2027학년도 한국공학대학교 자연계열 융합모의고사 8회 해설집

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 8회 해설집

자연계열 약술형 모의고사 8회 (공학 수리 응용 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 지수부등식 배점 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 10081 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 지수부등식 $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 \le 0$을 만족시키는 모든 실수 $x$에 대하여 $2^{x+1}$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $3^x = t$ ($t > 0$)로 치환하면 $t^2 - 10t + 9 = (t - 1)(t - 9) \le 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $1 \le 3^x \le 9 = 3^2$이므로 실수 $x$의 범위는 $0 \le x \le 2$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $2^{x+1}$의 최솟값은 $2^{0+1} = 2$, 최댓값은 $2^{2+1} = 8$이므로 합은 $2 + 8 = 10$이다.

최종 정답: $10$

문항 2 해설 대수 · 삼각함수의 그래프 배점 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 10082 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] $0 \le x < 2\pi$일 때, 방정식 $2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0$의 모든 실근의 합을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$를 대입하면 $2(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0 \iff 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 인수분해하면 $(2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$이므로 $\sin x = \dfrac{1}{2}$ 또는 $\sin x = -1$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $0 \le x < 2\pi$에서 해는 $x = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}$이므로 모든 실근의 합은 $\pi + \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{5\pi}{2}$이다.

최종 정답: $\dfrac{5\pi}{2}$

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 8회 해설집

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모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 사인법칙과 코사인법칙 배점 15점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 10083 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 4$, $\overline{BC} = 6$, $\angle B = \dfrac{2\pi}{3}$일 때, 변 $AC$의 길이와 외접원의 반지름 $R$를 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 코사인법칙에 의해 $\overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 - 2\overline{AB}\cdot\overline{BC}\cos\dfrac{2\pi}{3}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\overline{AC}^2 = 16 + 36 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 52 + 24 = 76$이므로 $\overline{AC} = 2\sqrt{19}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 사인법칙 $2R = \dfrac{\overline{AC}}{\sin(2\pi/3)} = \dfrac{2\sqrt{19}}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{4\sqrt{57}}{3}$에서 $R = \dfrac{2\sqrt{57}}{3}$이다.

최종 정답: $\overline{AC} = 2\sqrt{19}, \; R = \dfrac{2\sqrt{57}}{3}$

문항 4 해설 대수 · 수열의 합 배점 15점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 10084 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 자연수 $n$에 대하여 $\sum_{k=1}^{12} \dfrac{2}{(2k - 1)(2k + 1)} = \dfrac{q}{p}$일 때, 서로소인 두 자연수 $p, q$의 합 $p + q$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 부분분수 분해 공식에 의해 $\dfrac{2}{(2k - 1)(2k + 1)} = \dfrac{1}{2k - 1} - \dfrac{1}{2k + 1}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 망원급수로 전개하면 $\sum_{k=1}^{12}\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\right) = 1 - \dfrac{1}{25} = \dfrac{24}{25}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $p = 25, q = 24$이므로 $p + q = 49$이다.

최종 정답: $49$

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 함수의 극한 배점 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 탐구 10085 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문제] 극한 $\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x + 10} - a}{x - 2} = b$를 만족시키는 두 상수 $a, b$에 대하여 $ab$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $x \to 2$일 때 분모가 $0$으로 수렴하므로 분자도 $0$으로 수렴하여 $\sqrt{16} - a = 0 \implies a = 4$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 유리화하면 $\lim_{x \to 2} \dfrac{3(x - 2)}{(x - 2)(\sqrt{3x + 10} + 4)} = \dfrac{3}{8} = b$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $ab = 4 \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{2}$이다.

최종 정답: $\dfrac{3}{2}$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 미분가능성 배점 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 10086 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문제] 함수 $f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & (x < 1) \\ 4x - 1 & (x \ge 1) \end{cases}$이 $x = 1$에서 미분가능할 때, 상수 $a, b$에 대하여 $a^2 + b^2$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $x = 1$에서 연속이므로 $1 + a + b = 4 - 1 = 3 \implies a + b = 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $x = 1$에서 좌미분계수와 우미분계수가 같으므로 $2(1) + a = 4 \implies a = 2$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $b = 0$이므로 $a^2 + b^2 = 4 + 0 = 4$이다.

최종 정답: $4$

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자연계열 약술형 모의고사 8회 (공학 수리 응용 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 함수의 최대와 최소 배점 15점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 10087 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 닫힌구간 $[0, 3]$에서 함수 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + k$의 최솟값이 $4$일 때, 이 구간에서 $f(x)$의 최댓값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x - 1)(x - 2) = 0$에서 극점은 $x = 1, 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 구간 $[0, 3]$에서 함숫값은 $f(0)=k, f(1)=k+5, f(2)=k+4, f(3)=k+9$이므로 최솟값은 $f(0) = k = 4$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 최댓값은 $f(3) = k + 9 = 4 + 9 = 13$이다.

최종 정답: $13$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 정적분의 계산 배점 15점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 10088 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 정적분 $\int_{-2}^2 (3x^3 + 4x^2 - 5x + 2)\,dx$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 대칭구간 $[-2, 2]$에서 기함수 $3x^3 - 5x$의 정적분은 $0$이고 우함수 $4x^2 + 2$의 정적분은 $2\int_0^2 (4x^2 + 2)\,dx$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $2\Big[\dfrac{4}{3}x^3 + 2x\Big]_0^2 = 2\left(\dfrac{32}{3} + 4\right) = 2 \times \dfrac{44}{3}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 구하는 정적분의 값은 $\dfrac{88}{3}$이다.

최종 정답: $\dfrac{88}{3}$