$f(1) = 2^{1-1} = 1$, $f(2) = 2^{2-1} = 2$이므로 두 곡선과 직선 $y = x$의 교점은 $P(1, 1)$, $Q(2, 2)$이다.
따라서 선분 $PQ$의 길이는 $\overline{PQ} = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2}$이다.

방정식 $2^{x-1} = -x + 7$에서 좌변은 증가함수, 우변은 감소함수이므로 해는 유일하며 $x = 3$일 때 $2^2 = 4 = -3 + 7$로 성립한다.
따라서 $A(3, 4)$이고, 직선 $y = -x + 7$과 역함수 그래프는 모두 직선 $y = x$에 대하여 대칭이므로 $B(4, 3)$이다.
선분 $AB$의 길이는 $\overline{AB} = \sqrt{(4-3)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{2}$이다.

선분 $AB$의 중점은 $M\left(\dfrac{7}{2}, \dfrac{7}{2}\right)$이고 직선 $AB$는 직선 $y = x$와 수직이다.
점 $P(1, 1)$에서 중점 $M$까지의 거리는 $h_1 = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}$이므로 $\triangle PAB = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \dfrac{5\sqrt{2}}{2} = \dfrac{5}{2}$이다.
점 $Q(2, 2)$에서 중점 $M$까지의 거리는 $h_2 = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$이므로 $\triangle QAB = \dfrac{3}{2}$이고, $\triangle PAB - \triangle QAB = 1$이다.

$f(x) = 2\cos(\pi x) + 1$에서 주기는 $T = \dfrac{2\pi}{\pi} = 2$이다.
$-1 \le \cos(\pi x) \le 1$이므로 최댓값은 $2(1) + 1 = 3$이고, 최솟값은 $2(-1) + 1 = -1$이다.

구간 $[0, 2]$에서 곡선 $y = f(x)$는 직선 $x = 1$에 대하여 대칭이므로 $\dfrac{x_1 + x_2}{2} = 1 \implies x_1 + x_2 = 2$이다.
구간 $[2, 4]$에서 곡선 $y = f(x)$는 직선 $x = 3$에 대하여 대칭이므로 $\dfrac{x_3 + x_4}{2} = 3 \implies x_3 + x_4 = 6$이다.
따라서 네 실근의 합은 $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 2 + 6 = 8$이다.

$x_1 + x_2 = 2$이고 $x_2 - x_1 = \dfrac{2}{3}$이므로 두 식을 연립하면 $x_1 = \dfrac{2}{3}, \; x_2 = \dfrac{4}{3}$이다.
따라서 $k = f\left(\dfrac{2}{3}\right) = 2\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) + 1 = 0$이다.
또한 주기가 $2$이므로 $x_4 = x_2 + 2 = \dfrac{10}{3}$이고, $x_1 \cdot x_4 = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{10}{3} = \dfrac{20}{9}$이다.

$f(-2) = f(2) = 0$이고 $f'(x) = 4x(x^2 - 4) = 4x(x + 2)(x - 2)$이다.
열린구간 $(-2, 2)$에서 $f'(c) = 4c(c^2 - 4) = 0$을 만족시키는 상수는 $c = 0$이다.

$t = 2\sqrt{2}$일 때 $f(2\sqrt{2}) = (8 - 4)^2 = 16 = f(0)$이므로 평균변화율은 $\dfrac{16 - 16}{2\sqrt{2}} = 0$이다.
열린구간 $(0, 2\sqrt{2})$에서 $f'(c) = 4c(c^2 - 4) = 0$을 만족시키는 양수는 $c = 2$이다.

두 극소점은 $A(-2, 0), B(2, 0)$이고 극대점은 $C(0, 16)$이다.
삼각형 $ABC$는 밑변 $\overline{AB} = 4$, 높이 $16$인 이등변삼각형이므로 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 16 = 32$이다.
$\overline{AC} = \overline{BC} = \sqrt{2^2 + 16^2} = 2\sqrt{65}$이므로 삼각형의 둘레의 길이는 $4 + 4\sqrt{65}$이다.
따라서 내접원의 반지름 $r$는 $S = \dfrac{1}{2}r(4 + 4\sqrt{65}) = 2(1 + \sqrt{65})r = 32$에서 $r = \dfrac{\sqrt{65} - 1}{4}$이다.

$v(t) = -2t(t - 4) = 0$에서 $t = 4$일 때 운동 방향이 양에서 음으로 바뀐다.
$x(4) = \int_0^4 (-2t^2 + 8t)\,dt = \left[-\dfrac{2}{3}t^3 + 4t^2\right]_0^4 = \dfrac{64}{3}$이고, $x(5) = \dfrac{50}{3}$이므로
원점으로부터 가장 멀리 떨어져 있을 때의 시각은 $t = 4$, 위치는 $\dfrac{64}{3}$이다.

$t = 0$에서 $t = 5$까지 위치의 변화량은 $x(5) - x(0) = \dfrac{50}{3}$이다.
실제로 움직인 총 거리는
$L = \int_0^4 v(t)\,dt - \int_4^5 v(t)\,dt = \dfrac{64}{3} - \left(\dfrac{50}{3} - \dfrac{64}{3}\right) = \dfrac{78}{3} = 26$이다.

$0 < k < 4$에서 $v(t) > 0$이므로 움직인 거리는 $\int_0^k (-2t^2 + 8t)\,dt = -\dfrac{2}{3}k^3 + 4k^2$이고, 가속도는 $a(k) = v'(k) = -4k + 8$이다.
방정식 $-\dfrac{2}{3}k^3 + 4k^2 = -4k + 8 + \dfrac{32}{3} \iff k^3 - 6k^2 - 6k + 28 = (k - 2)(k^2 - 4k - 14) = 0$이다.
$0 < k < 4$인 해는 $k = 2$이다.