[1-1] 수열의 일반항 및 무한급수:
수열 \(\{a_n\}\)은 첫째항이 1이고 공비가 \(\frac{1}{2}\)인 등비수열이다.
일반항 \(a_n = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{1}{2^{n-1}}\).
공비 \(|r| = \frac{1}{2} < 1\)이므로 무한등비급수의 합은 \(S = \frac{1}{1 - 1/2} = 2\)이다.

[1-2] 조건부확률 계산:
• 첫 번째 흰 공(W), 두 번째 흰 공(W): \(P(W_1 \cap W_2) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}\).
• 첫 번째 검은 공(B), 두 번째 흰 공(W): \(P(B_1 \cap W_2) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\).
두 번째 공이 흰 공일 확률: \(P(W_2) = P(W_1 \cap W_2) + P(B_1 \cap W_2) = \frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\).
구하는 조건부확률: \(P(W_1 | W_2) = \frac{P(W_1 \cap W_2)}{P(W_2)} = \frac{1/10}{4/10} = \frac{1}{4}\).

[정답] [1-1] \(a_n = \frac{1}{2^{n-1}}\), 급수의 합 \(2\), [1-2] \(\frac{1}{4}\)

[2-1] 평균값 정리 부등식 증명:
함수 \(f(x) = \sin x\)는 구간 \([x_1, x_2]\)에서 연속이고 미분가능하다.
평균값 정리에 의해 \(\frac{\sin x_2 - \sin x_1}{x_2 - x_1} = \cos c\)인 \(c \in (x_1, x_2)\)가 존재한다.
\(0 < x_1 < c < x_2\)이므로 \(0 < c\)이다. \(\cos 0 = 1\)이고 \(c > 0\)에서 \(\cos c < 1\)이므로
\(\frac{\sin x_2 - \sin x_1}{x_2 - x_1} = \cos c < 1\)이 성립한다. (증명 완료)

[2-2] 삼각치환 정적분 계산:
\(x = \sin\theta \implies dx = \cos\theta d\theta\). 구간: \(x: 0 \to 1 \implies \theta: 0 \to \frac{\pi}{2}\).
\(\sqrt{1-x^2} = \cos\theta\).
\(I = \int_0^{\pi/2} \sin^2\theta \cdot \cos\theta \cdot \cos\theta\,d\theta = \int_0^{\pi/2} \sin^2\theta \cos^2\theta\,d\theta = \int_0^{\pi/2} \left(\frac{\sin 2\theta}{2}\right)^2 d\theta\)
\(= \frac{1}{4} \int_0^{\pi/2} \sin^2 2\theta\,d\theta = \frac{1}{4} \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 4\theta}{2}\,d\theta = \frac{1}{8} \left[ \theta - \frac{\sin 4\theta}{4} \right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{8} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{16}\).

[정답] [2-1] 증명 완료, [2-2] \(\frac{\pi}{16}\)

[3-1] 포물선 초점 거리 이등변삼각형 증명:
포물선 \(y^2 = 4x \implies p = 1\). 초점은 \(F(1, 0)\)이다.
점 \(P(1, 2)\)에서의 접선의 방정식: \(2y = 2(1)(x + 1) \implies y = x + 1\).
\(y = 0\)일 때 \(x = -1\)이므로 접선의 \(x\)절편 \(T(-1, 0)\)이다.
선분의 길이 계산:
• \(\overline{TF} = |1 - (-1)| = 2\)
• \(\overline{PF} = \sqrt{(1-1)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2\)
따라서 \(\overline{TF} = \overline{PF} = 2\)로 길이가 같다. (증명 완료)

[3-2] 공간벡터 내적과 사잇각 계산:
\(|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3\).
\(|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + x^2} = \sqrt{5 + x^2}\).
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2(1) + (-1)(2) + 2(x) = 2 - 2 + 2x = 2x\).
내적 정의식: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos 60^\circ \implies 2x = 3 \sqrt{5+x^2} \cdot \frac{1}{2} \implies 4x = 3\sqrt{5+x^2}\).
양변 제곱 (\(x > 0\)): \(16x^2 = 9(5 + x^2) = 45 + 9x^2 \implies 7x^2 = 45 \implies x^2 = \frac{45}{7}\).
따라서 양수 \(x = \sqrt{\frac{45}{7}} = \frac{3\sqrt{35}}{7}\)이다.

[정답] [3-1] 증명 완료 (\(\overline{TF}=\overline{PF}=2\)), [3-2] \(x = \frac{3\sqrt{35}}{7}\)

[4-1] \(F'(x)\) 및 극값 판별:
미적분학의 기본정리에 의해 \(F'(x) = (x^2 - 4)e^{-x} = (x-2)(x+2)e^{-x}\).
\(e^{-x} > 0\)이므로 \(F'(x) = 0 \iff x = -2\) 또는 \(x = 2\).
• \(x = -2\)의 좌우에서 \(F'(x)\)가 \(+ \to -\)로 변하므로 \(x = -2\)에서 극댓값을 갖는다.
• \(x = 2\)의 좌우에서 \(F'(x)\)가 \(- \to +\)로 변하므로 \(x = 2\)에서 극솟값을 갖는다.

[4-2] 부분적분 및 극솟값 계산:
\(\int (t^2-4)e^{-t} dt\): 부분적분법을 2회 적용하면
\(= -(t^2-4)e^{-t} + \int 2t e^{-t} dt = -(t^2-4)e^{-t} - 2t e^{-t} + \int 2e^{-t} dt = -(t^2 + 2t - 2)e^{-t} + C\).
\(F(x) = \left[ -(t^2+2t-2)e^{-t} \right]_0^x = -(x^2+2x-2)e^{-x} - (-(-2)e^0) = -(x^2+2x-2)e^{-x} - 2\).
극솟값 \(F(2) = -(4+4-2)e^{-2} - 2 = -6e^{-2} - 2\).
극댓값 \(F(-2) = -(4-4-2)e^2 - 2 = 2e^2 - 2\).

[4-3] 서로 다른 세 실근 조건 \(k\)의 범위:
\(x \to -\infty\)일 때 \(F(x) \to -\infty\), \(x \to \infty\)일 때 \(F(x) \to -2\).
함수의 개형을 분석하면 \(y=F(x)\)는 \(-\infty\)에서 출발하여 극댓값 \(2e^2-2\)까지 증가 후, 극솟값 \(-6e^{-2}-2\)까지 감소하였다가 점근선 \(y=-2\)로 수렴한다.
따라서 \(y = k\)와의 교점이 3개가 되기 위한 조건은 극솟값과 점근선 사이여야 하므로:
\(-6e^{-2} - 2 < k < -2\)이다.

[정답] [4-1] 극대 \(x=-2\), 극소 \(x=2\), [4-2] 극솟값 \(-6e^{-2}-2\), [4-3] \(-6e^{-2}-2 < k < -2\)