2027학년도 대비 서울여자대학교 수리논술 모의고사 5회 (해설집)

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 1] 로그의 밑변환 공식과 이차방정식의 근과 계수의 관계

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 문제 7 변형 | 성취기준: 12대수01-04]

<제시문 (가)> \(1\)이 아닌 양수 \(a, b, c\)에 대하여 밑변환 공식 \(\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\)가 성립하며, 특히 \(\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}\)이다.

\(1\)보다 큰 두 실수 \(a, b\)에 대하여 \(\log_3 a\)와 \(\log_3 b\)가 이차방정식 \(x^2 - 6x + 4 = 0\)의 두 근일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 근과 계수의 관계를 이용하여 \(\log_3(ab)\)의 값과 \(ab\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 제시문 (가)의 밑변환 공식을 이용하여 \(\log_a b + \log_b a\)의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \(\log_a (a^2 b) + \log_b (ab^2)\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(\log_3(ab) = 6,\; ab = 729\) | [1-2] \(7\) | [1-3] \(11\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(p = \log_3 a,\; q = \log_3 b\)라 하면 근과 계수의 관계에 의해 \(p + q = 6,\; pq = 4\)이고, 제시문 (가)에 의해 밑을 \(3\)으로 통일한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\log_3(ab) = p + q = 6\)이므로 \(ab = 3^6 = 729\)이다. 또한 \(\log_a b + \log_b a = \dfrac{q}{p} + \dfrac{p}{q} = \dfrac{(p + q)^2 - 2pq}{pq} = \dfrac{36 - 8}{4} = 7\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\log_a(a^2 b) + \log_b(ab^2) = (2 + \log_a b) + (\log_b a + 2) = 4 + 7 = 11\)이다.

배점 단계 (총 20점)	서울여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점)	• \(p + q = 6,\; pq = 4\) 명시 +3점 / \(\log_3(ab) = 6,\; ab = 729\) 산출 +3점
소문항 [1-2] (7점)	• 밑변환으로 \(\dfrac{p^2 + q^2}{pq}\) 유도 +4점 / 값 \(7\) 산출 +3점
소문항 [1-3] (7점)	• 로그의 성질로 \(4 + (\log_a b + \log_b a)\) 분리 +4점 / 값 \(11\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 진수의 곱 \(\log_a(a^2 b)\)를 \(\log_a a^2 + \log_a b = 2 + \log_a b\)로 분리하면 앞서 구한 값을 바로 대입할 수 있습니다.

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 2] 부분분수 수열의 합과 수학적 귀납법 증명

대수 Ⅲ. 수열 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 수학적 귀납법 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06, 12대수03-07]

<제시문 (가)> 자연수 \(n\)에 대한 명제 \(P(n)\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하려면 (i) \(n = 1\)일 때 성립함을 보이고, (ii) \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하면 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 보이면 된다.

수열 \(\{a_n\}\)의 일반항이 \(a_n = \dfrac{1}{n(n + 1)}\)일 때, 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\)라 하자. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) \(S_1, S_2, S_3\)의 값을 각각 구하고, 이로부터 모든 자연수 \(n\)에 대한 \(S_n\)의 식을 추측하시오.

[문항 2-2] (7점) 제시문 (가)의 수학적 귀납법을 이용하여 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(S_n = \dfrac{n}{n + 1}\)이 성립함을 증명하시오.

[문항 2-3] (7점) 부등식 \(S_n \ge \dfrac{19}{20}\)를 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(S_1 = \dfrac{1}{2},\; S_2 = \dfrac{2}{3},\; S_3 = \dfrac{3}{4},\; S_n = \dfrac{n}{n+1}\) | [2-2] 귀납 증명 완성 | [2-3] 최소 자연수 \(n = 19\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 초기항 대입으로 규칙을 추측한 뒤 제시문 (가)의 수학적 귀납법 두 단계를 차례로 서술한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(S_1 = \dfrac{1}{2},\; S_2 = \dfrac{2}{3},\; S_3 = \dfrac{3}{4}\)로부터 \(S_n = \dfrac{n}{n+1}\)로 추측된다. (i) \(n=1\)일 때 성립하고, (ii) \(n=k\)일 때 \(S_k = \dfrac{k}{k+1}\)이라 가정하면 \(S_{k+1} = \dfrac{k}{k+1} + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)} = \dfrac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)} = \dfrac{k+1}{k+2}\)이므로 \(n=k+1\)일 때도 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\dfrac{n}{n + 1} \ge \dfrac{19}{20} \implies 20n \ge 19n + 19 \implies n \ge 19\)이므로 최솟값은 \(19\)이다.

배점 단계 (총 20점)	서울여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점)	• \(S_1, S_2, S_3\) 계산 +3점 / \(S_n = \dfrac{n}{n+1}\) 추측 +3점
소문항 [2-2] (7점)	• \(n=1\) 확인 및 귀납 가정 명시 +3점 / 통분·약분으로 \(\dfrac{k+1}{k+2}\) 유도 +4점
소문항 [2-3] (7점)	• 부등식 \(\dfrac{n}{n+1} \ge \dfrac{19}{20}\) 정리 +4점 / 최솟값 \(19\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 수학적 귀납법 증명 시 분자 \(k(k+2) + 1 = (k+1)^2\)을 인수분해하여 \(k+1\)을 약분하는 과정을 명확히 보여주세요.

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 3] 구간별 함수의 연속성과 미분가능성 조건 연립

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 문제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x)\)가 \(x = a\)에서 미분가능하면 \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 연속이다.
<제시문 (나)> 구간별로 다항식으로 정의된 함수가 경계점 \(x = a\)에서 미분가능하려면 \(x = a\)에서 연속이고 좌미분계수와 우미분계수가 서로 같아야 한다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} x^3 + ax + b & (x \lt 1) \\ 2x^2 - x + 3 & (x \ge 1) \end{cases}\)가 \(x = 1\)에서 미분가능할 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)에 의해 함수 \(f(x)\)가 \(x = 1\)에서 연속임을 이용하여 상수 \(a, b\) 사이의 관계식을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (나)에 의해 \(x = 1\)에서의 좌미분계수와 우미분계수가 같음을 이용하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(f(-1) + f'(1)\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(a + b = 3\) | [3-2] \(a = 0,\; b = 3\) | [3-3] \(5\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가), (나)에 의해 \(x = 1\)에서 연속 조건 \(\lim_{x \to 1-} f(x) = f(1)\)과 미분가능 조건 \(\lim_{x \to 1-} f'(x) = \lim_{x \to 1+} f'(x)\)를 연립한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 연속 조건에서 \(1 + a + b = 2 - 1 + 3 = 4 \implies a + b = 3\)이다. 좌미분계수 \(3(1)^2 + a = 3 + a\)와 우미분계수 \(4(1) - 1 = 3\)이 같으므로 \(3 + a = 3\)에서 \(a = 0,\; b = 3\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x = -1 \lt 1\)이므로 \(f(-1) = (-1)^3 + 3 = 2\)이고 \(f'(1) = 3\)이므로 \(f(-1) + f'(1) = 2 + 3 = 5\)이다.

배점 단계 (총 20점)	서울여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점)	• \(x = 1\) 연속 조건 \(1 + a + b = 4\) 수립 +4점 / \(a + b = 3\) 도출 +2점
소문항 [3-2] (7점)	• 좌·우미분계수 일치 \(3 + a = 3\) 수립 +4점 / \(a = 0,\; b = 3\) 산출 +3점
소문항 [3-3] (7점)	• \(f(-1) = 2,\; f'(1) = 3\) 산출 +4점 / 합 \(5\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 미분가능성 조건을 쓸 때 반드시 '먼저 \(x = 1\)에서 연속이어야 한다'는 제시문 (가)의 정리를 먼저 적용해야 합니다.

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 4] 포물선에 내접하는 직사각형의 넓이 최대화 논증

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능한 함수 \(S(t)\)가 구간 내에서 유일한 극댓값을 가지면, 그 극댓값은 구간 \((a, b)\)에서의 함수 \(S(t)\)의 최댓값이다.

곡선 \(y = -x^2 + 12\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 영역에 내접하고 한 변이 \(x\)축 위에 있는 직사각형 \(\mathrm{ABCD}\)에 대하여, 제\(1\)사분면 위의 꼭짓점의 \(x\)좌표를 \(t\)라 할 때 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 실수 \(t\)의 값의 범위를 구하고, 직사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 가로의 길이와 세로의 길이를 각각 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 4-2] (7점) 직사각형의 넓이 \(S(t)\)를 \(t\)에 대한 삼차함수로 나타내고, 넓이가 최대가 될 때의 \(t\)의 값과 최대 넓이를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 직사각형의 넓이가 최대일 때 직사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 둘레의 길이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(0 \lt t \lt 2\sqrt{3}\), 가로 \(2t\), 세로 \(12 - t^2\) | [4-2] \(S(t) = -2t^3 + 24t\), \(t = 2\)일 때 최대 넓이 \(32\) | [4-3] 둘레 \(24\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 포물선 \(y = -x^2 + 12\)는 \(y\)축 대칭이므로 가로의 길이는 \(2t\), 세로의 길이는 \(12 - t^2\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(t \gt 0,\; 12 - t^2 \gt 0\)이므로 \(0 \lt t \lt 2\sqrt{3}\)이고, 넓이는 \(S(t) = 2t(12 - t^2) = -2t^3 + 24t\)이다. \(S'(t) = -6t^2 + 24 = -6(t + 2)(t - 2) = 0\)에서 \(t = 2\)일 때 유일한 극대이자 최대이므로 최대 넓이는 \(S(2) = -16 + 48 = 32\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(t = 2\)일 때 가로의 길이는 \(4\), 세로의 길이는 \(8\)이므로 둘레의 길이는 \(2(4 + 8) = 24\)이다.

배점 단계 (총 20점)	서울여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점)	• 범위 \(0 \lt t \lt 2\sqrt{3}\) 명시 +2점 / 가로 \(2t\), 세로 \(12 - t^2\) 도출 +4점
소문항 [4-2] (7점)	• \(S(t) = -2t^3 + 24t\) 및 \(S'(t) = 0\)으로 \(t = 2\) 산출 +4점 / 최대 넓이 \(32\) 도출 +3점
소문항 [4-3] (7점)	• \(t = 2\)에서 가로 \(4\), 세로 \(8\) 산출 +4점 / 둘레 \(24\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 제\(1\)사분면 위의 점의 \(x\)좌표가 \(t\)이므로 \(y\)축 대칭에 의해 직사각형의 밑변(가로)의 길이는 \(t\)가 아니라 \(2t\)입니다.

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 5] 제동을 건 열차의 속도·정지 시각과 제동 거리

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.35 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]

<제시문 (가)> 직선 위를 운동하는 물체의 시각 \(t\)에서의 속도가 \(v(t)\)일 때, 물체가 정지하는 순간의 속도는 \(v(t) = 0\)이고, 시각 \(t = 0\)부터 정지할 때까지 움직인 거리(제동 거리)는 \(\int_{0}^{t_{\text{정지}}} |v(t)|\,dt\)이다.

직선 철로를 \(30\,\mathrm{m/s}\)의 속도로 달리는 열차가 제동을 건 지 \(t\)초 후의 속도가 \(v(t) = 30 - 3t\,(\mathrm{m/s})\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제동을 건 후 열차가 완전히 정지할 때까지 걸린 시간 \(t_1\)과 열차의 가속도 \(a(t)\)를 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제동을 건 후 열차가 정지할 때까지 달린 거리(제동 거리) \(D\)를 정적분을 이용하여 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제동을 건 후 \(t = k\)초 동안 달린 거리가 전체 제동 거리 \(D\)의 \(\dfrac{3}{4}\)이 되도록 하는 시각 \(k\;(0 \lt k \lt t_1)\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(t_1 = 10\)초, 가속도 \(-3\,\mathrm{m/s^2}\) | [5-2] \(D = 150\,\mathrm{m}\) | [5-3] \(k = 5\)초

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 정지 시각은 \(v(t_1) = 0\)이고 제동 거리는 \(D = \int_{0}^{t_1} v(t)\,dt\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(30 - 3t_1 = 0 \implies t_1 = 10\)초이고 가속도는 \(v'(t) = -3\,\mathrm{m/s^2}\)이다. 제동 거리는 \(D = \int_{0}^{10} (30 - 3t)\,dt = \left[30t - \dfrac{3}{2}t^2\right]_{0}^{10} = 300 - 150 = 150\,(\mathrm{m})\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\int_{0}^{k} (30 - 3t)\,dt = 30k - \dfrac{3}{2}k^2 = \dfrac{3}{4} \times 150 = \dfrac{225}{2}\)에서 \(k^2 - 20k + 75 = (k - 5)(k - 15) = 0\)이고 \(0 \lt k \lt 10\)이므로 \(k = 5\)초이다.

배점 단계 (총 20점)	서울여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점)	• \(t_1 = 10\)초 산출 +3점 / 가속도 \(-3\,\mathrm{m/s^2}\) 도출 +3점
소문항 [5-2] (7점)	• 정적분 \(\int_0^{10} (30 - 3t)\,dt\) 수립 +3점 / \(D = 150\,\mathrm{m}\) 산출 +4점
소문항 [5-3] (7점)	• \(30k - \dfrac{3}{2}k^2 = \dfrac{225}{2}\) 방정식 수립 +4점 / \(0 \lt k \lt 10\)으로 \(k = 5\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 이차방정식의 두 근 \(k = 5, 15\) 중 열차가 정지하기 전의 시각인 \(0 \lt k \lt 10\) 범위의 \(k = 5\)만 유효합니다.