실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = e^{2x} - e^{-2x}\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, \(e\)는 자연로그의 밑이다.) [총 25점]

(1) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) > 0\)임을 보이고, 이를 근거로 함수 \(f(x)\)가 일대일대응임을 증명하여 역함수 \(g(x)\)가 존재함을 보이시오. 또한 역함수의 미분법을 이용하여 \(g'(0)\)의 값을 구하시오. [7점]

(2) \(y = f(x)\)의 관계식을 \(x\)에 대하여 풀어 역함수 \(g(x)\)의 식을 로그함수 형태로 직접 유도하시오. [8점]

(3) 곡선 \(y = g(x)\)와 \(x\)축 및 직선 \(x = \frac{3}{2}\)으로 둘러싸인 도형의 넓이를 역함수의 성질과 정적분을 이용하여 구하시오. [10점]

모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\tan \alpha_n = \frac{1}{n^2 + n + 1}\) \(\left(0 < \alpha_n < \frac{\pi}{2}\right)\)이라 하고, 수열 \(\{S_n\}\)을 \(S_n = \sum_{k=1}^n \alpha_k\)라 하자. 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 \(\tan(S_1)\)과 \(\tan(S_2)\)의 값을 각각 구하시오. [7점]

(2) 항등식 \(\tan(\beta - \gamma) = \frac{\tan\beta - \tan\gamma}{1 + \tan\beta\tan\gamma}\)를 이용하여, \(\alpha_n = \arctan(n+1) - \arctan(n)\)임을 증명하고, 이를 통해 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\tan(S_n) = \frac{n}{n+2}\)가 성립함을 증명하시오. [9점]

(3) 수열의 극한값 \(\lim_{n \to \infty} S_n\)을 구하고, 이를 이용하여 \(\cos\left(\lim_{n \to \infty} S_n\right)\)의 값을 구하시오. [9점]

다항함수에 대하여 성립하는 롤의 정리와 평균값 정리에 관한 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\)가 \(f(0) = f(2) = 0\)을 만족한다. 열린구간 \((0, 2)\)에서 \(f'(k) = 0\)인 실수 \(k\)가 적어도 하나 존재함을 롤의 정리를 이용하여 서술하고, \(k = 1\)일 때 상수 \(a, b, c\)의 값을 각각 구하시오. [7점]

(2) 함수 \(g(x) = x^3 - 3x\)에 대하여 닫힌구간 \([1, 3]\)에서 평균값 정리를 만족하는 실수 \(c\) \((1 < c < 3)\)의 값을 구하시오. [8점]

(3) (2)에서 구한 상수 \(c\)에 대하여, 곡선 \(y = g(x)\) 위의 점 \((c, g(c))\)에서의 접선과 곡선 \(y = g(x)\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 정적분을 이용하여 구하시오. [10점]

매개변수로 표현된 곡선 및 정적분의 기하학적 응용에 관한 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) 매개변수 \(t\) \((t > 0)\)로 나타내어진 곡선 \(x = \frac{1}{3} t^3 - t\), \(y = t^2\)에 대하여, \(t = 2\)에 대응하는 점에서의 접선의 기울기와 접선의 방정식을 구하시오. [7점]

(2) 매개변수 \(t\) \((0 \le t \le 1)\)로 나타내어진 곡선 \(x = \frac{1}{2} t^2\), \(y = \frac{1}{3} (2t + 1)^{\frac{3}{2}}\)의 길이를 정적분을 이용하여 구하시오. [9점]

(3) 두 곡선 \(y = \sqrt{x}\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 영역을 \(x\)축의 둘레로 \(1\)회전시켜 생기는 회전체의 부피 \(V\)를 구하시오. [9점]