2027학년도 한국공학대학교 자연계열 융합모의고사 9회 해설집

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 9회 해설집

자연계열 약술형 모의고사 9회 (공학 수리 실전 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 로그의 성질 배점 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 10091 변형 | 성취기준: 12대수01-04]

[문제] 두 양수 $x, y$가 $3^x = 7^y = 21$을 만족시킬 때, $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $3^x = 21$의 양변에 $\dfrac{1}{x}$제곱을 취하면 $3 = 21^{1/x}$이고, $7^y = 21$에서 $7 = 21^{1/y}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 두 식을 변끼리 곱하면 $3 \times 7 = 21^{1/x} \cdot 21^{1/y} = 21^{1/x + 1/y}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $21^1 = 21^{1/x + 1/y}$이므로 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 1$이다.

최종 정답: $1$

문항 2 해설 대수 · 로그방정식 배점 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 10092 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 로그방정식 $(\log_3 x)^2 - \log_3 x^4 + 2 = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha\beta$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 진수 조건 $x > 0$ 하에서 $\log_3 x = t$로 치환하면 $t^2 - 4t + 2 = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 이차방정식의 두 근이 $\log_3 \alpha, \log_3 \beta$이므로 근과 계수의 관계에 의해 $\log_3 \alpha + \log_3 \beta = 4$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $\log_3(\alpha\beta) = 4$에서 $\alpha\beta = 3^4 = 81$이다.

최종 정답: $81$

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자연계열 약술형 모의고사 9회 (공학 수리 실전 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 사인법칙 배점 15점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 10093 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 반지름의 길이가 $5$인 원에 내접하는 삼각형 $ABC$에서 $\sin A + \sin B + \sin C = \dfrac{12}{5}$일 때, 삼각형 $ABC$의 둘레의 길이를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 사인법칙에 의해 $\sin A = \dfrac{a}{2R}, \sin B = \dfrac{b}{2R}, \sin C = \dfrac{c}{2R}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $2R = 10$이므로 $\sin A + \sin B + \sin C = \dfrac{a + b + c}{10} = \dfrac{12}{5}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 삼각형 $ABC$의 둘레의 길이는 $a + b + c = 10 \times \dfrac{12}{5} = 24$이다.

최종 정답: $24$

문항 4 해설 대수 · 수열의 합과 일반항 배점 15점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 10094 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 $S_n = 2n^2 + 3n$일 때, $a_1 + a_6$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $a_1 = S_1 = 2(1)^2 + 3(1) = 5$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1}$이므로 $a_6 = S_6 - S_5 = (72 + 18) - (50 + 15) = 90 - 65 = 25$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $a_1 + a_6 = 5 + 25 = 30$이다.

최종 정답: $30$

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 사잇값의 정리 배점 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 10095 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[문제] 방정식 $x^3 - 3x - 5 = 0$의 양의 실근이 속하는 열린구간 $(n, n+1)$ ($n$은 자연수)에 대하여 자연수 $n$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $f(x) = x^3 - 3x - 5$라 하면 $f(x)$는 모든 실수에서 연속인 다항함수이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $f(1) = -7 < 0, f(2) = 8 - 6 - 5 = -3 < 0, f(3) = 27 - 9 - 5 = 13 > 0$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $f(2)f(3) < 0$이므로 사잇값 정리에 의해 양의 실근은 열린구간 $(2, 3)$에 속하며, $n = 2$이다.

최종 정답: $n = 2$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 평균값 정리 배점 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 10096 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문제] 함수 $f(x) = x^3 - 3x + 1$에 대하여 닫힌구간 $[0, 3]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c$ ($0 < c < 3$)의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 평균값 정리에 의해 $\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = f'(c)$를 만족하는 $c \in (0, 3)$이 존재한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\dfrac{19 - 1}{3} = 6$이고 $f'(c) = 3c^2 - 3 = 6$에서 $c^2 = 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $0 < c < 3$이므로 $c = \sqrt{3}$이다.

최종 정답: $\sqrt{3}$

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모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 방정식과 부등식에의 활용 배점 15점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 10097 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 실수 전체의 집합에서 부등식 $x^4 - 4x + k \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $f(x) = x^4 - 4x + k$라 하면 $f'(x) = 4x^3 - 4 = 4(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$에서 유일한 극점은 $x = 1$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $f(x)$는 $x = 1$에서 극소이자 최소이므로 최솟값은 $f(1) = 1 - 4 + k = k - 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 모든 실수에서 $f(x) \ge 0$이려면 $k - 3 \ge 0 \implies k \ge 3$이므로 최솟값은 $3$이다.

최종 정답: $3$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 두 곡선 사이의 넓이 배점 15점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 10098 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 두 곡선 $y = x^2 - 2x$와 $y = -x^2 + 4x$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 교점 방정식 $x^2 - 2x = -x^2 + 4x \iff 2x^2 - 6x = 2x(x - 3) = 0$에서 교점의 $x$좌표는 $0, 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 두 이차곡선으로 둘러싸인 넓이 공식 $S = \dfrac{|a - a'|}{6}(\beta - \alpha)^3$을 적용한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $S = \dfrac{|1 - (-1)|}{6}(3 - 0)^3 = \dfrac{2}{6} \times 27 = 9$이다.

최종 정답: $9$