2027학년도 대비 성신여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회)

2027학년도 대비 성신여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제4회 (해설집) 100분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 2합7

[대문항 1] 유리수 지수의 거듭제곱 대칭식과 인수분해 항등식 추론 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: GEOM_Ch02_비상) PDF p.33 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]

<제시문 (가)> 양수 \(x\)에 대하여 \(u = x^{1/2}\;\left(u + u^{-1} = \sqrt{282}\right)\)로 치환하면 지수법칙에 의하여 \(x + x^{-1} = u^2 + u^{-2} = 280\)이다.
<제시문 (나)> \(u + u^{-1} = \sqrt{282}\)일 때 세제곱 곱셈 공식 \(u^3 + u^{-3} = (u + u^{-1})^3 - 3(u + u^{-1}) = 279\sqrt{282}\)이 성립한다.

양수 \(x\)가 \(x^{1/2} + x^{-1/2} = \sqrt{282}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 제곱 공식을 이용하여 \(x + x^{-1} = 280\)임을 보이고 \(x^2 + x^{-2} = 78398\)의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 279\sqrt{282}\)과 \(x^3 + x^{-3} = 21951160\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 완전제곱 항등식을 이용하여 분수식 \(\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{3/2} + x^{-3/2}} = \dfrac{21951162}{279\sqrt{282}}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(x + x^{-1} = 280,\; x^2 + x^{-2} = 78398\) | [1-2] \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 279\sqrt{282},\; x^3 + x^{-3} = 21951160\) | [1-3] \(279\sqrt{282}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제곱 공식에서 \(x + x^{-1} = (\sqrt{282})^2 - 2 = 280\)이고, 다시 제곱하면 \(x^2 + x^{-2} = 280^2 - 2 = 78398\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 세제곱 공식에서 \(x^{3/2} + x^{-3/2} = (\sqrt{282})^3 - 3\sqrt{282} = 279\sqrt{282}\)이고, \(x^3 + x^{-3} = 280^3 - 3\times 280 = 21951160\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 분자 \(x^3 + x^{-3} + 2 = 21951162 = (279\sqrt{282})^2\)이므로 분모 \(279\sqrt{282}\)로 약분하면 \(279\sqrt{282}\)이다.

평가 소문항	성신여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(x + x^{-1} = 280\) 유도 +3점 / \(x^2 + x^{-2} = 78398\) 산출 +3점
소문항 [1-2]	• \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 279\sqrt{282}\) 도출 +3점 / \(x^3 + x^{-3} = 21951160\) 계산 +4점
소문항 [1-3]	• 분자 \(21951162\) 완전제곱 변형 +4점 / 약분 결과 \(279\sqrt{282}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분자 \(21951162 = (279\sqrt{282})^2\)임을 활용하면 큰 수의 유리화 없이 한 번의 약분으로 정확한 값을 얻을 수 있습니다.

[대문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]

<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=813,\; c=1355\right)\)와 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=1897\right)\)이 성립한다.
<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 \(S\)와 둘레의 길이 \(a + b + c = 4065\), 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{4065}{2}r\)가 성립한다.

삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 \(b = 813,\; c = 1355\)이고 끼인각이 \(A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=813\right)\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 \(a = 1897\)의 길이를 유도하시오.

[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 \(R = \dfrac{1897\sqrt{3}}{3}\)과 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{1101615\sqrt{3}}{4}\)를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r = \dfrac{271\sqrt{3}}{2}\)를 구하고 반지름의 곱 \(R\cdot r\)을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(a = 1897\) | [2-2] \(R = \dfrac{1897\sqrt{3}}{3},\; S = \dfrac{1101615\sqrt{3}}{4}\) | [2-3] \(r = \dfrac{271\sqrt{3}}{2},\; R\cdot r = \dfrac{514087}{2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 코사인법칙에서 \(a^2 = 813^2 + 1355^2 - 2(813)(1355)(-1/2) = 49\times 271^2\)이므로 \(a = 1897\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 사인법칙에서 \(2R = \dfrac{1897}{\sqrt{3}/2} \implies R = \dfrac{1897\sqrt{3}}{3}\)이고, 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}\times 813\times 1355\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1101615\sqrt{3}}{4}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 둘레가 \(a + b + c = 4065\)이므로 \(\dfrac{4065}{2}r = \dfrac{1101615\sqrt{3}}{4} \implies r = \dfrac{271\sqrt{3}}{2}\)이고 \(R\cdot r = \dfrac{514087}{2}\)이다.

평가 소문항	성신여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 코사인법칙 대입 \(a^2 = 49\times 271^2\) +3점 / \(a = 1897\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 외접원 반지름 \(R = \dfrac{1897\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S = \dfrac{1101615\sqrt{3}}{4}\) 계산 +4점
소문항 [2-3]	• 내접원 반지름 \(r = \dfrac{271\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점 / 곱 \(R\cdot r = \dfrac{514087}{2}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 끼인각이 \(120^\circ\)이고 두 변의 비가 \(3 : 5\)인 둔각삼각형은 대변의 비가 항상 \(7\)이 되는 대표적인 정수비 삼각형(\(3\times 271 : 5\times 271 : 7\times 271\))입니다.

[대문항 3] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 4x^3}{x^2} = -2743\)을 만족시키면 최고차항 계수가 \(4\)인 삼차함수이다.
<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 274} \dfrac{f(x)}{(x - 274)^2} = 545\)이 수렴하면 인수정리에 의해 \(f(x) = (x - 274)^2(4x + r)\) 꼴로 인수분해된다.

삼차다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 4x^3}{x^2} = -2743\)과 \(\lim_{x \to 274} \dfrac{f(x)}{(x - 274)^2} = 545\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 274)^2(4x + r)\)로 놓고 상수 \(r = -551\)을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 구한 함수 \(f(x) = (x - 274)^2(4x + -551)\)이 무한대 극한 조건 \(-2743\)을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.

[문항 3-3] (7점) 함숫값 \(f(276) = 2212\)의 값과 \(x = 274\)에서의 미분계수 \(f'(274) = 0\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(r = -551\) | [3-2] 이차항 계수 \(-2743\) 일치 검증 완료 | [3-3] \(f(276) = 2212,\; f'(274) = 0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (나)의 극한식에 대입하면 \(\lim_{x \to 274} (4x + r) = 1096 + r = 545\)이므로 \(r = -551\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 전개하면 \(f(x) = (x^2 - 548x + 75076)(4x + -551) = 4x^3 + (-2743)x^2 + \cdots\)이므로 이차항 계수 \(-2743\)이 정확히 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x = 276\)를 대입하면 \(f(276) = 4(1104 + -551) = 2212\)이고, \((x - 274)^2\)을 인수로 가지므로 \(f'(274) = 0\)이다.

평가 소문항	성신여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 인수분해 꼴 설정 +3점 / 극한 대입으로 \(r = -551\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 삼차식 전개 후 이차항 계수 \(-2743\) 확인 +7점
소문항 [3-3]	• \(f(276) = 2212\) 산출 +4점 / 중근 성질로 \(f'(274) = 0\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분모에 \((x - 274)^2\)이 있을 때 극한이 수렴하려면 분자는 \(x = 274\)을 반드시 중근 이상으로 가져야 합니다.

[대문항 4] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x) = x^3 + 798x + 2\)에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 \(f'(c) = 3c^2 + 798\)인 \(c\)가 존재한다.
<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 \(f'(x) = 3x^2 + 798 \gt 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)가 존재하며 \(g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 798}\)이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 \(f(x) = x^3 + 798x + 2\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 부등식 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 798(x_2 - x_1)\)이 성립함을 증명하시오.

[문항 4-2] (7점) \(f(0) = 2,\; f(1) = 801\)임을 이용하여 역함수의 미분계수 \(g'(2) = \dfrac{1}{798}\)와 \(g'(801) = \dfrac{1}{801}\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 \((801, 1)\)에서의 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{801}x\)를 구하고, \(\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(801)} = 1599\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(f'(c) = 3c^2 + 798 \ge 798\) 증명 완료 | [4-2] \(g'(2) = \dfrac{1}{798},\; g'(801) = \dfrac{1}{801}\) | [4-3] 접선 \(y = \dfrac{1}{801}x,\; \text{합 } 1599\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 평균값 정리에 의해 \(\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = 3c^2 + 798 \ge 798\)이고 \(x_2 - x_1 \gt 0\)이므로 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 798(x_2 - x_1)\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 역함수 미분법에 의해 \(g'(2) = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{798}\)이고 \(g'(801) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{801}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 점 \((801, 1)\)에서의 접선은 \(y - 1 = \dfrac{1}{801}(x - 801) \implies y = \dfrac{1}{801}x\)이고, 역수의 합은 \(798 + 801 = 1599\)이다.

평가 소문항	성신여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 평균값 정리 선언 및 \(f'(c) = 3c^2 + 798 \ge 798\) 서술 +6점
소문항 [4-2]	• \(g'(2) = \dfrac{1}{798}\) 산출 +3점 / \(g'(801) = \dfrac{1}{801}\) 산출 +4점
소문항 [4-3]	• 접선 \(y = \dfrac{1}{801}x\) 유도 +4점 / 역수 합 \(1599\) 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 역함수의 미분계수 \(g'(801)\)를 구할 때는 \(f(a) = 801\)를 만족시키는 원함수 위의 점 \(a = 1\)을 먼저 찾아야 합니다.

[대문항 5] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 273)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (273, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{273} (-6x^2 + 1638x)\,dx = 20346417\)이다.
<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{273}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(20346417\)를 정확히 이등분한다.

포물선 \(C : y = -6x^2 + 1638x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 819x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 1638x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 20346417\)를 유도하시오.

[문항 5-2] (7점) 직선 \(x = k\)가 넓이 \(S = 20346417\)를 이등분하는 상수 \(k = \dfrac{273}{2}\)를 구하고, \(\int_0^{273/2} (-6x^2 + 1638x)\,dx = \dfrac{20346417}{2}\)임을 확인하시오.

[문항 5-3] (7점) 포물선 \(y = -6x^2 + 1638x\)와 직선 \(y = 819x\)의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1 = \dfrac{20346417}{8}\)을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(S = 20346417\) | [5-2] \(k = \dfrac{273}{2},\; \text{정적분 } \dfrac{20346417}{2}\) | [5-3] 교점 \(x = 0, \dfrac{273}{2}\), 넓이 \(S_1 = \dfrac{20346417}{8}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 정적분을 계산하면 \(S = \left[-2x^3 + 819x^2\right]_0^{273} = -2(273)^3 + 3(273)^3 = 20346417\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 포물선의 대칭축 \(x = \dfrac{273}{2}\)에 의해 \(k = \dfrac{273}{2}\)이고, 실제로 \(\left[-2x^3 + 819x^2\right]_0^{273/2} = -\dfrac{20346417}{4} + \dfrac{3\times 20346417}{4} = \dfrac{20346417}{2}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 연립방정식 \(-6x^2 + 1638x = 819x \implies 6x\left(x - \dfrac{273}{2}\right) = 0\)이므로 교점은 \(x = 0, \dfrac{273}{2}\)이고 넓이는 \(S_1 = \int_0^{273/2} (-6x^2 + 819x)\,dx = \dfrac{20346417}{8}\)이다.

평가 소문항	성신여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 원시함수 \(-2x^3 + 819x^2\) 적분 +3점 / 넓이 \(S = 20346417\) 도출 +3점
소문항 [5-2]	• 대칭축 \(k = \dfrac{273}{2}\) 도출 +3점 / 구간 \([0, 273/2]\) 적분값 \(\dfrac{20346417}{2}\) 확인 +4점
소문항 [5-3]	• 교점 \(x = \dfrac{273}{2}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S_1 = \dfrac{20346417}{8}\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 이차항 계수가 \(-6\)이고 두 교점의 차가 \(\beta - \alpha = \dfrac{273}{2}\)일 때 둘러싸인 넓이는 항상 \((\beta - \alpha)^3 = \dfrac{20346417}{8}\)이 됩니다.

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