2027학년도 한국공학대학교 자연계열 융합모의고사 6회 해설집

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 6회 해설집

자연계열 약술형 모의고사 6회 (공학 수리 융합 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 지수와 로그 배점 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 10061 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[문제] 두 양수 $a, b$가 $a^{1/3} = 2$, $b^{1/4} = 3$을 만족시킬 때, $\left(\dfrac{a^2}{b}\right)^{3/2} \cdot b^{5/2}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 지수법칙을 적용하여 $\left(\dfrac{a^2}{b}\right)^{3/2} \cdot b^{5/2} = a^3 \cdot b^{-3/2 + 5/2} = a^3 b$로 정리한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $a^{1/3}=2 \implies a=2^3=8$이므로 $a^3 = 8^3 = 512$이고, $b^{1/4}=3 \implies b=3^4=81$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 구하는 식의 값은 $a^3 b = 512 \times 81 = 41472$이다.

최종 정답: $41472$

문항 2 해설 대수 · 지수함수와 로그함수 배점 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 10062 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 정의역이 $\{x \mid 1 \le x \le 13\}$인 로그함수 $f(x) = \log_3(2x + 1) + m$의 최댓값과 최솟값의 합이 $10$일 때, 상수 $m$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 밑이 $3 > 1$이므로 로그함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[1, 13]$에서 단조증가함수이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 최솟값은 $f(1) = \log_3 3 + m = 1 + m$이고, 최댓값은 $f(13) = \log_3 27 + m = 3 + m$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 최댓값과 최솟값의 합 $(1 + m) + (3 + m) = 2m + 4 = 10$에서 $m = 3$이다.

최종 정답: $m = 3$

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자연계열 약술형 모의고사 6회 (공학 수리 융합 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 삼각함수 배점 15점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 10063 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 6$, $\overline{AC} = 5$, $\cos A = \dfrac{3}{5}$일 때, 변 $BC$의 길이와 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 코사인법칙 $\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 - 2\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cos A$와 넓이 공식 $S = \dfrac{1}{2}\overline{AB}\cdot\overline{AC}\sin A$를 선언한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\overline{BC}^2 = 36 + 25 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \dfrac{3}{5} = 61 - 36 = 25$이므로 $\overline{BC} = 5$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $0 < A < \pi$에서 $\sin A = \sqrt{1 - (3/5)^2} = \dfrac{4}{5}$이므로 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \dfrac{4}{5} = 12$이다.

최종 정답: $\overline{BC} = 5, \; S = 12$

문항 4 해설 대수 · 수열 배점 15점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 10064 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 첫째항이 $3$인 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_7 - S_4 = 75$일 때, 공차 $d$와 제$10$항 $a_{10}$의 값을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 부분합의 차 성질에 의해 $S_7 - S_4 = a_5 + a_6 + a_7 = 3a_6$임을 이용한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $3a_6 = 75$에서 $a_6 = a_1 + 5d = 3 + 5d = 25$이므로 $5d = 22$가 아니라 첫째항이 $5$일 때 정수이나, 본 문항 조건 $3 + 5d = 25$에서 $d = \dfrac{22}{5}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 공차는 $d = \dfrac{22}{5}$이고, 제$10$항은 $a_{10} = 3 + 9 \times \dfrac{22}{5} = \dfrac{213}{5}$이다.

최종 정답: $d = \dfrac{22}{5}, \; a_{10} = \dfrac{213}{5}$

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 6회 해설집

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 함수의 극한 배점 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 탐구 10065 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문제] 다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -3$, $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x - 2} = 5$를 만족시킬 때, $f(3)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 무한대 극한 조건에서 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + b$로 놓는다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $x \to 2$ 극한에서 $f(2) = 0$이고 $f'(2) = 5$이다. $f'(x) = 6x^2 - 6x + a$이므로 $f'(2) = 24 - 12 + a = 5 \implies a = -7$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $f(2) = 16 - 12 - 14 + b = 0 \implies b = 10$이므로 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 7x + 10$이고, $f(3) = 54 - 27 - 21 + 10 = 16$이다.

최종 정답: $16$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 미분계수와 도함수 배점 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 10066 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문제] 삼차함수 $f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x + 3$에 대하여 극한 $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(1 + 2h) - f(1 - 3h)}{h}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 미분계수의 정의에 의해 주어진 극한은 $5f'(1)$과 같다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $f(x)$를 미분하면 $f'(x) = 3x^2 + 4x - 4$이므로 $f'(1) = 3 + 4 - 4 = 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 구하는 극한값은 $5f'(1) = 5 \times 3 = 15$이다.

최종 정답: $15$

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 6회 해설집

자연계열 약술형 모의고사 6회 (공학 수리 융합 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 도함수의 활용 배점 15점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 10067 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문제] 곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 2x + 4$ 위의 점 $(1, 4)$에서의 접선이 이 곡선과 다시 만나는 점의 좌표 $(p, q)$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $y' = 3x^2 - 6x + 2$에서 $x = 1$일 때 접선의 기울기는 $y'(1) = -1$이므로 접선의 방정식은 $y = -(x - 1) + 4 = -x + 5$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 연립방정식 $x^3 - 3x^2 + 2x + 4 = -x + 5 \iff x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3 = 0$이 성립한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 점 $(1, 4)$는 삼중근(변곡접선)이므로 교점은 자기 자신 $(1, 4)$로 일치한다.

최종 정답: $(1, 4)$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 정적분의 활용 배점 15점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 10068 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 곡선 $y = x^2 - 4x + 5$와 직선 $y = 2x - 3$으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 방정식 $x^2 - 4x + 5 = 2x - 3 \iff x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4) = 0$에서 두 교점의 $x$좌표는 $2, 4$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 포물선과 직선으로 둘러싸인 넓이 공식 $S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$을 적용한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $S = \dfrac{1}{6}(4 - 2)^3 = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$이다.

최종 정답: $\dfrac{4}{3}$