2027학년도 한국공학대학교 자연계열 융합모의고사 1회 해설집

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 1회 해설집

자연계열 약술형 모의고사 1회 (공학 수리 기초 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 지수와 로그 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 10011 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[문제] 양수 $a, b$가 $a^{1/2} = 3$, $b^{1/3} = 2$를 만족시킬 때, $\left(\dfrac{a^2}{b}\right)^{3/4} \cdot b^{7/4}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 지수법칙 $\left(\dfrac{a^2}{b}\right)^{3/4} \cdot b^{7/4} = a^{3/2} \cdot b^{7/4 - 3/4} = \left(a^{1/2}\right)^3 \cdot b$를 적용한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $a^{1/2} = 3$이고 $b = \left(b^{1/3}\right)^3 = 2^3 = 8$이므로 주어진 식에 대입하면 $3^3 \cdot 8 = 27 \cdot 8 = 216$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 구하는 식의 값은 $216$이다.

최종 정답: $216$

문항 2 해설 대수 · 지수함수와 로그함수 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 10012 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 정의역이 $\{x \mid -1 \le x \le 7\}$인 로그함수 $f(x) = \log_2(x + 9) + k$의 최댓값과 최솟값의 합이 $13$일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 밑이 $2 > 1$이므로 함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[-1, 7]$에서 단조증가한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 최솟값은 $f(-1) = \log_2 8 + k = 3 + k$이고, 최댓값은 $f(7) = \log_2 16 + k = 4 + k$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $(3 + k) + (4 + k) = 2k + 7 = 13$에서 $k = 3$이다.

최종 정답: $k = 3$

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 1회 해설집

자연계열 약술형 모의고사 1회 (공학 수리 기초 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 삼각함수 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 10013 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 5$, $\overline{AC} = 7$, $\cos A = \dfrac{3}{5}$일 때, 변 $BC$의 길이와 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이 $R$를 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 코사인법칙 $\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 - 2\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cos A$와 사인법칙 $2R = \dfrac{\overline{BC}}{\sin A}$를 적용한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\overline{BC}^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \dfrac{3}{5} = 74 - 42 = 32$이므로 $\overline{BC} = 4\sqrt{2}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $\sin A = \dfrac{4}{5}$이므로 $2R = \dfrac{4\sqrt{2}}{4/5} = 5\sqrt{2}$에서 $R = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}$이다.

최종 정답: $\overline{BC} = 4\sqrt{2}, \; R = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}$

문항 4 해설 대수 · 수열 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 10014 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 첫째항이 $4$인 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_8 - S_5 = 66$일 때, 공차 $d$와 제$12$항 $a_{12}$의 값을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 부분합의 차 $S_8 - S_5 = a_6 + a_7 + a_8 = 3a_7$임을 이용한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $3a_7 = 66$에서 $a_7 = a_1 + 6d = 4 + 6d = 22$이므로 $6d = 18 \implies d = 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 공차는 $d = 3$이고, 제$12$항은 $a_{12} = 4 + 11 \cdot 3 = 37$이다.

최종 정답: $d = 3, \; a_{12} = 37$

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자연계열 약술형 모의고사 1회 (공학 수리 기초 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 함수의 극한 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 탐구 10015 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문제] 다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x^2} = 4$, $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = -2$를 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 무한대 극한 조건으로부터 $f(x) = x^3 + 4x^2 + ax + b$로 설정하고, $x \to 1$ 극한에서 $f(1) = 0, \; f'(1) = -2$를 적용한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $f'(x) = 3x^2 + 8x + a$에서 $f'(1) = 11 + a = -2 \implies a = -13$이고, $f(1) = 5 + a + b = 0 \implies b = 8$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $f(x) = x^3 + 4x^2 - 13x + 8$이므로 $f(2) = 8 + 16 - 26 + 8 = 6$이다.

최종 정답: $f(2) = 6$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 미분계수와 도함수 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 10016 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문제] 삼차함수 $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1$에 대하여 극한 $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + 3h) - f(2 - h)}{2h}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 미분계수의 정의에 의하여 주어진 극한은 $\dfrac{3 - (-1)}{2}f'(2) = 2f'(2)$와 같다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 도함수 $f'(x) = 6x^2 - 10x + 4$에 $x = 2$를 대입하면 $f'(2) = 24 - 20 + 4 = 8$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 구하는 극한값은 $2f'(2) = 16$이다.

최종 정답: $16$

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 1회 해설집

자연계열 약술형 모의고사 1회 (공학 수리 기초 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 도함수의 활용 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 10017 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문제] 곡선 $y = x^3 - 4x^2 + 5x + 1$ 위의 점 $(2, 3)$에서의 접선이 이 곡선과 다시 만나는 점의 좌표 $(p, q)$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $y' = 3x^2 - 8x + 5$에서 $x = 2$일 때 접선의 기울기는 $12 - 16 + 5 = 1$이므로 접선의 방정식은 $y = x + 1$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 교점 방정식 $x^3 - 4x^2 + 5x + 1 = x + 1 \iff x(x - 2)^2 = 0$에서 접점 이외의 교점의 $x$좌표는 $p = 0$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $x = 0$을 직선 $y = x + 1$에 대입하면 $q = 1$이므로 교점의 좌표는 $(0, 1)$이다.

최종 정답: $(0, 1)$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 정적분의 활용 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 10018 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 곡선 $y = x^2 - 5x + 4$와 직선 $y = x - 1$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 이차방정식 $x^2 - 5x + 4 = x - 1 \iff x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) = 0$에서 두 교점의 $x$좌표는 $1, 5$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 포물선과 직선으로 둘러싸인 넓이 공식 $S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$을 적용한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $S = \dfrac{1}{6}(5 - 1)^3 = \dfrac{64}{6} = \dfrac{32}{3}$이다.

최종 정답: $\dfrac{32}{3}$