2027학년도 대비 성신여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 4회 문제집  |  4회 : 유리수 지수의 거듭제곱 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 무한대 극한과 영인자 · 평균값 정리를 이용한 · 포물선과 직선으로 둘러
2027학년도 대비 성신여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제4회 (문제집) 100분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 2합7

[대문항 1] 유리수 지수의 거듭제곱 대칭식과 인수분해 항등식 추론 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: (DB: GEOM_Ch02_비상) PDF p.33 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]
<제시문 (가)> 양수 \(x\)에 대하여 \(u = x^{1/2}\;\left(u + u^{-1} = \sqrt{282}\right)\)로 치환하면 지수법칙에 의하여 \(x + x^{-1} = u^2 + u^{-2} = 280\)이다.
<제시문 (나)> \(u + u^{-1} = \sqrt{282}\)일 때 세제곱 곱셈 공식 \(u^3 + u^{-3} = (u + u^{-1})^3 - 3(u + u^{-1}) = 279\sqrt{282}\)이 성립한다.
양수 \(x\)가 \(x^{1/2} + x^{-1/2} = \sqrt{282}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 제곱 공식을 이용하여 \(x + x^{-1} = 280\)임을 보이고 \(x^2 + x^{-2} = 78398\)의 값을 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 279\sqrt{282}\)과 \(x^3 + x^{-3} = 21951160\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 완전제곱 항등식을 이용하여 분수식 \(\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{3/2} + x^{-3/2}} = \dfrac{21951162}{279\sqrt{282}}\)의 값을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
성신여자대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 4회 : 유리수 지수의 거듭제곱 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 무한대 극한과 영인자 · 평균값 정리를 이용한 · 포물선과 직선으로 둘러 Page 1 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
2027학년도 대비 성신여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제4회 (문제집) 100분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 2합7

[대문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]
<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=813,\; c=1355\right)\)와 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=1897\right)\)이 성립한다.
<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 \(S\)와 둘레의 길이 \(a + b + c = 4065\), 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{4065}{2}r\)가 성립한다.
삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 \(b = 813,\; c = 1355\)이고 끼인각이 \(A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=813\right)\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 \(a = 1897\)의 길이를 유도하시오.
[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 \(R = \dfrac{1897\sqrt{3}}{3}\)과 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{1101615\sqrt{3}}{4}\)를 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r = \dfrac{271\sqrt{3}}{2}\)를 구하고 반지름의 곱 \(R\cdot r\)을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
성신여자대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 4회 : 유리수 지수의 거듭제곱 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 무한대 극한과 영인자 · 평균값 정리를 이용한 · 포물선과 직선으로 둘러 Page 2 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
2027학년도 대비 성신여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제4회 (문제집) 100분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 2합7

[대문항 3] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
<제시문 (가)> 다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 4x^3}{x^2} = -2743\)을 만족시키면 최고차항 계수가 \(4\)인 삼차함수이다.
<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 274} \dfrac{f(x)}{(x - 274)^2} = 545\)이 수렴하면 인수정리에 의해 \(f(x) = (x - 274)^2(4x + r)\) 꼴로 인수분해된다.
삼차다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 4x^3}{x^2} = -2743\)과 \(\lim_{x \to 274} \dfrac{f(x)}{(x - 274)^2} = 545\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 274)^2(4x + r)\)로 놓고 상수 \(r = -551\)을 구하시오.
[문항 3-2] (7점) 구한 함수 \(f(x) = (x - 274)^2(4x + -551)\)이 무한대 극한 조건 \(-2743\)을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.
[문항 3-3] (7점) 함숫값 \(f(276) = 2212\)의 값과 \(x = 274\)에서의 미분계수 \(f'(274) = 0\)의 값을 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
성신여자대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 4회 : 유리수 지수의 거듭제곱 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 무한대 극한과 영인자 · 평균값 정리를 이용한 · 포물선과 직선으로 둘러 Page 3 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
2027학년도 대비 성신여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제4회 (문제집) 100분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 2합7

[대문항 4] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
<제시문 (가)> 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x) = x^3 + 798x + 2\)에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 \(f'(c) = 3c^2 + 798\)인 \(c\)가 존재한다.
<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 \(f'(x) = 3x^2 + 798 \gt 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)가 존재하며 \(g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 798}\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 \(f(x) = x^3 + 798x + 2\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 부등식 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 798(x_2 - x_1)\)이 성립함을 증명하시오.
[문항 4-2] (7점) \(f(0) = 2,\; f(1) = 801\)임을 이용하여 역함수의 미분계수 \(g'(2) = \dfrac{1}{798}\)와 \(g'(801) = \dfrac{1}{801}\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 \((801, 1)\)에서의 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{801}x\)를 구하고, \(\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(801)} = 1599\)의 값을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
성신여자대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 4회 : 유리수 지수의 거듭제곱 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 무한대 극한과 영인자 · 평균값 정리를 이용한 · 포물선과 직선으로 둘러 Page 4 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
2027학년도 대비 성신여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제4회 (문제집) 100분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 2합7

[대문항 5] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 273)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (273, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{273} (-6x^2 + 1638x)\,dx = 20346417\)이다.
<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{273}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(20346417\)를 정확히 이등분한다.
포물선 \(C : y = -6x^2 + 1638x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 819x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 1638x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 20346417\)를 유도하시오.
[문항 5-2] (7점) 직선 \(x = k\)가 넓이 \(S = 20346417\)를 이등분하는 상수 \(k = \dfrac{273}{2}\)를 구하고, \(\int_0^{273/2} (-6x^2 + 1638x)\,dx = \dfrac{20346417}{2}\)임을 확인하시오.
[문항 5-3] (7점) 포물선 \(y = -6x^2 + 1638x\)와 직선 \(y = 819x\)의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1 = \dfrac{20346417}{8}\)을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
성신여자대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 4회 : 유리수 지수의 거듭제곱 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 무한대 극한과 영인자 · 평균값 정리를 이용한 · 포물선과 직선으로 둘러 Page 5 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본