2027학년도 대비 서울여자대학교 수리논술 모의고사 1회 (문제집)  |  제1회 (자연계열 수리논술 표준 — 거듭제곱근실수개수·부채꼴최대넓이·곱함수연속·미분계수정의·원함수복원)
2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (실전 문제집 및 답안 작성란) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 1] 거듭제곱근의 실수 개수와 유리수 지수법칙의 논증

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02, 12대수01-03]
<제시문 (가)> 실수 \(a\)와 \(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 방정식 \(x^n = a\)의 실근은 \(n\)이 홀수일 때 \(a\)의 부호에 관계없이 \(\sqrt[n]{a}\)의 \(1\)개이고, \(n\)이 짝수일 때는 \(a \gt 0\)이면 \(\pm\sqrt[n]{a}\)의 \(2\)개, \(a = 0\)이면 \(1\)개, \(a \lt 0\)이면 \(0\)개이다.
<제시문 (나)> 양수 \(a, b\)와 유리수 \(r, s\)에 대하여 \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)으로 정의하면 지수법칙 \(a^r a^s = a^{r+s}\), \((a^r)^s = a^{rs}\)가 성립한다.
제시문 (가)와 (나)를 바탕으로 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) \(2\) 이상 \(6\) 이하의 자연수 \(n\)에 대하여 실수 \(n - 4\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(n)\)이라 할 때, \(f(2), f(3), f(4), f(5), f(6)\)의 값을 각각 구하고 그 합을 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 양수 \(a\)에 대하여 \(\sqrt[3]{a^2} \times \sqrt[4]{a^3} \div \sqrt[12]{a^5} = a^k\)을 만족시키는 유리수 \(k\)의 값을 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 위에서 구한 \(k\)에 대하여 \(a^k = 6\)일 때, \(a^{2k} + a^{-2k}\)의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.
[서울여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 + [1-2] 7점 + [1-3] 7점 = 20점)]

• [문항 1-1] (6점) 풀이 및 답안 :



• [문항 1-2] (7점) 풀이 및 답안 :



• [문항 1-3] (7점) 풀이 및 답안 :
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[대문항 2] 부채꼴의 호의 길이·넓이와 둘레가 일정할 때 최대 넓이 논증

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.9 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-01]
<제시문 (가)> 반지름의 길이가 \(r\)이고 중심각의 크기가 \(\theta\) (라디안)인 부채꼴의 호의 길이 \(l\)과 넓이 \(S\)는 각각 \(l = r\theta\), \(S = \dfrac{1}{2}r^2\theta = \dfrac{1}{2}rl\)이다.
<제시문 (나)> 부채꼴의 둘레의 길이는 두 반지름의 길이와 호의 길이의 합인 \(2r + l\)과 같다.
둘레의 길이가 \(24\)로 일정한 부채꼴 \(\mathrm{OAB}\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 부채꼴의 반지름의 길이를 \(r\)라 할 때, 호의 길이 \(l\)을 \(r\)에 대한 식으로 나타내고 반지름 \(r\)의 값의 범위를 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 부채꼴의 넓이 \(S(r)\)를 \(r\)에 대한 이차함수로 나타내고, 넓이가 최대가 될 때의 반지름 \(r\)와 최대 넓이 \(S_{\max}\)를 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 부채꼴의 넓이가 최대일 때의 중심각의 크기 \(\theta\) (라디안)를 구하시오.
[서울여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 + [2-2] 7점 + [2-3] 7점 = 20점)]

• [문항 2-1] (6점) 풀이 및 답안 :



• [문항 2-2] (7점) 풀이 및 답안 :



• [문항 2-3] (7점) 풀이 및 답안 :
2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (실전 문제집 및 답안 작성란) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 3] 구간별 함수의 좌·우극한과 곱함수의 연속성 논증

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.7 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03]
<제시문 (가)> 함수 \(f(x)\)에서 \(x = a\)에서의 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 그 값이 \(L\)로 같을 때 \(\lim_{x \to a} f(x) = L\)이다.
<제시문 (나)> 함수 \(h(x)\)가 \(x = a\)에서 연속이려면 \(\lim_{x \to a-} h(x) = \lim_{x \to a+} h(x) = h(a)\)가 성립해야 한다.
함수 \(f(x) = \begin{cases} x + 3 & (x \lt 1) \\ -x + 2 & (x \ge 1) \end{cases}\)와 일차함수 \(g(x) = 2x + k\) (\(k\)는 상수)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 함수 \(f(x)\)의 \(x = 1\)에서의 좌극한 \(\lim_{x \to 1-} f(x)\), 우극한 \(\lim_{x \to 1+} f(x)\), 함숫값 \(f(1)\)을 각각 구하시오.
[문항 3-2] (7점) 곱함수 \(h(x) = f(x)g(x)\)가 \(x = 1\)에서 연속이 되도록 하는 상수 \(k\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[문항 3-3] (7점) 위에서 구한 \(k\)에 대하여 함수 \(\{f(x)\}^2 + g(x)\)가 \(x = 1\)에서 연속인지 불연속인지 판정하고 그 이유를 서술하시오.
[서울여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 + [3-2] 7점 + [3-3] 7점 = 20점)]

• [문항 3-1] (6점) 풀이 및 답안 :



• [문항 3-2] (7점) 풀이 및 답안 :



• [문항 3-3] (7점) 풀이 및 답안 :
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[대문항 4] 미분계수의 정의와 극한 변형을 이용한 접선 방정식

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-05]
<제시문 (가)> 함수 \(y = f(x)\)의 \(x = a\)에서의 미분계수는 \(f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}\)이다.
<제시문 (나)> 미분계수 \(f'(a)\)는 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((a, f(a))\)에서의 접선의 기울기를 나타낸다.
다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - 5}{x - 2} = 3\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(f(2)\)와 \(f'(2)\)의 값을 각각 구하고, 그 이유를 서술하시오.
[문항 4-2] (7점) 극한 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + 3h) - f(2 - h)}{h}\)의 값을 미분계수의 정의를 이용하여 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 곡선 \(y = x f(x)\) 위의 \(x = 2\)인 점에서의 접선의 방정식을 구하시오.
[서울여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 + [4-2] 7점 + [4-3] 7점 = 20점)]

• [문항 4-1] (6점) 풀이 및 답안 :



• [문항 4-2] (7점) 풀이 및 답안 :



• [문항 4-3] (7점) 풀이 및 답안 :
2027학년도 대비 서울여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (실전 문제집 및 답안 작성란) 대문항 5세트 (90분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20%)

[대문항 5] 도함수와 극값 조건을 이용한 부정적분 원함수 복원

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 문제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-02-07]
<제시문 (가)> 함수 \(f(x)\)의 도함수가 \(f'(x)\)일 때, \(f(x) = \int f'(x)\,dx = F(x) + C\) (\(C\)는 적분상수)이다.
<제시문 (나)> 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(x = a\)에서 극값을 가지면 \(f'(a) = 0\)이고, \(x = a\)의 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 극대, 음에서 양으로 바뀌면 극소이다.
삼차함수 \(f(x)\)의 도함수가 이차함수 \(f'(x) = 3x^2 + ax - 9\)이고, \(f(x)\)는 \(x = 1\)에서 극솟값 \(-7\)을 가질 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)
[문항 5-1] (6점) 상수 \(a\)의 값을 구하고, 함수 \(f(x)\)가 극댓값을 갖는 \(x\)의 값을 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 부정적분을 이용하여 함수 \(f(x)\)의 식을 구하고, 함수 \(f(x)\)의 극댓값을 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 정적분 \(\int_{-1}^{1} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.
[서울여자대학교 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 + [5-2] 7점 + [5-3] 7점 = 20점)]

• [문항 5-1] (6점) 풀이 및 답안 :



• [문항 5-2] (7점) 풀이 및 답안 :



• [문항 5-3] (7점) 풀이 및 답안 :