2027학년도 한국공학대학교 자연계열 융합모의고사 3회 해설집

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 3회 해설집

자연계열 약술형 모의고사 3회 (공학 수리 심화 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 지수함수와 로그함수 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 10031 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 지수부등식 $4^x - 10 \cdot 2^x + 16 \le 0$을 만족시키는 모든 실수 $x$에 대하여 함수 $g(x) = 9^x - 4 \cdot 3^{x+1} + 30$의 최댓값과 최솟값의 차를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $2^x = u$로 놓으면 $(u - 2)(u - 8) \le 0$에서 $2 \le 2^x \le 8 \implies 1 \le x \le 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $t = 3^x$로 치환하면 $1 \le x \le 3$에서 $3 \le t \le 27$이고, $g(x) = t^2 - 12t + 30 = (t - 6)^2 - 6$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $t = 6$일 때 최솟값 $-6$, $t = 27$일 때 최댓값 $21^2 - 6 = 435$이므로 차는 $435 - (-6) = 441$이다.

최종 정답: $441$

문항 2 해설 대수 · 삼각함수 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 10032 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] 부채꼴의 둘레의 길이가 $20$이고 넓이가 최대일 때, 이 부채꼴의 반지름의 길이 $r$와 중심각의 크기 $\theta$ (라디안)를 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 반지름을 $r$, 호의 길이를 $l$이라 하면 $2r + l = 20 \implies l = 20 - 2r$ ($0 < r < 10$)이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 부채꼴의 넓이 $S = \dfrac{1}{2}rl = \dfrac{1}{2}r(20 - 2r) = -(r - 5)^2 + 25$는 $r = 5$일 때 최댓값 $25$를 갖는다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $r = 5$일 때 $l = 10$이므로 중심각의 크기는 $\theta = \dfrac{l}{r} = 2$ (라디안)이다.

최종 정답: $r = 5, \; \theta = 2$

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 3회 해설집

자연계열 약술형 모의고사 3회 (공학 수리 심화 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 삼각함수와 도형 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 10033 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 8$, $\overline{BC} = 5$, $\angle B = \dfrac{\pi}{3}$일 때, 변 $AC$의 길이와 삼각형 $ABC$에 내접하는 원의 반지름의 길이 $r$를 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 코사인법칙에 의하여 $\overline{AC}^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cos\dfrac{\pi}{3} = 64 + 25 - 40 = 49$이므로 $\overline{AC} = 7$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 삼각형 $ABC$의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \sin\dfrac{\pi}{3} = 10\sqrt{3}$이고, 둘레의 길이는 $8 + 5 + 7 = 20$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $S = \dfrac{1}{2}r(8 + 5 + 7) = 10r = 10\sqrt{3}$에서 내접원의 반지름의 길이는 $r = \sqrt{3}$이다.

최종 정답: $\overline{AC} = 7, \; r = \sqrt{3}$

문항 4 해설 대수 · 수열의 합 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 10034 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 급수 $\sum_{k=1}^{12} \dfrac{2}{(2k - 1)(2k + 1)}$의 값을 기약분수로 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 부분분수 항등식 $\dfrac{2}{(2k - 1)(2k + 1)} = \dfrac{1}{2k - 1} - \dfrac{1}{2k + 1}$을 적용한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\sum_{k=1}^{12} \left(\dfrac{1}{2k - 1} - \dfrac{1}{2k + 1}\right) = \left(1 - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{23} - \dfrac{1}{25}\right)$로 소거된다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 남는 항을 계산하면 $1 - \dfrac{1}{25} = \dfrac{24}{25}$이다.

최종 정답: $\dfrac{24}{25}$

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 함수의 극한 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 탐구 10035 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문제] 극한 $\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{2x + 3} - a}{x - 3} = b$를 만족시키는 두 실수 $a, b$에 대하여 $a \cdot b$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $x \to 3$일 때 분모가 $0$으로 가므로 분자도 $0$으로 수렴해야 하여 $\sqrt{9} - a = 0 \implies a = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 분자를 유리화하면 $\lim_{x \to 3} \dfrac{2(x - 3)}{(x - 3)(\sqrt{2x + 3} + 3)} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} = b$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $a \cdot b = 3 \cdot \dfrac{1}{3} = 1$이다.

최종 정답: $1$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 미분법 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 10036 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문제] 다항식 $x^{10} - ax^3 + b$를 $(x - 1)^2$으로 나누었을 때의 나머지가 $4x - 3$일 때, 상수 $a, b$의 값을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $f(x) = x^{10} - ax^3 + b - (4x - 3)$이라 하면 $f(x)$는 $(x - 1)^2$으로 나누어떨어지므로 $f(1) = 0, \; f'(1) = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $f'(x) = 10x^9 - 3ax^2 - 4$에서 $f'(1) = 6 - 3a = 0 \implies a = 2$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $f(1) = 1 - 2 + b - 1 = 0 \implies b = 2$이다.

최종 정답: $a = 2, \; b = 2$

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 3회 해설집

자연계열 약술형 모의고사 3회 (공학 수리 심화 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 도함수의 활용 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 10037 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 닫힌구간 $[-1, 3]$에서 함수 $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x + k$의 최댓값이 $32$일 때, 이 구간에서 함수 $f(x)$의 최솟값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $f'(x) = -3x^2 + 6x + 9 = -3(x + 1)(x - 3) = 0$에서 구간 $[-1, 3]$ 내내 $f'(x) \ge 0$이므로 $f(x)$는 증가함수이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 따라서 최댓값은 $f(3) = -27 + 27 + 27 + k = 27 + k = 32$이므로 $k = 5$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 최솟값은 $f(-1) = 1 + 3 - 9 + 5 = 0$이다.

최종 정답: $0$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 부정적분과 정적분 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 10038 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 정적분 $\int_{-2}^2 (3x^5 - 4x^3 + 3x^2 - 7x + 2)\,dx$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 적분 구간 $[-2, 2]$가 원점 대칭이므로 기함수 항 $3x^5 - 4x^3 - 7x$의 정적분은 $0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 우함수 항만 남기면 $2\int_0^2 (3x^2 + 2)\,dx = 2\left[x^3 + 2x\right]_0^2$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $2(8 + 4) = 24$이다.

최종 정답: $24$