2027학년도 대비 성신여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회)

2027학년도 대비 성신여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (해설집) 100분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 2합7

[대문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: GEOM_Ch02_비상) PDF p.35 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]

<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 2^{x - 278} + 278\)와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 \(y - x = 0\cdot 560\)에 대하여 서로 대칭이다.
<제시문 (나)> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 560\)은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 560)\)도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.

직선 \(y = -x + 560\)이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 560)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 560\)임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 \(\mathrm{M}(280, 280)\)의 좌표를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 280)\)일 때, \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 560)\)를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 \(x + y - 560 = 0\)까지의 거리 \(h = \dfrac{560}{\sqrt{2}}\)를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(x_1 + x_2 = 560,\; \mathrm{M}(280, 280)\) | [1-2] \(\mathrm{P}(279, 281),\; \mathrm{Q}(281, 279)\) | [1-3] 넓이 \(S = 560\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 두 교점은 직선 \(x + y = 560\) 위에 있고 역함수 대칭이므로 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 560\)이며 중점은 \(\mathrm{M}(280, 280)\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 기울기가 \(-1\)인 직선 위의 두 점 거리 공식에서 \(\sqrt{2}(x_2 - x_1) = 2\sqrt{2} \implies x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 560)\)이므로 연립하면 \(\mathrm{P}(279, 281),\; \mathrm{Q}(281, 279)\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 원점에서 직선 \(x + y - 560 = 0\)까지의 거리는 \(h = \dfrac{560}{\sqrt{2}}\)이므로 삼각형 OPQ의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{560}{\sqrt{2}} = 560\)이다.

평가 소문항	성신여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역함수 대칭 \(x_1 + x_2 = 560\) 유도 +3점 / 중점 \(\mathrm{M}(280, 280)\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 거리 공식 \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 560)\) 도출 +3점 / 좌표 \(\mathrm{P}(279, 281),\; \mathrm{Q}(281, 279)\) 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 원점과 직선 사이 거리 \(h = \dfrac{560}{\sqrt{2}}\) 계산 +4점 / 삼각형 넓이 \(S = 560\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 560\) 위에서 두 점의 좌표 차가 주어지면 대칭축 중점 \(\mathrm{M}(280, 280)\)을 기준으로 좌표를 즉시 결정할 수 있습니다.

[대문항 2] 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{7a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{281}\right)\)을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 7\)가 되어 역수 수열은 공차가 \(7\)인 등차수열을 이룬다.
<제시문 (나)> 자연수 \(n\)에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 \(n = 1\;(a_1 = 1/281)\)일 때 성립함을 보이고, \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하여 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 연역한다.

첫째항이 \(a_1 = \dfrac{1}{281}\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{7a_n + 1}\)을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 281\right)\)을 이용하여 \(b_n = 7n + 274\)와 \(a_n\)의 일반항을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{7n + 274}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 2-3] (7점) 부분분수 항등식 \(7a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)을 이용하여 급수 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{98631}\)의 값을 유도하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(b_n = 7n + 274,\; a_n = \dfrac{1}{7n + 274}\) | [2-2] 수학적 귀납법 증명 완료 | [2-3] \(\dfrac{10}{281\times 351} = \dfrac{10}{98631}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 역수 치환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 281\right)\)에서 \(b_{n+1} - b_n = 7\)이므로 \(b_n = 281 + 7(n - 1) = 7n + 274\)이고 \(a_n = \dfrac{1}{7n + 274}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] (i) 초기항 \(a_1 = \dfrac{1}{281}\) 성립. (ii) \(a_k = \dfrac{1}{7k + 274}\)이라 가정하면 \(a_{k+1} = \dfrac{a_k}{7a_k + 1} = \dfrac{1}{7(k+1) + 274}\)이므로 모든 자연수에서 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 부분분수 분해에 의해 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{1}{7}\left(\dfrac{1}{281} - \dfrac{1}{351}\right) = \dfrac{10}{98631}\)이다.

평가 소문항	성신여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 역수 등차수열 \(b_n = 7n + 274\) 유도 +3점 / 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{7n + 274}\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 초기 조건 \(a_1 = \dfrac{1}{281}\) 확인 +2점 / 귀납 가정 후 \(a_{k+1} = \dfrac{1}{7(k+1) + 274}\) 연역 +5점
소문항 [2-3]	• 망원급수 변형 \(\dfrac{1}{7}\left(\dfrac{1}{281} - \dfrac{1}{351}\right)\) +4점 / 합 \(\dfrac{10}{98631}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 원래 점화식의 분모를 곱하면 \(7a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)이 바로 유도되어 망원급수 소거가 한 줄로 정리됩니다.

[대문항 3] 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 삼차다항함수 결정 및 접선 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수의 도함수는 정의에 의하여 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\;\left(f'(0) = 282\right)\)로 정의된다.
<제시문 (나)> 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 성립하는 항등식 \(f(x+y) = f(x) + f(y) + 15xy(x+y) - 278\)이 주어지면 원점 대입으로 \(f(0) = 278\)를 먼저 결정한다.

미분가능한 다항함수가 모든 실수에 대하여 등식 \(f(x + y) = f(x) + f(y) + 15xy(x + y) - 278\)을 만족시키고 \(f'(0) = 282\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 원점 대입으로 \(f(0) = 278\)를 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 \(f'(x) = 15x^2 + 282\)임을 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 부정적분으로 함수 \(f(x) = 5x^3 + 282x + 278\)를 결정하고, 곡선 위의 점 \((1, 565)\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한값 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}\;\left(f'(2) = 342\right)\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(f(0) = 278,\; f'(x) = 15x^2 + 282\) | [3-2] \(f(x) = 5x^3 + 282x + 278\), 접선 \(y = 297x + 268\) | [3-3] \(\dfrac{342}{4}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 함수방정식에 원점을 대입하면 \(f(0) = 2f(0) - 278 \implies f(0) = 278\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 도함수 정의에 대입하면 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - 278 + 15xh(x+h)}{h} = 15x^2 + 282\)이므로 적분하면 \(f(x) = 5x^3 + 282x + 278\)이고, 점 \((1, 565)\)에서의 접선은 \(y = 297x + 268\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 분모를 인수분해하면 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{342}{4}\)이다.

평가 소문항	성신여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• \(f(0) = 278\) 산출 +2점 / 도함수 정의로 \(f'(x) = 15x^2 + 282\) 유도 +4점
소문항 [3-2]	• \(f(x) = 5x^3 + 282x + 278\) 결정 +4점 / 접선 \(y = 297x + 268\) 도출 +3점
소문항 [3-3]	• 미분계수 식 \(\dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{342}{4}\) 변형 +4점 / 극한값 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 도함수 정의식을 전개할 때 상수항 \(-278\)를 \(-f(0)\)으로 바꾸어 \(\dfrac{f(h)-f(0)}{h} \to f'(0) = 282\)를 명시해야 감점이 없습니다.

[대문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 \(t\;(0 \le t \le 822)\)에서의 위치 차 함수를 \(h(t) = t(t - 822)^2\)라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 \(h'(t)\)이다.
<제시문 (나)> 닫힌구간 \([0, 822]\)에서 두 점 사이의 거리 \(D(t) = |t(t - 822)^2|\)는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치 차 함수가 \(h(t) = t^3 - 1644t^2 + 675684t = t(t - 822)^2\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 \(t_1 = 822\)를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 \(h'(822) = 0\)의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 822]\)에서 도함수 \(h'(t) = 3(t - 274)(t - 822)\)의 부호를 조사하여 거리 최댓값 \(D(274) = 82283296\)를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 \(h''(t) = 6t - 3288 = 0\)이 되는 시각 \(t_2 = 548\)와 그때 두 점 사이의 거리 \(D(548) = 41141648\)를 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(t_1 = 822,\; h'(822) = 0\) | [4-2] \(t = 274\)에서 최댓값 \(82283296\) | [4-3] \(t_2 = 548,\; D(548) = 41141648\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 위치 차 \(h(t) = t(t - 822)^2 = 0\;(t \gt 0)\)에서 \(t_1 = 822\)이고, 도함수 \(h'(t) = 3(t - 274)(t - 822)\)에 대입하면 \(h'(822) = 0\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 구간 \([0, 822]\)에서 내부 극대점은 \(t = 274\)이므로 최댓값은 \(D(274) = 274(-548)^2 = 82283296\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 이계도함수 \(h''(t) = 6t - 3288 = 0\)에서 \(t_2 = 548\)이고, 그때의 거리는 \(D(548) = 548(-274)^2 = 41141648\)이다.

평가 소문항	성신여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• \(t_1 = 822\) 도출 +3점 / 속도 차 \(h'(822) = 0\) 확인 +3점
소문항 [4-2]	• \(h'(t) = 3(t - 274)(t - 822) = 0\) 극대 판정 +4점 / 최댓값 \(82283296\) 산출 +3점
소문항 [4-3]	• \(h''(t) = 6t - 3288 = 0 \implies t_2 = 548\) 도출 +3점 / 거리 \(41141648\) 계산 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수 비율 관계(\(1 : 2 : 3\))에 의해 원점 \(t=0\), 극대 \(t=274\), 변곡 \(t=548\), 접점 \(t=822\)이 등간격 \(274\)로 배열됩니다.

[대문항 5] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 275)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (275, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{275} (-6x^2 + 1650x)\,dx = 20796875\)이다.
<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{275}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(20796875\)를 정확히 이등분한다.

포물선 \(C : y = -6x^2 + 1650x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 825x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 1650x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 20796875\)를 유도하시오.

[문항 5-2] (7점) 직선 \(x = k\)가 넓이 \(S = 20796875\)를 이등분하는 상수 \(k = \dfrac{275}{2}\)를 구하고, \(\int_0^{275/2} (-6x^2 + 1650x)\,dx = \dfrac{20796875}{2}\)임을 확인하시오.

[문항 5-3] (7점) 포물선 \(y = -6x^2 + 1650x\)와 직선 \(y = 825x\)의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1 = \dfrac{20796875}{8}\)을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(S = 20796875\) | [5-2] \(k = \dfrac{275}{2},\; \text{정적분 } \dfrac{20796875}{2}\) | [5-3] 교점 \(x = 0, \dfrac{275}{2}\), 넓이 \(S_1 = \dfrac{20796875}{8}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 정적분을 계산하면 \(S = \left[-2x^3 + 825x^2\right]_0^{275} = -2(275)^3 + 3(275)^3 = 20796875\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 포물선의 대칭축 \(x = \dfrac{275}{2}\)에 의해 \(k = \dfrac{275}{2}\)이고, 실제로 \(\left[-2x^3 + 825x^2\right]_0^{275/2} = -\dfrac{20796875}{4} + \dfrac{3\times 20796875}{4} = \dfrac{20796875}{2}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 연립방정식 \(-6x^2 + 1650x = 825x \implies 6x\left(x - \dfrac{275}{2}\right) = 0\)이므로 교점은 \(x = 0, \dfrac{275}{2}\)이고 넓이는 \(S_1 = \int_0^{275/2} (-6x^2 + 825x)\,dx = \dfrac{20796875}{8}\)이다.

평가 소문항	성신여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 원시함수 \(-2x^3 + 825x^2\) 적분 +3점 / 넓이 \(S = 20796875\) 도출 +3점
소문항 [5-2]	• 대칭축 \(k = \dfrac{275}{2}\) 도출 +3점 / 구간 \([0, 275/2]\) 적분값 \(\dfrac{20796875}{2}\) 확인 +4점
소문항 [5-3]	• 교점 \(x = \dfrac{275}{2}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S_1 = \dfrac{20796875}{8}\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 이차항 계수가 \(-6\)이고 두 교점의 차가 \(\beta - \alpha = \dfrac{275}{2}\)일 때 둘러싸인 넓이는 항상 \((\beta - \alpha)^3 = \dfrac{20796875}{8}\)이 됩니다.

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