2027학년도 한국공학대학교 자연계열 융합모의고사 7회 해설집

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 7회 해설집

자연계열 약술형 모의고사 7회 (공학 수리 심화 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 지수와 로그 배점 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 10071 변형 | 성취기준: 12대수01-04]

[문제] $1$이 아닌 세 양수 $a, b, c$가 $\log_a b = 4$, $\log_b c = \dfrac{3}{2}$을 만족시킬 때, $\log_c(a^2 b)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 로그의 밑변환 공식에 의해 $\log_a c = \log_a b \cdot \log_b c = 4 \times \dfrac{3}{2} = 6$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 밑이 $a$인 로그로 변환하면 $\log_c(a^2 b) = \dfrac{\log_a(a^2 b)}{\log_a c} = \dfrac{2 + \log_a b}{\log_a c}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $\log_a b = 4, \log_a c = 6$을 대입하면 $\dfrac{2 + 4}{6} = 1$이다.

최종 정답: $1$

문항 2 해설 대수 · 삼각함수 배점 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 10072 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] $\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$인 각 $\theta$에 대하여 $\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{3}$일 때, $\sin\theta - \cos\theta$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 양변을 제곱하면 $1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{9}$에서 $2\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{8}{9}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = 1 - \left(-\dfrac{8}{9}\right) = \dfrac{17}{9}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 제$2$사분면에서 $\sin\theta > 0, \cos\theta < 0$이므로 $\sin\theta - \cos\theta > 0$이고, 구하는 값은 $\dfrac{\sqrt{17}}{3}$이다.

최종 정답: $\dfrac{\sqrt{17}}{3}$

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 7회 해설집

자연계열 약술형 모의고사 7회 (공학 수리 심화 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 수열의 합 배점 15점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 10073 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 3$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = a_n + 4n - 1$을 만족시킬 때, $a_{10}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 계차 관계를 이용하면 $n \ge 2$일 때 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k - 1)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $a_{10} = 3 + \sum_{k=1}^9 (4k - 1) = 3 + 4 \cdot \dfrac{9 \cdot 10}{2} - 9 = 3 + 180 - 9$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $a_{10} = 174$이다.

최종 정답: $174$

문항 4 해설 대수 · 등비수열 배점 15점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 10074 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 모든 항이 양수인 등비수열 $\{a_n\}$에서 $a_2 a_4 = 36$, $a_5 = 54$일 때, 첫째항 $a_1$과 공비 $r$의 값을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 등비중항의 성질에 의해 $a_2 a_4 = a_3^2 = 36$이고 모든 항이 양수이므로 $a_3 = 6$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $a_5 = a_3 r^2 = 6r^2 = 54$에서 $r^2 = 9$이고 $r > 0$이므로 $r = 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 첫째항은 $a_1 = \dfrac{a_3}{r^2} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$이다.

최종 정답: $a_1 = \dfrac{2}{3}, \; r = 3$

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 함수의 연속 배점 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 10075 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[문제] 모든 실수 $x$에서 연속인 함수 $f(x)$가 $(x - 2)f(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$를 만족시킬 때, 상수 $k$와 $f(2)$의 값을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $x = 2$를 양변에 대입하면 $0 = 8 - 4k + 6 - 2 = 12 - 4k$에서 $k = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $k = 3$일 때 우변을 인수분해하면 $x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = (x - 2)(x^2 - x + 1)$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 함수 $f(x)$가 연속이므로 $f(2) = \lim_{x \to 2} (x^2 - x + 1) = 4 - 2 + 1 = 3$이다.

최종 정답: $k = 3, \; f(2) = 3$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 도함수의 활용 배점 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 10076 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 삼차함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5$의 극댓값 $M$과 극솟값 $m$의 차 $M - m$을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3) = 0$에서 극점을 갖는 $x$좌표는 $x = 1, 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 극댓값은 $M = f(1) = 1 - 6 + 9 + 5 = 9$이고, 극솟값은 $m = f(3) = 27 - 54 + 27 + 5 = 5$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 구하는 차는 $M - m = 9 - 5 = 4$이다.

최종 정답: $4$

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모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 정적분으로 정의된 함수 배점 15점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 10077 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_1^x f(t)\,dt = x^3 + ax^2 - 5x + 3$을 만족시킬 때, 상수 $a$와 $f(2)$의 값을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 양변에 $x = 1$을 대입하면 $0 = 1 + a - 5 + 3 = a - 1$에서 $a = 1$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) = 3x^2 + 2ax - 5 = 3x^2 + 2x - 5$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $a = 1$이고, $f(2) = 12 + 4 - 5 = 11$이다.

최종 정답: $a = 1, \; f(2) = 11$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 속도와 거리 배점 15점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 10078 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$일 때, 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 $P$가 움직인 거리 $s$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $v(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0$에서 시각 $t = 1, 3$에서 운동 방향이 바뀐다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 움직인 거리 $s = \int_0^4 |v(t)|\,dt = \int_0^1 v(t)\,dt - \int_1^3 v(t)\,dt + \int_3^4 v(t)\,dt$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $F(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$라 하면 $F(0)=0, F(1)=4, F(3)=0, F(4)=4$이므로 $s = (4-0) + (4-0) + (4-0) = 12$이다.

최종 정답: $12$