2027학년도 대비 서울여자대학교 수리논술 모의고사 5회 (문제집)

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (실전 문제집 및 답안 작성란) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 1] 로그의 밑변환 공식과 이차방정식의 근과 계수의 관계

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 문제 7 변형 | 성취기준: 12대수01-04]

<제시문 (가)> \(1\)이 아닌 양수 \(a, b, c\)에 대하여 밑변환 공식 \(\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\)가 성립하며, 특히 \(\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}\)이다.

\(1\)보다 큰 두 실수 \(a, b\)에 대하여 \(\log_3 a\)와 \(\log_3 b\)가 이차방정식 \(x^2 - 6x + 4 = 0\)의 두 근일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 근과 계수의 관계를 이용하여 \(\log_3(ab)\)의 값과 \(ab\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 제시문 (가)의 밑변환 공식을 이용하여 \(\log_a b + \log_b a\)의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \(\log_a (a^2 b) + \log_b (ab^2)\)의 값을 구하시오.

[서울여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 + [1-2] 7점 + [1-3] 7점 = 20점)]

• [문항 1-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 1-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 1-3] (7점) 풀이 및 답안 :

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (실전 문제집 및 답안 작성란) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 2] 부분분수 수열의 합과 수학적 귀납법 증명

대수 Ⅲ. 수열 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 수학적 귀납법 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06, 12대수03-07]

<제시문 (가)> 자연수 \(n\)에 대한 명제 \(P(n)\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하려면 (i) \(n = 1\)일 때 성립함을 보이고, (ii) \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하면 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 보이면 된다.

수열 \(\{a_n\}\)의 일반항이 \(a_n = \dfrac{1}{n(n + 1)}\)일 때, 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\)라 하자. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) \(S_1, S_2, S_3\)의 값을 각각 구하고, 이로부터 모든 자연수 \(n\)에 대한 \(S_n\)의 식을 추측하시오.

[문항 2-2] (7점) 제시문 (가)의 수학적 귀납법을 이용하여 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(S_n = \dfrac{n}{n + 1}\)이 성립함을 증명하시오.

[문항 2-3] (7점) 부등식 \(S_n \ge \dfrac{19}{20}\)를 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값을 구하시오.

[서울여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 + [2-2] 7점 + [2-3] 7점 = 20점)]

• [문항 2-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 2-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 2-3] (7점) 풀이 및 답안 :

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (실전 문제집 및 답안 작성란) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 3] 구간별 함수의 연속성과 미분가능성 조건 연립

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 문제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x)\)가 \(x = a\)에서 미분가능하면 \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 연속이다.
<제시문 (나)> 구간별로 다항식으로 정의된 함수가 경계점 \(x = a\)에서 미분가능하려면 \(x = a\)에서 연속이고 좌미분계수와 우미분계수가 서로 같아야 한다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} x^3 + ax + b & (x \lt 1) \\ 2x^2 - x + 3 & (x \ge 1) \end{cases}\)가 \(x = 1\)에서 미분가능할 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)에 의해 함수 \(f(x)\)가 \(x = 1\)에서 연속임을 이용하여 상수 \(a, b\) 사이의 관계식을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (나)에 의해 \(x = 1\)에서의 좌미분계수와 우미분계수가 같음을 이용하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(f(-1) + f'(1)\)의 값을 구하시오.

[서울여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 + [3-2] 7점 + [3-3] 7점 = 20점)]

• [문항 3-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 3-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 3-3] (7점) 풀이 및 답안 :

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (실전 문제집 및 답안 작성란) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 4] 포물선에 내접하는 직사각형의 넓이 최대화 논증

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능한 함수 \(S(t)\)가 구간 내에서 유일한 극댓값을 가지면, 그 극댓값은 구간 \((a, b)\)에서의 함수 \(S(t)\)의 최댓값이다.

곡선 \(y = -x^2 + 12\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 영역에 내접하고 한 변이 \(x\)축 위에 있는 직사각형 \(\mathrm{ABCD}\)에 대하여, 제\(1\)사분면 위의 꼭짓점의 \(x\)좌표를 \(t\)라 할 때 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 실수 \(t\)의 값의 범위를 구하고, 직사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 가로의 길이와 세로의 길이를 각각 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 4-2] (7점) 직사각형의 넓이 \(S(t)\)를 \(t\)에 대한 삼차함수로 나타내고, 넓이가 최대가 될 때의 \(t\)의 값과 최대 넓이를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 직사각형의 넓이가 최대일 때 직사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 둘레의 길이를 구하시오.

[서울여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 + [4-2] 7점 + [4-3] 7점 = 20점)]

• [문항 4-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 4-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 4-3] (7점) 풀이 및 답안 :

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (실전 문제집 및 답안 작성란) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 5] 제동을 건 열차의 속도·정지 시각과 제동 거리

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.35 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]

<제시문 (가)> 직선 위를 운동하는 물체의 시각 \(t\)에서의 속도가 \(v(t)\)일 때, 물체가 정지하는 순간의 속도는 \(v(t) = 0\)이고, 시각 \(t = 0\)부터 정지할 때까지 움직인 거리(제동 거리)는 \(\int_{0}^{t_{\text{정지}}} |v(t)|\,dt\)이다.

직선 철로를 \(30\,\mathrm{m/s}\)의 속도로 달리는 열차가 제동을 건 지 \(t\)초 후의 속도가 \(v(t) = 30 - 3t\,(\mathrm{m/s})\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제동을 건 후 열차가 완전히 정지할 때까지 걸린 시간 \(t_1\)과 열차의 가속도 \(a(t)\)를 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제동을 건 후 열차가 정지할 때까지 달린 거리(제동 거리) \(D\)를 정적분을 이용하여 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제동을 건 후 \(t = k\)초 동안 달린 거리가 전체 제동 거리 \(D\)의 \(\dfrac{3}{4}\)이 되도록 하는 시각 \(k\;(0 \lt k \lt t_1)\)의 값을 구하시오.

[서울여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 + [5-2] 7점 + [5-3] 7점 = 20점)]

• [문항 5-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 5-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 5-3] (7점) 풀이 및 답안 :