$t = 3^x$ ($t > 0$)로 치환하면 이차방정식 $t^2 - 4(k + 1)t + 9k = 0$의 두 양의 실근이 $t_1 = 3^\alpha, \; t_2 = 3^\beta$이다.
근과 계수의 관계에 의하여 $t_1 t_2 = 3^\alpha \cdot 3^\beta = 3^{\alpha + \beta} = 9k$이다.
$\alpha + \beta = 3$이므로 $3^3 = 27 = 9k \implies k = 3$이다.
이때 $3^\alpha + 3^\beta = t_1 + t_2 = 4(3 + 1) = 16$이다.

$3^\alpha + 3^\beta = 16$, $3^\alpha \cdot 3^\beta = 27$이므로 곱셈 공식의 변형에 의하여
$9^\alpha + 9^\beta = (3^\alpha + 3^\beta)^2 - 2 \cdot 3^\alpha \cdot 3^\beta = 16^2 - 2 \cdot 27 = 256 - 54 = 202$이다.

$k = 3$을 제시문 (다)의 부등식에 대입하면 $(\log_3 x)^2 - 3\log_3 x + 2 \le 0$이다.
$(\log_3 x - 1)(\log_3 x - 2) \le 0$에서 $1 \le \log_3 x \le 2$이므로 $3^1 \le x \le 3^2$, 즉 $3 \le x \le 9$이다.
따라서 이를 만족시키는 정수 $x$의 개수는 $9 - 3 + 1 = 7$개이다.

$a_5 - a_2 = 3d = -4 - (-13) = 9$이므로 공차는 $d = 3$이다.
첫째항은 $a_1 = a_2 - d = -13 - 3 = -16$이고, 일반항은 $a_n = -16 + 3(n - 1) = 3n - 19$이다.

$a_n = 3n - 19 \le 0 \iff n \le \dfrac{19}{3} = 6.33\cdots$이므로 제$6$항까지 음수($a_6 = -1$)이고 제$7$항부터 양수($a_7 = 2$)이다.
따라서 $S_n$은 $n = 6$일 때 최솟값을 가지며, 그 최솟값은
$S_6 = \dfrac{6(a_1 + a_6)}{2} = 3(-16 - 1) = -51$이다.

$1 \le k \le 6$일 때 $a_k < 0$이고 $k \ge 7$일 때 $a_k > 0$이므로
$T_{12} = -\sum_{k=1}^6 a_k + \sum_{k=7}^{12} a_k = -S_6 + (S_{12} - S_6) = S_{12} - 2S_6$이다.
$a_{12} = 36 - 19 = 17$이므로 $S_{12} = \dfrac{12(-16 + 17)}{2} = 6$이다.
따라서 $T_{12} = 6 - 2(-51) = 108$이다.

$g(x) = f(x) - x^2$에 대입하면 $g(0) = -2 < 0$, $g(1) = 2 > 0$, $g(2) = -3 < 0$, $g(3) = 2 > 0$이다.
$g(0)g(1) < 0$, $g(1)g(2) < 0$, $g(2)g(3) < 0$이므로 사잇값 정리에 의하여 열린구간 $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 3)$에 각각 적어도 하나의 실근이 존재하여 $(0, 3)$에서 적어도 $3$개의 실근을 갖는다.

$\lim_{x \to 1} \dfrac{P(x)}{x - 1} = 5$에서 분모가 $0$으로 가므로 $P(1) = 1 + a + b = 0 \implies b = -a - 1$이다.
$P'(x) = 3x^2 + a$이므로 $P'(1) = 3 + a = 5$에서 $a = 2$이고, $b = -3$이다.

$Q(x) = P(x) + 5 = x^3 + 2x + 2$라 하면 $Q'(x) = 3x^2 + 2 > 0$이므로 실수 전체에서 증가하는 연속함수이다.
$Q(-1) = -1 - 2 + 2 = -1 < 0$이고 $Q(0) = 2 > 0$이므로 $Q(-1)Q(0) < 0$이다.
따라서 사잇값 정리에 의하여 유일한 실근 $\gamma$는 열린구간 $(-1, 0)$에 속한다.

$K = \int_0^2 t f(t)\,dt$라 하면 $f(t) = 3t^2 - 4t + K$이다.
이를 $K$의 정의식에 대입하면
$K = \int_0^2 (3t^3 - 4t^2 + Kt)\,dt = \left[\dfrac{3}{4}t^4 - \dfrac{4}{3}t^3 + \dfrac{K}{2}t^2\right]_0^2 = 12 - \dfrac{32}{3} + 2K = \dfrac{4}{3} + 2K$이다.
따라서 $K = -\dfrac{4}{3}$이고, $f(x) = 3x^2 - 4x - \dfrac{4}{3}$이다.

$F(x) = \int_0^x \left(3t^2 - 4t - \dfrac{4}{3}\right)dt = x^3 - 2x^2 - \dfrac{4}{3}x$이다.
$F'(x) = f(x) = 3x^2 - 4x - \dfrac{4}{3} = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta$라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = \dfrac{4}{3}, \; \alpha\beta = -\dfrac{4}{9}$이다.
다항식 나눗셈에 의하여 $F(x) = \left(x^2 - \dfrac{4}{3}x - \dfrac{4}{9}\right)\left(x - \dfrac{2}{3}\right) - \dfrac{40}{27}x - \dfrac{8}{27}$이므로
$F(\alpha) + F(\beta) = -\dfrac{40}{27}(\alpha + \beta) - \dfrac{16}{27} = -\dfrac{208}{81}$이다.

직선 $y = mx$가 곡선 $y = x^3 - 2x^2 - \dfrac{4}{3}x$에 원점이 아닌 점 $x = t$ ($t \ne 0$)에서 접하려면 방정식 $x^3 - 2x^2 - \left(m + \dfrac{4}{3}\right)x = 0$이 $x = t \ne 0$를 중근으로 가져야 한다.
즉 이차방정식 $x^2 - 2x - \left(m + \dfrac{4}{3}\right) = 0$의 판별식이 $D/4 = 1 + m + \dfrac{4}{3} = 0$이어야 하므로 $m = -\dfrac{7}{3}$이다.