2027학년도 대비 서울여자대학교 수리논술 모의고사 3회 (해설집)

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 1] 지수함수의 일대일대응과 치환 지수방정식의 두 실근 관계

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 지수함수 \(y = a^x\;(a \gt 0, a \ne 1)\)은 실수 전체의 집합에서 양의 실수 전체의 집합으로의 일대일대응이다.
<제시문 (나)> 지수방정식 \(p(a^x)^2 + q a^x + r = 0\)의 두 실근을 \(\alpha, \beta\)라 하면, \(t = a^x\;(t \gt 0)\)로 치환한 이차방정식 \(pt^2 + qt + r = 0\)의 두 양수 근은 \(t_1 = a^\alpha,\; t_2 = a^\beta\)이다.

지수방정식 \(9^x - 12\cdot 3^x + 27 = 0\)의 두 실근을 \(\alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(t = 3^x\;(t \gt 0)\)로 치환하여 얻은 이차방정식을 풀고, 두 실근 \(\alpha, \beta\)를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 지수방정식 \(9^x - k\cdot 3^x + 81 = 0\)의 두 실근의 합을 인수분해 없이 근과 계수의 관계(\(t_1 t_2 = 3^{\alpha + \beta}\))를 이용하여 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 위 방정식 \(9^x - k\cdot 3^x + 81 = 0\)이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(\alpha = 1,\; \beta = 2\) | [1-2] 두 실근의 합 \(4\) | [1-3] \(k \gt 18\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가), (나)에 의해 \(t = 3^x\;(t \gt 0)\)로 치환하면 \(t_1 t_2 = 3^\alpha \cdot 3^\beta = 3^{\alpha + \beta}\)가 성립한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(t^2 - 12t + 27 = (t - 3)(t - 9) = 0\)에서 \(3^x = 3, 9\)이므로 \(\alpha = 1,\; \beta = 2\)이다. 또한 \(t^2 - kt + 81 = 0\)에서 \(t_1 t_2 = 3^{\alpha + \beta} = 81 = 3^4\)이므로 두 실근의 합은 \(\alpha + \beta = 4\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 서로 다른 두 실근 \(\alpha, \beta\)를 가지려면 \(t^2 - kt + 81 = 0\)이 서로 다른 두 양의 실근을 가져야 하므로 \(D = k^2 - 324 \gt 0\) 및 \(k \gt 0\)에서 \(k \gt 18\)이다.

배점 단계 (총 20점)	서울여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점)	• \((t-3)(t-9)=0\) 인수분해 +3점 / \(\alpha = 1,\; \beta = 2\) 도출 +3점
소문항 [1-2] (7점)	• \(t_1 t_2 = 3^{\alpha+\beta} = 81\) 관계 수립 +4점 / 합 \(\alpha + \beta = 4\) 산출 +3점
소문항 [1-3] (7점)	• 서로 다른 두 양근 조건(\(D \gt 0,\; k \gt 0\)) 명시 +4점 / \(k \gt 18\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 지수방정식에서 두 근 \(\alpha, \beta\)의 합을 구할 때는 치환된 이차방정식의 두 근의 곱 \(t_1 t_2 = 3^{\alpha + \beta}\)를 사용해야 합니다.

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 2] 사인법칙과 삼각형의 세 내각·변의 길이 비 논증

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 세 내각의 크기의 합은 \(A + B + C = \pi\)이고, 외접원의 반지름의 길이를 \(R\)라 하면 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)이 성립한다.
<제시문 (나)> 따라서 삼각형의 세 변의 길이의 비는 \(a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C\)와 같다.

삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 세 내각의 크기의 비가 \(A : B : C = 1 : 2 : 3\)이고 외접원의 반지름의 길이가 \(R = 4\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 세 내각 \(A, B, C\)의 크기를 호도법으로 각각 구하고, 세 변의 길이의 비 \(a : b : c\)를 가장 간단한 자연수의 무리수 비로 나타내시오.

[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 세 변 \(a, b, c\)의 길이를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)와 내접원의 반지름의 길이 \(r\)를 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(A=\dfrac{\pi}{6},\; B=\dfrac{\pi}{3},\; C=\dfrac{\pi}{2}\), 비 \(1 : \sqrt{3} : 2\) | [2-2] \(a=4,\; b=4\sqrt{3},\; c=8\) | [2-3] \(S = 8\sqrt{3},\; r = 2\sqrt{3} - 2\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가), (나)에 의해 \(A + B + C = \pi\)를 \(1 : 2 : 3\)으로 비례배분하고 \(a = 2R\sin A\)를 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(A = \dfrac{\pi}{6},\; B = \dfrac{\pi}{3},\; C = \dfrac{\pi}{2}\)이므로 \(\sin A : \sin B : \sin C = \dfrac{1}{2} : \dfrac{\sqrt{3}}{2} : 1 = 1 : \sqrt{3} : 2\)이다. \(2R = 8\)이므로 \(a = 4,\; b = 4\sqrt{3},\; c = 8\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 직각삼각형이므로 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}ab = 8\sqrt{3}\)이고, \(S = \dfrac{1}{2}r(a + b + c)\)에서 \(r = \dfrac{16\sqrt{3}}{12 + 4\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} - 2\)이다.

배점 단계 (총 20점)	서울여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점)	• 세 내각 크기 산출 +3점 / \(a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2\) 도출 +3점
소문항 [2-2] (7점)	• \(2R = 8\) 대입으로 \(a = 4,\; b = 4\sqrt{3},\; c = 8\) 산출 +7점
소문항 [2-3] (7점)	• 넓이 \(S = 8\sqrt{3}\) 산출 +3점 / 내접원 반지름 \(r = 2\sqrt{3} - 2\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 내각의 비 \(A : B : C = 1 : 2 : 3\)을 변의 길이의 비 \(a : b : c = 1 : 2 : 3\)으로 오해하지 않도록 사인값의 비를 취해야 합니다.

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 3] 항등식을 만족시키는 연속함수의 함숫값과 미정계수 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.27 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03]

<제시문 (가)> 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \((x - a)f(x) = g(x)\)를 만족시킬 때, \(x \ne a\)에서는 \(f(x) = \dfrac{g(x)}{x - a}\)이고, 연속의 정의에 의하여 \(f(a) = \lim_{x \to a} \dfrac{g(x)}{x - a}\)이다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 등식 \((x^2 - 4)f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 8\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[문항 3-1] (6점) 우변의 다항식이 \(x = 2\)와 \(x = -2\)에서 모두 \(0\)이 되어야 하는 이유를 서술하고, 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) \(x \ne \pm 2\)일 때 \(f(x)\)의 식을 구하고, 연속성을 이용하여 \(f(2)\)와 \(f(-2)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 닫힌구간 \([-2, 2]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(a = 2,\; b = -4\) | [3-2] \(f(2) = 4,\; f(-2) = 0\) | [3-3] \(4\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 항등식의 양변에 \(x = 2,\; x = -2\)를 대입하면 좌변이 \(0\)이므로 우변도 \(0\)이 되어야 하며, 제시문 (가)에 의해 \(f(\pm 2) = \lim_{x \to \pm 2} f(x)\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(x = 2\) 대입 시 \(4a + 2b = 0\), \(x = -2\) 대입 시 \(4a - 2b - 16 = 0\)이므로 연립하면 \(a = 2,\; b = -4\)이다. 따라서 우변은 \((x^2 - 4)(x + 2)\)이므로 \(x \ne \pm 2\)에서 \(f(x) = x + 2\)이고, 연속성에 의해 모든 실수에서 \(f(x) = x + 2\)가 되어 \(f(2) = 4,\; f(-2) = 0\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 일차함수 \(f(x) = x + 2\)는 증가함수이므로 구간 \([-2, 2]\)에서 최댓값은 \(4\), 최솟값은 \(0\)이며 합은 \(4\)이다.

배점 단계 (총 20점)	서울여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점)	• \(x = \pm 2\) 대입 근거 서술 +2점 / 연립방정식으로 \(a = 2,\; b = -4\) 산출 +4점
소문항 [3-2] (7점)	• 약분으로 \(f(x) = x + 2\) 유도 +3점 / \(f(2) = 4,\; f(-2) = 0\) 도출 +4점
소문항 [3-3] (7점)	• 구간 \([-2, 2]\)에서 최댓값 \(4\), 최솟값 \(0\) 산출 및 합 \(4\) 도출 +7점

💡 감점 방어 클리닉: 양변을 \(x^2 - 4\)로 나눌 때는 반드시 \(x \ne \pm 2\)라는 조건을 먼저 명시한 뒤 극한으로 \(f(\pm 2)\)를 결정해야 합니다.

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 4] 롤의 정리와 평균값 정리를 만족시키는 상수의 존재성과 계산

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.29 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능할 때, \(f(a) = f(b)\)이면 \(f'(c) = 0\)인 \(c\)가 열린구간 \((a, b)\)에 적어도 하나 존재한다 (롤의 정리).
<제시문 (나)> 같은 조건에서 \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)\)인 \(c\)가 열린구간 \((a, b)\)에 적어도 하나 존재한다 (평균값 정리).

삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 롤의 정리의 전제 조건이 성립하는지 확인하고, 롤의 정리를 만족시키는 상수 \(c_1 \in (0, 3)\)의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 \(c_2 \in (-1, 2)\)를 모두 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 미분가능한 함수 \(g(x)\)가 모든 실수 \(x\)에서 \(g'(x) = 3\)이고 \(g(1) = 4\)일 때, 평균값 정리를 이용하여 \(g(5)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(c_1 = 2\) | [4-2] \(c_2 = 0\) | [4-3] \(g(5) = 16\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 다항함수 \(f(x)\)는 모든 실수에서 연속이고 미분가능하므로 제시문 (가), (나)의 롤의 정리와 평균값 정리가 성립한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f(0) = f(3) = 2\)이고 \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 0\)에서 \(c_1 \in (0, 3)\)인 값은 \(c_1 = 2\)이다. 또한 \(\dfrac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)} = \dfrac{-2 - (-2)}{3} = 0\)이므로 \(3c_2^2 - 6c_2 = 0\)에서 \(c_2 \in (-1, 2)\)인 값은 \(c_2 = 0\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 구간 \([1, 5]\)에서 평균값 정리에 의해 \(\dfrac{g(5) - g(1)}{5 - 1} = g'(c) = 3\)인 \(c \in (1, 5)\)가 존재하므로 \(g(5) = g(1) + 12 = 16\)이다.

배점 단계 (총 20점)	서울여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점)	• 연속·미분가능 및 \(f(0)=f(3)=2\) 확인 +3점 / \(c_1 = 2 \in (0,3)\) 도출 +3점
소문항 [4-2] (7점)	• 구간 \([-1, 2]\) 평균변화율 \(0\) 산출 +4점 / \(c_2 = 0 \in (-1, 2)\) 도출 +3점
소문항 [4-3] (7점)	• \(\dfrac{g(5)-g(1)}{4} = g'(c) = 3\) 평균값 정리 식 서술 +4점 / \(g(5) = 16\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(f'(x) = 3x(x - 2) = 0\)의 두 근 \(0, 2\) 중 열린구간 \((0, 3)\)에 속하는 것은 \(2\)뿐이고, 열린구간 \((-1, 2)\)에 속하는 것은 \(0\)뿐입니다.

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 5] 두 이차곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이와 직선에 의한 분할

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.29 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 두 함수 \(y = f(x),\; y = g(x)\)의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 \(S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)|\,dx\)이다.

두 이차함수 \(f(x) = -x^2 + 4x\)와 \(g(x) = x^2 - 4x\)의 그래프로 둘러싸인 도형에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 두 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)의 교점의 좌표를 모두 구하고, 교점 사이의 구간에서 어느 곡선이 위쪽에 있는지 판정하시오.

[문항 5-2] (7점) 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 정적분을 이용하여 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_1\)이라 할 때, 넓이의 비 \(S : S_1\)을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] 교점 \((0, 0),\; (4, 0)\), \(f(x) \ge g(x)\) | [5-2] \(S = \dfrac{64}{3}\) | [5-3] \(S : S_1 = 2 : 1\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 두 식을 연립하여 교점의 \(x\)좌표를 구하고 제시문 (가)의 정적분 넓이 공식을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(-x^2 + 4x = x^2 - 4x \implies 2x(x - 4) = 0\)이므로 교점은 \((0, 0),\; (4, 0)\)이고 구간 \([0, 4]\)에서 \(f(x) \ge g(x)\)이다. 따라서 \(S = \int_{0}^{4} (-2x^2 + 8x)\,dx = \left[-\dfrac{2}{3}x^3 + 4x^2\right]_{0}^{4} = \dfrac{64}{3}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(S_1 = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x)\,dx = \dfrac{32}{3}\)이므로 \(S : S_1 = \dfrac{64}{3} : \dfrac{32}{3} = 2 : 1\)이다.

배점 단계 (총 20점)	서울여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점)	• 교점 \((0,0),\; (4,0)\) 산출 +4점 / 구간 \([0,4]\)에서 \(f(x) \ge g(x)\) 판정 +2점
소문항 [5-2] (7점)	• \(\int_0^4 (-2x^2 + 8x)\,dx\) 수립 +3점 / \(S = \dfrac{64}{3}\) 도출 +4점
소문항 [5-3] (7점)	• \(S_1 = \dfrac{32}{3}\) 산출 +4점 / 비 \(2 : 1\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(g(x) = -f(x)\)이므로 두 곡선은 \(x\)축에 대하여 서로 대칭이며, 따라서 \(S = 2S_1\)이 성립합니다.