2027학년도 대비 서울여자대학교 수리논술 모의고사 3회 (문제집)

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (실전 문제집 및 답안 작성란) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 1] 지수함수의 일대일대응과 치환 지수방정식의 두 실근 관계

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 지수함수 \(y = a^x\;(a \gt 0, a \ne 1)\)은 실수 전체의 집합에서 양의 실수 전체의 집합으로의 일대일대응이다.
<제시문 (나)> 지수방정식 \(p(a^x)^2 + q a^x + r = 0\)의 두 실근을 \(\alpha, \beta\)라 하면, \(t = a^x\;(t \gt 0)\)로 치환한 이차방정식 \(pt^2 + qt + r = 0\)의 두 양수 근은 \(t_1 = a^\alpha,\; t_2 = a^\beta\)이다.

지수방정식 \(9^x - 12\cdot 3^x + 27 = 0\)의 두 실근을 \(\alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(t = 3^x\;(t \gt 0)\)로 치환하여 얻은 이차방정식을 풀고, 두 실근 \(\alpha, \beta\)를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 지수방정식 \(9^x - k\cdot 3^x + 81 = 0\)의 두 실근의 합을 인수분해 없이 근과 계수의 관계(\(t_1 t_2 = 3^{\alpha + \beta}\))를 이용하여 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 위 방정식 \(9^x - k\cdot 3^x + 81 = 0\)이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

[서울여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 + [1-2] 7점 + [1-3] 7점 = 20점)]

• [문항 1-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 1-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 1-3] (7점) 풀이 및 답안 :

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (실전 문제집 및 답안 작성란) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 2] 사인법칙과 삼각형의 세 내각·변의 길이 비 논증

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 세 내각의 크기의 합은 \(A + B + C = \pi\)이고, 외접원의 반지름의 길이를 \(R\)라 하면 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)이 성립한다.
<제시문 (나)> 따라서 삼각형의 세 변의 길이의 비는 \(a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C\)와 같다.

삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 세 내각의 크기의 비가 \(A : B : C = 1 : 2 : 3\)이고 외접원의 반지름의 길이가 \(R = 4\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 세 내각 \(A, B, C\)의 크기를 호도법으로 각각 구하고, 세 변의 길이의 비 \(a : b : c\)를 가장 간단한 자연수의 무리수 비로 나타내시오.

[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 세 변 \(a, b, c\)의 길이를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)와 내접원의 반지름의 길이 \(r\)를 각각 구하시오.

[서울여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 + [2-2] 7점 + [2-3] 7점 = 20점)]

• [문항 2-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 2-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 2-3] (7점) 풀이 및 답안 :

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (실전 문제집 및 답안 작성란) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 3] 항등식을 만족시키는 연속함수의 함숫값과 미정계수 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.27 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03]

<제시문 (가)> 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \((x - a)f(x) = g(x)\)를 만족시킬 때, \(x \ne a\)에서는 \(f(x) = \dfrac{g(x)}{x - a}\)이고, 연속의 정의에 의하여 \(f(a) = \lim_{x \to a} \dfrac{g(x)}{x - a}\)이다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 등식 \((x^2 - 4)f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 8\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[문항 3-1] (6점) 우변의 다항식이 \(x = 2\)와 \(x = -2\)에서 모두 \(0\)이 되어야 하는 이유를 서술하고, 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) \(x \ne \pm 2\)일 때 \(f(x)\)의 식을 구하고, 연속성을 이용하여 \(f(2)\)와 \(f(-2)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 닫힌구간 \([-2, 2]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

[서울여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 + [3-2] 7점 + [3-3] 7점 = 20점)]

• [문항 3-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 3-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 3-3] (7점) 풀이 및 답안 :

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (실전 문제집 및 답안 작성란) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 4] 롤의 정리와 평균값 정리를 만족시키는 상수의 존재성과 계산

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.29 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능할 때, \(f(a) = f(b)\)이면 \(f'(c) = 0\)인 \(c\)가 열린구간 \((a, b)\)에 적어도 하나 존재한다 (롤의 정리).
<제시문 (나)> 같은 조건에서 \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)\)인 \(c\)가 열린구간 \((a, b)\)에 적어도 하나 존재한다 (평균값 정리).

삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 롤의 정리의 전제 조건이 성립하는지 확인하고, 롤의 정리를 만족시키는 상수 \(c_1 \in (0, 3)\)의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 \(c_2 \in (-1, 2)\)를 모두 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 미분가능한 함수 \(g(x)\)가 모든 실수 \(x\)에서 \(g'(x) = 3\)이고 \(g(1) = 4\)일 때, 평균값 정리를 이용하여 \(g(5)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

[서울여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 + [4-2] 7점 + [4-3] 7점 = 20점)]

• [문항 4-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 4-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 4-3] (7점) 풀이 및 답안 :

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (실전 문제집 및 답안 작성란) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 5] 두 이차곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이와 직선에 의한 분할

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.29 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 두 함수 \(y = f(x),\; y = g(x)\)의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 \(S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)|\,dx\)이다.

두 이차함수 \(f(x) = -x^2 + 4x\)와 \(g(x) = x^2 - 4x\)의 그래프로 둘러싸인 도형에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 두 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)의 교점의 좌표를 모두 구하고, 교점 사이의 구간에서 어느 곡선이 위쪽에 있는지 판정하시오.

[문항 5-2] (7점) 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 정적분을 이용하여 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_1\)이라 할 때, 넓이의 비 \(S : S_1\)을 구하시오.

[서울여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 + [5-2] 7점 + [5-3] 7점 = 20점)]

• [문항 5-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 5-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 5-3] (7점) 풀이 및 답안 :