2027학년도 한국공학대학교 자연계열 융합모의고사 2회 해설집

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 2회 해설집

자연계열 약술형 모의고사 2회 (공학 수리 응용 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 지수와 로그 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 10021 변형 | 성취기준: 12대수01-04]

[문제] $1$이 아닌 세 양수 $a, b, c$가 $\log_a b = 3$, $\log_b c = \dfrac{2}{3}$을 만족시킬 때, $\log_a(b^2 c) + \log_c a$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 밑변환 공식에 의하여 $\log_a c = \log_a b \cdot \log_b c = 3 \cdot \dfrac{2}{3} = 2$이고, $\log_c a = \dfrac{1}{2}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\log_a(b^2 c) = 2\log_a b + \log_a c = 2(3) + 2 = 8$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 구하는 값은 $8 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{2}$이다.

최종 정답: $\dfrac{17}{2}$

문항 2 해설 대수 · 삼각함수 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 10022 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] $0 \le x < 2\pi$일 때, 삼각방정식 $2\sin^2 x + 3\cos x - 3 = 0$의 모든 실근의 합을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$를 대입하여 정리하면 $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = (2\cos x - 1)(\cos x - 1) = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\cos x = 1$에서 $x = 0$이고, $\cos x = \dfrac{1}{2}$에서 $x = \dfrac{\pi}{3}, \; \dfrac{5\pi}{3}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 모든 실근의 합은 $0 + \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{5\pi}{3} = 2\pi$이다.

최종 정답: $2\pi$

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 2회 해설집

자연계열 약술형 모의고사 2회 (공학 수리 응용 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 수열 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 10023 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 2$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = a_n + 3n - 1$을 만족시킬 때, $a_{10}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 계차 관계식에 의하여 $n \ge 2$일 때 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k - 1)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $n = 10$을 대입하면 $a_{10} = 2 + 3 \cdot \dfrac{9 \cdot 10}{2} - 9 = 2 + 135 - 9 = 128$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 제$10$항의 값은 $a_{10} = 128$이다.

최종 정답: $128$

문항 4 해설 대수 · 수열의 합 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 10024 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 모든 항이 양수인 등비수열 $\{a_n\}$에서 $a_2 = 6$, $a_4 = 54$일 때, 첫째항부터 제$6$항까지의 합 $S_6$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $\dfrac{a_4}{a_2} = r^2 = 9$이고 모든 항이 양수이므로 공비는 $r = 3$, 첫째항은 $a_1 = \dfrac{6}{3} = 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 등비수열의 합 공식 $S_6 = \dfrac{a_1(r^6 - 1)}{r - 1}$에 $a_1 = 2, \; r = 3$을 대입한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $S_6 = \dfrac{2(3^6 - 1)}{3 - 1} = 729 - 1 = 728$이다.

최종 정답: $728$

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 함수의 연속 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 10025 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[문제] 모든 실수 $x$에서 연속인 함수 $f(x)$가 $(x - 3)f(x) = x^3 - ax^2 + 2x - 6$을 만족시킬 때, 상수 $a$와 $f(3)$의 합의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $x = 3$을 대입하면 좌변이 $0$이므로 $27 - 9a + 6 - 6 = 0$에서 $a = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $x \ne 3$일 때 $f(x) = \dfrac{x^3 - 3x^2 + 2x - 6}{x - 3} = \dfrac{(x - 3)(x^2 + 2)}{x - 3} = x^2 + 2$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 연속성에 의해 $f(3) = 9 + 2 = 11$이므로 $a + f(3) = 3 + 11 = 14$이다.

최종 정답: $14$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 도함수의 활용 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 10026 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3kx^2 + 12kx - 5$가 극값을 갖지 않도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 삼차함수 $f(x)$가 극값을 갖지 않으려면 도함수 $f'(x) = 3x^2 - 6kx + 12k = 0$의 판별식 $D \le 0$이어야 한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $D/4 = 9k^2 - 36k = 9k(k - 4) \le 0$에서 $0 \le k \le 4$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 이를 만족시키는 정수 $k$는 $0, 1, 2, 3, 4$로 총 $5$개이다.

최종 정답: $5$

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 2회 해설집

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모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 부정적분과 정적분 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 10027 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_2^x f(t)\,dt = x^3 - ax^2 + 4x - 4$를 만족시킬 때, $f(a)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 양변에 $x = 2$를 대입하면 $0 = 8 - 4a + 8 - 4 \implies 4a = 12$이므로 $a = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) = 3x^2 - 6x + 4$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $f(a) = f(3) = 27 - 18 + 4 = 13$이다.

최종 정답: $13$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 정적분의 활용 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 10028 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$ ($0 \le t \le 4$)에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 6t$일 때, 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 $P$가 실제로 움직인 거리 $L$을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $v(t) = 3t(t - 2) = 0$에서 $t = 2$일 때 운동 방향이 바뀌므로 구간을 $[0, 2]$와 $[2, 4]$로 나누어 적분한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\int_0^2 (3t^2 - 6t)\,dt = \left[t^3 - 3t^2\right]_0^2 = -4$이고, $\int_2^4 (3t^2 - 6t)\,dt = \left[t^3 - 3t^2\right]_2^4 = 16 - (-4) = 20$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 실제로 움직인 거리는 $L = |-4| + 20 = 24$이다.

최종 정답: $24$