \(g'(3)\), \(g''(3)\)의 값을 각각 구하시오. (15점)
[4-2] 정적분 \(\int_1^3 g(x)\,dx\)의 값을 구하시오. (15점)