$1$이 아닌 세 양수 $a, b, c$가 $\log_a b = 3$, $\log_b c = \dfrac{2}{3}$을 만족시킬 때, $\log_a(b^2 c) + \log_c a$의 값을 구하시오.

$0 \le x < 2\pi$일 때, 삼각방정식 $2\sin^2 x + 3\cos x - 3 = 0$의 모든 실근의 합을 구하시오.

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 2$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = a_n + 3n - 1$을 만족시킬 때, $a_{10}$의 값을 구하시오.

모든 항이 양수인 등비수열 $\{a_n\}$에서 $a_2 = 6$, $a_4 = 54$일 때, 첫째항부터 제$6$항까지의 합 $S_6$의 값을 구하시오.

모든 실수 $x$에서 연속인 함수 $f(x)$가 $(x - 3)f(x) = x^3 - ax^2 + 2x - 6$을 만족시킬 때, 상수 $a$와 $f(3)$의 합의 값을 구하시오.

삼차함수 $f(x) = x^3 - 3kx^2 + 12kx - 5$가 극값을 갖지 않도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_2^x f(t)\,dt = x^3 - ax^2 + 4x - 4$를 만족시킬 때, $f(a)$의 값을 구하시오.

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$ ($0 \le t \le 4$)에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 6t$일 때, 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 $P$가 실제로 움직인 거리 $L$을 구하시오.