2027학년도 대비 서울여자대학교 수리논술 모의고사 2회 (해설집)

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 1] 로그가 정의되기 위한 조건과 모든 실수에서 성립하는 이차부등식

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.18 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-04]

<제시문 (가)> 로그 \(\log_a N\)이 정의되기 위한 필요충분조건은 밑 조건 \(a \gt 0,\; a \ne 1\)과 진수 조건 \(N \gt 0\)이다.
<제시문 (나)> 모든 실수 \(x\)에 대하여 이차부등식 \(x^2 + px + q \gt 0\)이 항상 성립할 필요충분조건은 판별식 \(D = p^2 - 4q \lt 0\)이다.

로그 \(\log_{|k - 2|}\left(x^2 - 2kx + 3k + 4\right)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 정의되도록 하는 정수 \(k\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 밑 조건으로부터 실수 \(k\)가 될 수 없는 값을 모두 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 모든 실수 \(x\)에 대하여 진수 조건이 성립하도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 위 두 조건을 동시에 만족시키는 모든 정수 \(k\)를 구하고 그 합을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(k \ne 1, 2, 3\) | [1-2] \(-1 \lt k \lt 4\) | [1-3] 정수 \(k = 0\), 합 \(= 0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가), (나)에 의해 밑 조건 \(|k - 2| \gt 0,\; |k - 2| \ne 1\)과 진수 판별식 \(\dfrac{D}{4} \lt 0\)이 동시에 성립해야 한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 밑 조건에서 \(k \ne 2\)이고 \(k - 2 \ne \pm 1\)이므로 \(k \ne 1, 2, 3\)이다. 진수 조건에서 모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 - 2kx + 3k + 4 \gt 0\)이려면 \(\dfrac{D}{4} = k^2 - (3k + 4) = (k + 1)(k - 4) \lt 0\)에서 \(-1 \lt k \lt 4\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(-1 \lt k \lt 4\)인 정수 \(0, 1, 2, 3\) 중에서 \(1, 2, 3\)이 제외되므로 조건을 만족하는 정수는 \(k = 0\)뿐이며 합은 \(0\)이다.

배점 단계 (총 20점)	서울여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점)	• \(\|k-2\| \gt 0 \implies k \ne 2\) 및 \(\|k-2\| \ne 1 \implies k \ne 1, 3\) 도출 +6점
소문항 [1-2] (7점)	• 판별식 \(\dfrac{D}{4} = k^2 - 3k - 4 \lt 0\) 수립 +4점 / \(-1 \lt k \lt 4\) 산출 +3점
소문항 [1-3] (7점)	• 밑 조건 제외값 제거 과정 서술 +4점 / 정수 \(k = 0\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 절댓값이 포함된 밑 \(|k - 2| \ne 1\)에서 \(k = 1\)과 \(k = 3\) 두 값이 모두 제외됨에 주의하세요.

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 2] 삼각함수의 치환을 이용한 이차형 삼각함수의 최대·최소

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \(-1 \le \sin x \le 1,\; -1 \le \cos x \le 1\)이고, \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)이다.
<제시문 (나)> 삼각함수를 포함한 식을 \(t = \sin x\)로 치환하면 정의역이 닫힌구간 \([-1, 1]\)로 제한된 함수의 최대·최소 문제로 변환된다.

\(0 \le x \lt 2\pi\)에서 정의된 함수 \(f(x) = -\cos^2 x + 4\sin x + 3\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(\sin x = t\;(-1 \le t \le 1)\)로 치환할 때, \(f(x)\)를 \(t\)에 대한 이차함수 \(g(t)\)의 표준형으로 나타내시오.

[문항 2-2] (7점) 닫힌구간 \([-1, 1]\)에서 \(g(t)\)의 증감을 조사하여 함수 \(f(x)\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 함수 \(f(x)\)가 최댓값을 가질 때의 \(x\)의 값 \(\alpha\)와 최솟값을 가질 때의 \(x\)의 값 \(\beta\)를 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(g(t) = (t + 2)^2 - 2\;(-1 \le t \le 1)\) | [2-2] \(M = 7,\; m = -1\) | [2-3] \(\alpha = \dfrac{\pi}{2},\; \beta = \dfrac{3\pi}{2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하고 \(t = \sin x\;(-1 \le t \le 1)\)로 치환한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(g(t) = -(1 - t^2) + 4t + 3 = t^2 + 4t + 2 = (t + 2)^2 - 2\)이다. 대칭축 \(t = -2\)가 구간 \([-1, 1]\)의 왼쪽에 있으므로 구간 \([-1, 1]\)에서 \(g(t)\)는 증가함수이며, \(M = g(1) = 7\), \(m = g(-1) = -1\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(0 \le x \lt 2\pi\)에서 \(t = \sin x = 1\)일 때 \(\alpha = \dfrac{\pi}{2}\)이고, \(t = \sin x = -1\)일 때 \(\beta = \dfrac{3\pi}{2}\)이다.

배점 단계 (총 20점)	서울여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점)	• \(g(t) = t^2 + 4t + 2 = (t+2)^2 - 2\) 변형 및 \(-1 \le t \le 1\) 명시 +6점
소문항 [2-2] (7점)	• 구간 내 증가성 판정 +3점 / \(M = 7,\; m = -1\) 산출 +4점
소문항 [2-3] (7점)	• \(\sin\alpha = 1 \implies \alpha = \dfrac{\pi}{2}\) 도출 +3점 / \(\sin\beta = -1 \implies \beta = \dfrac{3\pi}{2}\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 꼭짓점 \(t = -2\)는 치환된 정의역 \([-1, 1]\)에 포함되지 않으므로 최솟값을 \(-2\)로 쓰면 오답이 됩니다.

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 3] 무한대 극한과 0/0 꼴 극한을 이용한 삼차함수의 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.14 문제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수 \(g(x)\)에 대하여 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{g(x)}{2x^2 + 1} = -2\)이면 \(g(x)\)는 최고차항이 \(-4x^2\)인 이차식이다.
<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x - 2} = L\)이 존재하면 극한에 대한 성질에 의하여 \(f(2) = 0\)이고 \(f(x)\)는 \(x - 2\)를 인수로 갖는다.

다항함수 \(f(x)\)가 다음 두 조건을 만족시킬 때, 논제에 답하시오.
(조건 1) \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{2x^2 + 1} = -2\) (조건 2) \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x - 2} = 5\)

[문항 3-1] (6점) 조건 1을 이용하여 다항함수 \(f(x)\)의 차수와 삼차항·이차항의 계수를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 조건 2를 이용하여 \(f(x)\)의 일차항 계수 \(a\)와 상수항 \(b\)를 구하여 \(f(x)\)를 완성하시오.

[문항 3-3] (7점) \(f(3)\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(3\)차식, 삼차항 계수 \(1\), 이차항 계수 \(-4\) | [3-2] \(f(x) = x^3 - 4x^2 + 9x - 10\) | [3-3] \(f(3) = 8\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 \(f(x) - x^3 = -4x^2 + ax + b\)이므로 \(f(x) = x^3 - 4x^2 + ax + b\)이고, 제시문 (나)에 의해 \(f(2) = 0\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f(2) = -8 + 2a + b = 0 \implies b = 8 - 2a\)이므로 \(f(x) = (x - 2)(x^2 - 2x + a - 4)\)이다. 조건 2에 대입하면 \(\lim_{x \to 2} (x^2 - 2x + a - 4) = a - 4 = 5\)에서 \(a = 9,\; b = -10\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 따라서 \(f(x) = x^3 - 4x^2 + 9x - 10\)이므로 \(f(3) = 27 - 36 + 27 - 10 = 8\)이다.

배점 단계 (총 20점)	서울여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점)	• \(f(x) = x^3 - 4x^2 + ax + b\) 도출 +6점
소문항 [3-2] (7점)	• \(f(2) = 0\) 및 인수분해 극한으로 \(a = 9,\; b = -10\) 산출 +7점
소문항 [3-3] (7점)	• \(x = 3\) 대입 계산으로 \(f(3) = 8\) 도출 +7점

💡 감점 방어 클리닉: \(b = 8 - 2a\)를 대입하여 \(x - 2\)로 조립제법 인수분해하면 로피탈 정리 없이 교과서 원리만으로 완벽히 서술됩니다.

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 4] 곡선 밖의 한 점에서 그은 두 접선과 접점 삼각형의 넓이

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05]

<제시문 (가)> 곡선 \(y = f(x)\) 밖의 한 점 \((x_1, y_1)\)에서 곡선에 그은 접선의 방정식을 구할 때는 접점의 좌표를 \((t, f(t))\)로 놓고 접선의 방정식 \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\)에 \((x_1, y_1)\)을 대입하여 \(t\)의 값을 구한다.

점 \(\mathrm{P}(1, -1)\)에서 이차함수 \(y = x^2 - 1\)의 그래프에 그은 두 접선의 접점을 각각 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 접점의 좌표를 \((t, t^2 - 1)\)이라 할 때, 점 \((t, t^2 - 1)\)에서의 접선의 방정식을 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 4-2] (7점) 이 접선이 점 \(\mathrm{P}(1, -1)\)을 지남을 이용하여 두 접점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)의 좌표를 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 세 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{A}, \mathrm{B}\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(\mathrm{PAB}\)의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(y = 2tx - t^2 - 1\) | [4-2] \((0, -1),\; (2, 3)\) | [4-3] 넓이 \(2\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f(x) = x^2 - 1\)에서 \(f'(t) = 2t\)이므로 접점 \((t, t^2 - 1)\)에서의 접선의 방정식을 세운다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 접선은 \(y - (t^2 - 1) = 2t(x - t) \implies y = 2tx - t^2 - 1\)이다. 여기에 점 \(\mathrm{P}(1, -1)\)을 대입하면 \(-1 = 2t - t^2 - 1 \implies t(t - 2) = 0\)에서 \(t = 0\) 또는 \(t = 2\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 두 접점은 \(\mathrm{A}(0, -1),\; \mathrm{B}(2, 3)\)이고 \(\mathrm{P}(1, -1)\)이므로 선분 \(\mathrm{PA}\)는 \(y = -1\) 위의 길이 \(1\)인 수평선분이며, 높이는 \(3 - (-1) = 4\)이므로 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times 1 \times 4 = 2\)이다.

배점 단계 (총 20점)	서울여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점)	• \(f'(t) = 2t\) 및 접선 \(y = 2tx - t^2 - 1\) 유도 +6점
소문항 [4-2] (7점)	• \(\mathrm{P}(1, -1)\) 대입으로 \(t = 0, 2\) 산출 +4점 / 접점 \((0,-1),\; (2,3)\) 도출 +3점
소문항 [4-3] (7점)	• 밑변 \(\overline{\mathrm{PA}} = 1\) 및 높이 \(4\) 산출 +4점 / 넓이 \(2\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 곡선 밖의 점 \(\mathrm{P}(1, -1)\)의 \(x\)좌표를 바로 미분계수 \(f'(1)\)에 대입하지 않도록 주의하세요.

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 5] 정적분의 선형성과 대칭구간·절댓값 정적분의 계산

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([-a, a]\)에서 연속인 함수에 대하여 우함수는 \(\int_{-a}^{a} x^{2n}\,dx = 2\int_{0}^{a} x^{2n}\,dx\)이고, 기함수는 \(\int_{-a}^{a} x^{2n-1}\,dx = 0\)이다.
<제시문 (나)> 절댓값 기호가 포함된 정적분 \(\int_{a}^{b} |f(x)|\,dx\)는 \(f(x) = 0\)이 되는 점을 경계로 적분 구간을 나누어 계산한다.

제시문 (가)와 (나)를 바탕으로 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분 \(A = \int_{-2}^{2} (x^3 + 2x^2 - 7x + 1)\,dx + \int_{2}^{-2} (x^3 - x^2 + 3x - 2)\,dx\)의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 정적분 \(B = \int_{0}^{3} |x^2 - 2x|\,dx\)의 값을 구간을 나누어 구하시오.

[문항 5-3] (7점) \(A + 3B\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(A = 28\) | [5-2] \(B = \dfrac{8}{3}\) | [5-3] \(36\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\int_{2}^{-2} g(x)\,dx = -\int_{-2}^{2} g(x)\,dx\)로 위끝·아래끝을 맞춘 뒤 제시문 (가), (나)를 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(A = \int_{-2}^{2} (3x^2 - 10x + 3)\,dx = 2\int_{0}^{2} (3x^2 + 3)\,dx = 2\left[x^3 + 3x\right]_{0}^{2} = 2(8 + 6) = 28\)이다. 또한 \(B = \int_{0}^{2} (2x - x^2)\,dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 2x)\,dx = \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 따라서 \(A + 3B = 28 + 3 \times \dfrac{8}{3} = 28 + 8 = 36\)이다.

배점 단계 (총 20점)	서울여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점)	• 구간 결합 후 기함수 소거 \(2\int_0^2 (3x^2+3)\,dx\) 정리 +3점 / \(A = 28\) 산출 +3점
소문항 [5-2] (7점)	• \([0,2]\)와 \([2,3]\)으로 구간 분리 +4점 / \(B = \dfrac{8}{3}\) 도출 +3점
소문항 [5-3] (7점)	• \(A + 3B = 28 + 8 = 36\) 정확히 산출 +7점

💡 감점 방어 클리닉: 두 번째 정적분의 위끝과 아래끝이 \(2\)에서 \(-2\)로 뒤집혀 있으므로 부호를 바꾸어 빼 주어야 합니다.