2027학년도 대비 서울여자대학교 수리논술 모의고사 4회 (해설집)

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 1] 지수함수와 로그함수의 역함수 관계와 직선 y=x 대칭 교점

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.7 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

<제시문 (가)> 지수함수 \(y = a^x\;(a \gt 0, a \ne 1)\)의 역함수는 로그함수 \(y = \log_a x\)이며, 두 함수의 그래프는 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이다.
<제시문 (나)> 평행이동한 지수함수 \(y = a^{x-p} + q\)의 역함수는 \(x\)와 \(y\)를 바꾸어 정리한 \(y = \log_a(x - q) + p\)이다.

함수 \(f(x) = 2^{x - 2} + 2\)와 그 역함수 \(g(x) = f^{-1}(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)를 이용하여 역함수 \(g(x)\)의 식과 정의역, 점근선의 방정식을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = x\)의 두 교점의 좌표를 구하고, 두 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)의 두 교점 사이의 거리를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \(g(6) + g(10)\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(g(x) = \log_2(x - 2) + 2,\; x \gt 2\), 점근선 \(x = 2\) | [1-2] 교점 \((3, 3),\; (4, 4)\), 거리 \(\sqrt{2}\) | [1-3] \(9\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(y = 2^{x-2} + 2\)의 치역이 \(y \gt 2\)이므로 역함수 \(g(x)\)의 정의역은 \(x \gt 2\)이며, 증가함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)의 교점은 \(y = x\) 위에 위치한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(x = 2^{y-2} + 2 \iff y = \log_2(x - 2) + 2\;(x \gt 2)\)이고 점근선은 \(x = 2\)이다. \(2^{x-2} + 2 = x\)에 \(x = 3, 4\)를 대입하면 성립하므로 두 교점은 \((3, 3),\; (4, 4)\)이고 거리는 \(\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(g(6) = \log_2 4 + 2 = 4\)이고 \(g(10) = \log_2 8 + 2 = 5\)이므로 \(g(6) + g(10) = 9\)이다.

배점 단계 (총 20점)	서울여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점)	• \(g(x) = \log_2(x-2) + 2\) 도출 +3점 / 정의역 \(x \gt 2\) 및 점근선 \(x = 2\) 명시 +3점
소문항 [1-2] (7점)	• 교점 \((3, 3),\; (4, 4)\) 확인 +4점 / 두 점 사이의 거리 \(\sqrt{2}\) 산출 +3점
소문항 [1-3] (7점)	• \(g(6) = 4,\; g(10) = 5\) 각각 산출 +4점 / 합 \(9\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 지수함수 \(y = 2^{x-2} + 2\)의 점근선 \(y = 2\)는 직선 \(y = x\)에 대칭이동되어 역함수의 점근선 \(x = 2\)가 됩니다.

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 2] 세 변의 길이가 주어진 삼각형의 코사인법칙과 내접원·외접원 반지름

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 문제 6 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 세 변의 길이 \(a, b, c\)를 알 때 코사인법칙 \(\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\)로 \(\cos A\)를 구하고, \(\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}\)를 이용하여 넓이 \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A\)를 구할 수 있다.
<제시문 (나)> 외접원의 반지름 \(R\)는 \(2R = \dfrac{a}{\sin A}\)를 만족하고, 내접원의 반지름 \(r\)는 \(S = \dfrac{1}{2}r(a + b + c)\)를 만족한다.

세 변의 길이가 \(a = 7,\; b = 8,\; c = 9\)인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 \(\cos A\)와 \(\sin A\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름 \(R\)와 내접원의 반지름 \(r\)의 곱 \(Rr\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(\cos A = \dfrac{2}{3},\; \sin A = \dfrac{\sqrt{5}}{3}\) | [2-2] \(S = 12\sqrt{5}\) | [2-3] \(Rr = \dfrac{21}{2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가), (나)에 의해 코사인법칙으로 \(\cos A\)를 구한 뒤 \(\sin A\), 넓이 \(S\), 그리고 \(R\)와 \(r\)를 차례로 도출한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\cos A = \dfrac{64 + 81 - 49}{2 \times 8 \times 9} = \dfrac{96}{144} = \dfrac{2}{3}\)이므로 \(\sin A = \sqrt{1 - \dfrac{4}{9}} = \dfrac{\sqrt{5}}{3}\)이다. 따라서 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 9 \times \dfrac{\sqrt{5}}{3} = 12\sqrt{5}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{21}{2\sqrt{5}}\)이고, \(12\sqrt{5} = \dfrac{1}{2}r(7 + 8 + 9) = 12r\)에서 \(r = \sqrt{5}\)이므로 \(Rr = \dfrac{21}{2\sqrt{5}} \times \sqrt{5} = \dfrac{21}{2}\)이다.

배점 단계 (총 20점)	서울여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점)	• \(\cos A = \dfrac{2}{3}\) 산출 +3점 / \(\sin A = \dfrac{\sqrt{5}}{3}\) 도출 +3점
소문항 [2-2] (7점)	• \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A\) 대입 +3점 / \(S = 12\sqrt{5}\) 산출 +4점
소문항 [2-3] (7점)	• \(R = \dfrac{21}{2\sqrt{5}}\) 및 \(r = \sqrt{5}\) 각각 도출 +4점 / \(Rr = \dfrac{21}{2}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(Rr = \dfrac{abc}{2(a+b+c)} = \dfrac{7 \times 8 \times 9}{2 \times 24} = \dfrac{21}{2}\) 관계로도 검산할 수 있습니다.

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 3] 사잇값의 정리를 이용한 구간별 실근의 최소 개수 논증

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.32 문제 5 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 \(f(a)f(b) \lt 0\)이면, 방정식 \(f(x) = 0\)은 열린구간 \((a, b)\)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다 (사잇값의 정리).

연속함수 \(f(x)\)가 \(f(-1) = 3,\; f(0) = -2,\; f(1) = 4,\; f(2) = -1\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 사잇값의 정리를 이용하여 방정식 \(f(x) = 0\)이 열린구간 \((-1, 2)\)에서 적어도 몇 개의 실근을 갖는지 구하고, 그 이유를 구간별로 서술하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수 \(g(x) = f(x) - x\)라 할 때, \(g(-1), g(0), g(1), g(2)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 방정식 \(f(x) = x\)가 열린구간 \((-1, 2)\)에서 적어도 몇 개의 실근을 갖는지 사잇값의 정리를 이용하여 서술하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] 적어도 \(3\)개 | [3-2] \(g(-1)=4,\; g(0)=-2,\; g(1)=3,\; g(2)=-3\) | [3-3] 적어도 \(3\)개

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f(x)\)가 연속이므로 \(g(x) = f(x) - x\)도 연속함수이며, 각 단위 구간 \([-1, 0],\; [0, 1],\; [1, 2]\)에서 양 끝점 함숫값의 부호 곱을 조사한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f(-1)f(0) = -6 \lt 0,\; f(0)f(1) = -8 \lt 0,\; f(1)f(2) = -4 \lt 0\)이므로 \((-1, 0),\; (0, 1),\; (1, 2)\)에서 각각 적어도 \(1\)개씩 총 \(3\)개 이상의 실근을 갖는다. 또한 \(g(-1) = 4,\; g(0) = -2,\; g(1) = 3,\; g(2) = -3\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(g(-1)g(0) \lt 0,\; g(0)g(1) \lt 0,\; g(1)g(2) \lt 0\)이므로 사잇값의 정리에 의해 방정식 \(f(x) = x\) 역시 \((-1, 2)\)에서 적어도 \(3\)개의 실근을 갖는다.

배점 단계 (총 20점)	서울여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점)	• 세 열린구간에서 \(f\)의 부호 변화 확인 +4점 / 최소 \(3\)개 결론 서술 +2점
소문항 [3-2] (7점)	• \(g(-1)=4,\; g(0)=-2,\; g(1)=3,\; g(2)=-3\) 4개 값 산출 +7점
소문항 [3-3] (7점)	• \(g(x)\)의 연속성 및 세 구간 부호 곱 음수 명시 +4점 / 최소 \(3\)개 결론 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 방정식 \(f(x) = x\)의 실근 존재성은 반드시 \(g(x) = f(x) - x = 0\)으로 이항하여 새로운 연속함수 \(g(x)\)를 정의한 뒤 서술해야 합니다.

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 4] 삼차함수가 극값을 가질 조건과 극댓값·극솟값의 대칭성

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 문제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07]

<제시문 (가)> 삼차함수 \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\;(a \ne 0)\)가 극값을 가질 필요충분조건은 이차방정식 \(f'(x) = 0\)이 서로 다른 두 실근을 갖는 것, 즉 판별식 \(D \gt 0\)이다.

삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3kx^2 + 3(k + 2)x + 1\)에 대하여 다음 논제에 답하시오. (단, \(k\)는 실수이다.)

[문항 4-1] (6점) 함수 \(f(x)\)가 극값을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) \(k = 3\)일 때, 함수 \(f(x)\)가 극대 또는 극소가 되는 \(x\)의 값을 구하고 극댓값 \(M\)과 극솟값 \(m\)을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) \(k = 3\)일 때 \(M + m\)의 값과 \(2f(3)\)의 값을 비교하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(k \lt -1\) 또는 \(k \gt 2\) | [4-2] \(x = 1\)에서 \(M = 8\), \(x = 5\)에서 \(m = -24\) | [4-3] \(M + m = 2f(3) = -16\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f'(x) = 3x^2 - 6kx + 3(k + 2) = 0\)의 판별식 \(\dfrac{D}{4} \gt 0\)을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\dfrac{D}{4} = 9(k^2 - k - 2) = 9(k + 1)(k - 2) \gt 0\)이므로 \(k \lt -1\) 또는 \(k \gt 2\)이다. \(k = 3\)일 때 \(f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x + 1\)이고 \(f'(x) = 3(x - 1)(x - 5) = 0\)이므로 극댓값은 \(M = f(1) = 8\), 극솟값은 \(m = f(5) = -24\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(M + m = 8 + (-24) = -16\)이고, \(2f(3) = 2(27 - 81 + 45 + 1) = 2(-8) = -16\)으로 서로 같다.

배점 단계 (총 20점)	서울여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점)	• \(f'(x) = 0\)의 판별식 \((k+1)(k-2) \gt 0\) 수립 +3점 / \(k \lt -1\) 또는 \(k \gt 2\) 도출 +3점
소문항 [4-2] (7점)	• \(k=3\) 대입 후 \(f'(x) = 3(x-1)(x-5)\) 인수분해 +3점 / \(M = 8,\; m = -24\) 산출 +4점
소문항 [4-3] (7점)	• \(M + m = -16\) 및 \(2f(3) = -16\) 계산 비교 +7점

💡 감점 방어 클리닉: \(k = 3\)일 때 \(f(1) = 1 - 9 + 15 + 1 = 8\)이고 \(f(5) = 125 - 225 + 75 + 1 = -24\)입니다.

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 5] 정적분으로 정의된 함수의 극댓값·극솟값과 정적분

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 문제 7 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-02-07]

<제시문 (가)> 연속함수 \(f(t)\)에 대하여 정적분으로 정의된 함수 \(g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt\)는 미분가능하고, 그 도함수는 \(g'(x) = f(x)\)이며 \(g(a) = 0\)이다.

이차함수 \(f(t) = 3t^2 - 12t + 9\)에 대하여 함수 \(g(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt\)로 정의할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(g'(x)\)를 구하고, 함수 \(g(x)\)가 극댓값과 극솟값을 갖는 \(x\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 함수 \(g(x)\)의 식을 구하고, \(g(x)\)의 극댓값 \(M\)과 극솟값 \(m\)을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 함수 \(g(x)\)의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(x = 1\)에서 극대, \(x = 3\)에서 극소 | [5-2] \(g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x,\; M = 4,\; m = 0\) | [5-3] 최댓값 \(4\), 최솟값 \(0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 \(g'(x) = f(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)\)이고 \(g(0) = 0\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(g'(x) = 0\)에서 \(x = 1\)일 때 극대, \(x = 3\)일 때 극소이다. 적분하면 \(g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\)이므로 극댓값은 \(M = g(1) = 4\), 극솟값은 \(m = g(3) = 27 - 54 + 27 = 0\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 구간 \([0, 4]\)에서 \(g(0) = 0,\; g(1) = 4,\; g(3) = 0,\; g(4) = 64 - 96 + 36 = 4\)이므로 최댓값은 \(4\), 최솟값은 \(0\)이다.

배점 단계 (총 20점)	서울여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점)	• \(g'(x) = 3(x-1)(x-3)\) 도출 +3점 / 극대 \(x=1\), 극소 \(x=3\) 판정 +3점
소문항 [5-2] (7점)	• \(g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\) 산출 +3점 / \(M = 4,\; m = 0\) 도출 +4점
소문항 [5-3] (7점)	• 양 끝점 함숫값 \(g(0)=0,\; g(4)=4\) 계산 비교 +4점 / 최댓값 \(4\), 최솟값 \(0\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(g(x) = \int_0^x f(t)\,dt\)는 아래끝이 \(0\)이므로 상수항이 \(g(0) = 0\)이 됩니다.