2027학년도 대비 서울여자대학교 수리논술 모의고사 2회 (문제집)

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (실전 문제집 및 답안 작성란) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 1] 로그가 정의되기 위한 조건과 모든 실수에서 성립하는 이차부등식

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.18 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-04]

<제시문 (가)> 로그 \(\log_a N\)이 정의되기 위한 필요충분조건은 밑 조건 \(a \gt 0,\; a \ne 1\)과 진수 조건 \(N \gt 0\)이다.
<제시문 (나)> 모든 실수 \(x\)에 대하여 이차부등식 \(x^2 + px + q \gt 0\)이 항상 성립할 필요충분조건은 판별식 \(D = p^2 - 4q \lt 0\)이다.

로그 \(\log_{|k - 2|}\left(x^2 - 2kx + 3k + 4\right)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 정의되도록 하는 정수 \(k\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 밑 조건으로부터 실수 \(k\)가 될 수 없는 값을 모두 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 모든 실수 \(x\)에 대하여 진수 조건이 성립하도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 위 두 조건을 동시에 만족시키는 모든 정수 \(k\)를 구하고 그 합을 구하시오.

[서울여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 + [1-2] 7점 + [1-3] 7점 = 20점)]

• [문항 1-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 1-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 1-3] (7점) 풀이 및 답안 :

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (실전 문제집 및 답안 작성란) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 2] 삼각함수의 치환을 이용한 이차형 삼각함수의 최대·최소

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \(-1 \le \sin x \le 1,\; -1 \le \cos x \le 1\)이고, \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)이다.
<제시문 (나)> 삼각함수를 포함한 식을 \(t = \sin x\)로 치환하면 정의역이 닫힌구간 \([-1, 1]\)로 제한된 함수의 최대·최소 문제로 변환된다.

\(0 \le x \lt 2\pi\)에서 정의된 함수 \(f(x) = -\cos^2 x + 4\sin x + 3\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(\sin x = t\;(-1 \le t \le 1)\)로 치환할 때, \(f(x)\)를 \(t\)에 대한 이차함수 \(g(t)\)의 표준형으로 나타내시오.

[문항 2-2] (7점) 닫힌구간 \([-1, 1]\)에서 \(g(t)\)의 증감을 조사하여 함수 \(f(x)\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 함수 \(f(x)\)가 최댓값을 가질 때의 \(x\)의 값 \(\alpha\)와 최솟값을 가질 때의 \(x\)의 값 \(\beta\)를 각각 구하시오.

[서울여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 + [2-2] 7점 + [2-3] 7점 = 20점)]

• [문항 2-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 2-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 2-3] (7점) 풀이 및 답안 :

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (실전 문제집 및 답안 작성란) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 3] 무한대 극한과 0/0 꼴 극한을 이용한 삼차함수의 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.14 문제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수 \(g(x)\)에 대하여 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{g(x)}{2x^2 + 1} = -2\)이면 \(g(x)\)는 최고차항이 \(-4x^2\)인 이차식이다.
<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x - 2} = L\)이 존재하면 극한에 대한 성질에 의하여 \(f(2) = 0\)이고 \(f(x)\)는 \(x - 2\)를 인수로 갖는다.

다항함수 \(f(x)\)가 다음 두 조건을 만족시킬 때, 논제에 답하시오.
(조건 1) \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{2x^2 + 1} = -2\) (조건 2) \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x - 2} = 5\)

[문항 3-1] (6점) 조건 1을 이용하여 다항함수 \(f(x)\)의 차수와 삼차항·이차항의 계수를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 조건 2를 이용하여 \(f(x)\)의 일차항 계수 \(a\)와 상수항 \(b\)를 구하여 \(f(x)\)를 완성하시오.

[문항 3-3] (7점) \(f(3)\)의 값을 구하시오.

[서울여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 + [3-2] 7점 + [3-3] 7점 = 20점)]

• [문항 3-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 3-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 3-3] (7점) 풀이 및 답안 :

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (실전 문제집 및 답안 작성란) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 4] 곡선 밖의 한 점에서 그은 두 접선과 접점 삼각형의 넓이

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05]

<제시문 (가)> 곡선 \(y = f(x)\) 밖의 한 점 \((x_1, y_1)\)에서 곡선에 그은 접선의 방정식을 구할 때는 접점의 좌표를 \((t, f(t))\)로 놓고 접선의 방정식 \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\)에 \((x_1, y_1)\)을 대입하여 \(t\)의 값을 구한다.

점 \(\mathrm{P}(1, -1)\)에서 이차함수 \(y = x^2 - 1\)의 그래프에 그은 두 접선의 접점을 각각 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 접점의 좌표를 \((t, t^2 - 1)\)이라 할 때, 점 \((t, t^2 - 1)\)에서의 접선의 방정식을 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 4-2] (7점) 이 접선이 점 \(\mathrm{P}(1, -1)\)을 지남을 이용하여 두 접점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)의 좌표를 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 세 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{A}, \mathrm{B}\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(\mathrm{PAB}\)의 넓이를 구하시오.

[서울여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 + [4-2] 7점 + [4-3] 7점 = 20점)]

• [문항 4-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 4-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 4-3] (7점) 풀이 및 답안 :

2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (실전 문제집 및 답안 작성란) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 5] 정적분의 선형성과 대칭구간·절댓값 정적분의 계산

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([-a, a]\)에서 연속인 함수에 대하여 우함수는 \(\int_{-a}^{a} x^{2n}\,dx = 2\int_{0}^{a} x^{2n}\,dx\)이고, 기함수는 \(\int_{-a}^{a} x^{2n-1}\,dx = 0\)이다.
<제시문 (나)> 절댓값 기호가 포함된 정적분 \(\int_{a}^{b} |f(x)|\,dx\)는 \(f(x) = 0\)이 되는 점을 경계로 적분 구간을 나누어 계산한다.

제시문 (가)와 (나)를 바탕으로 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분 \(A = \int_{-2}^{2} (x^3 + 2x^2 - 7x + 1)\,dx + \int_{2}^{-2} (x^3 - x^2 + 3x - 2)\,dx\)의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 정적분 \(B = \int_{0}^{3} |x^2 - 2x|\,dx\)의 값을 구간을 나누어 구하시오.

[문항 5-3] (7점) \(A + 3B\)의 값을 구하시오.

[서울여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 + [5-2] 7점 + [5-3] 7점 = 20점)]

• [문항 5-1] (6점) 풀이 및 답안 :

• [문항 5-2] (7점) 풀이 및 답안 :

• [문항 5-3] (7점) 풀이 및 답안 :