2027학년도 한국공학대학교 자연계열 융합모의고사 5회 해설집

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 모의고사 5회 해설집

자연계열 약술형 모의고사 5회 (공학 수리 파이널 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 지수와 로그 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 10051 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[문제] 실수 $x$가 $2^x + 2^{-x} = 4$를 만족시킬 때, $4^x + 4^{-x}$와 $8^x + 8^{-x}$의 값을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 곱셈 공식 변형 $4^x + 4^{-x} = (2^x + 2^{-x})^2 - 2$와 $8^x + 8^{-x} = (2^x + 2^{-x})^3 - 3(2^x + 2^{-x})$를 적용한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $4^x + 4^{-x} = 4^2 - 2 = 14$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $8^x + 8^{-x} = 4^3 - 3(4) = 64 - 12 = 52$이다.

최종 정답: $14, \; 52$

문항 2 해설 대수 · 삼각함수 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 10052 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] 각 $\theta$가 제$2$사분면의 각이고 $\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}$일 때, $\sin\theta \cos\theta$와 $\sin\theta - \cos\theta$의 값을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 양변을 제곱하면 $1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}$에서 $\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = 1 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{7}{4}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 제$2$사분면에서 $\sin\theta > 0, \; \cos\theta < 0$이므로 $\sin\theta - \cos\theta > 0$이고, 따라서 $\sin\theta - \cos\theta = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$이다.

최종 정답: $\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}, \; \sin\theta - \cos\theta = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 모의고사 5회 해설집

자연계열 약술형 모의고사 5회 (공학 수리 파이널 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 수열 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 10053 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 등차수열 $\{a_n\}$에서 $a_3 + a_9 = 24$, $a_4 + a_{10} = 30$일 때, 첫째항 $a_1$과 공차 $d$를 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 등차중항 성질에 의하여 $a_3 + a_9 = 2a_6 = 24 \implies a_6 = 12$이고, $a_4 + a_{10} = 2a_7 = 30 \implies a_7 = 15$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 공차는 $d = a_7 - a_6 = 15 - 12 = 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 첫째항은 $a_1 = a_6 - 5d = 12 - 15 = -3$이다.

최종 정답: $a_1 = -3, \; d = 3$

문항 4 해설 대수 · 수학적 귀납법 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 10054 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 1$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{n}{n + 2}a_n$을 만족시킬 때, $a_{15}$의 값을 기약분수로 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 연쇄 곱에 의하여 $a_n = a_1 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{3}{5} \cdots \dfrac{n-1}{n+1}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 분모와 분자를 약분하면 $a_n = \dfrac{2}{n(n + 1)}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $n = 15$를 대입하면 $a_{15} = \dfrac{2}{15 \cdot 16} = \dfrac{1}{120}$이다.

최종 정답: $\dfrac{1}{120}$

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 미분계수와 도함수 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 10055 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문제] 미분가능한 함수 $f(x)$가 $f(2) = 3$, $f'(2) = 5$를 만족시킬 때, 극한 $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 f(2) - 4f(x)}{x - 2}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 분자에 $-4f(2) + 4f(2)$를 더하고 빼어 $\dfrac{(x^2 - 4)f(2) - 4(f(x) - f(2))}{x - 2}$로 변형한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $x \to 2$일 때 극한을 취하면 $4f(2) - 4f'(2)$가 된다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 구하는 극한값은 $4(3) - 4(5) = 12 - 20 = -8$이다.

최종 정답: $-8$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 도함수의 활용 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 10056 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문제] 점 $(0, 5)$에서 곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 4$에 그은 접선 중 기울기가 음수인 접선의 방정식을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 접점을 $(t, t^3 - 3t^2 + 4)$라 하면 접선의 방정식은 $y - (t^3 - 3t^2 + 4) = (3t^2 - 6t)(x - t)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 점 $(0, 5)$를 대입하여 정리하면 $2t^3 - 3t^2 + 1 = (t - 1)^2(2t + 1) = 0$이므로 $t = 1$일 때 기울기가 $3 - 6 = -3 < 0$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 접점 $(1, 2)$에서의 접선의 방정식은 $y = -3x + 5$이다.

최종 정답: $y = -3x + 5$

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 모의고사 5회 해설집

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모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 부정적분과 정적분 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 10057 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 연속함수 $f(x) = 3x^2 - 6x + 2$에 대하여 극한 $\lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h}\int_1^{1+2h} f(t)\,dt$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $f(t)$의 한 부정적분을 $F(t)$라 하면 정적분과 미분의 관계에 의하여 $F'(x) = f(x)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 주어진 극한은 $\lim_{h \to 0} \dfrac{F(1 + 2h) - F(1)}{h} = 2F'(1) = 2f(1)$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $f(1) = 3 - 6 + 2 = -1$이므로 구하는 극한값은 $2(-1) = -2$이다.

최종 정답: $-2$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 정적분의 활용 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 10058 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 포물선 $y = -x^2 + 4x$와 직선 $y = mx$ ($0 < m < 4$)로 둘러싸인 도형의 넓이가 $\dfrac{9}{2}$일 때, 상수 $m$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 교점 방정식 $-x^2 + 4x = mx \iff x(x - (4 - m)) = 0$에서 두 교점의 $x$좌표는 $0, \; 4 - m$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 이차함수 넓이 공식에 의하여 $S = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3 = \dfrac{9}{2}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $(4 - m)^3 = 27 = 3^3$에서 $4 - m = 3$이므로 $m = 1$이다.

최종 정답: $m = 1$