2027학년도 한국공학대학교 자연계열 융합모의고사 10회 해설집

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 10회 해설집

자연계열 약술형 모의고사 10회 (공학 수리 파이널 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 지수의 곱셈공식 배점 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 100101 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[문제] 실수 $x$가 $3^x + 3^{-x} = 5$를 만족시킬 때, $9^x + 9^{-x}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 곱셈공식의 변형 $9^x + 9^{-x} = (3^x + 3^{-x})^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 3^{-x}$를 적용한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $3^x \cdot 3^{-x} = 1$이므로 주어진 조건 $3^x + 3^{-x} = 5$를 대입하면 $5^2 - 2 = 25 - 2$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 구하는 값은 $23$이다.

최종 정답: $23$

문항 2 해설 대수 · 부채꼴의 호의 길이와 넓이 배점 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 100102 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] 반지름의 길이가 $6$이고 넓이가 $15\pi$인 부채꼴의 중심각의 크기 $\theta$ (라디안)와 호의 길이 $l$을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 부채꼴의 넓이 공식 $S = \dfrac{1}{2}r^2\theta$와 호의 길이 공식 $l = r\theta$를 선언한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\dfrac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \theta = 18\theta = 15\pi$이므로 중심각은 $\theta = \dfrac{5\pi}{6}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 호의 길이는 $l = 6 \times \dfrac{5\pi}{6} = 5\pi$이다.

최종 정답: $\theta = \dfrac{5\pi}{6}, \; l = 5\pi$

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 10회 해설집

자연계열 약술형 모의고사 10회 (공학 수리 파이널 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 등차수열 배점 15점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 100103 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 등차수열 $\{a_n\}$에서 $a_2 + a_8 = 20$, $a_5 + a_9 = 28$일 때, 첫째항 $a_1$과 공차 $d$의 값을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 등차중항 성질에 의해 $a_2 + a_8 = 2a_5 = 20$이므로 $a_5 = 10$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $a_5 + a_9 = 10 + a_9 = 28$에서 $a_9 = 18$이고, $a_9 - a_5 = 4d = 8 \implies d = 2$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 첫째항은 $a_1 = a_5 - 4d = 10 - 8 = 2$이다.

최종 정답: $a_1 = 2, \; d = 2$

문항 4 해설 대수 · 거듭제곱의 합 배점 15점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 100104 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] $\sum_{k=1}^6 (k^2 - 3k + 2)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 거듭제곱의 합 공식을 적용하여 $\sum_{k=1}^6 k^2 - 3\sum_{k=1}^6 k + \sum_{k=1}^6 2$로 분리한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\dfrac{6 \cdot 7 \cdot 13}{6} - 3 \cdot \dfrac{6 \cdot 7}{2} + 12 = 91 - 63 + 12$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 구하는 값은 $40$이다.

최종 정답: $40$

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 10회 해설집

자연계열 약술형 모의고사 10회 (공학 수리 파이널 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 곱의 미분법 배점 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 100105 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문제] 미분가능한 함수 $f(x)$가 $f(1) = 4$, $f'(1) = -3$을 만족시킬 때, 함수 $g(x) = (x^2 + 2x)f(x)$에 대하여 $g'(1)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 곱의 미분법에 의해 $g'(x) = (2x + 2)f(x) + (x^2 + 2x)f'(x)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $x = 1$을 대입하면 $g'(1) = 4f(1) + 3f'(1)$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $f(1) = 4, f'(1) = -3$을 대입하면 $g'(1) = 16 - 9 = 7$이다.

최종 정답: $7$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 접선의 방정식 배점 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 100106 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문제] 곡선 $y = x^3 - 5x + 2$에 접하고 기울기가 $7$인 두 접선의 $y$절편의 곱을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 접점의 $x$좌표를 $t$라 하면 $y' = 3t^2 - 5 = 7$에서 $t^2 = 4 \implies t = 2$ 또는 $t = -2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $t = 2$일 때 접점은 $(2, 0)$이므로 접선은 $y = 7(x - 2) = 7x - 14$ ($y$절편 $-14$)이고, $t = -2$일 때 접점은 $(-2, 4)$이므로 접선은 $y = 7(x + 2) + 4 = 7x + 18$ ($y$절편 $18$)이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 두 접선의 $y$절편의 곱은 $(-14) \times 18 = -252$이다.

최종 정답: $-252$

2027학년도 한국공학대학교 약술형 논술 실전모의고사 10회 해설집

자연계열 약술형 모의고사 10회 (공학 수리 파이널 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 정적분과 극한 배점 15점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 100107 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 다항함수 $f(x) = 4x^3 - 2x + 5$에 대하여 극한 $\lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h}\int_1^{1+2h} f(t)\,dt$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $F'(x) = f(x)$인 부정적분 $F(x)$를 도입하면 주어진 극한은 $\lim_{h \to 0} \dfrac{F(1 + 2h) - F(1)}{h} = 2F'(1) = 2f(1)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $f(1) = 4(1)^3 - 2(1) + 5 = 7$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 구하는 극한값은 $2f(1) = 2 \times 7 = 14$이다.

최종 정답: $14$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 넓이를 이등분하는 직선 배점 15점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 100108 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 곡선 $y = -x^2 + 4x$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 $y = mx$가 이등분할 때, $(4 - m)^3$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 곡선 $y = -x^2 + 4x$와 $x$축으로 둘러싸인 넓이는 $S_1 = \dfrac{1}{6}(4 - 0)^3 = \dfrac{32}{3}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 곡선과 직선 $y = mx$ ($0 < m < 4$)의 교점은 $x = 0, 4 - m$이므로 둘러싸인 넓이는 $S_2 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $S_2 = \dfrac{1}{2}S_1$에서 $\dfrac{1}{6}(4 - m)^3 = \dfrac{16}{3} \implies (4 - m)^3 = 32$이다.

최종 정답: $32$