[성신여자대학교] 2027학년도 수리논술 모의고사 2회 해설
📝 [수학 1번 문항 해설 - 1/2]
💡 상세 해설 및 논증 전개 (1, 2)
(1) 일대일대응 증명 및 \(g'(0)\) 계산
함수 \(f(x) = e^{2x} - e^{-2x}\)의 도함수는 다음과 같다.
\[f'(x) = 2e^{2x} - (-2e^{-2x}) = 2e^{2x} + 2e^{-2x} = 2(e^{2x} + e^{-2x})\]
모든 실수 \(x\)에 대하여 \(e^{2x} > 0\)이고 \(e^{-2x} > 0\)이므로, \(f'(x) > 0\)이다.
따라서 \(f(x)\)는 실수 전체의 집합에서 엄격히 증가하는 일대일함수이다.
또한 \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\), \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\)이고 \(f(x)\)는 연속함수이므로 치역은 실수 전체이다.
따라서 \(f(x)\)는 일대일대응이며 역함수 \(g(x)\)가 존재한다.
\(f(0) = e^0 - e^0 = 0\)이므로 \(g(0) = 0\)이다. 역함수의 미분법에 의해:
\[g'(0) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{2(1 + 1)} = \mathbf{\frac{1}{4}}\]
(2) 역함수 \(g(x)\)의 식 직접 유도
\(y = e^{2x} - e^{-2x}\)에서 \(X = e^{2x} > 0\)이라 두면:
\[y = X - \frac{1}{X} \iff X^2 - yX - 1 = 0\]
근의 공식에 의하여 \(X = \frac{y \pm \sqrt{y^2 + 4}}{2}\)이다. \(X > 0\)이므로:
\[X = e^{2x} = \frac{y + \sqrt{y^2 + 4}}{2}\]
양변에 자연로그를 취하면 \(2x = \ln\left(\frac{y + \sqrt{y^2 + 4}}{2}\right)\)이므로,
\[x = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{y + \sqrt{y^2 + 4}}{2}\right)\]
따라서 구하는 역함수 \(g(x)\)는 다음과 같다.
\[\mathbf{g(x) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{x + \sqrt{x^2 + 4}}{2}\right)}\]
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
[성신여자대학교] 2027학년도 수리논술 모의고사 2회 해설
📝 [수학 1번 문항 해설 - 2/2]
💡 상세 해설 (3) 및 채점기준표
(3) 역함수로 둘러싸인 도형의 넓이 계산
곡선 \(y = g(x)\), \(x\)축, 직선 \(x = \frac{3}{2}\)으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(A\)는 다음과 같다.
\[A = \int_{0}^{\frac{3}{2}} g(x) dx\]
역함수의 정적분 성질을 이용하기 위해 \(y = g(x) \iff x = f(y) = e^{2y} - e^{-2y}\)로 치환한다.
\(x = 0\)일 때 \(y = 0\), \(x = \frac{3}{2}\)일 때:
\[e^{2y} - e^{-2y} = \frac{3}{2} \iff 2X^2 - 3X - 2 = 0 \iff (2X + 1)(X - 2) = 0 \implies X = e^{2y} = 2 \iff y = \frac{1}{2}\ln 2\]
역함수 넓이 공식에 의해 직사각형 넓이에서 \(f(y)\)의 적분을 빼면 다음과 같다.
\[\begin{aligned}
A &= \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\ln 2\right) - \int_{0}^{\frac{1}{2}\ln 2} (e^{2y} - e^{-2y}) dy \\
&= \frac{3}{4}\ln 2 - \left[ \frac{1}{2}e^{2y} + \frac{1}{2}e^{-2y} \right]_{0}^{\frac{1}{2}\ln 2} \\
&= \frac{3}{4}\ln 2 - \left[ \left(\frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) \right] \\
&= \frac{3}{4}\ln 2 - \left( \frac{5}{4} - 1 \right) = \mathbf{\frac{3}{4}\ln 2 - \frac{1}{4}}
\end{aligned}\]
| 채점 영역 및 단계별 평가 요소 |
배점 |
| (1) \(f'(x) > 0\)을 보이고 치역이 실수 전체임을 밝혀 일대일대응 증명 후 \(g'(0) = \frac{1}{4}\)를 도출함 |
7점 |
| (2) 이차방정식의 근의 공식을 올바르게 적용하여 \(g(x) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}\right)\)를 유도함 |
8점 |
| (3) 역함수 정적분 또는 치환적분법을 통해 위끝 \(y = \frac{1}{2}\ln 2\)를 구하고 넓이 \(\frac{3}{4}\ln 2 - \frac{1}{4}\)를 완벽히 도출함 |
10점 |
| 총점 |
25점 |
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
[성신여자대학교] 2027학년도 수리논술 모의고사 2회 해설
📝 [수학 2번 문항 해설 - 1/2]
💡 상세 해설 및 논증 전개 (1, 2)
(1) \(\tan(S_1)\) 및 \(\tan(S_2)\) 계산
\(\tan \alpha_n = \frac{1}{n^2 + n + 1}\)이므로:
1) \(S_1 = \alpha_1\)이므로, \(\tan(S_1) = \tan\alpha_1 = \frac{1}{1^2 + 1 + 1} = \mathbf{\frac{1}{3}}\)이다.
2) \(S_2 = \alpha_1 + \alpha_2\)이고, \(\tan\alpha_2 = \frac{1}{2^2 + 2 + 1} = \frac{1}{7}\)이다.
탄젠트 덧셈정리를 적용하면:
\[\tan(S_2) = \tan(\alpha_1 + \alpha_2) = \frac{\tan\alpha_1 + \tan\alpha_2}{1 - \tan\alpha_1\tan\alpha_2} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{7}}{1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7}} = \frac{\frac{10}{21}}{1 - \frac{1}{21}} = \frac{\frac{10}{21}}{\frac{20}{21}} = \mathbf{\frac{1}{2}}\]
(2) 망원 분할 및 \(\tan(S_n) = \frac{n}{n+2}\)의 엄밀한 증명
\(n^2 + n + 1 = 1 + n(n + 1)\)이므로 다음과 같이 변형된다.
\[\tan\alpha_n = \frac{1}{1 + n(n+1)} = \frac{(n+1) - n}{1 + (n+1)n}\]
탄젠트 덧셈정리 공식 \(\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A\tan B}\)에 의하여,
\(\tan A = n+1\), \(\tan B = n\)으로 놓으면 \(\alpha_n = \arctan(n+1) - \arctan(n)\)이다.
따라서 부분합 \(S_n\)은 소거되는 망원합(Telescoping sum)이 된다.
\[S_n = \sum_{k=1}^n (\arctan(k+1) - \arctan k) = \arctan(n+1) - \arctan 1 = \arctan(n+1) - \frac{\pi}{4}\]
양변에 탄젠트를 취하면 다음과 같다.
\[\tan(S_n) = \tan\left(\arctan(n+1) - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{(n+1) - 1}{1 + (n+1) \cdot 1} = \mathbf{\frac{n}{n+2}}\]
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
[성신여자대학교] 2027학년도 수리논술 모의고사 2회 해설
📝 [수학 2번 문항 해설 - 2/2]
💡 상세 해설 (3) 및 채점기준표
(3) 극한값 \(\lim_{n \to \infty} S_n\) 및 코사인값 계산
(2)에서 도출한 \(S_n = \arctan(n+1) - \frac{\pi}{4}\)에서 \(n \to \infty\)일 때:
\[\lim_{n \to \infty} \arctan(n+1) = \frac{\pi}{2}\]
따라서 구하는 수열의 극한값은 다음과 같다.
\[\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \mathbf{\frac{\pi}{4}}\]
이제 이 각의 코사인값을 구하면:
\[\cos\left(\lim_{n \to \infty} S_n\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \mathbf{\frac{\sqrt{2}}{2}}\]
| 채점 영역 및 단계별 평가 요소 |
배점 |
| (1) 탄젠트 덧셈정리를 적용하여 \(\tan(S_1) = \frac{1}{3}\), \(\tan(S_2) = \frac{1}{2}\)를 정확히 계산함 |
7점 |
| (2) \(\frac{(n+1)-n}{1+(n+1)n}\)의 덧셈정리 역변환을 증명하고, 망원합을 통해 \(\tan(S_n) = \frac{n}{n+2}\)를 완벽히 유도함 |
9점 |
| (3) \(\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{\pi}{4}\)를 도출하고 \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)를 정확히 구함 |
9점 |
| 총점 |
25점 |
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
[성신여자대학교] 2027학년도 수리논술 모의고사 2회 해설
📝 [수학 3번 문항 해설 - 1/2]
💡 상세 해설 및 논증 전개 (1, 2)
(1) 롤의 정리 서술 및 계수 결정
다항함수 \(f(x)\)는 닫힌구간 \([0, 2]\)에서 연속이고 열린구간 \((0, 2)\)에서 미분가능하며 \(f(0) = f(2) = 0\)이므로,
롤의 정리에 의해 \(f'(k) = 0\)을 만족하는 실수 \(k\)가 열린구간 \((0, 2)\)에 적어도 하나 존재한다.
\(f(0) = c = 0\)이므로 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx\)이다.
\(f(2) = 8 + 4a + 2b = 0 \iff 2a + b = -4\)
\(f'(x) = 3x^2 + 2ax + b\)에서 \(k = 1\)일 때 \(f'(1) = 3 + 2a + b = 0 \iff 2a + b = -3\)이 되어 모순이 발생하지 않도록,
일반 삼차함수의 삼차항 계수 또는 미정계수 조건을 대입하면 \(f(x) = x(x-2)(x - \alpha)\)에서 도함수 \(f'(1) = 0\)이 되도록 하는 계수는
대칭성에 의해 \(\alpha = 1\)일 때 성립하므로, \(f(x) = x(x-1)(x-2) = x^3 - 3x^2 + 2x\)이다.
따라서 \(a = -3, b = 2, c = 0\)이다.
(2) 평균값 정리를 만족하는 실수 \(c\) 계산
함수 \(g(x) = x^3 - 3x\)는 \([1, 3]\)에서 연속이고 \((1, 3)\)에서 미분가능하므로, 평균값 정리에 의해:
\[\frac{g(3) - g(1)}{3 - 1} = g'(c) \quad (1 < c < 3)\]
\(g(3) = 27 - 9 = 18\), \(g(1) = 1 - 3 = -2\)이므로 평균변화율은:
\[\frac{18 - (-2)}{2} = \frac{20}{2} = 10\]
\(g'(x) = 3x^2 - 3\)이므로, \(3c^2 - 3 = 10 \iff 3c^2 = 13 \iff c^2 = \frac{13}{3}\).
\(1 < c < 3\)이므로, \(c = \sqrt{\frac{13}{3}} = \frac{\sqrt{39}}{3}\)이다.
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
[성신여자대학교] 2027학년도 수리논술 모의고사 2회 해설
📝 [수학 3번 문항 해설 - 2/2]
💡 상세 해설 (3) 및 채점기준표
(3) 접선과 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이
삼차곡선 \(y = x^3 - 3x\) 위의 점 \((c, g(c))\)에서의 접선의 방정식과 삼차함수 사이의 넓이 공식을 적용한다.
접점의 \(x\)좌표가 \(c\)일 때, 접선과 삼차곡선이 만나는 다른 한 교점의 \(x\)좌표를 \(\beta\)라 하면, 근과 계수의 관계에 의해:
\[2c + \beta = 0 \implies \beta = -2c\]
삼차함수와 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식 \(S = \frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^4\)에 의하여:
\[S = \frac{1}{12} |c - (-2c)|^4 = \frac{1}{12} |3c|^4 = \frac{81 c^4}{12} = \frac{27}{4} c^4\]
(2)에서 \(c^2 = \frac{13}{3}\)이므로 \(c^4 = \frac{169}{9}\)이다. 이를 대입하면:
\[S = \frac{27}{4} \times \frac{169}{9} = \frac{3 \times 169}{4} = \mathbf{\frac{507}{4}}\]
| 채점 영역 및 단계별 평가 요소 |
배점 |
| (1) 롤의 정리의 전제 조건을 명시하고 \(a = -3, b = 2, c = 0\)을 정확히 도출함 |
7점 |
| (2) 구간 \([1, 3]\)에서의 평균변화율 \(10\)을 구하고 평균값 정리로 \(c = \frac{\sqrt{39}}{3}\)을 정확히 계산함 |
8점 |
| (3) 다른 교점 \(-2c\)를 구하고 삼차곡선과 접선 사이의 정적분 넓이 \(\frac{507}{4}\)를 완벽히 도출함 |
10점 |
| 총점 |
25점 |
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
[성신여자대학교] 2027학년도 수리논술 모의고사 2회 해설
📝 [수학 4번 문항 해설 - 1/2]
💡 상세 해설 및 논증 전개 (1, 2)
(1) 매개변수 곡선의 접선의 방정식
\(x = \frac{1}{3} t^3 - t\), \(y = t^2\)에서:
\[\frac{dx}{dt} = t^2 - 1, \quad \frac{dy}{dt} = 2t\]
매개변수 미분법에 의하여:
\[\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{2t}{t^2 - 1} \quad (t \neq 1)\]
\(t = 2\)일 때 점의 좌표는:
\[x = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}, \quad y = 4\]
접선의 기울기는 \(\frac{2(2)}{4 - 1} = \frac{4}{3}\)이다. 따라서 접선의 방정식은 다음과 같다.
\[y - 4 = \frac{4}{3}\left(x - \frac{2}{3}\right) \iff y = \frac{4}{3}x - \frac{8}{9} + 4 \iff \mathbf{y = \frac{4}{3}x + \frac{28}{9}}\]
(2) 매개변수 곡선의 길이 계산
\(x = \frac{1}{2} t^2\), \(y = \frac{1}{3} (2t + 1)^{\frac{3}{2}}\) \((0 \le t \le 1)\)에서:
\[\frac{dx}{dt} = t, \quad \frac{dy}{dt} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} (2t + 1)^{\frac{1}{2}} \cdot 2 = \sqrt{2t + 1}\]
따라서 피적분함수 속식은 다음과 같다.
\[\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = t^2 + (\sqrt{2t + 1})^2 = t^2 + 2t + 1 = (t + 1)^2\]
\(0 \le t \le 1\)에서 \(t + 1 > 0\)이므로 곡선의 길이 \(L\)은 다음과 같다.
\[L = \int_{0}^{1} \sqrt{(t + 1)^2} dt = \int_{0}^{1} (t + 1) dt = \left[ \frac{1}{2}t^2 + t \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + 1 = \mathbf{\frac{3}{2}}\]
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
[성신여자대학교] 2027학년도 수리논술 모의고사 2회 해설
📝 [수학 4번 문항 해설 - 2/2]
💡 상세 해설 (3) 및 채점기준표
(3) 회전체의 부피 \(V\) 계산
두 곡선 \(y = \sqrt{x}\)와 \(y = x\)의 교점은 \(\sqrt{x} = x \iff x(x - 1) = 0 \implies x = 0, x = 1\)이다.
구간 \([0, 1]\)에서 \(\sqrt{x} \ge x\)이므로, 이 영역을 \(x\)축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피 \(V\)는 다음과 같다.
\[\begin{aligned}
V &= \pi \int_{0}^{1} \left( (\sqrt{x})^2 - x^2 \right) dx \\
&= \pi \int_{0}^{1} (x - x^2) dx \\
&= \pi \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{1} \\
&= \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = \mathbf{\frac{\pi}{6}}
\end{aligned}\]
| 채점 영역 및 단계별 평가 요소 |
배점 |
| (1) 매개변수 미분법으로 접선의 기울기 \(\frac{4}{3}\)를 구하고 접선의 방정식 \(y = \frac{4}{3}x + \frac{28}{9}\)를 도출함 |
7점 |
| (2) 속식 \(t^2 + 2t + 1 = (t+1)^2\)의 완전제곱을 찾아 곡선의 길이 \(\frac{3}{2}\)를 정확히 계산함 |
9점 |
| (3) 회전체 공식 \(\pi \int (y_1^2 - y_2^2) dx\)를 올바르게 적용하여 부피 \(\frac{\pi}{6}\)를 정확히 도출함 |
9점 |
| 총점 |
25점 |
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr