[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02, 12대수01-03]
<제시문 (가)> 실수 \(a\)와 \(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 방정식 \(x^n = a\)의 실근은 \(n\)이 홀수일 때 \(a\)의 부호에 관계없이 \(\sqrt[n]{a}\)의 \(1\)개이고, \(n\)이 짝수일 때는 \(a \gt 0\)이면 \(\pm\sqrt[n]{a}\)의 \(2\)개, \(a = 0\)이면 \(1\)개, \(a \lt 0\)이면 \(0\)개이다.
<제시문 (나)> 양수 \(a, b\)와 유리수 \(r, s\)에 대하여 \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)으로 정의하면 지수법칙 \(a^r a^s = a^{r+s}\), \((a^r)^s = a^{rs}\)가 성립한다.
제시문 (가)와 (나)를 바탕으로 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) \(2\) 이상 \(6\) 이하의 자연수 \(n\)에 대하여 실수 \(n - 4\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(n)\)이라 할 때, \(f(2), f(3), f(4), f(5), f(6)\)의 값을 각각 구하고 그 합을 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 양수 \(a\)에 대하여 \(\sqrt[3]{a^2} \times \sqrt[4]{a^3} \div \sqrt[12]{a^5} = a^k\)을 만족시키는 유리수 \(k\)의 값을 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 위에서 구한 \(k\)에 대하여 \(a^k = 6\)일 때, \(a^{2k} + a^{-2k}\)의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.
🎯 모범 정답 : [1-1] \(0, 1, 1, 1, 2\), 합 \(= 5\) | [1-2] \(k = 1\) | [1-3] \(\dfrac{1297}{36}\)
[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 \(n\)이 홀수(\(3, 5\))이면 \(f(n)=1\)이고, \(n\)이 짝수(\(2, 4, 6\))이면 \(n-4\)의 부호에 따라 개수가 결정된다. 또한 제시문 (나)에 의해 거듭제곱근을 유리수 지수로 변환한다.
[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f(2)=0\;(2-4\lt 0)\), \(f(3)=1\), \(f(4)=1\;(4-4=0)\), \(f(5)=1\), \(f(6)=2\;(6-4\gt 0)\)이므로 합은 \(0+1+1+1+2 = 5\)이다. 또한 \(a^{\frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{5}{12}} = a^{\frac{8+9-5}{12}} = a^1\)이므로 \(k = 1\)이다.
[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(a^k = a = 6\)이므로 \(a^{2k} + a^{-2k} = 6^2 + 6^{-2} = 36 + \dfrac{1}{36} = \dfrac{1297}{36}\)이다.
| 배점 단계 (총 20점) | 서울여자대학교 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준 |
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| 소문항 [1-1] (6점) | • \(n\)의 홀짝과 \(n-4\)의 부호별 \(f(n)\) 5개 값 산출 +4점 / 총합 \(5\) 도출 +2점 |
| 소문항 [1-2] (7점) | • 유리수 지수 변환 \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{12}\) 식 작성 +4점 / \(k = 1\) 산출 +3점 |
| 소문항 [1-3] (7점) | • \(a^{2k} = 36,\; a^{-2k} = \dfrac{1}{36}\) 계산 +4점 / \(\dfrac{1297}{36}\) 도출 +3점 |
💡 감점 방어 클리닉: \(n = 4\)는 짝수이지만 \(4 - 4 = 0\)이므로 \(0\)의 네제곱근은 \(0\) 하나뿐(\(f(4) = 1\))임에 유의하세요.