2027학년도 한국공학대학교 자연계열 융합모의고사 4회 해설집

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 4회 해설집

자연계열 약술형 모의고사 4회 (공학 수리 실전 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 지수와 로그 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 10041 변형 | 성취기준: 12대수01-04]

[문제] 양수 $x, y$가 $4^x = 5^y = 20$을 만족시킬 때, $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 로그의 정의에 의하여 $x = \log_4 20$, $y = \log_5 20$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 밑변환 공식에 의하여 $\dfrac{1}{x} = \log_{20} 4$, $\dfrac{1}{y} = \log_{20} 5$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \log_{20} 4 + \log_{20} 5 = \log_{20} 20 = 1$이다.

최종 정답: $1$

문항 2 해설 대수 · 지수함수와 로그함수 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 10042 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 곡선 $y = 2^{x-1} + 3$을 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $n$만큼 평행이동한 곡선이 점 $(0, 5)$를 지나고 점근선의 방정식이 $y = 1$일 때, $m + n$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 평행이동한 함수는 $y = 2^{x - 1 - m} + 3 + n$이고 점근선은 $y = 3 + n$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 점근선이 $y = 1$이므로 $3 + n = 1 \implies n = -2$이고, 점 $(0, 5)$를 대입하면 $2^{-1-m} + 1 = 5 \implies 2^{-1-m} = 4 = 2^2$에서 $m = -3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $m + n = -3 + (-2) = -5$이다.

최종 정답: $-5$

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 4회 해설집

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모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 삼각함수 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 10043 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 반지름의 길이가 $6$인 원에 내접하는 삼각형 $ABC$에서 $\sin A + \sin B + \sin C = \dfrac{13}{6}$일 때, 삼각형 $ABC$의 둘레의 길이를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 외접원의 반지름이 $R = 6$이므로 사인법칙에 의하여 $a = 2R\sin A = 12\sin A$, $b = 12\sin B$, $c = 12\sin C$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 삼각형 $ABC$의 둘레의 길이는 $a + b + c = 12(\sin A + \sin B + \sin C)$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $a + b + c = 12 \cdot \dfrac{13}{6} = 26$이다.

최종 정답: $26$

문항 4 해설 대수 · 수열 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 10044 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 $S_n = 2n^2 + 3n + 1$일 때, $a_1 + a_6$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $a_1 = S_1 = 2 + 3 + 1 = 6$이고, $n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $a_6 = S_6 - S_5 = (72 + 18 + 1) - (50 + 15 + 1) = 91 - 66 = 25$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $a_1 + a_6 = 6 + 25 = 31$이다.

최종 정답: $31$

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 함수의 연속 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 10045 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[문제] 방정식 $x^3 - 5x - 3 = 0$의 양의 실근이 속하는 구간 $(n, n+1)$ ($n$은 자연수)에 대하여 자연수 $n$의 값을 사잇값 정리로 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 연속함수 $f(x) = x^3 - 5x - 3$에 대하여 자연수 $x = 1, 2, 3$에서의 함숫값의 부호를 조사한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $f(1) = -7 < 0$, $f(2) = 8 - 10 - 3 = -5 < 0$, $f(3) = 27 - 15 - 3 = 9 > 0$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $f(2)f(3) < 0$이므로 사잇값 정리에 의하여 양의 실근은 열린구간 $(2, 3)$에 속하며, $n = 2$이다.

최종 정답: $n = 2$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 도함수의 활용 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 10046 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문제] 함수 $f(x) = x^2 - 4x + 7$에 대하여 닫힌구간 $[1, 5]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 구간 $[1, 5]$에서의 평균변화율은 $\dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = \dfrac{12 - 4}{4} = 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 도함수 $f'(x) = 2x - 4$에 대하여 평균값 정리 조건 $f'(c) = 2c - 4 = 2$를 세운다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $2c = 6$에서 $c = 3 \in (1, 5)$이다.

최종 정답: $c = 3$

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 4회 해설집

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모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 도함수의 활용 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 10047 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 실수 전체의 집합에서 부등식 $x^4 - 4x^3 + a \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $a$의 최솟값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $f(x) = x^4 - 4x^3 + a$라 하면 $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3) = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $x = 3$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 $f(x)$는 $x = 3$에서 극소이자 최솟값 $f(3) = 81 - 108 + a = a - 27$을 갖는다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 모든 실수에서 $f(x) \ge 0$이려면 $a - 27 \ge 0$이어야 하므로 $a$의 최솟값은 $27$이다.

최종 정답: $27$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 정적분의 활용 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 10048 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 곡선 $y = x^3 - 4x$와 $x$축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합 $S$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $x^3 - 4x = x(x + 2)(x - 2) = 0$에서 교점은 $x = -2, 0, 2$이고 기함수 대칭성을 갖는다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 따라서 전체 넓이는 $S = 2\int_0^2 (-x^3 + 4x)\,dx = 2\left[-\dfrac{1}{4}x^4 + 2x^2\right]_0^2$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $S = 2(-4 + 8) = 8$이다.

최종 정답: $8$